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2021版中考压轴题专题突破9:一次函数与菱形(含解析)

1、一次函数压轴题之菱形一次函数压轴题之菱形 1如图,直线 l1:yx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,与直线 l2:ykx6 交于点 C(4,2) (1)求直线 l1和直线 l2的解析式; (2)点 E 是射线 BC 上一动点,其横坐标为 m,过点 E 作 EFy 轴,交直线 l2于点 F,若以 O、B、E、F 为 顶点的四边形是平行四边形,求 m 值; (3)若点 P 为 x 轴上一点,则在平面直角坐标系中是否存在一点 Q,使得以 P、Q、A、B 为顶点的四边形是 菱形?若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 2如图 1,矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在

2、x 轴、y 轴上,B 点坐标是(8,4) ,将AOC 沿对角线 AC 翻折得 ADC,AD 与 BC 相交于点 E (1)求证:CDEABE; (2)求 E 点坐标; (3) 如图 2, 若将ADC 沿直线 AC 平移得ADC (边 AC始终在直线 AC 上) , 是否存在四边形 DD CC 为菱形的情况?若存在,请直接写出点 C的坐标;若不存在,请说明理由 3如图,直线 l1:yx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,与直线 l2:ykx6 交于点 C(4,2) (1)求 A 点坐标及 k,b 的值; (2) 在直线 BC 上有一点 E, 过点 E 作 y 轴的平行线交直线 l2于

3、点 F, 设点 E 的横坐标为 m, 当 m 为何值时, 以 O、B、E、F 为顶点的四边形是平行四边形; (3) 若点 P 为 x 轴上一点, 在坐标系中是否存在一点 Q, 使得 P、 Q、 A、 B 四个点能构成一个菱形?若存在, 求出所有符合条件的 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 4在平面直角坐标系中,BCOA,BC3,OA6,AB3 (1)直接写出点 B 的坐标; (2)已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点,OD5,OE2BE,直线 DE 交 x 轴于点 F,求直线 DE 的解析式; (3)在(2)的条件下,点 M 是直线 DE 上的一点,在 x 轴上方是否存在另一个点 N,

4、使以 O、D、M、N 为顶 点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 5如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,直线 yx+b 与坐标轴交于 C,D 两点,直线 AB 与坐 标轴交于 A,B 两点,线段 OA,OC 的长是方程 x 23x+20 的两个根(OAOC) (1)求点 A,C 的坐标; (2)直线 AB 与直线 CD 交于点 E,若点 E 是线段 AB 的中点,求直线 AB 的解析式; (3)在(2)的条件下,点 M 在直线 CD 上,坐标平面内是否存在点 N,使以点 B,E,M,N 为顶点的四边形 是菱形?若存在,请直接写出满足条件的点 N 的

5、坐标;若不存在,请说明理由 6在平面直角坐标系中,直线 yx+b 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B,且点 A 坐标为(8,0) ,点 C 为 AB 中点 (1)请直接写出点 B 坐标( , ) (2)点 M 为 x 轴上的一个动点,过点 M 作 x 轴的垂线,分别与直线 AB、直线 OC 交于点 P、Q,设点 M 的横 坐标为 m,线段 PQ 的长度为 d,求 d 与 m 的函数关系式,并直接写出自变量 m 的取值范围 (3)在(2)条件下,当点 M 在线段 OA(点 M 不与 O、A 重合)上运动时,在坐标系内是否存在一点 N,使 得以 O、B、P、N 为顶点的四边形为菱形?若存在,求出

6、 N 点的坐标若不存在,请说明理由 7如图,平面直角坐标系中,矩形 OABC 的对角线 AC12,ACO30, (1)求 B、C 两点的坐标; (2)把矩形沿直线 DE 对折使点 C 落在点 A 处,DE 与 AC 相交于点 F,求直线 DE 的解析式; (3)若点 M 在直线 DE 上,平面内是否存在点 N,使以 O、F、M、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直 接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 8如图,已知点 A(12,0) ,B(3,0) ,点 C 在 y 轴的正半轴上,且ACB90 (1)求点 C 的坐标; (2)求 RtACB 的角平分线 CD 所在直线 l 的解析式;

7、(3)在 l 上求出满足 SPBCSABC的点 P 的坐标; (4)已知点 M 在 l 上,在平面内是否存在点 N,使以 O、C、M、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接 写出点 N 的坐标;若不存在请说明理由 9如图,在平面直角坐标系中, OABC 的顶点 A 在 y 轴的正半轴上,顶点 B 在 x 轴的正半轴上,对角线 AC、OB 交于点 D,且 OA、OB 的长是方程 x 212x+320 的两根(OAOB) (1)求直线 AC 的函数解析式; (2)若点 P 从 A 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿射线 AC 运动,连接 OP设OPD 的面积为 S,点 P 的运 动时间为 t 秒

8、,求 S 与 t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (3)若点 M 是直线 AC 上一点,则在平面上是否存在点 N,使以 A、B、M、N 为顶点四边形为菱形?若存在, 请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 10 如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形 OABC 的边 OC、 OA 分别与 x 轴、 y 轴重合, ABOC, AOC90, BCO45,BC12,点 C 的坐标为(18,0) (1)求点 B 的坐标; (2)若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D,交 y 正半轴于点 E,且 OE4,OD2BD,求直线 DE 的解析式; (3)若点 P 是(2)中直线 DE 上的

9、一个动点,在坐标平面内是否存在点 Q,使以 O、E、P、Q 为顶点的四边 形是菱形?若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 11如图,在 RtOAB 中,A90,ABO30,OB,边 AB 的垂直平分线 CD 分别与 AB、x 轴、 y 轴交于点 C、G、D (1)求点 G 的坐标; (2)求直线 CD 的解析式; (3)在直线 CD 上和平面内是否分别存在点 Q、P,使得以 O、D、P、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求 出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 12已知直线 yx+4与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,ABC60,BC 与 x 轴交于点 C (1)试确

10、定直线 BC 的解析式 (2)若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运动(不与 A、C 重合) ,同时动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向点 A 运动 (不与 C、A 重合) ,动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度,动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单位长度设 APQ 的面积为 S,P 点的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围 (3)在(2)的条件下,当APQ 的面积最大时,y 轴上有一点 M,平面内是否存在一点 N,使以 A、Q、M、 N 为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出 N 点的坐标;若不存在,请说明理由 13如图,在平面直角坐标

11、系中,已知点 A 为第二象限内一点,过点 A 作 x 轴垂线交 x 轴于点 B,点 C 为 x 轴正半轴上一点,且 OB、OC 的长分别为方程 x 24x+30 的两根(OBOC) (1)求 B、C 两点的坐标; (2)作直线 AC,过点 C 作射线 CEAC 于 C,在射线 CE 上有一点 M(5,2) ,求直线 AC 的解析式; (3)在(2)的条件下,坐标平面内是否存在点 Q 和点 P(点 P 在直线 AC 上) ,使以 O、C、P、Q 为顶点的 四边形是菱形?若存在,请直接写出 Q 点坐标;若不存在,请说明理由 14如图 1,直线 yx+6 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 D,

12、直线 AB 交 x 轴于点 B,AOB 沿直线 AB 折叠,点 O 恰好落在直线 AD 上的点 C 处 (1)求 OB 的长; (2)如图 2,F,G 是直线 AB 上的两点,若DFG 是以 FG 为斜边的等腰直角三角形,求点 F 的坐标; (3)如图 3,点 P 是直线 AB 上一点,点 Q 是直线 AD 上一点,且 P,Q 均在第四象限,点 E 是 x 轴上一点, 若四边形 PQDE 为菱形,求点 E 的坐标 1 【解答】解: (1)将点 C 的坐标代入 l1、l2表达式得: 24+b,24k6, 解得:b4,k2, 故直线 l1和直线 l2的解析式分别为:yx+4,y2x6, 则点 A、

13、B 的坐标分别为(8,0) 、 (0,4) ; (2)设点 E(m,m+4) ,点 F(m,2m6) , 当以 O、B、E、F 为顶点的四边形是平行四边形时, 则 EFOB,即|m+42m+6|4, 解得:m或; (3)当 AB 是菱形的一条边时, 则 APAB4, 则点 P 的坐标为(8+4,0)或(84,0)或(8,0) , 则点 Q(4,4)或(4,4)或(0,4) ; 当 AB 是菱形的对角线时, 设点 P(m,0) ,点 Q(s,t) , 由中点公式得:8m+s,4t, 由菱形性质知:PAPB 得: (m8) 2m2+16, 联立并解得:t4,s5, 故点 Q(5,4) , 综上,点

14、 Q(4,4)或(4,4)或(5,4)或(0,4) 2 【解答】解: (1)证明:四边形 OABC 为矩形, ABOC,BAOC90, CDOCAB,DAOCB, 又CEDABE,CDEABE(AAS) , CEAE; (2)B(8,4) ,即 AB4,BC8 设 CEAEn,则 BE8n, 可得(8n) 2+42n2, 解得:n5, E(5,4) ; (3)设点 C 在水平方向上向左移动 m 个单位,则在垂直方向上向上移动了个单位, 则点 C坐标为(m,4m) , 则四边形 DDCC 为菱形, CC 2(m)2+( m) 2 m 2CD216, 解得:m, 故点 C的坐标为(,4+)或(,4

15、) 3 【解答】解: (1)将 C(4,2)代入 ykx6,yx+b 得:24k6,24+b,解得:k2,b4 直线 l1:yx+4,直线 l2:y2x6 在 yx+4 中,令 x0,得 y4,B(0,4) 令 y0,得 0 x+4,解得:x8,A(8,0) ; (2)设 E(m,m+4) ,则 F(m,2m6) , 如图 1,当 0m4 时,EF10, 四边形 OBEF 是平行四边形 OBEF 即 410,解得:m, 如图 2,当 m4 时, 四边形 OBFE 是平行四边形 OBFE,即 4m10,解得:m, m或 m; (3)存在如图 3, 当以 AB 为边时, 点 A(8,0) ,B(0

16、,4) AB4, 以 P、Q、A、B 为顶点的四边形是菱形 APAB4, P(84,0)或 P(8+4,0) , Q(4,4)或(4,4) , 当 Q 与 B 关于原点对称时,Q(0,4)也存在满足条件的菱形, 当以 AB 为对角线时, 设对角线的交点为 M,则 M(4,2) , 因此设 APBPx,则 OP8x, 在 RtBOP 中, 4 2+(8x)2x2, 解得:x5, P(3,0) ,则 Q(5,4) , 综上所述,符合条件的 Q 的坐标为:Q(4,4)或(4,4)或(5,4)或(0,4) 4 【解答】解: (1)如图 1,过 B 作 BGOA 于点 G, BC3,OA6, AGOAO

17、GOABC633, 在 RtABG 中,由勾股定理可得 AB 2AG2+BG2,即(3 ) 232+BG2,解得 BG6, OC6, B(3,6) ; (2)由 OD5 可知 D(0,5) , B(3,6) ,OE2BE, E(2,4) , 设直线 DE 的解析式是 ykx+b 把 D(0,5)E(2,4)代入得, 直线 DE 的解析式是 yx+5; (3)当 OD 为菱形的边时,则 MNOD5,且 MNOD, M 在直线 DE 上, 设 M(t,t+5) , 当点 N 在点 M 上方时,如图 2,则有 OMMN, OM 2t2+( t+5) 2, t 2+( t+5) 252,解得 t0 或

18、 t4, 当 t0 时,M 与 D 重合,舍去, M(4,3) , N(4,8) ; 当点 N 在点 M 下方时,如图 3,则有 MDOD5, t 2+( t+55) 252,解得 t2 或 t2, 当 t2时,N 点在 x 轴下方,不符合题意,舍去, M(2,+5) , N(2,) ; 当 OD 为对角线时,则 MN 垂直平分 OD, 点 M 在直线 y2.5 上, 在 yx+5 中,令 y2.5 可得 x5, M(5,2.5) , M、N 关于 y 轴对称, N(5,2.5) , 综上可知存在满足条件的点 N,其坐标为(4,8)或(5,2.5)或(2,) 5 【解答】解: (1)x 23x

19、+2(x1) (x2)0, x11,x22, OAOC, OA2,OC1, A(2,0) ,C(1,0) (2)将 C(1,0)代入 yx+b 中, 得:01+b,解得:b1, 直线 CD 的解析式为 yx+1 点 E 为线段 AB 的中点,A(2,0) ,B 的横坐标为 0, 点 E 的横坐标为1 点 E 为直线 CD 上一点, E(1,2) 设直线 AB 的解析式为 ykx+b,则有, 解得, 直线 AB 的解析式为 y2x+4 (3)假设存在,设点 M 的坐标为(m,m+1) , 以点 B,E,M,N 为顶点的四边形是菱形分两种情况(如图所示) : 以线段 BE 为边时,E(1,2) ,

20、A(2,0) ,E 为线段 AB 的中点, B(0,4) , BEAB 四边形 BEMN 为菱形, EMBE 或 BEBM 当 EMBE 时,有 EMBE, 解得:m1,m2, M(,2+)或(,2) , B(0,4) ,E(1,2) , N(,4+)或(,4) ; 当 BEBM 时,有 BMBE, 解得:m31(舍去) ,m42, M(2,3) , B(0,4) ,E(1,2) , N(3,1) ; 以线段 BE 为对角线时,MBME, , 解得:m3, M(,) , B(0,4) ,E(1,2) , N(01+,4+2) ,即( ,) 综上可得:坐标平面内存在点 N,使以点 B,E,M,N

21、 为顶点的四边形是菱形,点 N 的坐标为(,4+ )或(,4)或(3,1)或( ,) ; 6 【解答】解: (1)直线 yx+b 过点 A(8,0) , 06+b,解得:b6, 直线 AB 的解析式为 yx+6 令 yx+6 中 x0,则 y6, 点 B 的坐标为(0,6) 故答案是: (0,6) (2)依照题意画出图形,如图 3 所示 A(8,0) ,B(0,6) ,且点 C 为 AB 的中点, C(4,3) 设直线 OC 的解析式为 ykx(k0) , 则有 34k,解得:k, 直线 OC 的解析式为 yx 点 P 在直线 AB 上,点 Q 在直线 OC 上,点 P 的横坐标为 m,PQx

22、 轴, P(m,m+6) ,Q(m,m) 当 m4 时,dm+6mm+6; 当 m4 时,dm(m+6)m6 故 d 与 m 的函数解析式为 d; (3)假设存在,设点 P 的坐标为(n,n+6) (0n8) 点 P 在第一象限, 以 O,B,P,N 为顶点的四边形为菱形有两种情况: 以 BP 为对角线时,如图 4 所示 四边形 OPNB 为菱形,B(0,6) , OPOB6, 解得:n或 n0(舍去) , 点 P(,) , 点 N(+00,6+0) ,即(,) 以 OP 为对角线时,如图 5 所示 PNOB,PNONOB6 MNPNPMm 在直角ONM 中,OM 2+MN2ON2,即 m2+

23、( m) 262 解得 m(舍去负值) 此时 N(,) ; 当 OB 为对角线时,N(4,3) 综上得:当点 P 在线段 AB (点 M 不与 A,B 重合) 上运动时,在坐标系第一象限内存在一点 N,使得以 O,B, P,N 为顶点的四边形为菱形,N 点坐标为(,)或(,)或 N(4,3) 7 【解答】解: (1)在直角OAC 中,tanACO, 设 OAx,则 OC3x, 根据勾股定理得: (3x) 2+( x) 2AC2, 即 9x 2+3x2144, 解得:x2 故 C 的坐标是: (6,0) ,B 的坐标是(6,6) ; (2)直线 AC 的斜率是:, 则直线 DE 的斜率是: F

24、是 AC 的中点,则 F 的坐标是(3,3) ,设直线 DE 的解析式是 yx+b, 则 9+b3,解得:b6, 则直线 DE 的解析式是:yx6; (3)OFAC6, 直线 DE 的斜率是: DE 与 x 轴夹角是 60, 当 FM 是菱形的边时(如图 1) ,ONFM, 则NOC60或 120 当NOC60时,过 N 作 NGy 轴,则 NGON sin3063, OGON cos3063,则 N 的坐标是(3,3) ; 当NOC120时,与当NOC60时关于原点对称,则坐标是(3,3) ; 当 OF 是对角线时(如图 2) ,MN 关于 OF 对称 F 的坐标是(3,3) , FODNO

25、F30, 在直角ONH 中,OHOF3,ON2 作 NLy 轴于点 L 在直角ONL 中,NOL30, 则 NLON, OLON cos3023 故 N 的坐标是(,3) 当 DE 与 y 轴的交点时 M,这个时候 N 在第四象限, 此时点的坐标为: (3,3) 则 N 的坐标是: (3,3)或(3,3)或(3,3)或(,3) 8 【解答】解: (1)由AOCCOB,可得 OC 2OAOB36, OC6 又点 C 在 y 轴的正半轴上, 点 C 的坐标是(0,6) ; (2)过点 D 作 DEBC 于点 E设 DB 的长为 m 在 RtDEB 中,DEDB sinBmm,BEDB cosBm

26、在 RtDEC 中,DCE45,于是 CEDEm 由 CE+BEBC,即m+m3,解得 m5 又由 OAOB,知点 D 在线段 OA 上,OB3,所以 OD2,故点 D(2,0) ; 设直线 l 的解析式为:ykx+b,把 C(0,6)和 D(2,0)代入 ykx+b 中, 得, 解得 故直线 l 的解析式为:y3x+6; (3)取 AB 的中点 F(4.5,0) ,过点 F 作 BC 的平行线交直线 l 于点 P1,连接 CF 易知 SP1BCSFBCSACB,点 P1为符合题意的点 直线 P1F 可由直线 BC 向左平移 BF 个单位得到(即向左平移 7.5 个单位) 而直线 BC 的解析

27、式为 y2x+6, 即直线 P1F 的解的式为 y2(x+7.5)+6 即 y2x9,由得点 P1(3,3) 在直线 l 上取点 P2使 CP2CP1,此时有 SP2BCSP1BCSACB,点符 P2合题意 由 CP2CP1,过 P1点作 P1MMO,垂足为 M,过 P2点作 P2NNO,垂足为 N,由 CP2CP1易知 MCNC, 可得点 P2的坐标为(3,15) ,点 P(3,3)或 P(3,15)可使 SPBCSABC; (4) 当 OC 是菱形的对角线时 (如图 1 所示) , OC 的中点的坐标是 (0, 3) , 则把 y3 代入 l 的解析式得: 3x+63, 解得:x1 则 M

28、 的坐标是(1,3) ,N 的坐标是(1,3) ; 当 CM 为菱形的对角线时(如图 2 所示) ,此时 M2OCO,设 M2的坐标为(m,3m+6) ,所以 m 2+(3m+6)2 6 2,解得 m ,则 M2(,) ,又 M2N2OC 且 M2N2OC,易知 N2(,) ; 当 OC 和 CM 均为菱形的边时,此时 M3N3CO,设 M3的坐标为(m,3m+6) ,所以 m 2+(3m+66)262,解 得 m或,易知 N 点的坐标为(,)或(,) 综上所述,N 的坐标是(1,3)或(,)或(,)或(,) 9 【解答】解: (1)OA、OB 的长 x 212x+320 的两根,OAOB,

29、OA4,OB8,点 A 坐标为(0,4) ,点 B 坐标为(8,0) , 又四边形 ABCD 是平行四边形, 可得点 C 的横坐标等于点 B 的横坐标,点 C 的纵坐标等于点 A 的纵坐标的相反数, 故点 C 的坐标为(8,4) , 设直线 AC 的解析式为:ykx+b,则, 解得:, 故直线 AC 的解析式为:yx+4; (2)由(1)可得 OB8,根据平行四边形的性质可得点 D 坐标为(4,0) , 即 OAOD,OADODA45,AD4, 当点 P 在线段 AD 上时,此时 t4; 过点 P 作 PEOA,PFOB,则可得 APt, 在 RTAEP 中,EPt,即点 P 的横坐标为t,

30、点 P 在直线 AC 上, 点 P 的纵坐标为:t+4, 此时 SOPDODP纵坐标8t(t4) ; 当点 P 在射线 DC 上时,此时 t4 PDAPADt4, 在 RTPDM 中,PMDPcosDPMDPt4, 此时 SOPDODP纵坐标t8(t4) ; (3)存在符合题意的点 N 的坐标 当 ABAM 时,在 RTMAH 中,MHAMcosMAHAMcosADO2,AH2, 故点 M 的坐标为(2,4+2) , 又MN 平行且相等 AB, 设点 N 坐标为(x,y) ,则(x+0,y+4)(2+8,4+2+0) x82,y2, 点 N 的坐标为(82,2) 当 BMAB 时, 设点 M

31、坐标为(x,x+4) ,点 N 坐标为(a,b) , 四边形 ABMN 是菱形,点 A(0,4) ,点 B(8,0) , (x+0,x+4+4)(a+8,b+0) , ax8,bx+8,即点 N 坐标为(x8,x+8) , 又BMAB4, 4, 解得:x12 或 x0, 故此时点 N 的坐标为(4,4)或(0,4) ; 当 AB 为对角线时, 设点 M 坐标为(x,x+4) ,则点 N 坐标为(8x,x) , 此时 AMAN, 即可得:, 解得:x, 则此时点 N 的坐标为(,) 综上可得符合题意的点 N 的坐标为(82,2)或(0,4)或(4,4)或(,) ; 10 【解答】解: (1)过点

32、 B 作 BFx 轴于 F 在 RtBCF 中 BCO45,BC12 CFBF12 C 的坐标为(18,0) ABOF6 点 B 的坐标为(6,12) (2)过点 D 作 DGy 轴于点 G, ABDG, ODGOBA, ,AB6,OA12, DG4,OG8, D(4,8) ,E(0,4) 设直线 DE 解析式为 ykx+b(k0) ; 直线 DE 解析式为 yx+4 (3)结论:存在 设直线 yx+4 分别与 x 轴、y 轴交于点 E、点 F,则 E(0,4) ,F(4,0) ,OEOF4,EF4 如答图 2 所示,有四个菱形满足题意 菱形 OEP1Q1,此时 OE 为菱形一边 则有 P1E

33、P1Q1OE4,P1FEFP1E44 易知P1NF 为等腰直角三角形,P1NNFP1F42; 设 P1Q1交 x 轴于点 N,则 NQ1P1Q1P1N4(42)2, 又 ONOFNF2,Q1(2,2) ; 菱形 OEP2Q2,此时 OE 为菱形一边 此时 Q2与 Q1关于原点对称,Q2(2,2) ; 菱形 OEQ3P3,此时 OE 为菱形一边 此时 P3与点 F 重合,菱形 OEQ3P3为正方形,Q3(4,4) ; 菱形 OP4EQ4,此时 OE 为菱形对角线 由菱形性质可知,P4Q4为 OE 的垂直平分线, 由 OE4,得 P4纵坐标为 2,代入直线解析式 yx+4 得横坐标为 2,则 P4

34、(2,2) , 由菱形性质可知,P4、Q4关于 OE 或 y 轴对称,Q4(2,2) 综上所述,存在点 Q,使以 O、E、P、Q 为顶点的四边形是菱形; 点 Q 的坐标为:Q1(2,2) ,Q2(2,2) ,Q3(4,4) ,Q4(2,2) 11 【解答】解: (1)DC 是 AB 垂直平分线,OA 垂直 AB, G 点为 OB 的中点, OB, G(,0) (2)过点 C 作 CHx 轴于点 H, 在 RtABO 中,ABO30,OB, cos30, 即 AB4, 又CD 垂直平分 AB, BC2,在 RtCBH 中,CHBC1,BH, OH, C(,1) , DGO60, OGOB, OD

35、tan604, D(0,4) , 设直线 CD 的解析式为:ykx+b, 则, 解得: yx+4; (3)存在点 Q、P,使得以 O、D、P、Q 为顶点的四边形是菱形 如图,当 ODDQQPOP4 时,四边形 DOPQ 为菱形, 设 QP 交 x 轴于点 E,在 RtOEP 中,OP4,OPE30, OE2,PE2, Q(2,42) 如图,当 ODDQQPOP4 时,四边形 DOPQ 为菱形, 延长 QP 交 x 轴于点 F,在 RtPOF 中,OP4,FPO30, OF2,PF2, QF4+2 Q(2,4+2) 如图,当 PDDQQOOP时,四边形 DOPQ 为菱形,在 RtDQM 中,MD

36、Q30, MQDQ Q(,2) 如图,当 ODOQQPDP4 时,四边形 DOQP 为菱形, 设 PQ 交 x 轴于点 N,此时NOQODQ30, 在 RtONQ 中,NQOQ2, ON2, Q(2,2) ; 综上所述,满足条件的点 Q 共有四点: (2,42) , (2,4+2) , (,2) , (2,2) 12 【解答】解: (1)由已知得 A 点坐标(4,0) ,B 点坐标(0,4) , OBOA, BAO60, ABC60, ABC 是等边三角形, OCOA4, C 点坐标(4,0) , 设直线 BC 解析式为 ykx+b, , , 直线 BC 的解析式为 y; 2)当 P 点在 A

37、O 之间运动时,作 QHx 轴 , , QHt SAPQAP QHttt 2(0t4) , 同理可得 SAPQt(8) (4t8) ; (3)存在 SAPQt(8) (t4) 2+8 , 当 t4 时,APQ 的面积取得最大值, AO4,BC8,所以此时 Q 点和 B 点重合, 当 AQ 是菱形的边时,如图所示,M1,M2和 M3所对应的菱形, 在菱形 AM1N1Q 中,N1OAO4,所以 N 点的坐标为(4,0) , 在菱形 AQM2N2中,AN2AQ8,所以 N2点的坐标为(4,8) , 在菱形 AQM3N3中,AN3AB8,所以 N3点的坐标为(4,8) , 当 AQ 为菱形的对角线时,

38、如图所示的菱形 AM4QN4, 设菱形的边长为 x,则在 RtAM4O 中,AM4 2AO2+M 4O 2,即 x242+(4 x) 2,解得 x , 所以 N4(4,) 综上可得,平面内满足条件的 N 点的坐标为(4,0)或(4,8)或(4,8)或(4,) 13 【解答】解: (1)解方程 x 24x+30 得 x 11,x23 依题意得点 B 的坐标是(1,0) ,C(3,0) (2)设 CE 的直线解析式为 ykx+b,把点 C,M 的坐标代入可得 得出 CE 的直线解析式为 yx3, 又因为直线 CEAC,故直线 AC 的解析式为 yx+3 (3)存在 Q1(3,3) ;Q2() ;Q

39、3() ;Q4(,) 14 【解答】解: (1)对于直线 yx+6,令 x0,得到 y6,可得 A(0,6) , 令 y0,得到 x8,可得 D(8,0) , ACAO6,OD8,AD10, CDADAC4,设 BCOBx,则 BD8x, 在 RtBCD 中,BC 2+CD2BD2, x 2+42(8x)2, x3, B(3,0) (2)设直线 AB 的解析式为 ykx+6, B(3,0) , 3k+60, k2, 直线 AB 的解析式为 y2x+6, 作 GMx 轴于 M,FNx 轴于 N, DFG 是等腰直角三角形, DGFD,12,DMGFND90, DMGFND(AAS) , GMDN

40、,DMFN,设 GMDNm,DMFNn, G、F 在直线 AB 上, 则:m2(8n)+6,n2(8m)+6, 解得:m2,n6 F(6,6) (3)当点 E 在 y 轴左侧时, 如图,设 Q(a,a+6) , PQx 轴,且点 P 在直线 y2x+6 上, P(a,a+6) , PQa,作 QHx 轴于 H DHa8,QHa6, , 由勾股定理可知:QH:DH:DQ3:4:5, QHDQa, aa6, a16, Q(16,6) ,P(6,6) , EDPQ,EDPQ,D(8,0) , E(2,0) 当点 E 在 y 轴右侧时, 同理可得:点 E(3.4,0) (舍去) ; 故点 E 的坐标为(2,0)