1、一次函数压轴题之正方形一次函数压轴题之正方形 1如图，直线 yx+4 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 yx 交于点 C在线段 OA 上，动点 Q 以每 秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点 A 出发向点 O 做匀速运动，当点 P、 Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，交直线 AB、OC 于点 E、F，连 接 EF若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形（点 P、Q 重合除外） （1）求点 P 运动的速度是多少？ （2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？ （3）当 t 为多少秒时
2、，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值 2如图 1，在平面直角坐标系中，直线 yx+4 分别交 x、y 轴于 A、B 两点，将AOB 沿直线 ykx k（k0）折叠，使 B 点落在 y 轴的 C 点处 （1）求 C 点坐标； （2）若点 D 沿射线 BA 运动，连接 OD，当CDB 与CDO 面积相等时，求直线 OD 的解析式； （3）在（2）的条件下，点 D 在第一象限，沿 x 轴平移直线 OD，分别交 x，y 轴于点 E，F，在平面直角坐 标系中，是否存在点 M（m，3）和点 P，使四边形 EFMP 为正方形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 说明理由 3如图，在平面直角坐
3、标系中，已知点 A（3，6） ，点 B，点 C 分别在 x 轴的负半轴和正半轴上，OB，OC 的长分别是方程 x 24x+30 的两根（OBOC） （1）求点 B，点 C 的坐标； （2）若平面内有 M，D 为线段 OC 上一点，且满足 MCAC，且 CM=BD=2CD，求直线 MD 的解析式； （3）在坐标平面内是否存在点 Q 和点 P（点 P 在直线 AC 上） ，使以 O，P，C，Q 为顶点的四边形是正方形？ 若存在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 4如图在平面直角坐标系内，点 A 与 C 的坐标分别为（4，8） ， （0，5） ，过点 A 作 ABx 轴于点 B，过 O
4、B 上的动点 D 作直线 ykx+b 平行于 AC，与 AB 相交于点 E，连接 CD，过点 E 作直线 EFCD，交 AC 于点 F （1）求经过点 A，C 两点的直线解析式； （2）当点 D 在 OB 上移动时，能否使四边形 CDEF 成为矩形？若能，求出此时 k、b 的值；若不能，请说明 理由； （3）如果将直线 AC 作向下平移，交 y 轴于点 C，交 AB 于点 A，连接 DC，过点 E 作 EFDC，交 AC于点 F，那么能否使四边形 CDEF成为正方形？若能，请求出此时正方形的面积；若不能，请 说明理由 1.【解答】解： （1）直线 yx+4 与坐标轴分别交于点 A、B， x0
5、时，y4，y0 时，x8， ， 当 t 秒时，QOFQt，则 EPt， EPBO， ， AP2t， 动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动， 点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度； （2）如图 1，当 PQPE 时，矩形 PEFQ 为正方形， 则OQFQt，PA2t， QP8t2t83t， 83tt， 解得：t2； 如图 2，当 PQPE 时，矩形 PEFQ 为正方形， OQt，PA2t， OP82t， QPt（82t）3t8， t3t8， 解得：t4； （3）如图 1，当 Q 在 P 点的左边时， OQt，PA2t， QP8t2t83t， S矩形 PEF
6、QQP QF（83t） t8t3t 2， 当 t时， S矩形 PEFQ的最大值为：， 如图 2，当 Q 在 P 点的右边时， OQt，PA2t， 2t8t， t， QPt（82t）3t8， S矩形 PEFQQP QF（3t8） t3t 28t， 当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动， t4， 当 t时，S矩形 PEFQ的最大， t4 时，S矩形 PEFQ的最大值为：34 28416， 综上所述，当 t4 时，S矩形 PEFQ的最大值为：16 2 【解答】解： （1）令 x0，则 y4， 令 y0，则x+40， 解得 x6， 所以，A（0，4） ，B（6，0） ， 设直线 ykxk
7、 交 x 轴、y 轴于点 E、F， 则 E（，0） ，F（0，k） ， 设 BC 与直线 ykxk 交于点 G， 则点 G 的横坐标为3， 代入直线 ykxk 得，点 G 的纵坐标 yk， OBC+OCBOFE+OCB90， OBCOFE， tanOBCk，tanOFE， k， 解得 k2，k2（舍去） ， 点 G 的坐标为（3，） ， 点 B、C 关于 点 G 对称， 点 C 的坐标为（0，3） ； （2）点 D 在第一象限时， CDB 与CDO 面积相等， CDOB， 点 D 的纵坐标为 3， 当 y3 时，x+43， 解得 x， 点 D 的坐标为（，3） ， 直线 OD 的解析式为 y2
8、x； 点 D 在第二象限时，AC431， 设点 D 到 y 轴的距离为 a， 则 SCDBSACD+SABC 1 a+16 a+3， CDB 与CDO 面积相等， a+33a， 解得 a3， 点 D 的横坐标为3， 当 x3 时，y（3）+42+46， 点 D 的坐标为（3，6） ， 直线 OD 的解析式为 y2x； （3）设 OD 平移后的解析式为 y2x+b， 令 y0，则 2x+b0， 解得 x， 令 x0，则 yb， 所以，OE，OFb， 过点 M 作 MNy 轴于 N，过点 P 作 PQx 轴于 Q， 四边形 EFMP 是正方形， 易证MNFFOEEQP， MNOFEQ，NFOEPQ
9、， M（m，3） ， ONb+3， 解得 b2， OE1，OF2， OQOE+QE1+23， 点 M（2，3） ，点 P（3，1） ， 故，存在点 M（2，3）和点 P（3，1） ，使四边形 EFMP 为正方形 3 【解答】解： （1）x 24x+30， 得 x3 或 1 OBOC， B（1，0） ，C（3，0） （2）略 （3）存在Q1（3，3）或 4.【解答】解： （1）设直线 AC 的解析式为 ykx+b， A（4，8） ，C（0，5） ， ， 解得 k，b5， 直线 AC 的解析式为：y5x，即 yx+5； （2）如图 1，设 D（m，0） ， ，DEAC，ACCD， k，kCD， 又 C（0，5） ，D（m，0） ， ， m， 点 D（，0）代入 yx+b， b； （3）如图 2，假设存在这样的正方形则由题意：将直线 AC 作向下平移， 则可设直线 AC 的解析式为：yx+5+c， ACDE， k直线 DE 的解析式为：yx+b， 令 y0，得 xb， 设 D（b，0） ，C（0，5+c） ， 又E 点横坐标为 4， E（4，3+b） ， 则 ODb，BD4+b，BE3+b，OC5+c， 由题意使四边形 CDEF成为正方形， DOBE，OCDB， 则， 解得： 边长为， 正方形的面积 S