1、第一章第一章 三角形的证明三角形的证明 单元测试单元测试 一选择题一选择题 1等腰三角形的一边等于 3，一边等于 7，则此三角形的周长为（ ） A10 B13 C17 D13 或 17 2已知等腰三角形的一个内角为 50，则它的另外两个内角是（ ） A65，65 B80，50 C65，65或 80，50 D不确定 3如图，在ABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，A60，AD2，则 BD（ ） A2 B4 C6 D8 4如图所示，在ABC 中，ACB90，D 是 AB 的中点，DEBC，E 为垂足，ACAB，图中为 60 的角有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 5 如图， A
2、BC 中， DE 是 AC 的垂直平分线， AE5cm， ABD 的周长为 16cm， 则ABC 的周长为 （ ） A26cm B21cm C28cm D31cm 6如图，ABC 中，A40，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则BEC 的大 小为（ ） A40 B50 C80 D100 7如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 EABC 的周长为 19，ACE 的周 长为 13，则 AB 的长为（ ） A3 B6 C12 D16 8如图所示，点 O 是ABC 内一点，BO 平分ABC，ODBC 于点 D，连接 OA，若 OD5，A
3、B20， 则AOB 的面积是（ ） A20 B30 C50 D100 9如图，ABCD，AE，CE 分别平分CAB 和ACD，过点 E 分别做 EFAC 于点 F，EHCD 于点 H， 延长 HE 交 AB 于点 G，若 EF1，则 GH 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 10如图，在ABC 中，BAC 和ABC 的平分线 AE，BF 相交于点 O，AE 交 BC 于 E，BF 交 AC 于 F， 过点 O 作 ODBC 于 D， 下列三个结论： AOB90+C； 当C60时， AF+BEAB； 若 ODa，AB+BC+CA2b，则 SABCab其中正确的是（ ） A B C D 二填空题
4、二填空题 11在ABC 中，若A66，BC，则B 12 如图， 在ABC 中， ABBC， ABC120， D 是 AC 边上的点， DADB3， 则 AC 的长为 13如图，在 RtABC 中，C90，B30，AD 是ABC 的角平分线，CD2，则 BC 14 如图， RtABC 中， ACB90， 点 D 是斜边 AB 的中点， 连接 CD 若 BC5， CD3， 则 AC 15如图，在ABC 中，CACB，ACB120，E 为 AB 上一点，DCEDAE60，AD2.4， BE7，则 DE 16如图，已知 O 为三边垂直平分线交点，BAC60，则BOC 17如图，在ABC 中，AB6，A
5、C8，BC11，AB 的垂直平分线分别交 AB，BC 于点 D、E，AC 的垂 直平分线分别交 AC，BC 于点 F、G，则AEG 的周长为 18如图，AD 是ABC 的平分线，DFAB 于点 F，DEDG，AG16，AE8，若 SADG64，则DEF 的面积为 19如图，在四边形 ABCD 中，A90，AD10，连结 BD，BDCD，ADBC，若 P 是 BC 边上 一动点，则 DP 的最小值为 20如图，ABC 中，ABAC15，BAC120，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等 腰三角形，他想出了如下方案：在 AB 上取点 D，过点 D 画 DEAC 交 BC 于点 E，连结 A
6、E，在 AC 上 取合适的点 F，连结 EF 可得到 4 个符合条件的三角形，则满足条件的 AF 长是 三解答题三解答题 21如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D （1）若B39，求CAD 的度数； （2）若点 E 在边 AC 上，EFAB 交 AD 的延长线于点 F求证：AEFE 22已知：如图，在 RtABC 中，BAC90，D 是 BC 延长线上一点，ADAB，求证：BAD2 ACB 23已知：如图，ABCADC90，点 O 是线段 AC 的中点 （1）求证：OBOD； （2）若ACD30，OB6，求AOD 的周长 24如图，直线 l 与 m 分别是ABC 边 AC 和 BC
7、 的垂直平分线，l 与 m 分别交边 AB 于点 D 和点 E （1）若 AB10，则CDE 的周长是多少？为什么？ （2）若ACB125，求DCE 的度数 25如图，ABC 中 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、N，若EAN34，求BAC 的度数 26如图，ABC 中，点 D 在 BC 边上，BAD100，ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 EF AB，垂足为 F，且AEF50，连接 DE （1）求CAD 的度数； （2）求证：DE 平分ADC； （3）若 AB7，AD4，CD8，且 SACD15，求ABE 的面积 27已知：在 RtABC 中，ACB90，D 为线
8、段 CB 上一点且满足 CDCA，连接 AD，过点 C 作 CE AB 于点 E （1）如图 1，B30，BD2，AD 与 CE 交于点 P，则CPD ，AE ； （2）如图 2，若点 F 是线段 CE 延长线上一点，连接 FD若F45，求证：AEFE 参考答案参考答案 一选择题一选择题 1解：当等腰三角形的三边长是 3，3，7 时，3+37，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等 腰三角形； 当等腰三角形的三边长是 3，7，7 时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的 周长是 3+7+717； 综合上述：三角形的周长是 17， 故选：C 2解： ABAC， BC， 当底
9、角B50时，则C50， A180BC80； 当顶角A50时， B+C+A180，BC， BC（180A）65； 即其余两角的度数是 50，80或 65，65， 故选：C 3解：ACB90，CDAB， BCD+ACD90，A+ACD90， BCDA60， ACDB30， AD2， AC2AD4， AB2AC8， BDABAD826 故选：C 4解：在 RtABC 中，ACB90，ACAB， B30 D 是 AB 的中点， BDCD DCBB30 又DEBC 于 E， BDECDE60 ACD903060 ACD 为等边三角形 ADCDACACDCDEBDE60 故选：D 5解：DE 是 AC 的
10、垂直平分线， DADC，AC2AE10， ABD 的周长为 16， AB+BD+ADAB+BD+DCAB+BC16， ABC 的周长AB+BC+AC16+1026（cm） ， 故选：A 6解：DE 是 AB 的垂直平分线， EAEB， EBAA40， BECEBA+A80， 故选：C 7解：AB 的垂直平分线交 AB 于点 D， AEBE， ACE 的周长AC+AE+CEAC+BC13，ABC 的周长AC+BC+AB19， ABABC 的周长ACE 的周长19136， 故选：B 8解：过 O 作 OEAB 于点 E， BO 平分ABC，ODBC 于点 D， OEOD5， AOB 的面积， 故选
11、：C 9解：ABCD，EHCD， EGAB， AE 平分CAB，EFAC，EGAB， EGEF1， CE 平分ACD，EFAC，EHCD， EHEF1， GHEG+EH1+12 故选：A 10解：BAC 和ABC 的平分线相交于点 O， OBACBA，OABCAB， AOB180OBAOAB180CBACAB180 （180C） 90+ C，正确； C60， BAC+ABC120， AE，BF 分别是BAC 与 ABC 的平分线， OAB+OBA（BAC+ABC）60， AOB120， AOF60， BOE60， 如图，在 AB 上取一点 H，使 BHBE， BF 是ABC 的角平分线， HB
12、OEBO， 在HBO 和EBO 中， HBOEBO（SAS） ， BOHBOE60， AOH180606060， AOHAOF， 在HBO 和EBO 中， HBOEBO（ASA） ， AFAH， ABBH+AHBE+AF，故正确； 作 OHAC 于 H，OMAB 于 M， BAC 和ABC 的平分线相交于点 O， 点 O 在C 的平分线上， OHOMODa， AB+AC+BC2b SABCABOM+ACOH+BCOD（AB+AC+BC） aab，正确 故选：C 二填空题二填空题 11解：A66，BC， B（18066）57 故答案为：57 12解：ABBC，ABC120， AC30， DADB
13、3， DBCA30， DBCABCDBA1203090， DC2DB6， ACAD+CD3+69 故答案为：9 13解：作 DEAB 于 E， AD 是ABC 的角平分线，C90，DEAB， DECD2， DEAB，B30， BD2DE4， BCCD+BD6， 故答案为：6 14解：ACB90，点 D 是斜边 AB 的中点， AB2CD， CD3， AB6， 在 RtACB 中，由勾股定理得：AC， 故答案为： 15解：如图，在 AB 上截取 BFAD，连接 CF， CACB，ACB120， CABCBA30， DAE60 DACDAECAB30 DACCBA，且 ADBF，ACBC ADCB
14、FC（SAS） ACDBCF，CDCF， ACBACE+ECF+BCFACE+ECF+ACDDCE+ECF120 ECF60DCE，且 CECE，DCCF DCEFCE（SAS） DEEF DEBEBFBEAD72.44.6， 故答案为 4.6 16解：已知点 O 为三边垂直平分线交点， 点 O 为ABC 的外心， BOC2BAC， BAC60， BOC120， 故答案为：120 17解：DE 是线段 AB 的垂直平分线， EAEB， 同理，GAGC， AEG 的周长AE+EG+GAEB+EG+GCBC11， 故答案为：11 18解：过 D 点作 DHAC 于 H，如图， SADG64， AG
15、DH64， DH8， AD 是ABC 的平分线，DFAB，DHAC， DFDH8， 在 RtDEF 和 RtDGH 中， ， RtDEFRtDGH（HL） ， EFHG， 同理可得 RtADFRtADH， AFAH， EFAFAEAHAEAGHGAE16EF8， EF4， SDEFEFDF4816 故答案为 16 19解：根据垂线段最短，当 DPBC 的时候，DP 的长度最小， BDCD，即BDC90，又A90， ABDC，又ADBC， ABDCBD，又 DABA，BDDC， ADDP，又 AD10， DP10 故答案为：10 20解：ABAC，BAC120， BC30， DEAC， DEBC
16、30，BDE120， BDE 是等腰三角形，ADE180BDE60 被分割的四个三角形中有两个直角三角形和两个等腰三角形 当AED90时，如图 1： DAE180AEDADE30， EAFBACDAE90 则EFC 是等腰三角形 AEC180BEDDEA60， EFC 是等腰三角形只可能存在FECC30的情况， 设 AFx， AEF180BEDAEDFEC30， EF2x， EFFC2x， AF+FC3xAC15， AF5 当DAE90且AEF90时，如图 2： 此时EAFBACDAE30， AFE180AEFEAF60 设 AFx，则 EFx， EFC180AFE120， 又FEC180CE
17、FC30， EFC 是等腰三角形，CFEFx， ACAF+FCx+x15， AFx10 当DAE90且FEC90时，如图 3 FAEBACDAE30， AED180DAEADE30， AEF180BEDFECAED30 AFAE， 设 AFEFx， FEC90，C30， CF2x， AF+FCx+2x3xAC15， AFx5 当AFEEFC90时，则ADE 是等腰三角形，如图 4 ADE60， DAEAED60， EAFBACDAE60， AEF180EAFAFE30 设 AFx，则 EFx EFC90，C30， FCEF3x， ACAF+FCx+3x4x15， AF 故答案为：5、10 或
18、三解答题三解答题 21解： （1）ABAC，ADBC 于点 D， BADCAD，ADC90， 又B39， BADCAD903951； （2）ABAC，ADBC 于点 D， BADCAD， EFAC， FCAD， BADF， AEFE 22证明：ADAB， BD， 设BD， BAD180BD18022（90） ， BAC90， ACB90B90， BAD2ACB 23 （1）证明：ABCADC90，点 O 是 AC 的中点， OBAC，ODAC， OBOD； （2）解：OB6，ODOB， OD6， ADC90，O 为 AC 的中点， AC2OD12， ACD30，ADC90， OAAC6， 即
19、OAADOD6， AOD 的周长是 OA+AD+OD6+6+618 24解： （1）CDE 的周长为 10 直线 l 与 m 分别是ABC 边 AC 和 BC 的垂直平分线， ADCD，BECE， CDE 的周长CD+DE+CEAD+DE+BEAB10； （2）直线 l 与 m 分别是ABC 边 AC 和 BC 的垂直平分线， ADCD，BECE， AACD，BBCE， 又ACB125， A+B18012555， ACD+BCE55， DCEACB（ACD+BCE）1255570 25解：AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、N， AEBE，ANCN， BAEB，CANC， AECB
20、AE+B2BAE，ANBCAN+C2CAN， EAN34， AEN+ANE180EAN146， AEN1802BAE，ANE1802CAN， 1802BAE+1802CAN146， B+C107， BAC18010773 26 （1）解：EFAB，AEF50， FAE905040， BAD100， CAD1801004040； （2）证明：过点 E 作 EGAD 于 G，EHBC 于 H， FEADAE40，EFBF，EGAD， EFEG， BE 平分ABC，EFBF，EHBC， EFEH， EGEH， EGAD，EHBC， DE 平分ADC； （3）解：SACD15， ADEG+CDEH15
21、，即4EG+8EG15， 解得，EGEH， EFEH， ABE 的面积ABEF7 27 （1）解：如图 1 中，设 ACCDx ACB90，B30， BCAC， x+2x， 解得 x+1， CACD， CADCDA45， CEAB， CEB90， ECB903060， ACE30， AEAC， CPDACP+CAP， CPD75 故答案为 75， （2）证明：如图 2 中，过点 C 作 CJDF 于 J，交 AB 于 T，设 DF 交 AB 于 K CFAB，CTDE，CFD45， FEKCETCJFKJT90， FKETKJKTJECT45， CEET， CAT+ACE90，ACE+FCD90， CATFCD， ACCD，ATCCFD， ACTCDF（AAS） ， ATCF， ETCE， AEEF