1、专题专题 27 27 平行线侧平行线侧 M M 型型 一、单选题一、单选题 1如图，已知直线 ab，1=40 ，2=60 则3等于（ ） A100 B60 C40 D20 【答案】A 【详解】 解：过点 C作 CDa， ab， CDab， ACD=1=40 ，BCD=2=60 ， 3=ACD+BCD=100 故选 A 【点睛】 本题考查平行线的判定与性质 2如图，BCD70 ，ABDE，则与满足（ ） A+110 B+70 C70 D+90 【答案】B 【分析】 过点 C作 CFAB，根据平行线的性质得到BCF，DCF，由此即可解答 【详解】 如图，过点 C 作 CFAB， ABDE， ABC
2、FDE， BCF，DCF， BCD70 ， BCD =BCF+DCF+70 ， +70 故选 B 【点睛】 本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键. 3如图，已知/1 302 35AB DE，则BCE的度数为（ ） A70 B65 C35 D55 【答案】B 【分析】 过点 C作 CF平行于 AB，根据平行线的性质及题意可直接求出 【详解】 过点 C作CF/AB， /1 302 35AB DE， CF/AB/DE 130 ,235FCE BCF= 1265BCEBCFECF 故选 B 【点睛】 本题主要考查平行线的性质定理，熟练掌握平行线的性质
3、是解题的关键 4如图所示，如果 AB CD ，则、之间的关系为（ ） A+180 B+180 C+180 D180 【答案】C 【分析】 过 E 作 EFAB，由平行线的质可得 EFCD，+AEF=180 ，FED=，由=AEF+FED 即可 得、之间的关系 【详解】 解：过点 E作 EFAB， +AEF=180 （两直线平行，同旁内角互补） ， ABCD， EFCD， FED=EDC（两直线平行，内错角相等） ， =AEF+FED， 又=EDC， +-=180， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键 5如图，已知/a b，将直角三角形如图放置，若2=
4、40 ，则1为（ ） A120 B130 C140 D150 【答案】B 【分析】 过 A 作 ABa，即可得到 abAB，依据平行线的性质，即可得到5 的度数，进而得出1的度数 【详解】 解：标注字母，如图所示，过 A作 ABa， ab， abAB， 2=3=40 ，4=5， 又CAD=90 ， 4=50 ， 5=50 ， 1=180 -50 =130 ， 故选：B 【点睛】 本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键 6如图,AB/EF,D=90 ,则,的大小关系是（ ） A B90 C 90 D90 【答案】D 【分析】 通过作辅助线,过点 C和点 D作 CG/A
5、B,DH/AB,可得 CG/DH/AB,根据 AB/EF,可得 AB/EF/CG/ DH,再根据平行线的性质即可得 +-=90,进而可得结论 【详解】 解：如图,过点 C和点 D作 CG/AB,DH/AB, CG/AB,DH/AB, CG/DH/AB, AB/EF, AB/EF/CG/DH, CG/AB, BCG=, GCD=BCD-BCG=-, CG/DH, CDH=GCD=-, HD/EF, HDE=, EDC=HDE+CDH=90 , +-=90, =+90- 故选：D 【点睛】 本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质 7如图，直线 a/b，一块含 60 角的直角三角板
6、 ABC（A=60 ）按如图所示放置若1=43 ，则2的 度数为（ ） A101 B103 C105 D107 【答案】B 【分析】 如图，首先证明AMO=2； 然后运用对顶角的性质求出ANM=43 ，借助三角形外角的性质求出AMO 即可解决问题 【详解】 解：如图，直线 ab， AMO=2； ANM=1，1=43 ， ANM=43 ， AMO=A+ANM=60 +43 =103 ， 2=AMO=103 故选：B 【点睛】 该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握 平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础 二、解答题二、解
7、答题 8已知：如图 1，12180 ，AEFHLN （1）判断图中平行的直线，并给予证明； （2）如图 2，2 PMQQMB，2 PNQQND，请判断P与Q的数量关系，并证明 【答案】 （1）ABCD，EFHL，证明见解析； （2）P=3Q，证明解析 【分析】 （1）求出AMN+2=180 ，根据平行线的判定推出 ABCD即可；延长 EF交 CD 于 F1，根据平行线性 质和已知求出AEF=EF1L，根据平行线的判定推出即可； （2） 作 QRAB， PLAB， 根据平行线的性质得出RQM=QMB， RQCD， 推出MQN=QMB+QND， 同理MRN=PMB+PND，代入求出即可 【详解】
8、解： （1）ABCD，EFHL， 证明如下：1=AMN， 1+2=180 ， AMN+2=180 ， ABCD； 延长 EF交 CD于 F1， ABCD， AEF=EF1L， AEF=HLN， EF1L=HLN， EFHL； （2）P=3Q， 证明如下：由（1）得 ABCD，作 QRAB，PLAB， RQM=QMB，RQCD， RQN=QND， MQN=QMB+QND， ABCD，PLAB， ABCDPL， MPL=PMB，NPL=PND， MPN=PMB+PND， PMQ=2QMB，PNQ=2QND， PMB=3QMB，PND=3QND， MPN=3MQN， 即P=3Q； 【点睛】 本题考查
9、平行线的性质和判定，平行线公理的推论能正确作出辅助线是解决本题的关键 9请你探究：如图（1） ，木杆EB与FC平行，木杆的两端B、C用一橡皮筋连接 （1）在图（1）中，B与C有何关系？ （2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则A、B、C之间有何关系？ （3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则A、B、C之间有何关系？ （4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则A、B、C之间有何关系？ （5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则A、B、C之间有何关系？ （注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由） 【答案】 （1） B+C=180 ； （2） B+C=A； （3） A +B+C=360 ； （4） A+B=
10、C； （5） A+C =B 【分析】 （1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答； （2）过点 A作 ADBE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论； （3）同样过点 A作 ADBE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论； （4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论； （5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论 【详解】 （1）如图（1）EB与FC平行，B+C=180 ； （2）如图（2） ，过点 A作 ADBE，则 ADBECF（平行于同一条直线的两条直线平行） ， B=BAD，C=DAC， B+C=BAD+DAC=BAC
11、， 即B+C=A； （3）如图（3） ，过点 A作 ADBE，则 ADBECF， B+BAD=180 ，DAC+C=180 ， B+BAD+DAC+C=360 ， 即B+A+C=360 ； （4）如图（4） ，设 BE与 AC 相交与 D， EB与FC平行， C=ADE， ADE=A+B， A+B=C； （5）如图（5） ，设 CF与 AB 相交与 D， EB与FC平行， B=ADF， ADF=A+C， A+C=B 【点睛】 本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键 10在数学课本中，有这样一道题：已知：如图 1，BCBEC 求证：/ABCD请补
12、充下面证 明过程： 证明：过点E，作/EF AB，如图 2 B _（_） BCBEC ，BEF_=BEC（已知） BCBEFFEC （_） _=_ /EF_（_） /EF AB /AB CD 【答案】BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行 【分析】 根据平行线的判定与性质即可完成证明过程 【详解】 证明：过点E，作/EF AB，如图 2， BBEF （两直线平行 内错角相等） ， BCBEC ，BEFFECBEC （已知） ， BCBEFFEC （等量代换） ， CFEC ， /EF DC（内错角相等 两直线平行） ， /EF AB， /AB C
13、D 故答案为：BEF，两直线平行 内错角相等，FEC，等量代换，C，FEC，DC，内错角相等 两直线平 行 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用 11如图，AB/CD，定点 E，F分别在直线 AB，CD上，在平行线 AB，CD 之间有一动点 P，且满足 0 EPF180 ，QE，QF分别平分PEB和PFD 在探究EPF与EQF之间的数量关系时，我们需要对点 P 的位置进行分类讨论： （1）如图 1，当 P 点在 EF的右侧时，若EPF110 ，则EQF ；猜想EPF与EQF的数量关 系，请直接写出结果； （2）如图 2，当 P 点在 E
14、F的左侧时，探究EPF与EQF的数量关系，请说明理由； （3） 若BEQ与DFQ 的角平分线交于点 Q1， BEQ1与DFQ1的角平分线交于点 Q2， BEQ2与DFQ2 的角平分线交于点 Q3；以此类推，则EPF与EQnF满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】 （1）55 ；EPF2EQF； （2）2EQF+EPF360 理由见解析； （3）EPF+（2n+1）EQnF 360 【分析】 （1）过 P 作 PM/AB，过 Q作 QN/AB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题； （2）如图 2，过 P 作 PM/AB，过 Q作 QN/AB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可
15、 2EQF+EPF 360 ； （3）根据（1）中的解题方法得Q1 1 2 （BEP+DFP） ，Q2 1 4 （BEP+DFP） ，（+）由 此得出规律Qn（ 1 2 ）n（BEP+DFP） ，再由（2）的结论 2EQF+EPF360 ，BEP+DFP EQF，便可计算出EPF+2n+1EQnF的结果，从而得出结论 【详解】 解： （1）过 P 作 PM/AB，过 Q 作 QN/AB， AB/CD， AB/CD/PM，AB/CD/QN， BEPMPE，DFPMPF，BEQNQE，DFQFQN， BEP+DFPMPE+MPFEPF110 ，BEQ+DFQNQE+NQFEQF， QE，QF分别平
16、分PEB和PFD， BEQ+DFQ 1 2 （BEP+DFP） 1 11055 2 ； 猜想：EPF与EQF的数量关系为EPF2EQF理由如下： AB/CD， AB/CD/PM，AB/CD/QN， BEPMPE，DFPMPF，BEQNQE，DFQFQN， BEP+DFPMPE+MPFEPF，BEQ+DFQNQE+NQFEQF， QE，QF分别平分PEB和PFD， 2（BEQ+DFQ）BEP+DFPEPF， 即EPF2EQF； 故答案为 55 ； （2）2EQF+EPF360 理由如下： 如图 2，过 P 作 PM/AB，过 Q 作 QN/AB， AB/CD， AB/CD/PM，AB/CD/QN
17、， BEP+MPE180 ，DFP+MPF180 ，BEQNQE，DFQFQN， BEP+DFP+MPE+MPF360 即BEP+DFP+EPF360 ，EQFBEQ+DFQ NQE+NQFEQF， QE，QF分别平分PEB和PFD， BEQ+DFQ 1 2 （BEP+DFP）EQF，即BEP+DFP2EQF， 2EQF+EPF360 ； （3）根据（1）的方法可得Q1 1 2 （BEP+DFP） ， Q2 1 4 （BEP+DFP） ，（+） ， 则Qn（ 1 2 ）n（BEP+DFP） ， 2EQF+EPF360 ，BEP+DFPEQF， EPF+2n+1EQnF360 【点睛】 本题考查
18、平行线的性质、角平分线的性质、角的规律等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解 题关键 12直线 AB、CD 被直线 EF所截，ABCD，点 P是平面内一动点 （1）若点 P 在直线 CD上，如图，50 ，则2 （2）若点 P 在直线 AB、CD 之间，如图，试猜想、1、2 之间的等量关系并给出证明； （3）若点 P 在直线 CD的下方，如图， （2）中、1、2 之间的关系还成立吗？请作出判断并说明 理由 【答案】 （1）50； （2）1+2，证明见解析； （3）不成立理由见解析 【分析】 （1）由题意直接根据平行线的性质可直接求解； （2）由题意过 P 作 PGAB，则 PGABCD，
19、利用平行线的性质即可求解； （3）根据题意过 P 作 PHAB，则 PHABCD，利用平行线的性质进行分析即可求解 【详解】 解： （1）ABCD，50 250 ， 故答案为：50； （2）1+2 证明：过 P 作 PGAB， ABCD， PGABCD， 2EPG，1FPG， EPFEPG+FPG， 1+2； （3）不成立 理由：过 P 作 PHAB， ABCD， PHABCD， 2EPH，1FPH， EPFEPHFPH， 21， 故不成立 【点睛】 本题主要考查平行线的性质，注意掌握并灵活运用平行线的性质是解题的关键 13 （1）问题情境：如图 1，AB/CD，PAB=120 ，PCD=13
20、0 ，求APC的度数 小辰的思路是：如图 2，过点 P 作 PE/AB，通过平行线性质，可求得APC的度数，请写出具体求解过程 （2）问题迁移： 如图 3， AD/BC， 点 P 在射线 OM 上运动， 当点 P在 A， B两点之间运动时， 设CPD=， ADP=， BCP=，问：、之间有何数量关系？请说明理由 在的条件下，如果点 P 不在 A，B两点之间运动（点 P 与点 A，B，O 三点不重合） ，请直接写出、 、间的数量关系 【答案】(1)110 ； （2） ； 或 【分析】 （1）过点 P 作 PE/AB，可得 PE/CD，所以由平行线的性质可以求得EPA和EPC的度数，进一步可以 得
21、到APC的度数； （2）分别过 P 作 PQ/AD，则可得 PQ/BC，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解 【详解】 解： （1）如图，过点 P 作 PE/AB，则由平行线的性质可得 PE/CD，所以： 180180PABEPAPCDEPC，所以： 18018012060EPAPAB，18018013050EPCPCD 所以，110APCEPAEPC ； （2） ，理由如下： 如图，过 P 作 PQ/AD交 DC于 Q，则由平行线的性质得 PQ/BC，所以： DPQCPQ ， ， DPQCPQ ， ； 分两种情况讨论： 第一种情况， P 在射线 AM 上， 如图， 过 P 作 PQ/AD交
22、射线 DN于 Q， 则由平行线的性质得 PQ/BC， 所以： QPDQPCQPCQPD ，； 第二种情况， 点 P 在 OB 之间， 如图， 过 P 作 PQ/AD交射线 OD于 Q， 则由平行线的性质得 PQ/BC， 所以： DPQCPQDPCDPQCPQ ， 【点睛】 本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关 键 14已知：点 E、点 G 分别在直线 AB、直线 CD上，点 F在两直线外，连接 EF、FG. (1) 如图 1，ABCD，求证：AEFFGCEFG； (2) 若直线 AB与直线 CD不平行， 连接 EG， 且 EG同时平分BE
23、F和FGD 如图 2， 请探索AEF、 FGC、 EFG 之间的数量关系？并说明理由. 【答案】 （1）见解析； （2）2EFG=AEF+FGC，理由见解析 【分析】 （1）过 F作 FQAB，利用平行线的性质，即可得到AEF+FGC=EFQ+GFQ=EFG； （2） 延长 AB， CD， 交于点 P， 依据FEP=180 -AEF， FGP=180 -FGC， 即可得到FEP+FGP=360 - （AEF+FGC） ，再根据四边形内角和，即可得到四边形 EFGP 中，F+P=360 -（FEP+FGP） =AEF+FGC，进而得出结论 【详解】 （1）如图 1，过 F作 FQAB， ABCD
24、， FQCD， AEF=QFE，FGC=GFQ， AEF+FGC=EFQ+GFQ=EFG； （2）如图 2，延长 AB，CD，交于点 P， EG同时平分BEF和FGD， FEG=PEG，FGE=PGE， EFG =P， FEP=180 -AEF，FGP=180 -FGC， FEP+FGP=360 -（AEF+FGC） ， 四边形 EFGP 中， EFG +P=360 -（FEP+FGP） =360 -360 -（AEF+FGC） =AEF+FGC， 即 2EFG=AEF+FGC 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理，解决问题的关键是作平行线构造内 错角，利用两
25、直线平行，内错角相等得出结论 15问题情境：如图 1，已知/AB CD，108APC求 PABPCD的度数 经过思考， 小敏的思路是： 如图 2， 过 P作/PEAB， 根据平行线有关性质， 可得PABPCD_ 问题迁移：如图 3，/ /ADBC，点 P 在射线 OM 上运动，ADP，BCP （1）当点 P在 A、B 两点之间运动时，CPD、 之间有何数量关系？请说明理由 （2）如果点 P 在 A、B两点外侧运动时（点 P与点 A、B、O三点不重合） ，请你直接写出CPD、 之间的数量关系， 问题拓展：如图 4， 1/ /n MANA， 1121nn ABABA 是一条折线段，依据此图所含信息
26、，把你所发 现的结论，用简洁的数学式子表达为_ 【答案】问题情境： 252 ；问题迁移： （1）CPD=+，理由见解析； （2）CPD=-；理由见 解析；或CPD=-理由见解析；问题拓展：A1+A2+An=B1+B2+Bn 【分析】 问题情境：根据平行线的判定可得 PEABCD，再根据平行线的性质即可求解； 问题迁移： （1）过 P 作 PEAD，根据平行线的判定可得 PEADBC，再根据平行线的性质即可求解； （2）过 P 作 PEAD，根据平行线的判定可得 PEADBC，再根据平行线的性质即可求解； 问题拓展：分别过 A2，A3，An-1作直线A1M，过 B1，B2，Bn-1作直线A1M，
27、根据平行线的判定和 性质即可求解 【详解】 解：问题情境：如图，过 P 作 PEAB， ABCD， PEABCD， PAB+APE=180 ，PCD+CPE=180 ， APC=108 ， PAB+PCD=360 -108 =252 ； 故答案为：252 ； 问题迁移： （1）CPD=+，理由如下： 如图，过 P 作 PEAD交 CD 于 E， ADBC， ADPEBC， =DPE，=CPE， CPD=DPE+CPE=+； （2）当 P 在 BA延长线时，CPD=-；理由： 如图，过 P 作 PEAD交 CD 于 E， ADBC， ADPEBC， =DPE，=CPE， CPD=CPE-DPE=
28、-； 当 P 在 BO 之间时，CPD=-理由： 如图，过 P 作 PEAD交 CD 于 E， ADBC， ADPEBC， =DPE，=CPE， CPD=DPE-CPE=- 问题拓展：分别过 A2，A3，An-1作直线A1M，过 B1，B2，Bn-1作直线A1M， 由平行线的性质和角的和差关系得A1+A2+An=B1+B2+Bn 故答案为：A1+A2+An=B1+B2+Bn 【点睛】 本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想 的运用 16 如图， 点A在x轴的负半轴上， 点D在y轴的正半轴上， 将AOD 沿x轴向右平移， 平移后得到BEC，
29、 点A的对应点是点B，已知点A的坐标为( ,0) a ，点C的坐标为( , ) b c，且a，b，c满足 2 2(6)|4| 0abc （1）求点B的坐标； （2）求证：DAEBCD； （3） 点P是线段BC上一动点 （不与点B，C重合） ， 连接DP，AP， 在点P运动过程中，CDP，DPA， PAE之间是否存在永远不变的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并请证明；若不存在，请 说明理由 【答案】 （1）(4，0)； （2）见解析； （3）存在，DPA=CDP+PAE，证明见解析 【分析】 （1）根据非负数的性质可得关于 a、b、c 的方程，解方程即可求出 a、b、c的值，再根据平移
30、的性质解答 即可； （2）根据平移的性质和平行线的性质即可证得结论； （3）如图，过点 P作 PQAB，根据平行公理的推论可得 PQCDAB，然后根据平行线的性质和角的和 差即可得出结论 【详解】 （1）解： 2 2(6)40abc， 20 60 40 a b c ，解得： 2 6 4 a b c ， 点 A的坐标是(2，0)，点 C的坐标是(6，4)，点 D 的坐标是(0，4) AOD沿 x 轴向右平移 6 个单位长度得到 BEC 点 A的对应点 B的坐标是(4，0)； （2）证明：AOD沿 x轴向右平移，平移后得到 BEC， ADBC，CDAB DAE=CBE，CBE=BCD DAE=BC
31、D； （3）答：CDP、DPA、PAE之间存在永远不变的数量关系DPA=CDP+PAE 证明：如图，过点 P作 PQAB CDAB， PQCDAB CDP=DPQ，QPA=PAB DPA=DPQ+QPA=CDP+PAE 【点睛】 本题考查了非负数的性质、平移的性质、平行公理的推论以及平行线的性质等知识，熟练掌握上述知识是 解题的关键 17如图，已知/ABCDEF，BE平分ABC，DE平分ADC ，70BAD （1）求EDC的度数； （2）若40BCD，试求BED的度数 【答案】 （1）35 ； （2）55 【分析】 （1）根据平行线的性质可得70ADCBAD，再根据角平分线的定义计算即可； （
32、2）根据平行线的性质和角平分线的定义可求出BEF与FED 的度数，再根据角的和差计算即可 【详解】 解： （1）/ABCD， 70ADCBAD， DE平分ADC， 1 35 2 EDCADC； （2）/ABCD， 40ABCBCD， BE平分ABC， 20ABE， /EFAB， 20BEFABE， /EFCD， 35FEDEDC， 203555BED 【点睛】 本题考查了角平分线的定义、平行线的性质和角的和差计算，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解 题的关键 18问题情境：如图 1，/ABCD，130PAB，120PCD，求APC的度数小明的思路是： 过P作/PEAB，通过平行线的性质来求
33、APC的度数 （1）按小明的思路，易求得APC的度数为_度； （2）问题迁移：如图 2，/ABCD，点P在射线OM上运动，记PAB， PCD ，当点P在B， D两点之间运动时，试问APC与，之间有何数量关系？并说明理由 （3）在（2）的条件下，当点P在B点左侧和D点右侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合） ，请直 接写出APC与，之间满足的数量关系 【答案】 （1）110 ； （2）APC=+； （3）CPA=- 或CPA=- 【分析】 （1）过 P 作 PEAB，通过平行线性质求APC即可； （2）过 P 作 PEAD交 AC于 E，推出 ABPEDC，根据平行线的性质得出=APE，=CP
34、E， 即可得出答案； （3） 分两种情况： P 在 BD延长线上； P 在 DB 延长线上， 分别画出图形， 根据平行线的性质得出=APE， =CPE，即可得出答案 【详解】 解： （1）过点 P 作 PEAB， ABCD， PEABCD， A+APE=180 ，C+CPE=180 ， PAB=130 ，PCD=120 ， APE=50 ，CPE=60 ， APC=APE+CPE=110 （2）APC=+， 理由：如图 2，过 P 作 PEAB交 AC于 E， ABCD， ABPECD， =APE，=CPE， APC=APE+CPE=+； （3）如下图所示， 当 P 在 BD延长线上时， CP
35、A=-； 当 P 在 DB延长线上时， CPA=- 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解 题时注意分类思想的运用 19同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 （1）如图a，若/ABCD，点P在AB、CD外部，我们过点P作AB、CD的平行线PE，则有 / / /ABCDPE， 则BPD，B，D之间的数量关系为_ 将点P移到AB、CD内部， 如图b， 以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD、B、D之间有何数量关系？请证明你 的结论 （2）迎“20G”科技节上，小兰制作了一个“飞旋镖”，在图b中，将直线AB绕点B
36、逆时针方向旋转一定角 度交直线CD于点Q，如图c，他很想知道BPD、ABP、D、 BQD 之间的数量关系，请你直接写 出它们之间的数量关系：_ （3） 设BF交AC于点P，AE交DF于点Q， 已知126APB， 100AQF， 直接写出 BEF 的度数为_度，A比F大_度 【答案】 （1）BPD=B-D；将点 P 移到 AB、CD内部，BPD=B-D不成立，BPD=B+D， 证明见解析； （2）BPD=ABP+D+BQD； （3）80，46 【分析】 （1）由平行线的性质得出B=BPE，D=DPE，即可得出BPD=B-D；将点 P 移到 AB、CD内 部，延长 BP 交 DC于 M，由平行线的
37、性质得出B=BMD，即可得出BPD=B+D； （2）由平行线的性质得出ABQ=BQD，同（1）得：BPD=ABP+D，即可得出结论； （3）过点 E作 ENBF，则B=BEN，同（1）得：FQE=F+QEN，得出EQF=B+E+F， 求出EQF=180 -100 =80 ，即B+E+F=80 ，由AMP=APB-A=126 -A， FMQ=180 -AQF-F=180 -100 -F=80 -F，AMP=FMQ，得出 126 -A=80 -F，即可得出结 论 【详解】 解（1）ABCDPE， B=BPE，D=DPE， BPE=BPD+DPE， BPD=B-D， 故答案为：BPD=B-D； 将点
38、 P 移到 AB、CD 内部，BPD=B-D不成立， BPD=B+D，理由如下： 延长 BP 交 DC于 M，如图 b所示： ABCD， B=BMD， BPD=BMD+D， BPD=B+D； （2）ABCD， ABQ=BQD， 同（1）得：BPD=ABP+D， BPD=ABP+D+BQD， 故答案为：BPD=ABP+D+BQD； （3）过点 E作 ENBF，如图 d 所示： 则B=BEN， 同（1）得：FQE=F+QEN， EQF=B+E+F， AQF=100 ， EQF=180 -100 =80 ，即B+E+F=80 ， AMP=APB-A=126 -A，FMQ=180 -AQF-F=180
39、 -100 -F=80 -F； AMP=FMQ， 126 -A=80 -F， A-F=46 ， 故答案为：80，46 【点睛】 本题考查了平行线性质，三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关 键 20问题情境：如图 1，/AB CD，128PAB， 124PCD，求APC的度数小明的思路是过点P 作/PE AB，通过平行线性质来求APC （1）按照小明的思路，写出推算过程，求APC的度数 （2）问题迁移：如图 2，/AB CD，点P在射线OM上运动，记PAB， PCD ，当点P在B、 D两点之间运动时，问APC与、之间有何数量关系？请说明理由 （3）在（2）的条件
40、下，当点P在线段OB上时，请直接写出APC与、之间的数量关系 【答案】 （1）108 ； （2）APC=+，理由见解析； （3）APC=- 【分析】 （1）过 P 作 PEAB，先推出 PEABCD，再通过平行线性质可求出APC； （2） 过 P 作 PEAB 交 AC于 E， 先推出 ABPEDC， 然后根据平行线的性质得出 =APE， =CPE， 即可得出答案； （3）过点 P 作 PEAB 交 OA 于点 E，同（2）中方法根据平行线的性质得出 =APE，=CPE，即可得 出答案 【详解】 解： （1）过点 P 作 PEAB， ABCD， PEABCD， A+APE=180 ，C+CPE
41、=180 ， PAB=128 ，PCD=124 ， APE=52 ，CPE=56 ， APC=APE+CPE=108 ； （2）APC=+理由如下： 如图 2，过 P 作 PEAB交 AC于 E， ABCD， ABPECD， =APE，=CPE， APC=APE+CPE=+； （3）APC=-理由如下： 过点 P 作 PEAB 交 OA于点 E， 同（2）可得，=APE，=CPE， APC=CPE-APE=- 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题 21 (1)问题发现： 如图， 直线/， E 是 AB 与 AD 之间的一点， 连接
42、 BE， CE， 可以发现 += 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作/， /(已知)，/(辅助线的作法) /( ) = ( ) /， = (同理) + = (等量代换) 即 + = (2)拓展探究： 如果点 E 运动到图所示的位置， 其他条件不变， 进一步探究发现： + = 360 ， 请说明理由 (3)解决问题：如图，/，=120 ，=80 ，请直接写出的度数 【答案】 （1）平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；BEF+CEF； （2）见解析； （3） 20 【分析】 （1）过点 E 作 EFAB，根据平行线的判定得出 ABCDEF，根据平行线的性质得出即可；
43、（2）过点 E 作 EFAB，根据平行线的判定得出 ABCDEF，根据平行线的性质得出即可； （3）过点 E 作 EFAB，根据平行线的判定得出 ABCDEF，根据平行线的性质得出即可 【详解】 解： （1）证明：如图，过点 E 作 EFAB， ABDC（已知） ，EFAB（辅助线的作法） ， EFDC（平行于同一直线的两直线平行） ， C=CEF （两直线平行，内错角相等） ， EFAB， B=BEF（同理） ， B+C=BEF+CEF（等量代换） 即B+C=BEC， 故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；BEF+CEF； （2）证明：如图，过点 E 作 EFAB，
44、ABDC（已知） ，EFAB（辅助线的作法） ， EFDC（平行于同一直线的两直线平行） ， C+CEF=180 ，B+BEF=180 ， B+C+AEC=360 ， B+C=360 -BEC； （3）解：如图，过点 E 作 EFAB， ABDC（已知） ，EFAB（辅助线的作法） ， EFDC（平行于同一直线的两直线平行） ， C+CEF=180 ，A=BEF， C=120 ，AEC=80 ， CEF=180 -120 =60 ， BEF=80 -60 =20 ， A=AEF=20 故答案为：20 【点睛】 本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：两直线平行
45、，内错 角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补 22已知射线AB平行于射线CD，点E、F分别在射线AB、CD上. （1）如图 1，若点P在线段EF上，若25A ，70APC时，则C_. （2）如图 1，若点P在线段EF上运动（不包含E、F两点） ，则A、APC、C之间的等量关系是 _. （3）如图 2，若点P在线段EF的延长线上运动，则A、APC、C之间的等量关系是 _； 如图 3，若点P在线段EF的延长线上运动，则A、APC 、C之间的等量关系是_. （4）请说明图 2中所得结论的理由. 【答案】 （1）45； （2）APCAC ； （3）APCCA ；APCAC ； （4
46、） 见解析； 【分析】 （1）过 P 作 GHCD，根据平行线的性质得HPC=C，由 ABCD得到 ABGH，得到APH=A， 则APC=HPC+APH=A+C，把A=25 ，APC=70 代入计算可得到C 的度数； （2）过 P 作 GHCD，根据平行线的性质得HPC=C，由 ABCD得到 ABGH，得到APH=A， 则APC=HPC+APH=A+C，可得到APC=A+C； （3）过 P 作 MNCD，根据平行线的性质得MPC=C，由 ABCD得到 ABMN，得到APM=A， 则APC=MPC-APM=C-A，可得到APC=C-A； 过 P 作 IJCD，根据平行线的性质得IPC=C，由 ABCD得到 ABIJ，得到API=A，则 APC=API-IPC=A-C，可得到APC=A-C； （4）过点P作MN/AB，由两直线平行，内错角相等，得到MPAA，MPCC，再由角 的关系进行相减即可. 【详解】 解： （1）如图 1，过 P 作 GHCD，