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2020-2021学年北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明 单元试卷(含答案)

1、第一章第一章 三角形的证明三角形的证明 单元测试单元测试 一选择题一选择题 1等腰三角形的一边等于 3,一边等于 7,则此三角形的周长为( ) A10 B13 C17 D13 或 17 2已知等腰三角形的一个内角为 50,则它的另外两个内角是( ) A65,65 B80,50 C65,65或 80,50 D不确定 3如图,在ABC 中,ACB90,CDAB 于点 D,A60,AD2,则 BD( ) A2 B4 C6 D8 4如图所示,在ABC 中,ACB90,D 是 AB 的中点,DEBC,E 为垂足,ACAB,图中为 60 的角有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 5 如图, A

2、BC 中, DE 是 AC 的垂直平分线, AE5cm, ABD 的周长为 16cm, 则ABC 的周长为 ( ) A26cm B21cm C28cm D31cm 6如图,ABC 中,A40,AB 的垂直平分线分别交 AB,AC 于点 D,E,连接 BE,则BEC 的大 小为( ) A40 B50 C80 D100 7如图,在ABC 中,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 BC 于点 EABC 的周长为 19,ACE 的周 长为 13,则 AB 的长为( ) A3 B6 C12 D16 8如图所示,点 O 是ABC 内一点,BO 平分ABC,ODBC 于点 D,连接 OA,若 OD5,A

3、B20, 则AOB 的面积是( ) A20 B30 C50 D100 9如图,ABCD,AE,CE 分别平分CAB 和ACD,过点 E 分别做 EFAC 于点 F,EHCD 于点 H, 延长 HE 交 AB 于点 G,若 EF1,则 GH 的值为( ) A2 B3 C4 D5 10如图,在ABC 中,BAC 和ABC 的平分线 AE,BF 相交于点 O,AE 交 BC 于 E,BF 交 AC 于 F, 过点 O 作 ODBC 于 D, 下列三个结论: AOB90+C; 当C60时, AF+BEAB; 若 ODa,AB+BC+CA2b,则 SABCab其中正确的是( ) A B C D 二填空题

4、二填空题 11在ABC 中,若A66,BC,则B 12 如图, 在ABC 中, ABBC, ABC120, D 是 AC 边上的点, DADB3, 则 AC 的长为 13如图,在 RtABC 中,C90,B30,AD 是ABC 的角平分线,CD2,则 BC 14 如图, RtABC 中, ACB90, 点 D 是斜边 AB 的中点, 连接 CD 若 BC5, CD3, 则 AC 15如图,在ABC 中,CACB,ACB120,E 为 AB 上一点,DCEDAE60,AD2.4, BE7,则 DE 16如图,已知 O 为三边垂直平分线交点,BAC60,则BOC 17如图,在ABC 中,AB6,A

5、C8,BC11,AB 的垂直平分线分别交 AB,BC 于点 D、E,AC 的垂 直平分线分别交 AC,BC 于点 F、G,则AEG 的周长为 18如图,AD 是ABC 的平分线,DFAB 于点 F,DEDG,AG16,AE8,若 SADG64,则DEF 的面积为 19如图,在四边形 ABCD 中,A90,AD10,连结 BD,BDCD,ADBC,若 P 是 BC 边上 一动点,则 DP 的最小值为 20如图,ABC 中,ABAC15,BAC120,小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等 腰三角形,他想出了如下方案:在 AB 上取点 D,过点 D 画 DEAC 交 BC 于点 E,连结 A

6、E,在 AC 上 取合适的点 F,连结 EF 可得到 4 个符合条件的三角形,则满足条件的 AF 长是 三解答题三解答题 21如图,在ABC 中,ABAC,ADBC 于点 D (1)若B39,求CAD 的度数; (2)若点 E 在边 AC 上,EFAB 交 AD 的延长线于点 F求证:AEFE 22已知:如图,在 RtABC 中,BAC90,D 是 BC 延长线上一点,ADAB,求证:BAD2 ACB 23已知:如图,ABCADC90,点 O 是线段 AC 的中点 (1)求证:OBOD; (2)若ACD30,OB6,求AOD 的周长 24如图,直线 l 与 m 分别是ABC 边 AC 和 BC

7、 的垂直平分线,l 与 m 分别交边 AB 于点 D 和点 E (1)若 AB10,则CDE 的周长是多少?为什么? (2)若ACB125,求DCE 的度数 25如图,ABC 中 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、N,若EAN34,求BAC 的度数 26如图,ABC 中,点 D 在 BC 边上,BAD100,ABC 的平分线交 AC 于点 E,过点 E 作 EF AB,垂足为 F,且AEF50,连接 DE (1)求CAD 的度数; (2)求证:DE 平分ADC; (3)若 AB7,AD4,CD8,且 SACD15,求ABE 的面积 27已知:在 RtABC 中,ACB90,D 为线

8、段 CB 上一点且满足 CDCA,连接 AD,过点 C 作 CE AB 于点 E (1)如图 1,B30,BD2,AD 与 CE 交于点 P,则CPD ,AE ; (2)如图 2,若点 F 是线段 CE 延长线上一点,连接 FD若F45,求证:AEFE 参考答案参考答案 一选择题一选择题 1解:当等腰三角形的三边长是 3,3,7 时,3+37,不符合三角形的三边关系定理,此时不能组成等 腰三角形; 当等腰三角形的三边长是 3,7,7 时,符合三角形的三边关系定理,能组成等腰三角形,此三角形的 周长是 3+7+717; 综合上述:三角形的周长是 17, 故选:C 2解: ABAC, BC, 当底

9、角B50时,则C50, A180BC80; 当顶角A50时, B+C+A180,BC, BC(180A)65; 即其余两角的度数是 50,80或 65,65, 故选:C 3解:ACB90,CDAB, BCD+ACD90,A+ACD90, BCDA60, ACDB30, AD2, AC2AD4, AB2AC8, BDABAD826 故选:C 4解:在 RtABC 中,ACB90,ACAB, B30 D 是 AB 的中点, BDCD DCBB30 又DEBC 于 E, BDECDE60 ACD903060 ACD 为等边三角形 ADCDACACDCDEBDE60 故选:D 5解:DE 是 AC 的

10、垂直平分线, DADC,AC2AE10, ABD 的周长为 16, AB+BD+ADAB+BD+DCAB+BC16, ABC 的周长AB+BC+AC16+1026(cm) , 故选:A 6解:DE 是 AB 的垂直平分线, EAEB, EBAA40, BECEBA+A80, 故选:C 7解:AB 的垂直平分线交 AB 于点 D, AEBE, ACE 的周长AC+AE+CEAC+BC13,ABC 的周长AC+BC+AB19, ABABC 的周长ACE 的周长19136, 故选:B 8解:过 O 作 OEAB 于点 E, BO 平分ABC,ODBC 于点 D, OEOD5, AOB 的面积, 故选

11、:C 9解:ABCD,EHCD, EGAB, AE 平分CAB,EFAC,EGAB, EGEF1, CE 平分ACD,EFAC,EHCD, EHEF1, GHEG+EH1+12 故选:A 10解:BAC 和ABC 的平分线相交于点 O, OBACBA,OABCAB, AOB180OBAOAB180CBACAB180 (180C) 90+ C,正确; C60, BAC+ABC120, AE,BF 分别是BAC 与 ABC 的平分线, OAB+OBA(BAC+ABC)60, AOB120, AOF60, BOE60, 如图,在 AB 上取一点 H,使 BHBE, BF 是ABC 的角平分线, HB

12、OEBO, 在HBO 和EBO 中, HBOEBO(SAS) , BOHBOE60, AOH180606060, AOHAOF, 在HBO 和EBO 中, HBOEBO(ASA) , AFAH, ABBH+AHBE+AF,故正确; 作 OHAC 于 H,OMAB 于 M, BAC 和ABC 的平分线相交于点 O, 点 O 在C 的平分线上, OHOMODa, AB+AC+BC2b SABCABOM+ACOH+BCOD(AB+AC+BC) aab,正确 故选:C 二填空题二填空题 11解:A66,BC, B(18066)57 故答案为:57 12解:ABBC,ABC120, AC30, DADB

13、3, DBCA30, DBCABCDBA1203090, DC2DB6, ACAD+CD3+69 故答案为:9 13解:作 DEAB 于 E, AD 是ABC 的角平分线,C90,DEAB, DECD2, DEAB,B30, BD2DE4, BCCD+BD6, 故答案为:6 14解:ACB90,点 D 是斜边 AB 的中点, AB2CD, CD3, AB6, 在 RtACB 中,由勾股定理得:AC, 故答案为: 15解:如图,在 AB 上截取 BFAD,连接 CF, CACB,ACB120, CABCBA30, DAE60 DACDAECAB30 DACCBA,且 ADBF,ACBC ADCB

14、FC(SAS) ACDBCF,CDCF, ACBACE+ECF+BCFACE+ECF+ACDDCE+ECF120 ECF60DCE,且 CECE,DCCF DCEFCE(SAS) DEEF DEBEBFBEAD72.44.6, 故答案为 4.6 16解:已知点 O 为三边垂直平分线交点, 点 O 为ABC 的外心, BOC2BAC, BAC60, BOC120, 故答案为:120 17解:DE 是线段 AB 的垂直平分线, EAEB, 同理,GAGC, AEG 的周长AE+EG+GAEB+EG+GCBC11, 故答案为:11 18解:过 D 点作 DHAC 于 H,如图, SADG64, AG

15、DH64, DH8, AD 是ABC 的平分线,DFAB,DHAC, DFDH8, 在 RtDEF 和 RtDGH 中, , RtDEFRtDGH(HL) , EFHG, 同理可得 RtADFRtADH, AFAH, EFAFAEAHAEAGHGAE16EF8, EF4, SDEFEFDF4816 故答案为 16 19解:根据垂线段最短,当 DPBC 的时候,DP 的长度最小, BDCD,即BDC90,又A90, ABDC,又ADBC, ABDCBD,又 DABA,BDDC, ADDP,又 AD10, DP10 故答案为:10 20解:ABAC,BAC120, BC30, DEAC, DEBC

16、30,BDE120, BDE 是等腰三角形,ADE180BDE60 被分割的四个三角形中有两个直角三角形和两个等腰三角形 当AED90时,如图 1: DAE180AEDADE30, EAFBACDAE90 则EFC 是等腰三角形 AEC180BEDDEA60, EFC 是等腰三角形只可能存在FECC30的情况, 设 AFx, AEF180BEDAEDFEC30, EF2x, EFFC2x, AF+FC3xAC15, AF5 当DAE90且AEF90时,如图 2: 此时EAFBACDAE30, AFE180AEFEAF60 设 AFx,则 EFx, EFC180AFE120, 又FEC180CE

17、FC30, EFC 是等腰三角形,CFEFx, ACAF+FCx+x15, AFx10 当DAE90且FEC90时,如图 3 FAEBACDAE30, AED180DAEADE30, AEF180BEDFECAED30 AFAE, 设 AFEFx, FEC90,C30, CF2x, AF+FCx+2x3xAC15, AFx5 当AFEEFC90时,则ADE 是等腰三角形,如图 4 ADE60, DAEAED60, EAFBACDAE60, AEF180EAFAFE30 设 AFx,则 EFx EFC90,C30, FCEF3x, ACAF+FCx+3x4x15, AF 故答案为:5、10 或

18、三解答题三解答题 21解: (1)ABAC,ADBC 于点 D, BADCAD,ADC90, 又B39, BADCAD903951; (2)ABAC,ADBC 于点 D, BADCAD, EFAC, FCAD, BADF, AEFE 22证明:ADAB, BD, 设BD, BAD180BD18022(90) , BAC90, ACB90B90, BAD2ACB 23 (1)证明:ABCADC90,点 O 是 AC 的中点, OBAC,ODAC, OBOD; (2)解:OB6,ODOB, OD6, ADC90,O 为 AC 的中点, AC2OD12, ACD30,ADC90, OAAC6, 即

19、OAADOD6, AOD 的周长是 OA+AD+OD6+6+618 24解: (1)CDE 的周长为 10 直线 l 与 m 分别是ABC 边 AC 和 BC 的垂直平分线, ADCD,BECE, CDE 的周长CD+DE+CEAD+DE+BEAB10; (2)直线 l 与 m 分别是ABC 边 AC 和 BC 的垂直平分线, ADCD,BECE, AACD,BBCE, 又ACB125, A+B18012555, ACD+BCE55, DCEACB(ACD+BCE)1255570 25解:AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、N, AEBE,ANCN, BAEB,CANC, AECB

20、AE+B2BAE,ANBCAN+C2CAN, EAN34, AEN+ANE180EAN146, AEN1802BAE,ANE1802CAN, 1802BAE+1802CAN146, B+C107, BAC18010773 26 (1)解:EFAB,AEF50, FAE905040, BAD100, CAD1801004040; (2)证明:过点 E 作 EGAD 于 G,EHBC 于 H, FEADAE40,EFBF,EGAD, EFEG, BE 平分ABC,EFBF,EHBC, EFEH, EGEH, EGAD,EHBC, DE 平分ADC; (3)解:SACD15, ADEG+CDEH15

21、,即4EG+8EG15, 解得,EGEH, EFEH, ABE 的面积ABEF7 27 (1)解:如图 1 中,设 ACCDx ACB90,B30, BCAC, x+2x, 解得 x+1, CACD, CADCDA45, CEAB, CEB90, ECB903060, ACE30, AEAC, CPDACP+CAP, CPD75 故答案为 75, (2)证明:如图 2 中,过点 C 作 CJDF 于 J,交 AB 于 T,设 DF 交 AB 于 K CFAB,CTDE,CFD45, FEKCETCJFKJT90, FKETKJKTJECT45, CEET, CAT+ACE90,ACE+FCD90, CATFCD, ACCD,ATCCFD, ACTCDF(AAS) , ATCF, ETCE, AEEF