1、专题专题 23 23 一字并肩型解直角三角形一字并肩型解直角三角形 一、单选题一、单选题 1如图，港口A在观测站O的正东方向，2OAkm，某船西东从港口A出发，沿北偏东15方向航行一 段距离后到达B处， 此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向， 则该船航行的距离 （即AB的长） 为（ ） A2km B3km C 2km D3 1 km 【答案】C 【分析】 过点A作ADOB于D 先解Rt AOD， 得出AD= 1 2 OA=1， 再由 ABD是等腰直角三角形， 得出BD=AD=1， 则 AB= 2AD=22 【详解】 如图，过点 A 作 ADOB于 D 在 Rt AOD中，ADO=90
2、，AOD=30 ，OA=2， AD= 1 2 OA=1 在 Rt ABD中，ADB=90 ，B=CAB-AOB=75 -30 =45 ， BD=AD=1， AB= 2AD=2 即该船航行的距离（即 AB的长）为 2km 故选：C 【点睛】 此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 2如图，一艘轮船从位于灯塔 C的北偏东方向，距离灯塔 60 海里的小岛 A出发，沿正南方向航行一段时 间后，到达位于灯塔 C 的南偏东方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A的距离是( ) A30 3 海里 B(3030 3) 海里 C120海里 D60海里 【答案】B 【分析】
3、 过点 C作 CDAB 于点 D，先解 Rt ACD，求出 AD，CD，再根据 BD=CD，即可解出 AB 【详解】 如图，过点 C 作 CDAB于点 D， 则ACD=30 ，BCD=45 ， 在 Rt ACD中，AD= 1 2 CA= 1 2 60=30（海里） ， CD=CA cosACD=60 3 2 =30 3（海里） ， BCD=45 ，BDC=90 ， 在 Rt BCD中，BD=CD， AB=AD+BD=AD+CD=（30+30 3）海里， 故选：B 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角 形的问题，解题的关键是作高线 二
4、、解答题二、解答题 3 为进一步加强疫情防控工作， 避免在测温过程中出现人员聚集现象， 某学校决定安装红外线体温监测仪， 该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明 书的部分内容如表 名称 红外线体温检测仪 安装示意图 技术参数 探测最大角：OBC=73.14 探测最小角：OAC=30.97 安装要求 本设备需安装在垂直于水平地面 AC的支架 CP上 根据以上内容，解决问题： 学校要求测温区域的宽度 AB 为 4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度 OC （结果精确到 0.1m，参考数据：sin73.140.957，cos73.140.290，
5、tan73.143.300，sin30.970.515， cos30.970.857，tan30.970.600） 【答案】该设备的安装高度 OC约为 2.9m 【分析】 根据题意可得 OCAC，OBC=73.14 ，OAC=30.97 ，AB=4m，所以得 AC=AB+BC=4+BC，根据直角 三角形锐角三角函数列式计算即可 【详解】 根据题意可知： OCAC，OBC=73.14 ，OAC=30.97 ，AB=4m， AC=AB+BC=4+BC， 在 Rt OBC中，BC= tanOBC3.3 OCOC ， 在 Rt OAC中，OC=ACtanOAC(4+BC)0.6， OC=0.6(4+
6、3.3 OC )， 解得 OC2.9（m） 答：该设备的安装高度 OC约为 2.9m 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数得到关于 OC的方程是解题的关键 4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球 与高楼的水平距离为 66m，这栋高楼有多高？（结果精确到 0.1m，参考数据：31.73） 【答案】152.2 【分析】 过点 A作ADBC于点 D， 根据仰角和俯角的定义得到BAD和CAD的度数， 利用特殊角的正切值求出 BD 和 CD的长，加起来得到 BC的长 【详解】 解：如图，过点 A 作ADBC于点 D， 根据题意，30B
7、AD，60CAD，66ADm， 3 tan306622 3 3 BDADm ， tan6066366 3CDADm ， 22 366 388 3152.2BCm 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握利用特殊角的三角形函数值解直角三角形的方法 5如图，C地在 A地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需要绕行 B地，已知 B位于 A地北偏东 67 方向，距离 A地 520 km，C 地位于 B地南偏东 30 方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求 A 地 到 C 地之间高铁线路的长 （结果保留整数）参考数据： （sin67 12 13 ；cos67 5 13 ；ta
8、n67 12 5 ；31.73） 【答案】A地到C地之间高铁线路的长约为596 km 【分析】 过点 B作 BDAC 于点 D，利用锐角三角函数的定义求出 AD及 CD的长，进而可得出结论 【详解】 解：如解图，过点B作BDAC于点D， B地位于A地北偏东67方向，距离A地520km， 67ABD ， 12 sin67520480() 13 ADABkm ， 5 cos67520200() 13 BDABkm C地位于B地南偏东30方向， 30CBD ， 3200 3 tan30200() 33 CDBDkm ， 200 3 480596() 3 ACADCDkm 答：A地到C地之间高铁线路的
9、长约为596 km 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形 6为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼 A 处到 E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部 D点测 得条幅顶端 A 点的仰角ADF=45 ，条幅底端 E 点的俯角为FDE=30 ，DFAB，若甲、乙两楼的水平距 离 BC为 21 米，求条幅的长 AE约是多少米？（31.73，结果精确到 0.1 米） 【答案】33.1米 【分析】 根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可 【详解】 解： 过点 D 作 DFAB，如图所示： 在 Rt ADF中，DF=BC=21 米，ADF=4
10、5 AF=DF=21米 在 Rt EDF中，DF=21米，EDF=30 EF=DF tan30 =7 3米 AE=AF+BF=7 3+2133.1米 答：条幅的长 AE 约是 33.1 米 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长 7为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒 10 米的速度沿平行于岸边的赛道 AB由西向东行驶在 A 处测得岸边一建筑物 P 在北偏东 30 方向上，继续行 驶 40 秒到达 B处时，测得建筑物 P 在北偏西 60 方向上，如图所示，求建筑物 P 到赛道 AB的距离（结果 保留
11、根号） 【答案】100 3米. 【解析】 【分析】如图，作 PCAB于 C，构造出 Rt PAC与 Rt PBC，求出 AB的长度，利用特殊角的三角函数 值进行求解即可得. 【详解】如图，过 P 点作 PCAB于 C， 由题意可知：PAC=60 ，PBC=30 ， 在 Rt PAC中，tanPAC= PC AC ，AC= 3 3 PC， 在 Rt PBC中，tanPBC= PC BC ，BC= 3PC， AB=AC+BC= 3 3 PC+ 3PC=10 40=400， PC=100 3， 答：建筑物 P 到赛道 AB的距离为 100 3米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构
12、造直角三角形，利用特殊角的三角 函数值进行解答是关键. 8某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树 AB 被刮倾斜后在 C处折断倒在地上，树的顶部恰好接 触到地面 D处，测得ACD60 ，ADC37 ，AD5 米，求这棵大树 AB的高 （结果精确到 0.1米） （参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75， 31.73） 【答案】这棵大树 AB 原来的高度约是 9.2米 【分析】 过点 A作 AECD于点 E，解 Rt AED，求出 DE及 AE的长度，再解 Rt AEC，得出 CE及 AC的长，进 而可得出结论 【详解】 过点 A作 AECD于点 E，则AECAED9
13、0 在 Rt AED中，ADC37 ，AD=5， cos37 DE AD 5 DE 0.8， DE4， sin37 AE AD 5 AE 0.6， AE3， 在 Rt AEC 中， CAE90 ACE90 60 30 ， CEAE tanCAE= 3 3 AE3 ， AC2CE2 3， ABAC+CE+ED2 3+3+433+49.2（米） 答：这棵大树 AB 原来的高度约是 9.2米 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 9汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去 A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米上空的 P 点，测得 A 村的
14、俯角为 30 ，B 村的俯角为 60 (如图)则 A，B两个村庄间的距离是多少米(结果保留根号) 【答案】A，B两个村庄间的距离 300 3米 【分析】 根据两个俯角的度数可知ABP 是等腰三角形，ABBP，在直角 PBC中，根据三角函数就可求得 BP的 长 【详解】 解：过 P 作 AB 的垂线，垂足是 C， 由题意得：AAPQ30 ，PBCBPQ60 ， APB60 30 ， APBA， ABPB 在 RtBCP中，C90 ，PBC60 ，PC450 米， PB 450 sin60 450 3 2 300 3 ABPB300 3 答：A，B两个村庄间的距离 300 3米 【点睛】 此题考查
15、的是解直角三角形的应用，正确理解解直角三角形的条件，熟练运用三角函数是解题关键 10如图，在 A岛周围 50海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，发现 A 岛在北偏东 60 方向， 轮船继续正东方向航行 40海里到达 B处发现 A岛在北偏东 45 方向，该船若不改变航向继续前进，有无触 礁的危险？（参考数据：31.732） 【答案】无触礁的危险 【分析】 根据已知条件解直角三角形 OAC可得 A岛距离航线的最短距离 AC 的值，若 AC50，则无触礁危险，若 ACQ， 没有触礁的危险 【点睛】 本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30角直角三角形的性质、相
16、似三 角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键 18如图，某野外生态考察小组早晨 7点整从 A 营地出发，准备前往正东方向的 B营地，由于一条南北向 河流的阻挡（图中阴影部分） ，他们需要从 C 处过桥经过测量得知，A、B 之间的距离为 13 km，A 和B 的度数分别是 37 和 53 ，桥 CD 的长度是 0.5 km，图中的区域 CDFE 近似看做一个矩形区域 （1）求 CE的长； （2）该考察小组希望到达 B 营地的时间不迟于中午 12 点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留 1 位小数） （参考数据：sin370.60，cos370.80，ta
17、n370.75） 【答案】 （1）CE 的长为6km； （2）他们的行进速度至少是3.6/km h 【分析】 （1） 设C E x k m， 先根据矩形的性质可得0.5EFCDkm，CEDFxkm，CEEF，DFEF， 再解直角三角形分别求出 4 3 AEx， 3 4 BFx，然后根据线段的和差列出等式，求解即可得； （2）先根据题（1）的结论求出 AE、BF、DF的长，再利用勾股定理分别求出 AC、BD的长，然后根据速 度的计算公式列出不等式，求解即可得 【详解】 （1）设CExkm 四边形 CDFE 是矩形 0.5EFCDkm，CEDFxkm，CEEF，DFEF 在RtACE中，tan C
18、E A AE ，即tan37 x AE 解得 4 () tan370.753 xx AEx km 在Rt BDFV中，9037BDFB ，tan BF BDF DF ，即tan37 BF x 解得 3 tan370.75() 4 BFxxx km 又AEEFBFAB 43 0.513 34 xx 解得6()xkm 故 CE的长为6km； （2）由（1）可知， 4 8 3 AExkm， 39 42 BFxkm，6DFxkm 则 2222 6810()ACCEAEkm 2222 915 6( )7.5() 22 BDCFBFkm 设他们的行进速度为/ykm h 由题意得： 127 ACCDBD y
19、 ，即 100.57.5 5 y 解得3.6(/ )ykm h 答：他们的行进速度至少是3.6/km h 【点睛】 本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用、勾股定理等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题 关键 19一艘渔船从位于 A海岛北偏东 60 方向，距 A海岛 60 海里的 B处出发，以每小时 30 海里的速度沿正南 方向航行已知在 A海岛周围 50海里水域内有暗礁 （参考数据：31.73, 52.24, 72.65） （1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由 （2）渔船航行 3小时后到达 C 处，求 A，C之间的距离 【答案】 （1）没有危险，理由见解析； （2）7
20、9.50 海里 【分析】 （1）过 A 点作ADBC于点 D，在RtABD中求出 AD 与 50海里比较即可得到答案； （2）在RtABD中求出 BD 得到 CD，再根据勾股定理求出 AC. 【详解】 解： （1）过 A 点作ADBC于点 D， 90ADBADC， 由题意可得60B ， 在RtABD中， 3 sin606030 351.950 2 ADAB ， 渔船在航行过程中没有触礁的危险； （2）在RtABD中，cos6030BDAB ， 3 3090BC ， 903060DC ， 在Rt ADC中， 2222 (30 3)6030 779.50ACADCD ， 即 A，C 之间的距离为
21、79.50 海里. 【点睛】 此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角 形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键. 20如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高 度，已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离18 3AC 米，小丽在甲栋楼房顶部 B 点，测得乙栋楼 房顶部 D 点的仰角是30，底部 C 点的俯角是45，求乙栋楼房CD的高度（结果保留根号） 【答案】18( 3+1)m 【分析】 根据仰角与俯角的定义得到 AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解 【详解】 如图，依题意可得BC
22、A=45 ， ABC是等腰直角三角形， AB=CE= 18 3AC DBE=30 DE=BE tan30 =18 CD的高度为 CE+ED=18( 3+1)m 【点睛】 此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义 21如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得30CAB，45ABC，8AC 千米，求A、B两点间的距离 （参考数据： 21.4 ，31.7，结果精确到 1 千米） 【答案】A、B两点间的距离约为 11千米 【分析】 如图（见解析） ，先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出 CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定 与性质可得 BD的长，然后根据线段的和差
23、即可得 【详解】 如图，过点 C 作CDAB于点 D 在RtACD中，30CAD，8AC 千米 11 84 22 CDAC （千米） ， 2222 844 3ADACCD （千米） 在Rt BCD中，45DBC Rt BCD是等腰直角三角形 4BDCD千米 4 344 1.7410.811ABADBD （千米） 答：A、B两点间的距离约为 11千米 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形 是解题关键 22如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65 方向航行60 2海里至 B 港，然后再沿北偏西 40 方向航行至 C 港， C港在 A港北
24、偏东 20 方向，求 A，C两港之间的距离为多少海里.（保留根号） 【答案】(6020 3)海里. 【分析】 由题意得652045CAB，402060ACB， 60 2AB ，过 B作 BEAC于 E，解 直角三角形即可得到答案 【详解】 解：由题意得： 652045CAB，402060ACB， 60 2AB ， 如图，过 B作BEAC于E， 90AEBCEB， 在RtABE中，45ABE， ABE是等腰直角三角形， 2 60 2 AEBEAB， 在Rt CBE中，60ACB，tan BE ACB CE ， 60 20 3 tan603 BE CE ， 6020 3ACAECE， A，C 两港
25、之间的距离为(6020 3)海里 故答案为：(6020 3)海里 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三 角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 23图是甘肃省博物馆的镇馆之宝铜奔马，又称“马踏飞燕”，于 1969年 10 月出土于武威市的雷台汉 墓，1983年 10 月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学 习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了 测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地
26、面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点B到地面的高度为 BA，在测点C用仪器测得点B的仰角为 ，前进一段距离到达测点E，再用该仪 器测得点B的仰角为， 且点A，B，C， D，E，F均在同一竖直平面内，点A， C，E在同一条直线上 测量数据 的度数 的度数 CE的长度 仪器CD（EF）的 高度 31o 42 5 米 1.5米 请你根据上表中的测量数据， 帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 （结果保留一位小数） （参 考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60，sin420.67，cos420.74，tan420.90） 【答案】10.5m 【分析】 如图，
27、延长DF交AB于G，设,BGx 利用锐角三角函数表示FG，再表示DG，再利用锐角三角函数 列方程求解x，从而可得答案 【详解】 解：如图，延长DF交AB于G， 由题意得：90 ,BGDBAC 5,1.5,DFCEDCAGEF 设,BGx 由tantan42, BG FG 9 , 10 x FG 10 , 9 x FG 10 5, 9 x DG 由tantan31, BG DG 3 , 10 5 5 9 x x 5 15, 3 x 9,x 经检验：9x符合题意， 9 1.5 10.5BABGAG “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5 .m 【点睛】 本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握
28、锐角三角函数的应用是解题的关键 24共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两 地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45方向上，在B地北偏西 68方向上，AB的距离为7km， 求新建管道的总长度（结果精确到0.1km，sin220.37，cos220.93， tan220.40， 21.41 ） 【答案】新建管道的总长度约为8.2km 【分析】 如图 （见解析） ， 先根据方位角的定义求出45 ,22CADCBD ， 设A D x k m， 则( 7)B Dxk m， 再在RtACD中，根据等腰直角三角形的判定与性
29、质可得 AC、CD的长，然后在Rt BCD中，解直角三 角形可得 x 的值，从而可得 AC、BC的长，由此即可得出答案 【详解】 如图，过点 C 作CDAB于点 D 由题意得：904545 ,906822CADCBD ，7ABkm 设ADxkm，则(7)BDx km ,45CDABCAD RtACD是等腰直角三角形 ,22CDADxkm ACADxkm 在Rt BCD中，tan CD CBD BD ，即tan22 7 x x 解得 7tan227 0.40 2() 1tan221 0.40 xkm 经检验， 7tan22 1tan22 x 是所列分式方程的解 2 22.82()ACkm，2CD
30、km 在Rt BCD中，sin CD CBD BC ，即 2 sin22 BC 解得 22 5.41() sin220.37 BCkm 则2.82+5.418.238.2()ACBCkm 答：新建管道的总长度约为8.2km 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形的 方法是解题关键 25如图，一架无人机在距离地面高度为14.3米的点A处，测得地面上点M的俯角为53，这架无人机沿 仰角为35的方向飞行了56米到达点B， 恰好在地面上点N的正上方，M，N在同一水平线上 求M， N两点之间的距离 （结果精确到1米参考数据：sin530.80
31、 ，cos530.60 ，tan531.33， sin350.57，cos350.82，tan350.70） 【答案】35 米 【分析】 过点 A作 ACBN 于 C过点 M 作 MDAC 于 D，在 Rt AMD 中，通过解直角三角形可求出 AD的长， 在 Rt ABC 中， 通过解直角三角形可求出 AC的长， 由 ACBN， MDAC， MNBN 可得出四边形 MDCN 是矩形，再利用矩形的性质即可求出 MN的长，此题得解 【详解】 如图，过点A作ACBN于点C，过点M作MDAC于点D 在RtAMD中，14.3DM 米，53DAM， 10.8 tan53 DM AD 米 在RtABC中，5
32、6AB米，35BAC， cos35ACAB（米） ACBN，MDAC，MNBN， 四边形MDCN是矩形， 45.92 10.835MNDCACAD（米） 答：M，N两点之间的距离约为35米 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形，求出 AD，AC 的长度是解题的关键 26如图，小明在商城二楼地板A处发现对五层居民楼顶防雨棚一侧斜面MN与点A在一条直线上，此时 测得M，N仰角是22，上到九楼在地板边沿B点测得居民楼顶斜面顶端M点俯角是16，已知商城每 层楼高3.6米，居民楼每层楼高3米，试计算居民楼顶防雨棚一侧斜面MN的长度 （结果保留精确到1
33、米） （参考数据：sin220.38，cos220.93，tan220.41，sin160.28，cos160.96, tan160.29） 【答案】居民楼顶防雨棚一侧斜面MN的长度约是9米 【分析】 首先分析图形，根据题意构造直角三角形，利用在Rt AMC、Rt BMC中，由 tan22 和 tan16 的和 AB, 求出 MC, 在Rt AMC中，利用 cos22 求得 AM,在Rt ADN中，求得 AN,即可求得 MN 【详解】 、 如图，分别过点M，N作AB垂线，垂足分别是C，D 在Rt AMC中，tan22ACMC，在Rt BMC中，tan16BCMC， ACBCAB，tan22ta
34、n16MCMCAB， 3.6 73.6 7 36 tan22tan160.410.29 MC 在Rt AMC中， 36 38.7 cos220.93 MC AM ， 设两楼与地面最近点是E，F，在矩形NEFD中，则3 5 15DFNE ， 15 3.6 11.4ADDFAF， 在Rt ADN中， 11.4 30 sin220.38 AD AN 所以38.7 309MNAMAN（米） 答：居民楼顶防雨棚一侧斜面MN的长度约是9米 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，借助仰角俯角构造直角三角形是解题的关键，再结合 图形利用三角函数进行求解 三、填空题三、填空题 27某拦水坝的横截
35、面为梯形ABCD， 迎水坡BC的坡角为，且 3 4 tan， 背水坡AD的坡度为 2:5i 是指坡面的铅直高度AE与水平宽度DE的比，坝面宽3ABm，坝高 12 ,AEm 则坝底宽CD _ 【答案】49m 【分析】 添一条辅助线，作 BFCD，AE=12m，根据 3 tan= 4 ，可得 CF的长，根据背水坡 AD 的坡度2:5i ， 可得 DE 的长，且 AB=EF，坝底 CD=DE+EF+FC，可得出答案 【详解】 解：如图所示，添一条辅助线，作 BFCD， AE=12m，且 3 tan= 4 ，而 BF tan= CF ， BFAE CF=16 tantan m， 又背水坡 AD的坡度2
36、:5i ， AE2 = DE5 ，故 DE=30m， 且 EF=AB=3m，坝底 CD=DE+EF+FC=30+3+16=49m， 故答案为：49m 【点睛】 本题主要考察了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边斜边，掌握定义 就不会算错 28如图，海中有个小岛 A，一艘轮船由西向东航行，在点 B处测得小岛 A位于它的东北方向，此时轮船 与小岛相距 20 海里，继续航行至点 D处，测得小岛 A在它的北偏西 60 方向，此时轮船与小岛的距离AD 为_海里 【答案】20 2 【分析】 过点 A作 ACBD，根据方位角及三角函数即可求解 【详解】 如图，过点 A 作 ACBD
37、， 依题意可得ABC=45 ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里) AC=BC=ABsin45 =10 2(海里) 在 Rt ACD中，ADC=90 -60 =30 AD=2AC=20 2 (海里) 故答案为：20 2 【点睛】 此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值 29 如图， 海上有一灯塔 P， 位于小岛 A北偏东 60 方向上， 一艘轮船从北小岛 A出发， 由西向东航行24nmile 到达 B处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30 方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P 的 正南方，此时轮船与灯塔 P 的距离是_n mile （结果保留一位小
38、数， 31.73 ） 【答案】20.8 【分析】 证明 ABP 是等腰三角形，过 P 作 PDAB，从而求得 PD 的长即可 【详解】 解：过 P 作 PDAB于 D， AB=24， PAB=90 -60 =30 ，PBD=90 -30 =60 ， BPD=30 ， APB=30 ，即PAB=APB， AB=BP=24， 在直角 PBD中，PD=BPsinPBD=24 3 2 =12 320.8. 故答案为：20.8. 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键 30如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距15 3CD 米，在实验楼顶部B
39、点测得教学楼顶部A 点的仰角是30，底部C点的俯角是45，则教学楼AC的高度是_米（结果保留根号）. 【答案】(15+15 3) 【解析】 【分析】 过点 B作 BMAC， 垂足为 E， 则ABE=30 ， CBE=45 ， 四边形 CDBE是矩形， 继而证明CEB=CBE， 从而可得 CE 长，在 Rt ABE 中，利用 tanABE= AE BE ，求出 AE 长，继而可得 AC长. 【详解】 过点 B作 BMAC，垂足为 E， 则ABE=30 ，CBE=45 ，四边形 CDBE是矩形， BE=CD=15 3， CEB=90 ， CEB=90 -CBE=45 =CBE， CE=BE=15 3， 在 Rt ABE 中，tanABE= AE BE ， 即 3 315 3 AE ， AE=15， AC=AE+CE=15+15 3， 即教学楼 AC 的高度是(15+15 3)米， 故答案为：(15+15 3). 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键.