1、专题专题 11 11 构造平行四边形构造平行四边形 一、单选题一、单选题 1如图，菱形ABCD的边长为 13，对角线24AC ，点 E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并 延长与AB的延长线相交于点 G，则EG （ ） A13 B10 C12 D5 【答案】B 【分析】 连接对角线 BD，交 AC于点 O，求证四边形 BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出 OD 的长， BD=2OD，即可求出 EG 【详解】 连接 BD，交 AC于点 O， 由题意知：菱形 ABCD 的边长为 13，点 E、F分别是边 CD、BC 的中点， AB=BC=CD=DA=13， EF/BD， AC、B
2、D是菱形的对角线，AC=24， ACBD，AO=CO=12，OB=OD， 又AB/CD，EF/BD DE/BG，BD/EG 在四边形 BDEG中， DE/BG，BD/EG 四边形 BDEG是平行四边形 BD=EG 在COD中， OCOD，CD=13，CO=12 OD=OB=5 BD=EG=10 故选 B 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定 理是解题的关键 2在等边三角形 ABC中，BC=6cm，射线 AG/BC，点 E从点 A出发，沿射线 AG以 1cm/s 的速度运动， 同时点 F从点 B 出发，沿射线 BC 以 2cm/s
3、 的速度运动，设运动时间为 t，当 t为( )s 时，以 A，F，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？（ ） A2 B3 C6 D2或 6 【答案】D 【分析】 分别从当点 F在 C的左侧时与当点 F在 C 的右侧时去分析，由当 AE=CF时，以 A、C、E、F为顶点四边形 是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【详解】 当点 F在 C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm， 则 CF=BC-BF=6-2t（cm） ， AGBC， 当 AE=CF时，四边形 AECF是平行四边形， 即 t=6-2t， 解得：t=2； 当点 F在 C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2t
4、cm， 则 CF=BF-BC=2t-6（cm） ， AGBC， 当 AE=CF时，四边形 AEFC 是平行四边形， 即 t=2t-6， 解得：t=6； 综上可得：当 t=2或 6s时，以 A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形 故选 D 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用 二、解答题二、解答题 3如图在 ABC中，ABAC，AD为BAC 的平分线，AN为 ABC外角CAM 的平分线，CEAN， 垂足为 E （1）求证：四边形 ADCE是矩形 （2）若连接 DE，交 AC于点 F，试判断四边形 ABDE 的形状（直接写出结果，不需
5、要证明） （3） ABC 再添加一个什么条件时，可使四边形 ADCE 是正方形并证明你的结论 【答案】 （1）证明见解析； （2）四边形 ABDE 是平行四边形； （3）当BAC90时，四边形 ADCE是正 方形，证明见解析 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得 ADBC，BADCAD，又由 AN 为ABC的外角CAM 的平分线，可 得DAE90，又由 CEAN，由矩形的判定可证四边形 ADCE 为矩形； （2）利用（1）中矩形的对角线相等推知：ACDE；结合已知条件可以推知 ABDE，又 AEBD，则易 判定四边形 ABDE是平行四边形； （3）由等腰直角三角形的性质可得 ADCDBD，即
6、可证四边形 ADCE是正方形 【详解】 证明： （1）在ABC中，ABAC，AD为BAC的平分线， ADBC，BADCAD， ADC90， AN为ABC的外角CAM的平分线， MANCAN， DAE90， CEAN， AEC90， 四边形 ADCE为矩形； （2）四边形 ABDE 是平行四边形， 理由如下：由（1）知，四边形 ADCE为矩形，则 AECD，ACDE 又ABAC，BDCD， ABDE，AEBD， 四边形 ABDE 是平行四边形； （3）当BAC90时，四边形 ADCE 是正方形， 理由：BAC90，ABAC，AD为BAC 的平分线， ADCDBD， 又四边形 ADCE 是矩形，
7、四边形 ADCE是正方形 【点睛】 本题考查平行四边形、矩形和正方形的判定方法，掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键 4如图，在 ABC中，已知BDCEFD，AEDACB （1）试判断DEF 与B的大小关系，并说明理由； （2）若 D、E、F分别是 AB、AC、CD边上的中点，S DEF4，S ABC= 【答案】 （1）DEF=B，理由见解析； （2）32 【分析】 （1）延长 EF交 BC于 G，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论； （2）根据三角形一边的中线平分三角形的面积，即可得到结论 【详解】 （1）DEF=B，理由如下： 延长 EF交 BC 于 G， BDC=EFD， EFBD，
8、 AED=ACB， DEBC， 四边形 DEGB是平行四边形， DEF=B； （2）F是 CD边上的中点，SDEF=4， SDEC=2SDEF=8， E 是 AC边上的中点， SADC=2SDEC=16， D 是 AB边上的中点， SABC=2SACD =32 【点睛】 本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关 键 5已知，菱形ABCD中，60B ，E、P分别是边BC和CD上的点，且 60EAP （1）求证：BCECCP （2）如图 2，F在CA延长线上，且FEFB，求证：AFEC （3）如图 3，在（2）的条件下，6AF ，10BE ，O是
9、FB的中点，求OA的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）7 【分析】 （1）连接 AC，如图 1，根据菱形的性质得 AB=BC，而B=60 ，则可判定 ABC为等边三角形，得到 BAC=60 ，AC=AB，易得ACF=60 ，BAE=CAF，然后利用 ASA 可证明 AEBAFC，即可解 答； （2）过点 F作 FHAB，交 CB的延长线于点 H，利用平行线的性质求得FHC 是等边三角形，得到 CF=CH=FH，然后利用 AAS 定理求得HBFCEF，从而问题得解； （3）过点 B作 BKFC，交 HF于点 K，根据两组对边分别平行求得四边形 KBAF是平行四边形，从而
10、求 得 1 2 OAAK，FK=16，过点 A作 AMFH，然后利用含 30的直角三角形的性质求得 MF= 1 3 2 AF , 33 3AMMF ，从而求得 KM=13，然后利用勾股定理求解即可 【详解】 解： （1）连接 AC，如图 1， 四边形 ABCD为菱形， AB=BC， B=60 ， ABC 为等边三角形， BAC=60 ，AC=AB， BAE+EAC=60 ， ABCD， BAC=ACP=60 ， EAP=60 ，即EAC+CAP=60 ， BAE=CAP， 在 AEB和 APC中， BAECAP ABAC BACD ， AEBAPC， BE=CF BCECBEECCP； （2）
11、过点 F作 FHAB，交 CB的延长线于点 H FHAB H=CGH=60 FHC是等边三角形 CF=CH=FH 又ABC是等边三角形 CA=CB AF=BH 又FB=FE FEB=FEB，即FBH=FEC 在HBF和CEF中 FBHFEC FHBFCE FHFC HBFCEF BH=EC AF=EC （3）过点 B作 BKFC，交 HF于点 K， BKFC，FHAB 四边形 KBAF是平行四边形 KB=AF=EC=6， 1 2 OAAK FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16 过点 A作 AMFH 由（2）可知，CFH=60 在 RtAMF中，MAF=30 MF= 1 3 2 AF
12、, 33 3AMMF KM=16-3=13 在 RtAKM 中， 2222 (3 3)1314AKAMMK AO=7 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，题目有一定 的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点 6如图，反比例函数 y k x （x0）过点 A（3，4） ，直线 AC与 x轴交于点 C（6，0） ，过点 C作 x 轴的 垂线交反比例函数图象于点 B， （1）求反比例函数和直线 AC的解析式； （2）求 ABC 的面积； （3）在平面内有点 D，使得以 A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所 有
13、D 点的坐标 【答案】 （1）反比例函数解析式为：y 12 x ；直线 AC的解析式为：y 4 3 x+8； （2）3； （3）符合条件的 点 D 的坐标是： （3，2）或（3，6）或（9，2） 【分析】 （1）将 A点的坐标代入反比例函数 y k x 求得 k 的值，然后将 A，C坐标代入直线解析式解答即可； （2）把 x=6 代入反比例函数解析式求得相应的 y的值，即得点 B 的坐标，进而利用三角形面积公式解答即 可； （3）使得以 A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意 D的坐标即可 【详解】 解： （1）把点 A（3，4）代入 y k x （x0） ，得 kx
14、y3 412， 故该反比例函数解析式为：y 12 x ， 把 A（3，4） ，C（6，0）代入 ymx+n 中， 可得： 34 60 mn mn ， 解得： 4 3 8 m n ，所以直线 AC 的解析式为：y 4 3 x+8； （2）点 C（6，0） ，BCx轴， 把 x6 代入反比例函数 y 12 x ，得 y 12 6 2， 则 B（6，2） ， 所以ABC的面积 1 (63) 23 2 ； （3）如图，当四边形 ABCD 为平行四边形时，ADBC且 ADBC A（3，4） 、B（6，2） 、C（6，0） ， 点 D的横坐标为 3，yAyDyByC即 4yD20，故 yD2 所以 D（3
15、，2） 如图，当四边形 ACBD为平行四边形时，ADCB且 ADCB A（3，4） 、B（6，2） 、C（6，0） ， 点 D的横坐标为 3，yDyAyByC即 yD420，故 yD6 所以 D（3，6） 如图，当四边形 ACDB为平行四边形时，ACBD且 ACBD A（3，4） 、B（6，2） 、C（6，0） ， xDxBxCxA即 xD663，故 xD9 yDyByCyA即 yD204，故 yD2 所以 D（9，2） 综上所述，符合条件的点 D的坐标是： （3，2）或（3，6）或（9，2） 【点睛】 本题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质
16、， 解答（3）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想 7如图所示，90BACDAE，M是BE的中点，ABAC ，ADAE，求证AMCD 【答案】见解析 【分析】 延长 AM 到 F， 使 MFAM， 交 CD于点 N， 构造平行四边形， 利用条件证明ABFCAD， 可得出BAF ACD，再结合条件可得到ANC90 ，可证得结论 【详解】 证明：延长 AM到 F，使 MFAM，交 CD于点 N， BMEM， 四边形 ABFE 是平行四边形， BFAE，ABFBAE180 ， BACDAE90 ， CADBAE180 ， ABFCAD， BFAE，ADAE， BFAD， 在ABF和CAD
17、中， BFAD ABFCAD ABAC ， ABFCAD（SAS） ， BAFACD， BAC90 ， BAFCAF90 ， ACDCAF90 ， AHC90 ， AMCD 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形 全等得到BAFACD是解题的关键 8如图所示，CD是ABC的中线，12 ，求证：AE BC. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 要证AEBC，可设法将AE、BC集中到一个图形中，由已知CD是ABC的中线，故倍长中线可得到 平行四边形AFBC. 【详解】 证明：延长CD至F，使DFCD，连AF，BF， 又DADB， 四边
18、形AFBC为平行四边形， 21AFC ， AEAFBC. 【点睛】 中线倍长，利用平行四边形的判定定理对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此达到转移线段或角的 目的. 9如图所示，ABCD中，E是BC的中点，9AE ，12BD ，10AD.求证：AEBD. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 过D作DFAE交BC的延长线于F，得四边形AEFD为平行四边形，由已知可得 BDF三边长，再由 勾股定理可知BDF=90 ，即可证明结论. 【详解】 证明：过D作DFAE交BC的延长线于F， AEDF，又 ADEF， 四边形AEFD为平行四边形， 10EFAD，9DFAE， 15BF. 22222 12
19、9225BDDFBF， 90BDF， AEBD. 【点睛】 此题主要考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，关键是平移 AE 构造 DBF，证出 BDF 是直角三角 形 10如图所示，ABC中，90C，D，E分别为BC，AC上一点，BDCE ，AEBC，求证： 2ADBE . 【答案】见解析 【解析】 【分析】 过A作AGBD，且AGBD，连BG，EG，则 ADBG 为平行四边形再证明AEGCBE，则 GE=BE，得 ADF 为等腰直角三角形即可证明结论 【详解】 证明：过A作AGBD，且AGBD，连BG，EG，则四边形ADBG为平行四边形， C=90 ， GAE=C=90 ， 在AEG和CB
20、E中， AG=CE AE=CB GAEC ， AEGCBE， GE=BE，GEA=EBC， GEB=90 . BEG为等腰直角三角形， 2ADBGBE 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平角的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三 角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键 11如图所示，四边形ACED中，CEAD，以DC，DE为边作平行四边形DCFE，EC的延长线交 AF于B，求证：ABFB. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 延长 FC 交 AD于点 G， 可证明四边形 CEDG 为平行四边形， 可得 FC=DE=CG， 可知 BC 为 FAG的中位线，
21、可证明 AB=FB 【详解】 证明：如图，延长 FC 交 AD于点 G， 四边形 CDEF为平行四边形， CFDE，CF=DE， 又CEAD， 四边形 CEDG为平行四边形， CG=DE， CF=CG，且 BCAG， BC是 FAG的中位线， B为 AF 的中点， 即 AB=FB 【点睛】 本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键，即两组对边分别 平行的四边形 平行四边形，两组对边分别相等的四边形 平行四边形，一组对边分别平行且相等的四 边形 平行四边形， 两组对角分别相等的四边形 平行四边形， 对角线互相平分的四边形 平行四边形 12如图所示，ABC中，90
22、ACB，CD AB于D，AE平分CAB交BC于E，交CD于F， FGAB交BC于G.求证：CEBG. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 要证CEBG，可设法将CE、BG集中到一个图形中，由已知FGAB，故过F作FMBC，从而得 到平行四边形FMBG. 【详解】 证明：过F作FMBC交AB于M，又FGAB， 四边形FMBG是平行四边形， BGFM，由90BBACACDBAC ， BACDAMF ，又AE平分CAB， ACFAMF，CFMF，又CEFBBAEACDCAECFE ， CECF， CEBG. 【点睛】 此题主要考查平行四边形性质和判断理解及运用利用平行四边形的判定定理作平行线，可构造
23、平行四边 形来达到转移线段或角的目的. 正确作出辅助线是解答本题的关键 13如图所示，四边形ACED中，CEAD，以DC，DE为边作平行四边形DCFE，EC的延长线交 AF于B，求证：2AFBF. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 过A作AMDE交CB的延长线于M，连结FM，先证明四边形AMED是平行四边形，再证明四边形 AMFC为平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证. 【详解】 证明：过A作AMDE交CB的延长线于M，连结FM， CEAD， 四边形AMED是平行四边形， AM=ED， 四边形DCFE是平行四边形， DECF,DE=CF, AM平行且等于CF， 四边形AMFC为平行四
24、边形， ABFB， 2AFBF. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四 边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对 角线互相平分的四边形是平行四边形. 14如图所示，在三角形ABC中，AD是中线及角平分线，求证：ABAC . 【答案】见解析 【解析】 【分析】 延长AD至E，使DEAD，连结BE，CE，证四边形ABEC是平行四边形，得到 BE=AC，BEAC， 再证明ABE是等腰三角形即可. 【详解】 证明：延长 AD到 E，使 AD=DE，连接 BE，CE， BC、AE，相互平分， A
25、BEC是平行四边形， BE=AC，BEAC， BAD=DAC=BED， AB=BE， AB=AC. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，及等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键. 15如图所示，ABC中，90ACB，CD AB于D，AE平分CAB交BC于E，交CD于F， FGAB交BC于G.求证：CGBE. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 过F作FMBC 交AB于M，可证四边形BMFG为平行四边形，从而FMBG，再证明 AFMAFC，可证CFFM，再证明 CE=CF，即可得出结论. 【详解】 证明：过F作FMBC 交AB于M， FGAB， 四边形BMFG为平行四边形， F
26、MBG， ACD+BAC=90，B+BAC=90， B=ACD， FMBC， AMFB . AMFBACD . AE平分CAB， CAF=BAF， AFMAFC. CFFM. 又CEFBACFCAECFE ， CE=CF， CECFBG， CGBE. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及等腰三角形的的判 定，正确作出辅助线是解答本题的关键. 16如图，已知 AD为 ABC 的中线，点 E为 AC 上一点，连接 BE交 AD 于点 F，且 AEFE. 求证：BFAC 【答案】证明见解析 【分析】 方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四
27、边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得 结论 方法二：向中线作垂线，证明BDGCDH，得到BGCH，再根据 AEFE，得到角的关系，从而 证明BGFCHA，最终得到结论. 【详解】 方法一：延长 AD到 G，使 DGAD，连接 BG，CG，DGAD，BDDC，四边形 ABGC 是平行四边 形，AC/BG，CADBGD，又 AEFE，CADAFE，BGDAFEBFG，BGBF，BGAC，BFAC 方法二：如图，分别过点B、C作BGAD，CHAD，垂足为G、H， 则90BGDCHD. BDCD，BDGCDH， BDGCDH， BGCH. AEFE，EAFEFA ， BFGEFA，BFGCAH，
28、 又90BGFCHA， BGFCHA， BFAC. 【点睛】 本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平 行四边形或双垂线. 17如图，D为 ABC 的 AB边上一点，E 为 AC延长线上的一点，且 CE=BD （1）当 AB=AC 时，求证：DEBC （2）当 ABAC时，DE与 BC有何大小关系？给出结论，画出图形，并证明 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 试题分析： （1）如图 1，过点 D作 DFBC，过点 C 作 CFAB，连接 EF，从而可得 DF=BC，这样就把分散的线段 集中到了DEF中，只需证 DEDF即可；易
29、证1=2，3=4，35，从而可得 DFEDEF，DEDF，从而得到：DEBC； （2）当 ABAC时，我们要分 ABAC和 ABAC，且 AB=AE时，如图 2，结合已知条件此时我们易证 ABCAED，从而得到 BC=DE； 当ABAC， 且ABAE时， 如图3， 延长AE到F， 使AF=AB， 在AB上截取AN=AC，易证 ABCAFN， 得到F=B；再过 D作 DMBC，过 C作 CMBD，得到四边形 DBCM 是平行四边形，由此可得 DMC=B=F，DM=BC；连接 ME，则法通过在DME中证DEMDME得到 DMDE，从而得到 BCDE； 当 ABAC，且 ABF得到ABCAED；再作
30、 DMBC，CMAB，可得 四边形 DBCM是平行四边形， 得到 DM=BC，DMC=ABC， 就可得DMCAED； 连接 ME， 在DME 中通过证DMEDEM，得到 DEDM，就可得到 DEBC； 当 ABACBC. 试题解析： （）作 DFBC，CFBD（如图 1）， 得BCFD，从而DFCB， DFBC，CFBD 又 BDCE，CFCE， 12 ABAC，ACBB 而DFEDFC1B1 ACB2AED2DEF， 即在 DEF中，DFEDEF， DEDF，即 DEBC （）当 ABAC时，DE与 BC的大小关系如下： 当 ABAC但 ABAE 时，DEBC； 当 ABAC且 ABAE 时
31、，DEBC； 当 ABAC但 ABAE 时，DEBC； 当 ABAC时，DEBC 证明如下： 当 ABAC但 ABAE时（如图 2）， BDCE，ABBDAECE，即 ADAC 在 ABC和 AED中， ABAE，AA，ACAD， ABCAED（SAS），BCED； 当 ABAC且 ABAE时， 延长 AE到 F， 使 AFAB， 在 AB上截取 ANAC（如图 3） ，连结 NF 在 ABC和 AFN 中， ABAF，AA，ACAN， ABCAFN（SAS），BF AEDF，AEDB 过 D 点作 DMBC，过点 C作 CMAB，连结 EM， 则四边形 DBCM 为平行四边形，DMCB，CM
32、BD，DM=BC， BD=CE，CMCE，CMECEM， DMCBAED，CMEDMCAEDCEM， 即DMEDEM，DEDM，DEBC； 当 ABAC但 ABAE时，延长 AB到 F，使 AFAE， 在 AE上截取 ANAD（如图 4） ，连结 NF, 在 AFN 和 AED 中， AFAE，AA，ANAD， AFNAED（SAS）， FAED， ABCF， ABCAED， 过 D 点作 DMBC，过点 C作 CMAB，连接 EM， 则四边形 DBCM 为平行四边形， DMCABC，CMBD， BDCE， CMCE， CMECEM， DMCABCAED， DMCCMEAEDCEM， 即DME
33、DEM， DEDM， DEBC； 当 ABAC 时，此时，AB 必小于 AE，即 ABAE 延长 AB到，使 AFAE，在 AE上截取 ANAD（如图 5） 连结 NF在 AFN 和 AED 中， AFAE，A，ANAD，AFNAED（SAS）， FAED，即F4ABCF，ABCAED， 过 D 作 DMBC，过点 C作 CMAB，连结 CM， 则四边形 DBCM 平行四边形，DMCABC，CMBD，DM=BC， BDCE，CMCE，CMECEMDMCABCAED， DMCCDEAEDCEM，即DMEDEM， DEDM， DEBC. 点睛：本题这种由一个“基本情形”（特殊情形）推广到“一般情形
34、”的探究型问题，首要的是要弄清基 本问题的解题思路 （本题就是把线段 BC 通过平移到 DM的位置， 从而使两条分散的线段集中到一个DME 中，再利用“在同一个三角形中，较大的角所对的边也较大”来解决问题的）；而在推广到“一般情形” 时，就是通过作辅助线把“一般情形”转化为“基本情形”来解（本题中第二问就是按这样的思路来寻找到 解题方法的）. 三、填空题三、填空题 18如图，在梯形ABCD中，AB CDADBC， ，对角线AC BD，且 5 2AC ，则梯形ABCD 的中位线的长为_. 【答案】5 【解析】 【详解】 解：过 C 作 CEBD交 AB的延长线于 E， ABCD，CEBD， 四边形 DBEC是平行四边形， CE=BD，BE=CD 等腰梯形 ABCD 中，AC=BDCE=AC ACBD，CEBD， CEAC ACE是等腰直角三角形， AC=5 2， AE = 2AC=10， AB+CD =AB+BE=10， 梯形的中位线= 1 2 AE=5， 故答案为：5 【点睛】 本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法