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2021版中考压轴题专题突破8:一次函数与平行四边形(含解析)

1、一次函数压轴题之平行四边形一次函数压轴题之平行四边形 1如图,直线 yx+n 交 x 轴于点 A(8,0) ,直线 yx4 经过点 A,交 y 轴于点 B,点 P 是直线 yx4 上的一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线,过点 B 作 y 轴的垂线,两条垂线交于点 D,连接 PB,设 点 P 的横坐标为 m (1)若点 P 的横坐标为 m,则 PD 的长度为 (用含 m 的式子表示) ; (2)如图 1,已知点 Q 是直线 yx+n 上的一个动点,点 E 是 x 轴上的一个动点,是否存在以 A,B,E, Q 为顶点的平行四边形,若存在,求出 E 的坐标;若不存在,说明理由; 2如图,直线 l1

2、:y2x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C;直线 l2:ykx+b 与 x 轴交于点 B(3,0) , 与直线 l1交于点 D,且点 D 的纵坐标为 4 (1)不等式 kx+b2x+2 的解集是 ; (2)求直线 l2的解析式及CDE 的面积; (3)点 P 在坐标平面内,若以 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形,求符合条件的所有点 P 的坐标 3如图,直线 l1的解析表达式为:y3x3,且 l1与 x 轴交于点 D,直线 l2经过点 A,B,直线 l1,l2交于 点 C (1)求ADC 的面积; (2)在直线 l2上存在异于点 C 的另一点 P,使得ADP 与ADC 的

3、面积相等,则点 P 的坐标为 ; (3)若点 H 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点 H,使以 A、D、C、H 为顶点的四边形 是平行四边形?若存在,请直接写出点 H 的坐标;若不存在,请说明理由 4 如图, 直线 AB 与坐标轴分别交于点 A、 点 B, 且 OA、 OB 的长分别为方程 x 26x+80 的两个根 (OAOB) , 点 C 在 y 轴上,且 OA:AC2:5,直线 CD 垂直于直线 AB 于点 P,交 x 轴于点 D (1)求出点 A、点 B 的坐标 (2)请求出直线 CD 的解析式 (3)若点 M 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点 M,使

4、以点 B、P、D、M 为顶点的四边 形是平行四边形?若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 5如图 1在平面直角坐标系中,四边形 OBCD 是正方形,D(0,3) ,点 E 是 OB 延长线上一点,M 是线段 OB 上一动点(不包括 O、B) ,作 MNDM,交CBE 的平分线于点 N (1)直接写出点 C 的坐标:求证:MDMN; (2)如图 2,若 M(2,0) ,在 OD 上找一点 P,使四边形 MNCP 是平行四边形,求直线 PN 的解析式; (3)如图,连接 DN 交 BC 于 F,连接 FM,下列两个结论:FM 的长为定值:MN 平分FMB,其中只有一 个正确,选择

5、并证明 6如图 1,将矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中,已知 A(4,0) 、C(0,3) ,将其绕点 A 顺时针旋转, 得到矩形 OABC,旋转一周后停止 (1)当边 OA 所在直线将矩形分成面积比为 5:1 的两部分时,求 OA 所在直线的函数关系式 (2)在旋转过程中,若以 C,O,B,A 四点为顶点的四边形是平行四边形,求点 O的坐标 (3)取 CB中点 M,连接 CM,在旋转过程中,求 CM 得最大值。 7如图,在平面直角坐标系中,直线 l 的解析式为 yx,直线 l2与 l1交于点 A(a,a)与 y 轴交于点 B(0,b) ,其中 a,b 满足(a+2) 2+ 0 (1)求

6、直线 l2的解析式; (2)若在第二象限中有一点 P(m,5)使得 SAOPSAOB,请求出点 P 的坐标; (3)已知直线 y2x2 分别交 x 轴、y 轴于 E、F 两点,M、N 分别是直线 l1、l2上的动点,请直接写出能 使 E、F、M、N 四点构成平行四边形的点 M 的坐标 8如图,在平面直角坐标系中,已知直线 l1和 l2相交于点 A,它们的解析式分别为 l1:yx,l2:y x+直线 l2与两坐标轴分别相交于点 B 和点 C,点 P 在线段 OB 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速 度向点 B 运动,同时点 Q 从点 B 出发以每秒 4 个单位的速度沿 BOCB 的方向向点

7、B 运动,过点 P 作直 线 PMOB 分别交 l1,l2于点 M,N连接 MQ设点 P,Q 运动的时间是 t 秒(t0) (1)求点 A 的坐标; (2)点 Q 在 OC 上运动时,试求 t 为何值时,四边形 MNCQ 为平行四边形; (3)试探究是否存在某一时刻 t,使 MQOB?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由 9如图,四边形 ABCD 为矩形,C 点在 x 轴上,A 点在 y 轴上,D 点坐标是(0,0) ,B 点坐标是(3,4) , 矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠,点 A 落在 BC 边上的 G 处,E、F 分别在 AD、AB 上,且 F 点的坐标是(2,4) (1)

8、求 G 点坐标; (2)求直线 EF 解析式; (3)点 N 在 x 轴上,直线 EF 上是否存在点 M,使以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形?若存在, 请直接写出 M 点的坐标;若不存在,请说明理由 10如图,已知直线 m:yx+b 与 x 轴交于点 A(15,0) ,交 y 轴于 E 点以 OA 为一边在第一象限内 做矩形 OABC,BC 与直线 m 相交于点 D,连接 OD,OD 垂直于直线 m (1)求 OD 的长; (2) 点 F 在 x 轴上, 设直线 BF 为 n, 直线 m 与直线 n 的交点 P 恰好是线段 BF 的中点, 求直线 n 的解析式; (3)在(2)的

9、条件下,直线 m 上是否存在一点 Q,直线 n 上是否存在一点 R,使得以 O、A、Q、R 为顶点, OA 为一边的四边形为平行四边形?若存在,直接写出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由 11如图,RtOAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点 O 与原点重合,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,OC,CAO30 度将 RtOAC 折叠,使 OC 边落在 AC 边上,点 O 与点 D 重合,折痕为 CE (1)求折痕 CE 所在直线的解析式; (2)求点 D 的坐标; (3)设点 M 为直线 CE 上的一点,过点 M 作 AC 的平行线,交 y 轴于点 N,是否存在这样的

10、点 M,使得以 M、 N、D、C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 12在平面直角坐标系中,四边形 AOCB 是直角梯形,点 A(0,4) ,AB、OC 的长是一元二次方程 x 211x+28 0 的两根问: (1)求点 B、C 的坐标; (2)过点 B 的直线 BD 交线段 OC 于点 D,且四边形 AODB 的面积与BDC 的面积比为 6:5,求直线 BD 的解 析式; (3)若点 P 在直线 BD 上,点 Q 在 y 轴上,是否存在点 P、Q,使得经 PQBC 为顶点的四边形为平行四边形? 若存在,请直接写出 P 点坐标;若不存在,

11、请说明理由 1 【解答】解: (1)把 xm 代入 yx4 得,ym4, 直线 yx4 交 y 轴于点 B, B(0,4) , OB4, PD|4m4|m|, 故答案为:|m|; (2)直线 yx+n 交 x 轴于点 A(8,0) ,则 n6, 故直线表达式为:yx+6,则点 C(0,6) , 设点 Q(m,m+6) ,点 E(n,0) ,点 A、B 坐标分别为: (8,0) 、 (0,4) , 当 AB 是平行四边形的一条边时, 点 A 向右平移 8 个单位向下平移 4 个单位得到点 B, 同样点 Q(E)向右平移 8 个单位向下平移 4 个单位得到点 E(Q) , 即 m+8n,m+640

12、 或 m8n,m+6+40, 解得:n或; 当 AB 是平行四边形的对角线时, 8m+n,4m+6,解得:n, 故点 E 的坐标为: (,0)或(,0) ; 2 【解答】解: (1)l1:y2x+2,则点 C(0,2) ,点 A(1,0) , 直线 l1交于点 D,且点 D 的纵坐标为 4,则 42x+2,解得:x1,故点 D(1,4) , 从图象看,当 x1 时,kx+b2x+2, 故答案为:x1; (2)将点 B、D 的坐标代入 ykx+b 得:,解得:, 故直线 l2:y2x+6,点 E(0,6) ,则 CE624, SCDECExD412; (3)分别过点 A、B 作 l2、l1的平行

13、线交于点 P,交过点 D 作 x 轴的平行线于点 P、P, 当 AB 是平行四边形的一条边时, 此时符合条件的点为下图中点 P 和 P, 则 AB4PAPD, 故点 P 的坐标为(3,4)或(5,4) ; 当 AB 是平行四边形的对角线时, 此时符合条件的点为下图中点 P,DA 平行且等于 BP“,由平移可知,点 P(1,4) ; 综上,点 P(3,4)或(5,4)或(1,4) 3 【解答】解: (1)令 y0,则 3x30, 解得 x1, 点 D(1,0) , AD413, 设直线 l2的解析式为 ykx+b(k0) , 则, 解得, 设直线 l2的解析式为 yx+6, 联立, 解得, 点

14、C 的坐标为(2,3) , ADC 的面积33; (2)ADP 与ADC 的面积相等,点 P 是异于点 C 的点, 点 P 的纵坐标为3, x+63, 解得 x6, 点 P(6,3) ; 故答案为: (6,3) ; (3)AC 是平行四边形的对角线时,CHAD3, 点 H 的横坐标为 2+35, 所以,点 H 的坐标为(5,3) , CD 是平行四边形的对角线时,CHAD3, 点 H 的横坐标是 231, 所以,点 H 的坐标为(1,3) , AD 是对角线时,AD, 所以,AD 的中点坐标为(,0) , 平行四边形的对角线互相平分, 设点 H(x,y) ,则,0, 解得 x3,y3, 点 H

15、 的坐标为(3,3) , 综上所述,存在点 H(5,3)或(1,3)或(3,3) ,使以 A、D、C、H 为顶点的四边形是平行四边形 4 【解答】解: (1)x 26x+80, x14,x22(1 分) , 0A、0B 为方程的两个根,且 0A0B, 0A2,0B4(1 分) , A(0,2) ,B(4,0) (1 分) ; (2)0A:AC2:5,OA2, AC5, OCOA+AC2+57, C(0,7) (1 分) , BAOCAP,CPBBOA90, PBDOCD, BOACOD90, BOACOD, , OD(1 分) , D(,0) , 设直线 CD 的解析式为 ykx+b, 把 C

16、(0,7) ,D(,0)分别代入得:, (1 分) , yCD2x+7(1 分) ; (3)存在, A(0,2) ,B(4,0) , 设直线 AB 的解析式为:ykx+b, , 解得:, 故直线 AB 的解析式为:yx+2, 将直线 AB 与直线 CD 联立, 解得:, P 点坐标(2,3) , D(,0) ,B(4,0) , BD7.5, 当 PM1BD 是平形四边形, 则 BDPM 17.5, AM 15.5, M1(5.5,3) , 当 PBDM2是平形四边形, 则 BDPM 27.5, AM 29.5, M2(9.5,3) , P 到 x 轴距离等于 M3到 x 轴距离,故 M3的纵坐

17、标为3, BEDFBDDE6, FO63.52.5, M3的横坐标为2.5, M3的坐标为(2.5,3) ; 综上所述 M 点的坐标为:M1(5.5,3) ,M2(9.5,3) ,M3(2.5,3) (3 分) 注:本卷中各题若有其它正确的解法,可酌情给分 5 【解答】解: (1)四边形 OBCD 是正方形,D(0,3) , C(3,3) 证明:如答图 1 中,在 OD 上取 OHOM,连接 HM, ODOB,OHOM, HDMB,OHMOMH, DHM18045135, NB 平分CBE, NBE45, NBM18045135, DHMNBM, DMN90, DMO+NMB90, HDM+D

18、MO90, HDMNMB, 在DHM 和MBN 中, , DHMMBN(ASA) , DMMN (2)如答图 2 中,作 NEOB 于 E, 由 M(2,0)知 OM2, DMN90, DMO+NME90,NME+MNE90, DMOMNE, 在DMO 和MNE 中, , DMOMNE(AAS) , MEDO3,NEOM2, OEOM+ME2+35, 点 N 坐标(5,2) , 四边形 MNCP 是平行四边形,C(3,3) , P(0,1) 设直线 PN 的解析式为:ykx+b(k0) 则, 解得 故直线 PN 的解析式为:yx+1; (3)结论:MN 平分FMB 成立 证明:如答图 3 中,

19、在 BO 延长线上取 OACF, 在AOD 和FCD 中, , DOADCF(SAS) , ADDF,ADOCDF, MDN45, CDF+ODM45, ADO+ODM45, ADMFDM, 在DMA 和DMF 中, , DMADMF(SAS) , DFMDAMDFC, 过 M 作 MPDN 于 P,则FMPCDF, 由(2)可知NMF+FMPPMN45, NMBMDO,MDO+CDF45, NMBNMF,即 MN 平分FMB 6 【解答】解: (1)矩形 OABC 中,A(4,0) ,C(0,3) OABB90,BCOA4,ABOC3 OA 所在直线将矩形分成面积比为 5:1 的两部分 小的

20、部分面积为矩形面积的 如图 1,当直线 OA 交 OC 边于点 D,则 SAODS矩形 OABC OA ODOA OC ODOC1 D(0,1) 设直线 OA 关系式为:ykx+b 解得: 直线 OA 关系式为:yx+1 如图 2,当直线 OA 交 BC 边于点 E,则 SABES矩形 OABC AB BEAB BC BEBC CEBC E(,3) 设直线 OA 关系式为:ykx+b 解得: 直线 OA 关系式为:yx+9 综上所述,OA 所在直线的函数关系式为 yx+1 或 yx+9 (2)若四边形 AOCB为平行四边形,则 O与 O 重合,还没开始旋转,不符合题意 若四边形 COBA 为平

21、行四边形,如图 3, 过点 O作 OFx 轴于点 F,交 BC 于点 G,OA 交 BC 于 E 四边形 OFGC 是矩形 OFCG,FGOC3 COAB,且 COAB COAB3,COEOABABE90 在COE 与ABE 中, COEABE(AAS) CEAE,OEBE 设 CEa,则 OEBE4a RtCOE 中,CO 2+OE2CE2 3 2+(4a)2a2 解得:a CE,OE OC3, OCOEECOG, OG, CG OFOG+FG+3 O(,) 若四边形 CAOB为平行四边形,如图 4, 过点 O作 OFx 轴于点 F,CB交 x 轴于点 H CBAO,且 CBAO CBAOB

22、C4,CBAOABB90,AHBOAF 在 RtABC 与 RtABC 中 RtABC 与 RtABC(HL) ACBACB BCOA ACBOAC ACBOAC CHAH 设 OHh,则 CHAH4h RtCOH 中,CO 2+OH2CH2 3 2+h2(4h)2 解得:a OH,CH, 同上可求:OF,AF OFOA+AF4+ O(,) 综上所述,点 O的坐标为(,)或(,) (3)如图 5,B90,AB3,BMCB2 AM 当点 M 运动到线段 CA 延长线上时,CM 最长,如图 6, 过点 B 作 BNAC 于 N, AC, SABCABBCACBN BN SABMAM BN 7 【解

23、答】解: (1) (a+2) 2+ 0,则 a2,b3, 即点 A、B 的坐标分别为(2,2) 、 (0,3) , 将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式:ymx+n 得:,解得:, 故直线 l2的表达式为:yx+3; (2)当点 P 在 OA 上方时, SAOPSAOB,则点 P 在过点 B 且平行于 OA 的直线上, 该直线的表达式为:yx+3, 将点 P 坐标代入上式得:5m+3, 解得:m2, 故点 P(2,5) ; 当点 P 在 OA 下方时, 同理可得:点 P(8,5) ; 故点 P 的坐标为(2,5)或(8,5) ; (3)直线 y2x2 分别交 x 轴、y 轴于 E、F 两点,

24、则点 E、F 的坐标分别为: (1,0) 、 (0,2) , 设点 M(m,m) ,点 N(n,n+3) , 当 EF 是平行四边形的一条边时, 当点 M 在点 N 的上方时, 点 E 向左平移 1 个单位向下平移 2 个单位得到 F, 则点 M 左平移 1 个单位向下平移 2 个单位得到 N, 即:mn1,mn+1, 解得:m1,故点 M(1,1) ; 当点 M 在点 N 的下方时, 同理可得:点 M(3,3) ; 当 EF 是平行四边形的对角线时, 由中点公式得:m+n1,m+n+32, 解得:m,则点 M(,) 综上,点 M 坐标为: (1,1)或(3,3)或(,) 8 【解答】解: (

25、1)将两直线解析式联立得:, 解得:, A(,) ; (2)PMx 轴,y 轴x 轴, PMCQ, 当 PMCQ 时,四边形 MNCQ 为平行四边形, 对于直线 l2:yx+,令 x0,求出 y;令 y0,求出 x5, B(5,0) ,C(0,) ,即 OB5,OC, CQOCOQ(4t5)4t, OPt, M 与 N 横坐标为 t, MNPNPMt+tt+, 4tt+, 解得:t, 则当 t秒时,四边形 MNCQ 为平行四边形; (3)当点 Q 在 OC 上时,如图 2,OQ4t5,MPt, QMOB,OQPM,POQ90, 四边形 POQM 是矩形, OQPM, 4t5t, 解得:t, 当

26、点 Q 在 BC 上时,如图 3: 在BOC 中, sinOBC,MPt,QB204t, 在 RtBPQ 中,点 Q 到 x 轴的距离QBsinOBC(204t) , 点 Q 到 x 轴的距离为 MP,即t(204t) , 解得:t 综上所述:当 t或 t时,MQOB 9 【解答】解: (1)由已知得,FGAF2,FB1 四边形 ABCD 为矩形 B90 BG G 点的坐标为(3,4) ; (2)设直线 EF 的解析式是 ykx+b 在 RtBFG 中,cosBFG BFG60 AFEEFG60 AEAFtanAFE2tan602 E 点的坐标为(0,42) 又 F 点的坐标是(2,4) 解得

27、 k,b42; 直线 EF 的解析式为 yx+42; 注: 求 E 点坐标方法二: 过点 E 作 EPBC 于点 P, 利用BFGPGE 得到 OE42,所以 E(0,42) ; 求 E 点坐标方法三: 过点 E 作 EPBC 于点 P, 在 RtGEP 中, 由勾股定理得 EG 2GP2+EP2, 得到 OE42 , 所以 E(0,42) ; 求 E 点坐标方法四:连接 AG,证AEG 是等边三角形,得到 OE42,所以 E(0,42) (3)若以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形,则可能存在以下情形: FG 为平行四边形的一边,且 N 点在 x 轴正半轴上,如图 1 所示 过 M

28、1点作 M1Hx 轴于点 H, M1N1FG, HN1M1HQF, 又ABOQ, HQFBFG, HN1M1BFG 又M1HN1B90,M1N1FG, M1HN1GBF, M1HGB,即 yM1 由直线 EF 解析式 yx+42,求出 xM13 M1(3,) ; FG 为平行四边形的一边,且 N 点在 x 轴负半轴上,如图 2 所示 仿照与相同的办法,可求得 M2(1,) ; FG 为平行四边形的对角线,如图 3 所示 过 M3作 FB 延长线的垂线,垂足为 H M3HFGCN390,M3FHGN3C,M3FGN3, M3FHGN3C,则有 M3HCG4,所以 M3的纵坐标为 8; 代入直线

29、EF 解析式,得到 M3的横坐标为 1+ M3(1+,8) 综上所述,存在点 M,使以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形 点 M 的坐标为:M1(3,) ,M2(1,) ,M3(1+,8) 10 【解答】解: (1)设直线 m 与 y 轴交于点 E, 把 A(15,0)代入 yx+b,得 b, OE AE SOAEOA OEAE OD OD; (2)OCDAOE OC6 B 点坐标为(15,6) 点 P 是 FB 的中点 点 P 的纵坐标为 3 3x+ x9 P 点坐标(9,3)设直线 n 的解析式为 ykx+b 把 B(15,6)和 P(9,3)代入得: ,解得: 直线 n 的解析

30、式为 yx; (3)存在 Q1(,) ,Q2(,) 11 【解答】解: (1)由题意知CAO30, OCEECDOCA30, 在 RtCOE 中,OEOC tanOCE1, 点 E 的坐标是(1,0) , 设直线 CE 的解析式为 ykx+b 把点 C(0,) ,E(1,0)代入得, , 直线 CE 的解析式为 yx+ (2)在 RtAOC 中,AC2, AO3, CDOC, ADACCD2, 过点 D 作 DFOA 于点 F, 在 RtAFD 中,DFAD sinCAO, AFAD cosCAO, OFAOAF 点 D 的坐标是(,) (3)存在两个符合条件的 M 点, 第一种情况:此点在第

31、四象限内,设为 M1,延长 DF 交直线 CE 于 M1, 连接 M1O,M1OAC, 则有 DM1y 轴, OF, 设点 M1的坐标为(,y1) , 又点 M1在直线 CE 上, 将点 M1的坐标代入 yx+中, 得 y1+,即 FM1 点 M1的坐标是(,) , 又DM1DF+FM1+,OC, DM1OC, 又DM1OC, 四边形 CDM1O 为平行四边形, 又点 O 在 y 轴上, 点 M1是符合条件的点 第二种情况:此点在第二象限内,设为 M2, 过点 D 作 DNCE 交 y 轴于 N,过 N 点作 NM2CD 交直线 CE 于点 M2, 则四边形 M2NDC 为平行四边形, M2N

32、CD, M2NCD,DNCE, NM2CACE,OCEM2CN, CNM2N, M2NCD, CN, 作 M2Hy 轴于点 H, M2NCD, M2NCNCD, M2NHOCA60, 在 RtM2NH 中, M2HM2N sin60, NHM2N cos60, HOHN+CN+OC, M2(,) , 点 M2是符合条件的点, 综上所述,符合条件的两个点的坐标分别为 M1(,) ,M2(,) 12 【解答】解: (1)x 211x+280 因式分解得, (x4) (x7)0, 所以,x40,x70, 解得 x14,x27, 所以,AB4,OC7, 点 A(0,4) ,四边形 AOCB 是直角梯形

33、, 点 B(4,4) 、C(7,0) ; (2)设 ODa,则 CDOCOD7a, S四边形 AODB(a+4)42a+8, SBDC(7a)4142a, 四边形 AODB 的面积与BDC 的面积比为 6:5, , 解得 a2, 即 OD2, 点 D(2,0) , 又AB4,OA4, 点 B(4,4) , 设直线 BD 的解析式为 ykx+b(k0) , 则, 解得, 直线 BD 的解析式为 y2x4; (3)四边形 PQBC 是平行四边形, 点 P、Q 的横坐标的差与点 B、C 的横坐标的差相等, 点 C 的横坐标比点 B 的横坐标大 3,点 Q 在 y 轴上, 点 P 在点 Q 的左边时,点 P 的横坐标为3, 2(3)46410, 此时,点 P(3,10) , 点 P 在点 Q 的右边时,点 P 的横坐标为 3, 234642, 此时,点 P(3,2) , 以 BC 为对角线时,可得出 P 点(11,18) , 此时 Q(0,14)形成平行四边形 BQCP, 综上所述,点 P(3,10)或(3,2)或(11,18)时,四边形 PQBC 是平行四边形