1、专题专题 19 19 双双 X X 形相似模型形相似模型 一、单选题一、单选题 1如图，在 ABC中，AB15cm，AC12cm，AD是BAC的外角平分线，DEAB 交 AC的延长线于点 E，那么 CE 等于（ ）cm A32 B24 C48 D64 【答案】C 【分析】 根据平行线的性质及相似三角形的判定与性质即可求解 【详解】 解：标出字母，如图： 在ABC中，AD是BAC 的外角平分线， EAD=MAD， DEAB交 AC 的延长线于点 E， EDA=MAD，BAC=CED， EAD=EDA， ED=EA， 在三角形 ABC与三角形 CED 中， BAC=CED，BCA=ECD， ABC
2、CED， ABAC DECE ， AB=15cm，AC=12cm， 设 ED=15k， CE=12k， ED=15k=EA=EC+CA=12k+12， 3k=12， k=4， CE=12k=48（cm） ， 故选：C 【点睛】 本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定与性质，本题的解题关键是由三角形相似边的比例关系即可 得出答案 2 如图， 平行四边形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O， CE平分DCB交 BD 于点 F， 且ABC60 ， AB2BC，连接 OE，下列结论：ACD30 ；S平行四边形ABCDAC BC；OE：AC1：4；S OCF 2S OEF其中正确的有（ ） A
3、1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【分析】 由四边形 ABCD是平行四边形，得到ABC=ADC=60，BAD=120，根据角平分线的定义得到 DCE=BCE=60推出CBE 是等边三角形， 证得ACB=90， 求出ACD=CAB=30， 故正确； 由 ACBC，得到 SABCD=ACBC，故正确； 根据直角三角形的性质得到 AC= 3BC，根据三角形的中位线的性质得到 OE= 1 2 BC，于是得到 OE：AC= 3：6，故错误； 由三角形的中位线可得 BCOE，可判断OEFBCF，根据相似三角形的性质得到 CFBC EFOE =2，求得 SOCF=2SOEF；故正确 【详解】
4、 解：四边形 ABCD是平行四边形， ABC=ADC=60 ，BCD=120 ， CE平分BCD交 AB 于点 E， DCE=BCE=60 CBE是等边三角形， BE=BC=CE， AB=2BC， AE=BC=CE， ACB=90 ， ACD=CAB=30 ，故正确； ACBC， SABCD=ACBC，故正确， 在 RtACB中，ACB=90 ，CAB=30 ， AC= 3BC， AO=OC，AE=BE， OE= 1 2 BC， OE：AC= 3：6；故错误； AO=OC，AE=BE， OEBC， OEFBCF， CFBC EFOE =2 SOCF：SOEF= CF EF =2， SOCF=2
5、SOEF；故正确 故选 C 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键 3如图，AB是半圆 O的直径，半径 OCAB于点 O，点 D是BC的中点，连接 CD、OD下列四个结论： AC/OD；CE=OE； ODE ADO；ADC=BOD其中正确结论的序号是（ ） A B C D 【答案】A 【分析】 如图，利用圆周角定理得1=3，加上1=2，则2=3，于是可对进行判断；利用 ACOD可判 定ACEDOE，则 CEAC OEOD ，再判定AOC 为等腰直角三角形得到 AC= 2OA=2OD，所以 CE= 2OE，于是可对进行判断；利用圆周角
6、定理得到COD=21，则根据相似三角形的判定方法可对进 行判断；利用圆周角定理可计算出ADC=45，而BOD=45，则可对进行判断 【详解】 解：如图， 点 D是BC的中点， 即CDBD， 1=3， OA=OD， 1=2， 2=3， ACOD，所以正确； ACEDOE， CEAC OEOD ， OCOA， AOC 为等腰直角三角形， AC= 2OA=2OD， 2 CE OE CE= 2OE，所以错误； 点 D是BC的中点， BOD=COD BOD=21 COD=21， 而ODE=ADO， ODE 与ADE不相似，所以错误； ADC= 1 2 AOC=45，BOD= 1 2 BOC=45， AD
7、C=BOD，所以正确 正确的结论是， 故选：A 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共 边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用也考查了圆周角定理 4如图，在 ABC中，BC6， AEAF EBFC ，动点 P在射线 EF 上，BP交 CE 于点 D，CBP 的平分线交 CE 于点 Q，当 CQ 1 4 CE时，EP+BP 的值为（ ） A9 B12 C18 D24 【答案】C 【分析】 如图， 延长 EF 交 BQ的延长线于 G 首先证明 PBPG， EP+PBEG， 由 EGBC， 推出 EG CB EQ QC 3， 即可求出
8、EG 解决问题 【详解】 解：如图，延长 EF交 BQ的延长线于 G AEAF EBFC ， EGBC， GGBC， GBCGBP， GPBG， PBPG， PE+PBPE+PGEG， CQ 1 4 EC， EQ3CQ， EGBC， EQGCQB， EG CB EQ QC 3， BC6， EG18， EP+PBEG18， 故选：C 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助 线构造相似三角形是解题的关键 5如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC的平分线交 AC于点 E，交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G， 若 AF2FD
9、，则 BE EG 的值为（ ） A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 3 4 【答案】C 【分析】 由 AF2DF，可以假设 DFk，则 AF2k，AD3k，证明 ABAF2k，DFDGk，再利用平行线分线 段成比例定理即可解决问题 【详解】 解：由 AF2DF，可以假设 DFk，则 AF2k，AD3k， 四边形 ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD，ABCD， AFBFBCDFG，ABFG， BE 平分ABC， ABFCBG， ABFAFBDFGG， ABCD2k，DFDGk， CGCD+DG3k， ABDG， ABECGE， 22 33 BEABk EGCGk ， 故选：C 【点睛
10、】 本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的 性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键 6 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，ADBC，且 ABBC4，AD2，点 E 是边 BC 上的一个 动点，EFBC交 AD于点 F，将四边形 ABCD沿 EF所在直线折叠，若两边重叠部分的面积为 3，则 BE的 长为（ ） A 3 4 或43 B43 C 3 4 D 4 3 或 4+ 3 【答案】A 【分析】 如图 1，将四边形 ABCD沿 EF所在直线折叠，两边重叠部分为五边形 EBGDF，推出四边形 ABEF是矩 形，得到
11、AB=EF=4，AF=BE，根据折叠的性质得到 AF=AF，BE=BE，AB=AB=4，设 BE=x，则 AF=AF=BE=x， 根据相似三角形的性质得到 BG=4 （2-x） ， 根据题意列方程得到 1 2 （2-x） + （4-x） 4 1 2 （4-2x） （8-4x）=3此方程无实数根，故这种情况不存在；如图 2，将四边形 ABCD 沿 EF所在直线折 叠，两边重叠部分为矩形 ABEF，设 BE=x，则 AF=AF=BE=x，根据题意列方程得到 BE= 3 4 ；如图 3，将四边形 ABCD沿 EF所在直线折叠，两边重叠部分为CEG，设 BE=x，则 AF=AF=BE=x，根据 相似三
12、角形的性质得到 EG=2（4-x） ，根据题意列方程得到结论 【详解】 解：如图 1，将四边形 ABCD 沿 EF所在直线折叠，两边重叠部分为五边形 EBGDF， ABAD，ADBC，EFBC， 四边形 ABEF是矩形， ABEF4，AFBE， 将四边形 ABCD沿 EF所在直线折叠， AFAF，BEBE，ABAB4， 设 BEx，则 AFAFBEx， DF2x，CE4x， AD2x2，CB42x， ADBC， ADGBCG， A C A GB G B D 242 42 x x B G B G ， BG4（2x） ， 两边重叠部分的面积为 3， 1 2 （2x）+（4x）4 1 2 （42x）
13、 （84x）3 此方程无实数根，故这种情况不存在； 如图 2，将四边形 ABCD沿 EF所在直线折叠，两边重叠部分为矩形 ABEF， 设 BEx，则 AFAFBEx， 两边重叠部分的面积为 3， BEAB4x3， 解得：x 3 4 ， BE 3 4 ； 如图 3，将四边形 ABCD沿 EF所在直线折叠，两边重叠部分为CEG， 设 BEx，则 AFAFBEx， DFx2，CE4x， DFCE， DFGCEG， G DF CE FG E 4 42x x EG EG ， EG2（4x） ， 两边重叠部分的面积为 3， 1 2 2（4x） （4x）3， 解得：x43或 x4+3（不合题意舍去） ， 综
14、上所述，BE的长为 3 4 或 43， 故选：A 【点睛】 本题考查了翻折变换（折叠问题） ，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，分类讨论思想的运用是解题的 关键 7如图， ABC中，ACB90 ，AB12，点 D，E分别是边 AB，BC的中点，CD 与 AE交于点 O，则 OD 的长是( ) A1.5 B1.8 C2 D2.4 【答案】C 【分析】 根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，求得 CD 的长，根据中位线的性质，得到 DEAC，求得 AOCEOD， 根据三角形相似的性质求出 OD和 OC 的关系， 进而得出 OD和 CD的关系， 然后即可求解 【详解】 解： ABC为直角三角形
15、， D 点为 AB的中点， CD= 1 2 AB=6 D 和 E点分别为 AB，BC的中点， DEAC， 1 2 DEAC AOCEOD， 1 2 ODDE OCAC 1 2 3 ODCD 故选 C 【点睛】 本题考查了中位线性质，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握中位线的性质，能够利用 平行线判定两三角形相似 8如图，已知O的内接ABC中，12ABAC，AD BC于D，3AD，直径AE交BC边于点 G，有下列四个结论：AG EGBG CG； 2 BEEG AE；当6AB时，O的面积取得最 大值36；三角形外接圆直径等于它的任两边的积与第三边上的高的比其中正确结论有（ ） A1
16、个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【分析】 本题需根据三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质去解答. 【详解】 由相交弦定理得是正确的； 由条件并不能得出BEG与AEB相似，故是错误的； 由条件可证ABE与ADC相似，从而可得AE ADAB AC，进而可得O的半径， 设ABx，O的半径为y，则有 2 1 2 6 yxx ， 故当6AB时，O的最大面积为36，故是正确的； 由AE ADAB AC这一结论一般化，得是正确的， 故选 C 【点睛】 本题主要考查三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质，解题的关 键是理解运用这些
17、性质定理. 二、解答题二、解答题 9 在Rt ABC中， 90ACB，5AB， 4 sin 5 CAB，D是斜边AB上一点， 过点A作AECD， 垂足为E，AE的延长线交BC于点F （1）当 1 tan 2 BCD时，求线段BF的长； （2）当 5 4 BF 时，求线段AD的长 【答案】 （1） 5 2 BF ； （2） 3 2 AD 或 AD= 9 4 【分析】 （1）先求出 AC，BC 的长，证出CAF=BCD，再得到CAF和BCD的三角函数值都与BCD 的三角 函数值相等，进一步得到 BF的长； （2）分两种情况当点 F在线段 BC上时，根据三角函数值相等得到比例式，进而得到方程，求出
18、BG的 长，再由平行得到ACD和BDG相似从而得到相似比，得出方程求出 AD的长；当点 F在 CB的延长 线上时，方法可参照 【详解】 解： （1）在ABC中，ACB=90，AB=5，sinCAB= 4 5 ， BC=4，AC=3， AECD，ACB=90， BCD+AFC=90，AFC+CAF=90， CAF=BCD tanCAF=tanBCD= 1 2 ， 又ACB=90，AC=3， CF= 3 2 ，BF= 5 2 ； （2）如图 1 中，当点 F在线段 BC上时，过点 B作 BG/AC，交 CD 延长线于点 G， tanCAF=tanBCD， CF AC = BG BC ，即 4BF
19、3 BG BC ， BG= 11 3 ， BG/AC， ACD=G，CAD=DBG， BGDACD BGBD ACAD ，即 5 3 BGAD AD ， AD= 9 4 如图 2中，当点 F在 CB延长线上时，过点 B作 BG/AC，交 CD延长线于点 G， tanCAF=tanBCD， CFBG ACBC ，即 4BF 3 BG BC ， BG=7， BG/AC， ACD=G，CAD=DBG， BGDACD BGBD ACAD ，即 5 3 BGAD AD AD= 3 2 【点睛】 本题考查三角形的三角函数的应用、相似的判定与性质，用到了分类讨论的思想，转化为方程去思考是解 题的关键，本题是
20、一道难度较大的综合题 10如图，在ABC中，ACBC，CD为AB边上的中线，/ /CEAB，线段DE交BC于点G （1）若1CECG，4AB ，求DE的长； （2） 如图， 取ABC外一点F， 连接AF，BF，CF，DF，CF与DE交于点H， 若90ACB， ACAF，BFCF，DEDF 求 HF DH 的值； 求证：CHFH 【答案】 （1）6； （2） HF DH 的值为 2；见解析 【分析】 （1）找到CEG和BDG相似，得到 CECG BDBG ，又因为 CD为等腰三角形 ABC中 AB 边上的中线，计 算出 BD、BG 的长度，再使用勾股定理即可计算出 DE 的长度； （2） 由题目
21、中的信息可以得到推到出FDBHDC， DFB=DHC； 可以证明DFB 和DHC全等， 有 DF=DH，推算出 2HFDH ，从而计算出题目所求； （2）根据已知信息，设ACBCa，根据勾股定理可以计算出 22ABaAC ， 12 22 ADABa，可以推导出DAF 和FAB 相似，有2BFDF；又因为DFB 和DHC 全等， 有CHBF，DF=DH，由于 2HFDH ，从而可以证明题目所求 【详解】 （1）/CE AB CEGBDG， CECG BDBG 在等腰三角形 ABC 中，ACBC，CD为 AB边上的中线， 1 2 2 BDAB，CDAB 11 2BG 2BG 2 1 3BCBG C
22、G ， 22222 325CDBCBD， 在 RtCED中， 222 5 16DECDCE ； （2）DEDF，CDAB FDE=CDB=90 ， FDBHDC， BFCF， CFBEDF=90 ， CFB+DFH=EDF+DFH， DFB=DHC， ABC是等腰直角三角形，CD 为 AB 边上的中线， BD=CD， 在DFB 和DHC中， DFBDHC FDBHDC BDCD ， DFBDHC（AAS） ， DF=DH， EDF=90 ， 2HFDH ，即 HF DH 的值为 2； ABC 是等腰直角三角形，CD为 AB边上的中线， 设ACBCa， 22 22ABACBCaAC ， 12 2
23、2 ADABa 2 2 ADAC ACAB ， ACAF， 2 2 ADAF AFAB ， DAFFAB， DAFFAB， 2 2 DFAF BFAB ，即2BFDF， DFBDHC， CHBF，DF=DH， 2HFDH ； CHFH 【点睛】 本题主要考查了相似三角形及性质、全等三角形、勾股定理的综合运用，熟练掌握和灵活应用以上内容的 相关定义及性质是我们解题的关键；其中根据不同的条件灵活使用以上知识点，得出我们所需，能够更有 效的解题 11如图，在矩形 ABCD中，AB2，AD4点 E，F分别在 AD，BC上，点 A 与点 C 关于 EF所在的直 线对称，P 是边 DC 上的一动点 （1）
24、连接 AF，CE，求证：四边形 AFCE 是菱形； （2）当 PEF的周长最小时，求 DP CP 的值 【答案】 （1）见解析； （2） 3 5 【分析】 （1）连接 AF，CE，AC交 EF于点 O，由“AAS”证明AEOCFO，可得四边形 AFCE 是平行四边形， 再结合 ACEF，可证得结论； （2）作点 F关于 CD的对称点 H，连接 EH，交 CD于点 P，此时PEF的周长最小，由 ADBC，可得 DEPCHP，由相似三角形的性质可得比例式进而求得答案 【详解】 解： （1）证明：如图，连接 AF，CE，AC 交 EF于点 O 四边形 ABCD是矩形 ABCD，ADBC，ADBC A
25、EOCFO，EAOFCO 点 A与点 C关于 EF所在的直线对称 AOCO，ACEF AEOCFO，EAOFCO，AOCO AEOCFO（AAS） AECF，且 AECF 四边形 AFCE 是平行四边形， 又ACEF 四边形 AFCE 是菱形； （2）如图，作点 F关于 CD的对称点 H，连接 EH，交 CD 于点 P，此时PEF的周长最小 四边形 AFCE 是菱形 AFCFCEAE AF2BF2+AB2 AF2（4AF）2+4 AF 5 2 ADBC DEPCHP DP CP DE CH 3 5 答：当PEF的周长最小时， DP CP 的值为 3 5 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质、勾
26、股定理在计算中的应用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质 及定理是解题的关键 12如图 1，在矩形 ABCO中，OA8，OC6，D，E 分别是 AB，BC 上一点，AD2，CE3，OE 与 CD 相交于点 F （1）求证：OECD； （2）如图 2，点 G是 CD的中点，延长 OG交 BC于 H，求 CH的长 【答案】 （1）见解析； （2）CH 的长为 6 【分析】 （1）根据四边形 ABCO是矩形，可得 OA=BC=8，OC=AB=6，根据勾股定理可得 OE和 CP 的长，进而得 EF和 CF的长，再根据勾股定理的逆定理即可得 OECD； （2）在 RtCBD中，CB=8，BD=AB
27、-AD=6-2=4，根据勾股定理可得 CD=4 5，根据点 G是 CD 的中点， 可得 CG=DG=2 5，所以得点 G 是 CP 的三等分点，根据 OABC，对应边成比例即可求出 CH 的长 【详解】 （1）四边形 ABCO是矩形， OA=BC=8，OC=AB=6， 在 RtOCE中，CE=3， OE= 2222 633 5OCCE ， ABOC，即 ADOC，且 AD=2， ADPA OCPO ， 2 68 PA PA ， PA=4， PO=PA+OA=12， 在 RtOPC中，OC=6， CP= 2222 6126 5OCPO ， OABC，即 OPCE， CEEFCF OPOFPF ，
28、 31 124 EFCF OFPF ， EF= 1 5 OE= 3 5 5 ， CF= 1 5 CP= 6 5 5 ， ( 3 5 5 )2 +( 6 5 5 )2= 936 55 =9， EF2+CF2=CE2， CEF是直角三角形， CFE=90 ， OECD； （2）在 RtCBD中，CB=8，BD=ABAD=62=4， 根据勾股定理，得 CD= 2222 844 5CBBD ， 点 G是 CD 的中点， CG=DG=2 5， 由（1）知：CP=6 5， DP=CPCD=2 5， 点 G是 CP 的三等分点， OABC，即 OPCH， CHCG OPGP ， 1 122 CH ， CH=
29、6 答：CH 的长为 6 【点睛】 本题考查了矩形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例 定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质 13已知：矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 P是线段 AD 上一点，连接 CP，点 E在对角线 AC 上（不与 点 A，C 重合） ，CPEACB，PE的延长线与 BC交于点 F （1）如图 1，当 AP2 时，求 CF 的长； （2）如图 2，当 PFBC时，求 AP的长； （3）当 PFC是等腰三角形时，求 AP 的长 【答案】 （1）CF 36 7 ； （2）AP 7 2 ； （3）AP 的长为 6 【分析】 （1）
30、如图 1，先根据勾股定理计算 AC=10，PC=6 2，证明CEPCPA，得 CECP CPAC ，则 CE=7.2， 计算 AE=10-7.2=2.8，由平行线分线段成比例定理列比例式可得 CF的长； （2）如图 2，由（1）知：CECA=CP2=CD2+DP2，即可求解； （3）分 PF=PC、FC=PC、FC=FP 三种情况，继续利用 CECA=CP2=CD2+DP2，求解即可 【详解】 （1）如图 1，四边形 ABCD 是矩形， BD90， AB6，BC8， AC 22 68 10， RtPDC中，AP2， PDCD6， PC 22 66 6 2， ADBC， DACACB， CPEA
31、CB， DACCPE， PCEPCA， CEPCPA， CECP CPAC ，即 6 2 106 2 CE ， CE7.2， AE107.22.8， APCF， APAE CFCE ，即 22.8 7.2CF ， CF 36 7 ； （2）如图 2， ADBC，PFBC， ADPF， APE90， tanDAC 63 84 DCEP ADAP 设 EP3x，AP4x，则 AE5x，BFAP4x， CE105x，PD84x， 由（1）知：CP2CEAC， RtPCD中，PC2PD2+CD2， PD2+CD2CEAC， 62+（84x）210（105x） ， 解得：x0（舍）或 x 7 8 ， A
32、P4x 7 2 ； （3）分三种情况： 当 PFPC 时，如图 3， 设 APx，则 PD8x，CF2PD162x， APCF， APAE CFCE ，即 162 xAE xCE ， 1610 162 x xCE ， 10(162 ) 16 x CE x ， 由（2）知：用 CECACP2CD2+DP2， 100(162 ) 16 x x 62+（8x）2， x0， x232x+1560， （x6） （x26）0， x6或 26（舍） ， AP6； 当 FCPC，如图 4，连接 AF， CPECFPAPEACBPAC， AEEP，EFCE， AEFPEC， AEFPEC（SAS） ， AFPC
33、CF， 设 CFAFa，则 BF8a， RtABF 中，由勾股定理得：62+（8a）2a2， 解得：a 25 4 ， CFCP 25 4 ， 设 APx，则 PD8x， CP2CD2+DP2， 2 22 25 6(8) 4 x ， 解得：x 39 4 （舍）或 25 4 ； 当 x 25 4 时，APCPCFAF，且 ACPF 四边形 AFCP 是正方形，此种情况不存在； 当 FCFP，如图 5，P与 A 重合， 该情况不符合题意； 综上：AP 的长为 6 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、三角 函数的应用等知识， 解题的关键是正
34、确寻找全等三角形或相似三角形解决问题， 学会构建方程计算边的长， 属于中考压轴题 14如图，AB是O的直径，4AB ，30ABC，点C是 O上不与点A，B重合的点 （1）请判断AOC的形状，并证明你的结论； （2）利用尺规作ACB的平分线CD，交AB于点E，交O于点D，连接BD； （保留作图痕迹，不写 作法） 求弧AD的长度； 求ACE与BDE 的面积比 【答案】 （1）等边三角形，证明见解析 （2）作图见解析；1:2 【分析】 （1）运用圆的直径所对应的圆周角为直角的定理，求出ACB90，且根据题意可知ABC30， OB=OC，故BCO30，ACO 的度数便可相减得出，故AOC的形状便可判断
35、出来； （2）作图方式：先以 C 为圆心，取合适的长度为半径，交 CA、CB于某两点，再分别以该两点为圆心，取 合适的长度为半径，所画圆弧的交点与 C点连线即为ACB的角平分线 因为画出了角平分线，所以ACD的度数便可求出，而ACD为 AD的圆周角，AOD 是AD的圆心 角，圆心角度数为圆周角度数的两倍，已知圆的直径和圆心角度数，则圆弧的长度即可求得； 连接 OD，作OFBD，分别求出 AC、BD的长度，证明ACEDBE ，两相似三角形的面积之比 为边长之比的平方，即可求得答案 【详解】 解： （1）AOC是等边三角形 证明：AB 是O的直径，圆的直径所对应的圆周角为直角， ACB90， 又A
36、BC 30，且 OB=OC， BCO30 ACO=ACB-BCO=90 -30 =60 ， 又OC=OA， AOC是等边三角形 （2）尺规作图如下图所示，先以 C 为圆心，取合适的长度为半径，交 CA、CB于某两点，再分别以该两点 为圆心，取合适的长度为半径，所画圆弧的交点与 C点连线即为ACB的角平分线 CD 平分ACB， 11 ACDACB9045 22 ， 弧 AD所对的圆心角为2 ACD2 4590 ， 弧 AD的长度 901 AB4 3604 由得，点 D是半圆 ADB 的中点， 连接 OD，过点 O作OFBD，垂足为点 F， BOD是等腰直角三角形，OBF也是等腰直角三角形， 在R
37、t OBF中， 221 BF=OF=OB=AB= 2 222 ， BD=2BF=2 2， 同弧所对应圆周角相等， ACEDBE，且对顶角相等， 故AECDEB， ACEDBE 22 2 1:2 2 2 ACE DBE SAC SBD 【点睛】 本题考查了圆周角概念的判析、圆的弧长的求法、尺规作图画角平分线、用相似三角形定理求两个三角形 的面积之比，这里要注意的是，两个相似三角形的面积之比为边长之比的平方，这里的计算千万不能出错 15如图，AB是O的直径，半径OCAB ，垂足为 O，直线 l为O的切线，A 是切点，D是OA上 一点，CD的延长线交直线 l于点 ,E F是OB上一点，CF的延长线交
38、O于点 G， 连接,AC AG， 已知O 的半径为 3，34CE ，554BFAD （1）求AE的长； （2）求cos CAG的值及CG的长 【答案】 （1）AE=2； （2）CG= 9 10 5 ，cosCAG= 10 10 【分析】 (1)过点 E作 EHOC，交 OC 的延长线于点 H，证明四边形 AOHE是矩形得到 EH=OA=3，求得 222 ( 34) 35CHCEEH ，即可得到 AE； (2)先证明ADEOCD求得 AD=1.2，OD=1.8，根据554BFAD求得 BF=2，CF= 22 10OCOF ，连接 BG，证明AFCGFB，得到 AFCF GFBF ，求得 4 10
39、 5 GF ，即可得到 CG=CF+GF= 9 10 5 ， 设 CO 延长线交O于点 N， 连接 GN， 则CNG=CAG， 在 RtCGN中， 求得 NG= 22 CNCG 3 10 5 ，即可得到 cosCAG=cosCNG= 10 10 NG CN . 【详解】 (1)过点 E作 EHOC，交 OC 的延长线于点 H， 直线 l为O的切线，A是切点， OAAE， OCAB， EHO=OAE=AOH=90 ， 四边形 AOHE 是矩形， EH=OA=3，AE=OH， 34CE , 222 ( 34) 35CHCEEH , AE=OH=CH-OC=2； (2)OAE=AOC=90 ， OC
40、AE， ADEOCD， 2 3 ADAE ODOC ， AD=1.2，OD=1.8， 554BFAD， BF=2， OF=1， AF=4，CF= 22 10OCOF ， 连接 BG， ACF=B，AFC=GFB， AFCGFB， AFCF GFBF ， 410 2GF ， 4 10 5 GF ， CG=CF+GF= 9 10 5 ， 设 CO延长线交O于点 N，连接 GN，则CNG=CAG， 在 RtCGN中，CGN=90 ，CN=6，CG= 9 10 5 , NG= 22 CNCG 3 10 5 ， cosCAG=cosCNG= 3 10110 5610 NG CN . 【点睛】 此题考查矩
41、形的判定定理及性质定理，勾股定理，圆切线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定及 性质，锐角三角函数解直角三角形，熟记各定理并熟练运用解题，正确连接辅助线是解此题的关键. 16如图，点B是反比例函数 8 y x （0 x）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C， 反比例函数 k y x （0 x）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E连接DE并 延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG （1）填空：k _； （2）求BDF的面积； （3）求证：四边形BDFG为平行四边形 【答案】 （1）2 （2）3 （3）见解析 【分析】 （1）根据题意设点 B
42、的坐标为 （x，8 x ） ， 得出点 M的坐标为 （ 2 x ，4 x ） ， 代入反比例函数 k y x （0 x） ， 即可得出 k； （2） 连接OD， 根据反比例函数系数k的性质可得 | 1 2 AOD k S， 8 4 2 AOB S， 可得 4 13 BOD S ， 根据/OF AB，可得点F到AB的距离等于点O到AB距离，由此可得出答案； （3）设, BB B xy，, DD D xy，可得8 BB xy，2 DD xy，根据 BD yy，可得4 BD xx，同理 4 BE yy，可得 3 1 BE EC ， 3 4 BD AB ，证明EBDECF，可得 1 3 CFCE BD
43、BE ，根据 4 3 OCAB BDBD ， 得出 4 1 OC CF ，根据O，G关于C对称，可得OCCG，4CGCF，3FGCF，可得BDFG， 再根据/BD FG，即可证明BDFG是平行四边形 【详解】 解： （1）点 B在 8 y x 上， 设点 B 的坐标为（x， 8 x ） ， OB中点 M的坐标为（ 2 x ， 4 x ） ， 点 M 在反比例函数 k y x （0 x） ， k= 2 x 4 x =2， 故答案为：2； （2）连接OD，则 | 1 2 AOD k S， ， 8 4 2 AOB S， 4 13 BOD S ， /OF AB， 点F到AB的距离等于点O到AB距离，
44、3 BDFBDO SS ； （3）设, BB B xy，, DD D xy， 8 BB xy，2 DD xy， 又 BD yy， 4 BD xx， 同理4 BE yy， 3 1 BE EC ， 3 4 BD AB ， /AB BC， EBDECF， 1 3 CFCE BDBE ， 4 3 OCAB BDBD ， 4 1 OC CF ， O，G关于C对称， OCCG， 4CGCF， 43FGCG CFOFCFCF， 又3BDCF， BDFG， 又/BD FG， BDFG是平行四边形 【点睛】 本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活 运用知识点
45、是解题关键 17已知Rt ABC中，90ACB，30CAB（如图） 以线段AB为边向外作等边三角形ABD， 点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F （1）求证：四边形BCFD为平行四边形； （2）连接CD，交AB于点M 若6AB，求BM的长； 作MNAC，垂足为N，求证： 111 BCADMN 【答案】 （1）证明见解析； （2）2BM ；证明见解析 【分析】 （1）先根据等边三角形的性质可得60BADABDD，再根据直角三角形的性质、等边三角形 的判定与性质可得60CEBCBEABC，然后根据平行线的判定可得/CF BD，/BC FD，最 后根据平行四边形的判定即可得证； （2
46、）先根据相似三角形的判定与性质可得 BMBC AMAD ，再根据（1）已求 11 22 BCABAD，从而可 得 1 2 BMBC AMAD ，然后根据线段的和差即可得； 先根据平行线的判定可得/BC MN DA， 再根据相似三角形的判定与性质可得 MNAN BCAC ， MNCN DACA ， 从而可得1 MNMNANCN BCDAACCA ，由此即可得证 【详解】 （1）ABD是等边三角形 ADABBD，60BADABDD 在Rt ABC中，30CAB 60ABC 点E是线段AB的中点 1 2 CEBEAEAB BCE是等边三角形 60CEBCBEABC，BCCE 60ABDCEB /CF BD 606060180CBDDCBEABDD /BC FD 四边形BCFD为平行四边形； （2）如图，连接CD，交AB于点M /BC FD BCMADM BMBC AMAD 1 2 BCCEAB，ABAD 1 2 BMBC AMAD 6ABBMAM 1 2 3 BMAB； 如图，作MNAC，垂足为N 90ACB，306090CADBACBAD，MNAC /BC MN DA AMNABC，CCMNDA MNAN BCAC ， MNCN DACA 1 MNMNANCNANCNAC BCDAACCAACAC 111 BCADMN 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的