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2021版中考压轴题专题突破3:一次函数与直角三角形(含解析)

1、一次函数压轴题之直角三角形一次函数压轴题之直角三角形 1如图,直角坐标系中,直线 ykx+b 分别与 x 轴、y 轴交于点 A(3,0) ,点 B(0,4) ,过 D(0,8) 作平行 x 轴的直线 CD,交 AB 于点 C,点 E(0,m)在线段 OD 上,延长 CE 交 x 轴于点 F,点 G 在 x 轴正半 轴上,且 AGAF (1)求直线 AB 的函数表达式 (2)当点 E 恰好是 OD 中点时,求ACG 的面积 (3)是否存在 m,使得FCG 是直角三角形?若存在,直接写出 m 的值;若不存在,请说明理由 2如图,已知点 A,B 分别在 x 轴和 y 轴上,且,点 C 的坐标是,AB

2、 与 OC 相交于点 G 点 P 从 O 出发以每秒 1 个单位的速度从 O 运动到 C, 过 P 作直线 EFAB 分别交线段 OA, OB (或 线段 CA,CB)于 E,F解答下列问题: (1)直接写出点 G 的坐标和直线 AB 的解析式 (2)若点 P 运动的时间为 t,直线 EF 在四边形 OACB 内扫过的面积为 s,请求出 s 与 t 的函数关系式;并 求出当 t 为何值时,直线 EF 平分四边形 OACB 的面积 (3)设线段 OC 的中点为 Q,P 运动的时间为 t,求当 t 为何值时,EFQ 为直角三角形 3如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,平行四边形的顶点 C 的

3、坐标为(8,8) ,顶点 A 的坐标为( 6,0) ,边 AB 在 x 轴上,点 E 为线段 AD 的中点,点 F 在线段 DC 上,且横坐标为 3,直线 EF 与 y 轴交于点 G,有一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度, 从点 A 沿折线 ABCF 运动, 当点 P 到达点 F 时停止运动, 设点 P 运动时间为 t 秒 (1)求直线 EF 的表达式及点 G 的坐标; (2)点 P 在运动的过程中,设EFP 的面积为 S(P 不与 F 重合) ,试求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动的过程中,是否存在点 P,使得PGF 为直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点 P 的坐

4、标;若不存在,请说明理由 4某一次函数的图象与 x 轴相交于点 A(8,0) ,与 y 轴相交于点 B(0,6) ,动点 P、Q 分别同时从 A、B 出发,其中点 P 在线段 AB 上点向 B 移动,速度是 2 单位/秒点 Q 在线段 BO 上,以 1 个单位/秒的速度向 点 O 移动,设移动的时间为 t(秒) (1)求这个一次函数的解析式; (2)四边形 OAPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式; (3)当 t 为何值时,BPQ 是等腰三角形? (4)若BPQ 是直角三角形,请直接写出点 P 的坐标 5如图,矩形 OABC 在平面直角坐标系中,若 OA、OC 的长满足 (1)

5、求 B、C 两点的坐标; (2)把ABC 沿 AC 对折,点 B 落在点 B处,线段 AB与 x 轴交于点 D,求直线 BB的解析式; (3)在直线 BB上是否存在点 P,使ADP 为直角三角形?若存在,请直接写出 P 点坐标;若不存在,请 说明理由 6如图,在平面直角坐标系,直线 y(x6)与 x 轴、y 轴分别相交于 A、D 两点,点 B 在 y 轴上, 现将AOB 沿 AB 翻折 180,使点 O 刚好落在直线 AD 的点 C 处 (1)求 BD 的长; (2)设点 N 是线段 AD 上的一个动点(与点 A、D 不重合) ,SNBDS1,SNOAS2,当点 N 运动到什么位置时, S1

6、S2的值最大,并求出此时点 N 的坐标; (3)在 y 轴上是否存在点 M,使MAC 为直角三角形?若存在,请写出所有符合条件的点 M 的坐标,并选 择一个写出其求解过程;若不存在,简述理由 7如图,直线和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C,点 A 的坐标是(2,0) (1)试说明ABC 是等腰三角形; (2)动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动,同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动,运动的速度均为 每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动设 M 运动 t 秒时,MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式; 设点 M 在线段 OB 上

7、运动时,是否存在 S4 的情形?若存在,求出对应的 t 值;若不存在请说明理由; 在运动过程中,当MON 为直角三角形时,求 t 的值 8如图所示平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为(4,8) ,若一次函数 ykx+2 的图象平分矩 形 OABC 的面积 (1)求一次函数的解析式 (2)求(1)中一次函数与矩形的交点坐标 (3)设点 D(1,0) ,在一次函数图象上求一点 P,使ADP 为直角三角形,求点 P 坐标 9在平面直角坐标系中,RtACB 的 BC 边在 x 轴上,AC,BC 的长是方程 x 214x+480 的两根,且 AC BC,ABBO,D 在 x 轴上,AD

8、CCAO (1)求点 A、B、C、D 的坐标; (2)求直线 AD 的解析式; (3)在 AD 上是否存在点 M,使ABM 是直角三角形?若存在,直接写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理 由 1 【解答】解: (1)将点 A、B 的坐标代入函数表达式:ykx+b 并解得: k,b4, 故直线的表达式为:; (2)当 y8 时, 解得 x9, 点 C 的坐标为(9,8) , CD9, E 是 OD 中点, DEOE, 则EDCEOF(AAS) , OFCD9, AGAFOF+OA12, 过点 C 作 CHx 轴于点 H, ; (3)当FCG90时, AGAF,则 AC 是中线,则 AFAC10

9、, 故点 F(7,0) , 由点 C、F 的坐标可得:直线 CF 的表达式为:y(x+7) , 故点 E(0,) ,则 m; 当CGF90时,则点 G(9,0) , 则 AFAG6, 故点 F(3,0) , 同理直线 CF 的表达式为:y(x+3) , 故 m2; 综上,m或 2 2 【解答】解: (1)G 点的坐标是, ,得出 A,B 两点坐标, 分别为: (3,0) , (0,3) , 代入 ykx+b, , 解得:, 即可得出直线 AB 的解析式为:yx+3; (2)C 的坐标是, OC 是AOB 的角平分线., 又, AB6, BAOABOBOGAOG45, AGO90,即 ABOC,

10、 OG3, 当 0t3 时,OPt, EFAB, EFOC, EF2OP2t, SSOEF EF OP 2t tt 2, 当 3t7 时,OPt,CP7t,CG7OG734, EFAB, CEFCBA, , 即, , SS四边形 OACBSCEF AB COEF CP, 67(7t) (7t) , , s 与 t 的函数关系式是: , 当直线 EF 平分四边形 OABC 的面积时有:, 整理得:t 214t+350, 解得:(不符合题意舍去) ; 当时,直线 EF 平分四边形 OABC 的面积 (3)如图 1,当 P 在线段 OQ 上,且EQF90时, EFAB, OEFOABOBAOFE45

11、, OEOF, 在OEQ 和OFQ 中 , OEQOFQ(SAS) , FQOEQO45, OFQFOEFQE90, 四边形 OEQF 是正方形, , 即 t时,EFQ 为直角三角形, 如图 2,当 P 在线段 CQ 上,且EQF90时, 同理可证:CQFCQE, QEF 是等腰直角三角形, , EFAB, CEFCBA, , 即, 解得:t5, 当或 t5 时,EFQ 为直角三角形 3 【解答】解: (1)C(8,8) ,DCx 轴,点 F 的横坐标为 3, ODCD8 点 F 的坐标为(3,8) , A(6,0) , OA6, AD10, 过点 E 作 EHx 轴于点 H, 则AHEAOD

12、 又E 为 AD 的中点, AH3,EH4 OH3 点 E 的坐标为(3,4) , 设过 E、F 的直线为 ykx+b, 直线 EF 为 yx+6, 令 x0,则 y6,即点 G 的坐标为(0,6) (2)延长 HE 交 CD 的延长线于点 M, 则 EMEH4 DF3, SDEF346, 且 S平行四边形 ABCDCD OD8864 当点 P 在 AB 上运动时,如图 3, SS平行四边形 ABCDSDEFSAPES四边形 PBCF APt,EH4, SAPE4t2t, S四边形 PBCF(5+8t)8524t S6462t(524t) , 即:S2t+6 当点 P 在 BC 边上运动时,

13、SS平行四边形 ABCDSDEFSPCFS四边形 ABPE 过点 P 作 PNCD 于点 N CA,sinA, sinC PC18t, PNPC sinC(18t) CF5, SPCF5(18t)362t 过点 B 作 BKAD 于点 K ABCD8, BKAB sinA8 PBt8, S四边形 ABPE(t8+5)t S646(362t)(t) , 即 St+ (8 分) 当点 P 在 CF 上运动时, PCt18, PF5(t18)23t EM4, SPEF4(23t)462t 综上:S (3)存在 P1(,) P2(,) 4 【解答】解: (1)设一次函数的解析式为 ykx+b, 把 A

14、(8,0) ,B(0,6)代入得: , 解得:, 一次函数的解析式为:yx+6, 答:一次函数的解析式为 yx+6 (2)解:OB6,OA8, 根据勾股定理得:AB10, AOB 的面积6824, 过点 Q 作 QDAB 于 D, sinB QDBQt BPQ 的面积(102t)tt 2+4t S24(t 2+4t) t 24t+24, 答:S 与 t 之间的函数关系式是 St 24t+24 (3)解:当 BPBQ 时 t102t,t 当 QBQP 时t+2t10,t 当 PBPQ 时 t(102t) ,t 综上所述当 t或或时,BPQ 是等腰三角形, 答:当 t或或时,BPQ 是等腰三角形

15、(4)解:点 P 的坐标为(,) , (,) , 答:点 P 的坐标为(,) , (,) 5 【解答】解: (1)|OA2|+(OC2) 20 OA2,OC2 B 点坐标为: (2,2) ,C 点坐标为(2,0) (2)ABCABC ABAB2,CBCB2 A(0,2) ,C(2,0) 设 B的坐标为(x,y) ,则 , 解得:B的坐标为(,1) , 由两点式解出 BB的解析式为 yx4 (3)假如存在设 P(a,a4) ,D(,0) ,又 A(0,2) , AD 2( ) 2+22 ,PD 2(a ) 2+( a4) 2,AP2a2+( a42) 24a212 a+36, 当ADP 为直角时

16、,AD 2+PD2AP2,解得 a ,则 P(,1) ; 当APD 为直角时,AP 2+PD2AD2,此时无解; 当PAD 为直角时,AD 2+PA2PD2,解得 a3 ,则 P(3,5) ; 综上可得,P 为(3,5)或(,1) 6 【解答】解: (1)令 y0,得 x6; 令 x0,得 y8 所以 A(6,0) ,D(0,8) 并且有 AD10 将AOB 沿 AB 翻折 180,使点 O 刚好落在直线 AD 的点 C 处, ACAO6,DCADAC1064 DD,DCBO90, DBCDAO DC:DODB:DA, 即 4:8DB:10, DB5 (2)设 N(x,y) s15 xx,s2

17、6 y3y, s1 s2x 3yxy(+8)10 x 2+60 x 当 x3 时最大值为 90 则 y(x6)4, N(3,4) , A(6,0) ,D(0,8) N 是 AD 的中点 (3)MAC 为直角三角形, MCA90或MAC90 若MCA90,则 M 与 B 重合,因为 BD5,所以 M(0,3) ; 若MAC90,则AMDOAD, DM:ADAD:OD, DM:1010:8 DM12.5,OM12.584.5, M(0,4.5) 7 【解答】 (1)证明:yx+4, 当 x0 时,y4; 当 y0 时,x3, B(3,0) ,C(0,4) , A(2,0) , 由勾股定理得:BC5

18、, AB3(2)5, ABBC5, ABC 是等腰三角形; (2)解:C(0,4) ,B(3,0) ,BC5, sinB0.8 过 N 作 NHx 轴于 H 点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动,同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动,运动的速度均为每秒 1 个单位长度, 又ABBC5, 当 t5 秒时,同时到达终点, MON 的面积是 SOMNH, S|t2|0.8t, S|t2|0.4t; 点 M 在线段 OB 上运动时,存在 S4 的情形理由如下: C(0,4) ,B(3,0) ,BA5, sinB0.8, 根据题意得:S4, |t2|0.4t4, 点 M 在线

19、段 OB 上运动,OA2, t20, 即(t2)0.4t4, 即 t 22t100, 解得:t1+,t1(舍去) , 点 M 在线段 OB 上运动时,存在 S4 的情形,此时对应的 t 值是(1+)秒 C(0,4)B(3,0)BC5, cosB0.6 分为三种情况: I、当NOM90时,N 在 y 轴上,即此时 t5; II、当NMO90时,M、N 的横坐标相等,即 t230.6t,解得:t3.125, III、MNO 不可能是 90, 即在运动过程中,当MON 为直角三角形时,t 的值是 5 秒或 3.125 秒 8 【解答】解: (1)点 B 的坐标为(4,8) , 矩形 OABC 的中心

20、坐标为(2,4) , 一次函数 ykx+2 的图象平分矩形 OABC 的面积, 2k+24, 解得 k1, 所以,一次函数的解析式为 yx+2; (2)x0 时,y2, x4 时,y4+26, 所以,一次函数与矩形的交点坐标为(0,2) , (4,6) ; (3)若点 D 是直角顶点,则 x1 时,y1+21, 点 P 的坐标为(1,1) , 若点 A 是直角顶点,则 x4,y4+26, 点 P 的坐标为(4,6) , 若 P 是直角顶点,设点 P(a,a+2) , 过点 P 作 PEx 轴于 E,则APEPDE, 所以, 所以, 整理得,2a 2+a0, 解得 a10,a2, 当 a0 时,

21、a+22, 当 a时,a+2, 所以,点 P 的坐标为(0,2)或(,) ; 综上所述,ADP 为直角三角形时,点 P 的坐标为(1,1)或(4,6)或(0,2)或(,) 9 【解答】解: (1)x 214x+480, 因式分解得, (x6) (x8)0, x60,x80, 解得 x16,x28, ACBC, AC8,BC6, 由勾股定理得,AB10, ABBO, OCOBBC1064, 点 A(4,8) ,B(10,0) ,C(4,0) , ADCCAO, CDACtanADC816, ODCD+OC16+420, 点 D(20,0) ; (2)设直线 AD 的解析式为 ykx+b, 则, 解得, 直线 AD 的解析式为 yx+10; (3)AMB90时,BDCDBC16610, ABBD, 点 M 是 AD 的中点, 12,4, 点 M1(12,4) ; ABM90时,ABBD, ADCBAD, BMAB tanBAD105, 过点 M 作 ME轴于 E, MBE+ABC90,ABC+BAC90, MBEBAC, MEBM sinMBE53, BEBM cosMBE54, OEOB+BE10+414, 点 M2(14,3) , 综上所述,点 M(12,4)或 M(14,3)时,ABM 是直角三角形