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2021版中考压轴题专题突破11:一次函数与正方形(含解析)

1、一次函数压轴题之正方形一次函数压轴题之正方形 1如图,直线 yx+4 与坐标轴分别交于点 A、B,与直线 yx 交于点 C在线段 OA 上,动点 Q 以每 秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动,同时动点 P 从点 A 出发向点 O 做匀速运动,当点 P、 Q 其中一点停止运动时,另一点也停止运动分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线,交直线 AB、OC 于点 E、F,连 接 EF若运动时间为 t 秒,在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形(点 P、Q 重合除外) (1)求点 P 运动的速度是多少? (2)当 t 为多少秒时,矩形 PEFQ 为正方形? (3)当 t 为多少秒时

2、,矩形 PEFQ 的面积 S 最大?并求出最大值 2如图 1,在平面直角坐标系中,直线 yx+4 分别交 x、y 轴于 A、B 两点,将AOB 沿直线 ykx k(k0)折叠,使 B 点落在 y 轴的 C 点处 (1)求 C 点坐标; (2)若点 D 沿射线 BA 运动,连接 OD,当CDB 与CDO 面积相等时,求直线 OD 的解析式; (3)在(2)的条件下,点 D 在第一象限,沿 x 轴平移直线 OD,分别交 x,y 轴于点 E,F,在平面直角坐 标系中,是否存在点 M(m,3)和点 P,使四边形 EFMP 为正方形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在, 说明理由 3如图,在平面直角坐

3、标系中,已知点 A(3,6) ,点 B,点 C 分别在 x 轴的负半轴和正半轴上,OB,OC 的长分别是方程 x 24x+30 的两根(OBOC) (1)求点 B,点 C 的坐标; (2)若平面内有 M,D 为线段 OC 上一点,且满足 MCAC,且 CM=BD=2CD,求直线 MD 的解析式; (3)在坐标平面内是否存在点 Q 和点 P(点 P 在直线 AC 上) ,使以 O,P,C,Q 为顶点的四边形是正方形? 若存在,请直接写出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由 4如图在平面直角坐标系内,点 A 与 C 的坐标分别为(4,8) , (0,5) ,过点 A 作 ABx 轴于点 B,过 O

4、B 上的动点 D 作直线 ykx+b 平行于 AC,与 AB 相交于点 E,连接 CD,过点 E 作直线 EFCD,交 AC 于点 F (1)求经过点 A,C 两点的直线解析式; (2)当点 D 在 OB 上移动时,能否使四边形 CDEF 成为矩形?若能,求出此时 k、b 的值;若不能,请说明 理由; (3)如果将直线 AC 作向下平移,交 y 轴于点 C,交 AB 于点 A,连接 DC,过点 E 作 EFDC,交 AC于点 F,那么能否使四边形 CDEF成为正方形?若能,请求出此时正方形的面积;若不能,请 说明理由 1.【解答】解: (1)直线 yx+4 与坐标轴分别交于点 A、B, x0

5、时,y4,y0 时,x8, , 当 t 秒时,QOFQt,则 EPt, EPBO, , AP2t, 动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动, 点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度; (2)如图 1,当 PQPE 时,矩形 PEFQ 为正方形, 则OQFQt,PA2t, QP8t2t83t, 83tt, 解得:t2; 如图 2,当 PQPE 时,矩形 PEFQ 为正方形, OQt,PA2t, OP82t, QPt(82t)3t8, t3t8, 解得:t4; (3)如图 1,当 Q 在 P 点的左边时, OQt,PA2t, QP8t2t83t, S矩形 PEF

6、QQP QF(83t) t8t3t 2, 当 t时, S矩形 PEFQ的最大值为:, 如图 2,当 Q 在 P 点的右边时, OQt,PA2t, 2t8t, t, QPt(82t)3t8, S矩形 PEFQQP QF(3t8) t3t 28t, 当点 P、Q 其中一点停止运动时,另一点也停止运动, t4, 当 t时,S矩形 PEFQ的最大, t4 时,S矩形 PEFQ的最大值为:34 28416, 综上所述,当 t4 时,S矩形 PEFQ的最大值为:16 2 【解答】解: (1)令 x0,则 y4, 令 y0,则x+40, 解得 x6, 所以,A(0,4) ,B(6,0) , 设直线 ykxk

7、 交 x 轴、y 轴于点 E、F, 则 E(,0) ,F(0,k) , 设 BC 与直线 ykxk 交于点 G, 则点 G 的横坐标为3, 代入直线 ykxk 得,点 G 的纵坐标 yk, OBC+OCBOFE+OCB90, OBCOFE, tanOBCk,tanOFE, k, 解得 k2,k2(舍去) , 点 G 的坐标为(3,) , 点 B、C 关于 点 G 对称, 点 C 的坐标为(0,3) ; (2)点 D 在第一象限时, CDB 与CDO 面积相等, CDOB, 点 D 的纵坐标为 3, 当 y3 时,x+43, 解得 x, 点 D 的坐标为(,3) , 直线 OD 的解析式为 y2

8、x; 点 D 在第二象限时,AC431, 设点 D 到 y 轴的距离为 a, 则 SCDBSACD+SABC 1 a+16 a+3, CDB 与CDO 面积相等, a+33a, 解得 a3, 点 D 的横坐标为3, 当 x3 时,y(3)+42+46, 点 D 的坐标为(3,6) , 直线 OD 的解析式为 y2x; (3)设 OD 平移后的解析式为 y2x+b, 令 y0,则 2x+b0, 解得 x, 令 x0,则 yb, 所以,OE,OFb, 过点 M 作 MNy 轴于 N,过点 P 作 PQx 轴于 Q, 四边形 EFMP 是正方形, 易证MNFFOEEQP, MNOFEQ,NFOEPQ

9、, M(m,3) , ONb+3, 解得 b2, OE1,OF2, OQOE+QE1+23, 点 M(2,3) ,点 P(3,1) , 故,存在点 M(2,3)和点 P(3,1) ,使四边形 EFMP 为正方形 3 【解答】解: (1)x 24x+30, 得 x3 或 1 OBOC, B(1,0) ,C(3,0) (2)略 (3)存在Q1(3,3)或 4.【解答】解: (1)设直线 AC 的解析式为 ykx+b, A(4,8) ,C(0,5) , , 解得 k,b5, 直线 AC 的解析式为:y5x,即 yx+5; (2)如图 1,设 D(m,0) , ,DEAC,ACCD, k,kCD, 又 C(0,5) ,D(m,0) , , m, 点 D(,0)代入 yx+b, b; (3)如图 2,假设存在这样的正方形则由题意:将直线 AC 作向下平移, 则可设直线 AC 的解析式为:yx+5+c, ACDE, k直线 DE 的解析式为:yx+b, 令 y0,得 xb, 设 D(b,0) ,C(0,5+c) , 又E 点横坐标为 4, E(4,3+b) , 则 ODb,BD4+b,BE3+b,OC5+c, 由题意使四边形 CDEF成为正方形, DOBE,OCDB, 则, 解得: 边长为, 正方形的面积 S