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2021版中考压轴题专题突破6:一次函数与面积问题(含解析)

1、一次函数压轴题之面积问题一次函数压轴题之面积问题 1如图,直线 y2x+7 与 x 轴、y 轴分别相交于点 C、B,与直线 yx 相交于点 A (1)求 A 点坐标; (2)如果在 y 轴上存在一点 P,使OAP 是以 OA 为底边的等腰三角形,则 P 点坐标是 ; (3)在直线 y2x+7 上是否存在点 Q,使OAQ 的面积等于 6?若存在,请求出 Q 点的坐标,若不存在, 请说明理由 2如图,直线 y2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,P 是直线 AB 上的一个动点,点 C 的坐标为( 4,0) ,PC 交 y 轴点于 D,O 是原点 (1)求AOB 的面积; (2)线段

2、AB 上存在一点 P,使DOCAOB,求此时点 P 的坐标; (3)直线 AB 上存在一点 P,使以 P、C、O 为顶点的三角形面积与AOB 面积相等,求出 P 点的坐标 3如图 1,已知直线 y2x+2 与 y 轴,x 轴分别交于 A,B 两点,以 B 为直角顶点在第二象限作等腰 RtABC (1)求点 C 的坐标,并求出直线 AC 的关系式; (2)如图 2,直线 CB 交 y 轴于 E,在直线 CB 上取一点 D,连接 AD,若 ADAC,求证:BEDE (3)如图 3,在(1)的条件下,直线 AC 交 x 轴于点 M,P(,k)是线段 BC 上一点,在 x 轴上是否存 在一点 N,使B

3、PN 面积等于BCM 面积的一半?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 4已知 y 关于 x 的一次函数 ymx+22m(m0 且 m1) ,其图象交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B (0 为坐 标系的原点) (1)若 OB6,求这时 m 的值; (2)对于 m0 的任意值,该函数图象必过一定点,请求出定点的坐标; (3)是否存在 m 的值,使OAB 的面积为 8?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由 5如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直线 yx+8 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B (1)A 点坐标为 ,B 点坐标为 ; (2)若动点 D 从点

4、B 出发以 4 个单位/秒的速度沿射线 BO 方向运动,过点 D 作 OB 的垂线,动点 E 从点 O 出发以 2 个单位/秒的速度沿射线 OA 方向运动,过点 E 作 OA 的垂线,两条垂线相交于点 P,若 D、E 两点同 时出发,此时,我们发现点 P 在一条直线上运动,请求这条直线的函数解析式 (3)在(2)的基础上若点 P 也在直线 y3x 上,点 Q 在坐标轴上,当ABP 的面积等于BAQ 面积时,请 直接写出点 Q 的坐标 6如图,一次函数 yx+3 的函数图象与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B (1)若点 P(2,m)为第三象限内一个动点,请问OPB 的面积会变化吗?若不变,请求

5、出面积;若变 化,请说明理由 (2)在(1)的条件下,试用含 m 的代数式表示四边形 APOB 的面积;若APB 的面积是 6,求 m 的值 7直线 yx6 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,点 E 从 B 点出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 BO 向 O 点移动(不考虑点 E 与 B、O 两点重合的情况) ,过点 E 作 EFAB,交 x 轴于点 F,将四边形 ABEF 沿 直线 EF 折叠后,与点 A 对应的点记作点 C,与点 B 对应的点记作点 D,得到四边形 CDEF,设点 E 的运动时 间为 t 秒 (1)画出当 t2 时,四边形 ABEF 沿直线 EF 折叠后的四边

6、形 CDEF(不写画法) ; (2)在点 E 运动过程中,CD 交 x 轴于点 G,交 y 轴于点 H,试探究 t 为何值时,CGF 的面积为; (3)设四边形 CDEF 落在第一象限内的图形面积为 S,求 S 关于 t 的函数解析式,并求出 S 的最大值 8如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的边 OA2,OC6,在 OC 上取点 D 将AOD 沿 AD 翻折,使 O 点落在 AB 边上的 E 点处,将一个足够大的直角三角板的顶点 P 从 D 点出发沿线段 DAAB 移动,且一直角 边始终经过点 D,另一直角边所在直线与直线 DE,BC 分别交于点 M,N (1)填空:D 点坐标是(

7、, ) ,E 点坐标是( , ) ; (2)如图 1,当点 P 在线段 DA 上移动时,是否存在这样的点 M,使CMN 为等腰三角形?若存在,请求出 M 点坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 2,当点 P 在线段 AB 上移动时,设 P 点坐标为(x,2) ,记DBN 的面积为 S,请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式 9如图 1,在平面直角坐标系中,已知AOB 是等边三角形,点 A 的坐标是(0,4) ,点 B 在第一象限,点 P 是 x 轴上的一个动点, 连接 AP, 并把AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转, 使边 AO 与 AB 重合, 得到ABD (1)求直线 AB 的解析

8、式; (2)当点 P 运动到点(,0)时,求此时 DP 的长及点 D 的坐标; (3)是否存在点 P,使OPD 的面积等于?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明 理由 10如图,在直角梯形 OABC 中,ABOC,BCx 轴于点 C,A(1,2) ,C(3,0) 动点 P 从 O 点出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动过 P 点作 PQ直线 OA,垂足为 Q设 P 点移动的时间为 t 秒(0 t7) ,OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S (1)写出点 B 的坐标: ; (2)当 t7 时,求直线 PQ 的解析式,并判断点 B 是否在直线 P

9、Q 上; (3)求 S 关于 t 的函数关系式; 11如图,梯形 OABC 中,BCAO,BAO90,B(3,3) ,直线 OC 的解析式为 yx,将OBC 绕点 C 顺时针旋转 60后,O 到 O1,B 到 B1,得O1B1C (1)求证:点 O1在 x 轴上; (2)将点 O1运动到点 M(4,0) ,求B1MC 的度数; (3)在(2)的条件下,将直线 MC 向下平移 m 个单位长度,设直线 MC 与线段 AB 交于点 P,与线段 OC 的交 于点 Q,四边形 OAPQ 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系式,并求出 m 的取值范围 12如图 a,矩形 ABCD 的两条边在坐标轴上,

10、点 D 与原点重合,对角线 BD 所在直线函数式为,AD 8,矩形 ABCD 沿 DB 方向以每秒一个单位长度运动,同时点 P 从点 A 出发做匀速运动,沿矩形 ABCD 的边 经 B 到达终点 C,用了 14 秒 (1)求矩形 ABCD 周长; (2)如图 b,当 P 到达 B 时,求点 P 坐标; (3)当点 P 在运动时,过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 E、F, 如图 c, 当 P 在 BC 上运动时, 矩形 PEOF 的边能否与矩形 ABCD 的边对应成比例?若能, 求出时间 t 的值, 若不能,说明理由; 如图 d,当 P 在 AB 上运动时,矩形 PEOF 的面积能

11、否等于 256?若能,求出时间 t 的值,若不能,说明理 由; 13如图,等腰 RtABC 中,ACB90,在直角坐标系中如图摆放,点 A 的坐标为(0,2) ,点 B 的坐 标为(6,0) (1)直接写出线段 AB 的中点 P 的坐标为 ; (2)求直线 OC 的解析式; (3)动点 M、N 分别从 O 点出发,点 M 沿射线 OC 以每秒个单位长度的速度运动,点 N 沿线段 OB 以每秒 1 个长度的速度向终点 B 运动,当 N 点运动到 B 点时,M、N 同时停止运动,设PMN 的面积为 S(S0)运 动时间为 t 秒,求 S 与 t 的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取值范围 1

12、【解答】解: (1)解方程组:得: A 点坐标是(2,3) ; (2)设 P 点坐标是(0,y) , OAP 是以 OA 为底边的等腰三角形, OPPA, 2 2+(3y)2y2, 解得 y, P 点坐标是(0,) , 故答案为(0,) ; (3)存在; 由直线 y2x+7 可知 B(0,7) ,C(,0) , SAOC36,SAOB7276, Q 点有两个位置:Q 在线段 AB 上和 AC 的延长线上,设点 Q 的坐标是(x,y) , 当 Q 点在线段 AB 上:作 QDy 轴于点 D,如图,则 QDx, SOBQSOABSOAQ761, OB QD1,即7x1, x, 把 x代入 y2x+

13、7,得 y, Q 的坐标是(,) , 当 Q 点在 AC 的延长线上时,作 QDx 轴于点 D,如图则 QDy, SOCQSOAQSOAC6, OC QD,即(y), y, 把 y代入 y2x+7,解得 x, Q 的坐标是(,) , 综上所述:点 Q 是坐标是(,)或(,) 2 【解答】解: (1)如图 1,直线 y2x+4 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点, A(2,0) ,B(0,4) , OA2,OB4 SAOBOA OB244,即AOB 的面积是 4; (2)DOCAOB, ODOA2, D(0,2) 故设直线 CD 的解析式为 ykx+2(k0) C(4,0) 则 04k+

14、2, 解得,k, 直线 CD 的解析式为 yx+2 又点 P 是直线 CD 与直线 AB 的交点, , 解得, 点 P 的坐标是(,) (3)如图 2,设 P(x,y) , 又点 C 的坐标为(4,0) , OC4, SCOPSAOB, OC|y|4,即|y|2, 解得,y2, P 是直线 AB 上一点, 点 P 的坐标为: (1,2)或(3,2) 3 【解答】解: (1)令 x0,则 y2,令 y0,则 x2,则点 A、B 的坐标分别为: (0,2) 、 (1,0) , 过点 C 作 CHx 轴于点 H, HCB+CBH90,CBH+ABO90,ABOBCH, CHBBOA90,BCBA,C

15、HBBOA(AAS) , BHOA2,CHOB,则点 C(3,1) , 将点 A、C 的坐标代入一次函数表达式:ymx+b 得:,解得:, 故直线 AC 的表达式为:yx+2; (2)同理可得直线 CD 的表达式为:yx,则点 E(0,) , 直线 AD 的表达式为:y3x+2, 联立并解得:x1,即点 D(1,1) , 点 B、E、D 的坐标分别为(1,0) 、 (0,) 、 (1,1) , 故点 E 是 BD 的中点,即 BEDE; (3)将点 BC 的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线 BC 的表达式为:yx, 将点 P 坐标代入直线 BC 的表达式得:k, 直线 AC 的表达式为:y

16、x+2,则点 M(6,0) , SBMCMByC51, SBPNSBCMNBkNB, 解得:NB, 故点 N(,0)或(,0) 4 【解答】解: (1)OB6,即 22m6, 解得:m2 或 4; (2)ymx+22mm(x2)+2, 当 x2 时,y2, 故定点坐标为(2,2) ; (3)存在,理由: OA|,OB|22m|, SOABOAOB|22m|8, 解得:m1 或 3+2或 32 5 【解答】解: (1)yx+8,令 x0,则 y8,令 y0,则 x6, 故答案为: (6,0) 、 (0,8) ; (2)由题意得:点 P(2t,84t) , 则 x2t,y84t, 故点 P 所在的

17、直线表达式为:y82x; (3)当点 Q 在 AB 下方时, 将 y3x 与 y82x 联立并解得:x,y,即点 P(,) , ABP 的面积等于BAQ 面积时,点 Q 在过点 P 且平行于 AB 的直线上, 设过点 P 且平行于 AB 的直线表达式为:yx+b, 将点 P 的坐标代入上式得:+b,解得:b, 故函数的表达式为:yx+, 当 x0 时,y,当 y0 时,x, 即点 Q(0,)或(,0) 当点 Q 在 AB 上方时, 同理可得:点 Q 的坐标为: (,0)或(0,) ; 综上点 Q 的坐标为: (0,)或(,0)或(,0)或(0,) 6 【解答】解: (1)不变,理由: 一次函数

18、 yx+3 的函数图象与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B, 则点 A、B 的坐标分别为(3,0) 、 (0,3) , SOPBOBxP323; (2)S四边形 APOBSABO+SAOPAOBO+AO(m)3(3m)m+, SABPS四边形 APOBSBOPm+36, 解得:m3 7【解答】解: (1)如图 1: (2)如图 2: , 由折叠的性质,得CACOA45,AFBECFt, SCFGCF FGt 2 , 解得 t,t(不符合题意,舍) ; (3)分两种情况讨论: 当 0t3 时,如图 2: 四边形 DCFE 落在第一象限内的图形是DFG, St 2, St 2,在 t0 时,S 随

19、 t 增大而增大, t3 时,S最大; 当 3t6 时,如图 3: , 四边形 DCFE 落在第一象限内的图形是四边形 CHOF, S四边形 CHOFSCGFSHGO, St 2 2(2t6) 2 t 2+12t18 (t4) 2+6, a0, S 有最大值, 当 t4 时,S最大6, 综上所述,当 t4 时,S 最大值为 6 8 【解答】解: (1)将AOD 沿 AD 翻折,使 O 点落在 AB 边上的 E 点处, OADEAD45,DEOD, OAOD, OA2, OD2, D 点坐标是(2,0) ,DEOD2, E 点坐标是(2,2) , 故答案为: (2,0) , (2,2) ; (2

20、)存在点 M 使CMN 为等腰三角形,理由如下: 由翻折可知四边形 AODE 为正方形, 过 M 作 MHBC 于 H, PDMPMD45,则NMHMNH45, NHMH4,MN4, 直线 OE 的解析式为:yx,依题意得 MNOE, 设 MN 的解析式为 yx+b, 而 DE 的解析式为 x2,BC 的解析式为 x6, M(2,2+b) ,N(6,6+b) , CM,CN6+b,MN4, 分三种情况讨论: 当 CMCN 时, 4 2+(2+b)2(6+b)2, 解得:b2,此时 M(2,0) ; 当 CMMN 时, 4 2+(2+b)2(4 ) 2, 解得:b12,b26(不合题意舍去) ,

21、 此时 M(2,4) ; 当 CNMN 时, 6+b4, 解得:b46,此时 M(2,44) ; 综上所述,存在点 M 使CMN 为等腰三角形,M 点的坐标为: (2,0) , (2,4) , (2,44) ; (3)根据题意得: 当 0 x2 时, BPN+DPE90, BPN+BNP90, DPEBNP, 又PEDNBP90, DEPPBN, , , BN, SDBN BN BE 4 整理得:Sx 28x+12; 当 2x6 时, PBNDEP, , , BN, SDBN BN BE, 4, 整理得:Sx 2+8x12; 则 S 与 x 之间的函数关系式:, 当 0 x2 时,Sx 28x

22、+12(x4)24, 当 x4 时,S 随 x 的增大而减小,即 0 x2, 当 2x6 时,Sx 2+8x12(x4)2+4, 当 x4 时,S 随 x 的增大而减小,即 4x6, 综上所述:S 随 x 增大而减小时,0 x2 或 4x6 9 【解答】解: (1)如图 1,过点 B 作 BEy 轴于点 E,作 BFx 轴于点 F由已知得: BFOE2,OF, 点 B 的坐标是(,2) 设直线 AB 的解析式是 ykx+b(k0) ,则有 解得 直线 AB 的解析式是 yx+4; (2)如图 2,ABD 由AOP 旋转得到, ABDAOP, APAD,DABPAO, DAPBAO60, ADP

23、 是等边三角形, DPAP 如图 2,过点 D 作 DHx 轴于点 H,延长 EB 交 DH 于点 G,则 BGDH 方法(一) 在 RtBDG 中,BGD90,DBG60 BGBD cos60 DGBD sin60 OHEG,DH 点 D 的坐标为(,) 方法(二) 易得AEBBGD90,ABEBDG, ABEBDG, ;而 AE2,BDOP,BE2,AB4, 则有,解得 BG,DG; OH,DH; 点 D 的坐标为(,) (3)假设存在点 P,在它的运动过程中,使OPD 的面积等于 设点 P 为(t,0) ,下面分三种情况讨论: 当 t0 时,如图,BDOPt,DGt, DH2+t OPD

24、 的面积等于, , 解得,(舍去) 点 P1的坐标为(,0) 当 D 在 x 轴上方时,根据勾股定理求出 BDOP, 当t0 时,如图,BDOPt,DGt, GHBF2(t)2+t OPD 的面积等于, , 解得, 点 P2的坐标为(,0) ,点 P3的坐标为(,0) 当 t时,如图 3,BDOPt,DGt, DHt2 OPD 的面积等于, (t)(2+t), 解得(舍去) , 点 P4的坐标为(,0) , 综上所述,点 P 的坐标分别为 P1(,0) 、P2(,0) 、P3(,0) 、P4(,0) 10 【解答】解: (1)A(1,2) ,C(3,0) ,ABOC,BCx 轴于点 C, 点

25、B 的坐标为: (3,2) ; 故答案为: (3,2) (2)设直线 OA 的坐标为:ykx, A(1,2) , k2, 即直线 OA 的解析式为:y2x, PQ直线 OA, 设直线 PQ 的解析式为:yx+b, 当 t7 时,点 P 的坐标为(7,0) , 7+b0, 解得:b, 直线 PQ 的解析式为:yx+; 当 x3 时,y2, 点 B 在直线 PQ 上; (3)直线 OA 的解析式为:y2x, tanPOQ2,即 sinPOQ,cosPOQ, tanOPQ, OPt, OQt,PQt, 当 t3 时,点 P 与点 C 重合, 当 Q 与 A 重合时,即 OQOA, t, 解得:t5;

26、 当 0t3,SSPQOOQ PQttt 2; 当 3t5,如图 2, PCt3, CDPC tanOPQPC, SSPOQSPCDt 2 (t3); 当 3t5,; 当 5t7,如图 3, CD, BD2, ABx 轴, BEDOPQ, tanBED, BE2BD7t, SS梯形 OABCSBED(2+3)2(7t), 当 5t7,; (4)存在 理由:SABCAB BC222, 若使得 PQ 分ABC 的面积为 1:3, 当 3t5 时,SDEFSABC, 设 AC 交 PQ 于点 E,过点 E 作 EFDF, CEFCAB,EDFPDC, EF:ABCF:CB,EF:CPDF:CD, A

27、BBC,CP2CD, EFCF,EF2DF, CF2DF, DFCD, EF2DFt3, (t3), 解得:t3+; 当 5t7 时,SBDESABC, 即(7t), 解得:t7; 综上可得:或 11 【解答】 (1)证明:如图 1,BCAO,B(3,3) , 点 C 的纵坐标是 3, 又直线 OC 的解析式为 yx, 3x, 解得,x,则 C(,3) tanCOA, COA60 根据旋转的性质知,OCO160,COCO1 COO1为等边三角形, COO160 COACOO1 点 O1在 x 轴上 (2)解:如图 2,COO160,BCAO, BCO120, B1CO1120 O1CO60,

28、B1CO180, B1、C、O 三点共线 C(,3) , COCO1O1O2, MO4, MO1O1OO1C, 可证得MCO90 BCCO2,BCB1C, B1CCO, MB1MO, B1MCBMO30; (3)解:如图 3,设 MC 与 AB 边交于点 D,过点 C 作 CEAB 交 PQ 于点 E,过点 Q 作 QNOA 于点 N AD1,PDm, AP1m 在CEQ 中,CEm,ECQ30 CQm, OQ2m QN3m,ONm AN2+m 又S四边形 OAPQS梯形 PAQN+SQNO S+(m) (3m) Sm 22 m+(0m1) 12 【解答】解: (1)AD8,B 点在 yx 上

29、, y86, B 点坐标为(8,6) , AB6, 矩形的周长2(AD+AB)2(8+6)28; (2)当 P 到达 B 时,AB6, 共运动 6 秒, OD6, 设点 D 的横坐标是 a, 则纵坐标是a, a 2+( a) 262, 解得 a, , +8,+6, 点 P 的坐标是 P(,) ; (3)当 P 在 BC 上运动时,即 6t14, 点 D 的坐标是(t,t) , 14t+t14, 点 P 的坐标是(14t,t+6) , 假设矩形 PEOF 的边能与矩形 ABCD 的边对应成比例, 则若,则,解得 t6, 当 t6 时,点 P 与点 B 重合,此时矩形 PEOF 与矩形 BADC

30、是位似形 若,则 , 解得 t, 因为14,此时点 P 不在 BC 边上,舍去 综上,当 t6 时,点 P 到达点 B,矩形 PEOF 与矩形 BADC 是相似图形,对应边成比例; 当 P 在 AB 上运动时,即 0t6, 点 D 的坐标是(t,t) , t+tt, 点 P 的坐标为(8+t,t) 矩形 PEOF 的面积(8+t) (t)256, 整理得:t 2+10t2000, 解得 t110,t220, t110,t220 都不合题意,故不能 故答案为: (1)矩形 ABCD 的周长为 28; (2)P(,) ; (3)t6;故不能 13 【解答】解: (1)P(3,1) ; (2)过点

31、C 作 CEOB,CDOA ADCCEBDCE90ACD+ACE90 在等腰 RtABC 中 ACBC,ACB90 BCE+ACE90(3 分) ACDBCE ACDBCE CECD 点 C 在第一象限的角平分线上(4 分) 直线 OC 的解析式为 yx; (3)当点 M 在点 P 左侧时 过点 P 作 PFOB 由题意可知 OMtONt(5 分) 点 M 在函数 yx 上 M(t,t) N(t,0) MNx 轴 MNt 点 P(3,1) (6 分) PF1,OF3 NFOFON3t; SS梯形 PMNFSPFN; 当点 M 在点 P 右侧时 过点 P 作 PGOB 由可知(8 分) MNx 轴 MNt 点 P(3,1) (9 分) PG1,OG3 NGONOGt3 SS梯形 PMNGSPGN(10 分) S (3t6) (11 分) 综上,S