1、专题专题 03 03 和角平分线有关的辅助线和角平分线有关的辅助线 一、单选题一、单选题 1 已知： 如图， BD 为 ABC的角平分线， 且 BD=BC， E 为 BD 延长线上的一点， BE=BA， 过 E作 EFAB， F 为垂足下列结论：ABDEBC；BCE+BCD=180 ；AD=AE；BA+BC=2BF其中正确 的是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】 根据 SAS证 ABDEBC，可得BCEBDA，结合BCDBDC可得正确；根据角的和差以 及三角形外角的性质可得DCEDAE，即 AEEC，由 ADEC，即可得正确；过 E 作 EGBC于 G 点，证明 Rt BEGRt B
2、EF和 Rt CEGRt AEF，得到 BGBF和 AFCG，利用线段和差即可得到 正确 【详解】 解：BD 为 ABC的角平分线， ABDCBD， 在 ABD和 EBC中， BDBC ABDCBD BEBA ， ABDEBC（SAS） ，正确； BD 为 ABC的角平分线，BDBC，BEBA， BCDBDCBAEBEA， ABDEBC， BCEBDA， BCEBCDBDABDC180 ，正确； BCEBDA，BCEBCDDCE，BDADAEBEA，BCDBEA， DCEDAE， ACE为等腰三角形， AEEC， ABDEBC， ADEC， ADAE正确； 过 E作 EGBC于 G点， E 是
3、ABC的角平分线 BD 上的点，且 EFAB， EFEG（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ， 在 Rt BEG和 Rt BEF中， BEBE EFEG ， Rt BEGRt BEF（HL） ， BGBF， 在 Rt CEG和 Rt AFE 中， AECE EFEG ， Rt CEGRt AEF（HL） ， AFCG， BABCBFFABGCGBFBG2BF，正确 故选 D 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，本 题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键 2 如图，ABC中，135ACB，
4、CD AB， 垂足为D， 若6AD，20BD， 则CD的长为 （ ） A2 2 B3 2 C 7 2 D4 【答案】D 【分析】 做,ACDBCD分别关于,AC BC的对称图形,ACEBCF延长,AE BF交于点G，连接CG,构造正方 形，再根据等量关系用勾股定理计算 【详解】 做,ACDBCD分别关于,AC BC的轴对称图形,ACEBCF延长,AE BF交于点G， 连接CG， 如图： ,ACEBCF是,ACDBCD的对称三角形 6,20,AEADBFBDCECDCF ,AECADCBFCBDC ACEACDBCFBCD CDAB 90ADCBDCAECBFC 又 135ACB 135ACEB
5、CF 36013513590ECF 四边形CEGF是正方形 设CDCFGFCEGEx，在Rt GAB 中： 222 AG +BGAB即： 22 2 62026xx 解得： 12 4,30 xx （舍） CD的长为 4 【点睛】 本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键 3 如图，Rt ACB中，90ACB ，ABC的角平分线AD、BE相交于点P， 过P作PFAD交BC 的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：135APB ；PF PA；AHBDAB； S四边形 2 3 ABDES ABP，其中正确的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【答案】B 【分析】 根据三
6、角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可 【详解】 解：在 ABC 中，ACB=90 ， CAB+ABC=90 AD、BE分别平分BAC、ABC， BAD= 1 2 CAB，ABE= 1 2 ABC BAD+ABE= 111 +=()45 222 CABABCCABABC APB=180 -（BAD+ABE）=135 ，故正确； BPD=45 ， 又PFAD， FPB=90 +45 =135 APB=FPB 又ABP=FBP BP=BP ABPFBP（ASA） BAP=BFP，AB=AB，PA=PF，故正确； 在 APH与 FPD中 APH=FPD=90 PAH=BAP=BFP
7、 PA=PF APHFPD（ASA） ， AH=FD， 又AB=FB AB=FD+BD=AH+BD，故正确； 连接 HD，ED， APHFPD， ABPFBP APHFPD SS， ABPFBP SS，PH=PD， HPD=90 ， HDP=DHP=45 =BPD HDEP， EPHEPD SS ABPBDPAEPEPDABDE SSSSS 四边形 () ABPAEPEPHPBD SSSS ABPAPHPBD SSS ABPFPDPBD SSS ABPFBP SS 2 ABP S 故错误， 正确的有， 故答案为：B 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、
8、SAS、AAS、ASA、HL，注意 AAA 和 SAS不能判定两个三角形全等 二、解答题二、解答题 4如图，ABC 的外角DAC 的平分线交 BC 边的垂直平分线于 P 点，PDAB 于 D，PEAC 于 E （1）求证：BDCE； （2）若 AB6cm，AC10cm，求 AD 的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）2 【分析】 （1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BPCP，根据角平分线上的 点到角的两边距离相等可得 DPEP，然后利用“HL”证明Rt BDP和RtCEPD全等，根据全等三角形对 应边相等证明即可； （2）利用“HL”证明Rt ADP和RtA
9、EPD 全等，根据全等三角形对应边相等可得ADAE，再根据AB、 AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可 【详解】 （1）证明：连接BP、CP， 点P在BC的垂直平分线上， BPCP， AP是DAC的平分线， DPEP=， 在Rt BDP和RtCEPD中， BPCP DPEP = = ， RtBDPRtCEP(HL)DD ， BDCE； （2）解：在Rt ADP和RtAEPD中， APAP DPEP = = ， Rt ADPRt AEP(HL)DD ， ADAE， 6ABcm，10ACcm， 610ADAE+=-， 即610ADAD+=-， 解得AD2cm 【点睛】 本题考查了角平分线上的
10、点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性 质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 5 （特例感知） （1）如图（1） ，ABC是O的圆周角，BC为直径，BD 平分ABC交O于点 D，3CD，4BD ， 求点 D到直线 AB的距离 （类比迁移） （2）如图（2） ，ABC是O的圆周角，BC为O的弦，BD 平分ABC交O于点 D， 过点 D作DEBC，垂足为点 E，探索线段 AB，BE，BC 之间的数量关系，并说明理由 （问题解决）（3） 如图 （3） ， 四边形 ABCD为O的内接四边形，90ABC， BD平分ABC， 7 2BD
11、 ， 6AB，求ABC的内心与外心之间的距离 【答案】 （1） 12 5 ； （2）2ABBCBE，理由见解析； （3） 5 【分析】 （1）如图中，作DFAB于F，DEBC于E理由面积法求出DE，再利用角平分线的性质定理 可得DFDE解决问题； （2）如图中，结论：2ABBCBE只要证明 ()DFADEC ASA ，推出AFCE， Rt BDFRt BDE(HL) ，推出AFBE即可解决问题； （3） 如图， 过点 D作 DFBA， 交 BA 的延长线于点 F， DEBC， 交 BC于点 E， 连接 AC， 作 ABC ABC 的内切圆，圆心为 M，N为切点，连接 MN，OM由（1） （2）
12、可知，四边形 BEDF是正方形，BD是对角 线由切线长定理可知： 6 108 4 2 AN ，推出541ON ，由面积法可知内切圆半径为 2，在 Rt OMN中，理由勾股定理即可解决问题； 【详解】 解： （1）如图中，作DFAB于F，DEBC于E 图 BDQ平分ABC，DFAB，DEBC， DFDE， BC是直径， 90BDC， 2222 435BCBDCD ， 11 22 BC DEBD DC ， 12 5 DE， 12 5 DFDE 故答案为 12 5 （2）如图中，结论：2ABBCBE 图 理由：作DFBA于F，连接AD，DC BDQ平分ABC，DEBC，DFBA， DFDE，90DF
13、BDEB， 180ABCADC，180ABCEDF， ADCEDF， FDACDE， 90DFADEC， ()DFADEC ASA ， AFCE， BDBD，DFDE， Rt BDFRt BDE(HL) ， BFBE， 2ABBCBFAFBECEBE （3） 如图， 过点 D作 DFBA， 交 BA 的延长线于点 F， DEBC， 交 BC于点 E， 连接 AC， 作 ABC ABC 的内切圆，圆心为 M，N为切点，连接 MN，OM由（1） （2）可知，四边形 BEDF是正方形，BD是对角 线 图 7 2BD ， 正方形BEDF的边长为 7， 由（2）可知：28BCBEAB， 22 6810A
14、C ， 由切线长定理可知： 6 108 4 2 AN ， 5 41ON ， 设内切圆的半径为r， 则 1111 10686 8 2222 rrr 解得2r =， 即2MN ， 在Rt OMN中， 2222 215OMMNON 故答案为5 【点睛】 本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形， 正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压 轴题 6在平面直角坐标系中，点5,0A ，0,5B，点 C为 x轴正半轴上一动点，过点 A作AD BC交 y轴 于点 E （1）如图，若点 C 的坐标为（3，0）
15、，试求点 E的坐标； （2）如图，若点 C在 x轴正半轴上运动，且5OC ，其它条件不变，连接 DO，求证：OD平分ADC （3）若点 C在 x轴正半轴上运动，当2OCBDAO 时，试探索线段 AD、 OC、DC的数量关系，并证明 【答案】 （1） （0，3） ； （2）详见解析； （3）AD=OC+CD 【分析】 （1）先根据 AAS 判定 AOEBOC，得出 OE=OC，再根据点 C的坐标为（3，0） ，得到 OC=2=OE，进 而得到点 E的坐标； （2）先过点 O作 OMAD于点 M，作 ONBC于点 N，根据 AOEBOC，得到 S AOE=S BOC，且 AE=BC，再根据 OMA
16、E，ONBC，得出 OM=ON，进而得到 OD平分ADC； （3）在 DA 上截取 DP=DC，连接 OP，根据三角形内角和定理，求得PAO=30 ，进而得到OCB=60 ， 根据 SAS判定 OPDOCD，得 OC=OP，OPD=OCD=60 ，再根据三角形外角性质得 PA=PO=OC， 故 AD=PA+PD=OC+CD 【详解】 （1）如图，ADBC，BOAO， AOE=BDE， 又AEO=BED， OAE=OBC， A（-5，0） ，B（0，5） ， OA=OB=5， AOEBOC， OE=OC， 又点 C 的坐标为（3，0） ， OC=3=OE， 点 E的坐标为（0，3） ； （2）如
17、图，过点 O作 OMAD 于点 M，作 ONBC 于点 N， AOEBOC， S AOE=S BOC，且 AE=BC， OMAE，ONBC， OM=ON， OD 平分ADC； （3）如所示，在 DA 上截取 DP=DC，连接 OP， 2OCBDAO ，ADC=90 PAO+OCD=90 ， DAC= 90 3 =30 ，DCA= 2 90 3 =60 PDO=CDO，OD=OD， OPDOCD， OC=OP，OPD=OCD=60 ， POA=PAO=30 PA=PO=OC AD=PA+PD=OC+CD 即：AD=OC+CD 【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平
18、分线的判定定理以及等腰直角三角形 的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解 7 如图， 在ABC中，ABAC，100A ，BD是ABC 的平分线， 延长BD至点E，DEAD， 试求ECA的度数 【答案】40 【分析】 在BC上截取BFAB，连接DF，通过证明ABDFBD SAS，可得18080DFCA ， 再通过证明DCEDCF SAS，即可求得40ECADCB 【详解】 解：如图，在BC上截取BFAB，连接DF， BDQ是ABC的平分线， ABDFBD ， 在ABD和FBD中， , , , ABFB ABDFBD BDBD ABDFBD SAS
19、， BFDA ，ADDF， DE=DF， 18080DFCA ， 又40ABCACB，60FDC， 18060EDCADBABDA ， EDCFDC， 在DCE和DCF中， , , , DEDF EDCFDC DCDC DCEDCF SAS ， 故40ECADCB 【点睛】 本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键 8如图，DC90 ，点 E是 DC的中点，AE平分DAB，DEA28 ，求ABE 的大小 【答案】28 【分析】 过点 E作 EFAB于 F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=EF，根据线段中点的定义可得 DE=CE， 然后求出 CE=
20、EF， 再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出 BE平分ABC， 即可求得ABE 的度数 【详解】 如图，过点 E 作 EFAB于 F， D=C=90 ，AE平分DAB， DE=EF， E 是 DC的中点， DE=CE， CE=EF， 又C=90 ， 点 E在ABC 的平分线上， BE平分ABC， 又ADBC， ABC+BAD=180 ， AEB=90 ， BEC=90 -AED=62 ， Rt BCE 中，CBE=28 ， ABE=28 【点睛】 考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角 的平分线上的性质，解题关键是熟记各性
21、质并作出辅助线 9如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AE 平分BAD，BE 平分ABC，且 AE、BE交 CD于点 E试说明 ADABBC的理由 【答案】见解析 【分析】 在 AB上找到 F 使得 AFAD， 易证 AEFAED， 可得 AFAD， AFED， 根据平行线性质可证C BFE，即可证明 BECBEF，可得 BFBC，即可解题 【详解】 证明：在 AB 上找到 F使得 AFAD， AE 平分BAD， EADEAF， 在 AEF 和 AED 中， ADAF EADEAF AEAE ， AEFAED， （SAS） AFAD，AFED， ADBC， DC180 ， AFEBFE180
22、 CBFE， BE 平分BAD， FBEC， 在 BEC 和 BEF 中， BFEC FBECBE BEBE ， BECBEF， （AAS） BFBC， ABAFBF， ABADBC， 即 ADABBC 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证 AEFAED 和 BECBEF是解题的关键 10如图，在 ABC 中，ABAC，ABC40 ，BD是ABC的平分线，延长 BD至 E，使 DEAD，求 证：ECA40 【答案】见解析 【分析】 在 BC上截取 BFAB， 连 DF， 根据 SAS可证明 ABDFBD， 得出 DFDADE， 证明 DCE
23、DCF， 故ECADCB40 【详解】 证明：在 BC 上截取 BFAB，连 DF， BD是ABC的平分线， ABDFBD， 在 ABD和BD中， ABFB ABDFBD BDBD ， ABDFBD（SAS） ， DFDADE， 又ACBABC40 ，DFC180 A80 ， FDC60 ， EDCADB180 ABDA 180 20 100 60 ， 在 DCE和 DCF 中， DFDE FDCEDC DCDC ， DCEDCF（SAS） ， ECADCB40 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关 键 11已知 ABC 中，A
24、BAC，A108 ，BD平分ABC，求证：BCAC+CD 【答案】见解析 【分析】 在线段 BC上截取 BEBA，连接 DE则只需证明 CDCE 即可结合角度证明CDECED 【详解】 证明：在线段 BC 上截取 BEBA，连接 DE BD平分ABC， ABDEBD 1 2 ABC 在 ABD和 EBD中， BEBA ABDEBD BDBD ， ABDEBD （SAS） BEDA108 ，ADBEDB 又ABAC，A108 ，ACBABC 1 2 （180 108 ）36 ， ABDEBD18 ADBEDB180 18 108 54 CDE180 ADBEDB 180 54 54 72 DEC
25、180 DEB 180 108 72 CDEDEC CDCE BCBEECABCD 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键 12如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，ABAC，BAC90 ，BF 平分ABC，CDBD交 BF 的延长 线于点 D，试说明：BF2CD 【答案】见解析 【分析】 作 BF的中点 E，连接 AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出 AEBEEF，由 BD平分ABC就 可以得出ABEDBC22.5 ，从而可以得出BAEBAEACD22.5 ，AEF45 ，由BAC 90 ，BDC90 就可以得出 A、B、C、D四点共圆
26、，求出 ADDC，证 ADCAEB 推出 BECD， 从而得到结论 【详解】 解：取 BF的中点 E，连接 AE，AD， BAC90 ， AEBEEF， ABDBAE， CDBD， A，B，C，D 四点共圆， DACDBC， BF 平分ABC， ABDDBC， DACBAE， EAD90 ， ABAC， ABC45 ， ABDDBC22.5 ， AED45 ， AEAD， 在 ABE与 ADC中， ABEDAC BAEACD AEAD ， ABEADC， BECD， BF2CD 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线 的性质，正确
27、的作出辅助线是解题的关键 13如图 1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且 MN/PQNAB 和ABQ的平分线交 于点C （1）求证：BCAC； （2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合） ，交PQ于点 E, 若点D在点A的右侧，如图 2，求证：AD BEAB； 若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）BEADAB 【分析】 (1) 由平行线性质可得NAB+ABQ=180 ,再由角平分线定义可得 11 , 22 BACNABCBAABQ, 再利用三角形内角和定理即可得C=90 ,即可证明 B
28、CAC; (2) 延长 AC交 PQ点 F，先证明 AC=FC,再证明 ACDFCE,即可得 AD+BE=AB; 方法与相同 【详解】 解： （1）MNPQ NAB+ABQ=180 AC平分NAB，BC平分ABQ 11 , 22 BACNABCBAABQ BAC+ABC= 1 2 180=90 在 ABC中，BAC+ABC+C=180 C=180 - (BAC+ABC) =180 -90 =90 BCAC; （2）延长 AC 交 PQ于点 F BCAC ACB=FCB=90 BC平分ABF ABC=FBC BC=BC ABCFBC AC=CF，AB=BF MNBQ DAC=EFC ACD=FC
29、E ACDFCE AD=EF AB=BF=BE+EF=BE+AD 即：AB=AD+BE 线段 AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE 如图 3，延长 AC 交 PQ点 F, MN/PQ AFB=FAN，DAC=EFC AC平分NAB BAF=FAN BAF=AFB AB=FB BCAC C 是 AF的中点 AC=FC 在 ACD与 FCE 中 DACEFC ACFC ACDFCE ACDFCE ASA AD=EF AB=FB=BE-EF AD+AB=BE 【点睛】 本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三 角形 14在平面直角坐标中，等
30、腰 Rt ABC中，AB=AC，CAB=90 ，A（0，a） ，B（b，0） （1）如图 1，若2ab+（a-2）2=0，求 ABO的面积； （2）如图 2，AC与 x轴交于 D点，BC与 y轴交于 E 点，连接 DE，AD=CD，求证：ADB=CDE； （3）如图 3，在（1）的条件下，若以 P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰 Rt PQC，连接 BQ，求证： APBQ 【答案】 （1） ABO的面积=4； （2）证明见解析； （3）证明见解析 【分析】 （1）根据绝对值和偶次方的非负性求出 a，b，根据三角形的面积公式计算； （2）作 AF平分BAC交 BD 于 F点，分别证明 AC
31、EBAF， CEDAFD，根据全等三角形的性 质证明； （3）过 C点作 CMy轴于 M点，过 D点作 DNy轴于 N点，证明 ACMBAO，根据全等三角形的 性质得到 CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形 ONQB为平行四边形，得到答案 【详解】 解： （1） 2ab +（a-2）2=0， 2a-b=0，a-2=0， 解得，a=2，b=4， A（0，2） ，B（4，0） ， OA=2，OB=4， ABO的面积= 1 2 2 4=4； （2）作 AF平分BAC交 BD 于 F点， AB=AC，CAB=90 ， C=ABC=DAF=BAF=45 ， CAE+BAO=ABF+BAO=90 ，
32、 CAE=ABF， 在 ACE和 BAF中， CAEABF ACAB ACEBAF ， ACEBAF（ASA） ， CE=AF， 在 CED 和 AFD 中， CDAD CDAF CEAF ， CEDAFD（SAS） CDE=ADB； （3）过 C 点作 CMy轴于 M点，过 D点作 DNy轴于 N点， 则AMC=BOA=90 ， CAM+BAO=ABO+BAO=90 ， CAM=ABO， 在 ACM和 BAO 中， CAMABO CMAAOB ACAB ， ACMBAO（AAS） ， CM=AO=2，AM=BO=4， A（0，2） ，P（0，-6） ， AP=8， PM=AP-AM=4， 在
33、 PCM 和 QPN中， CPMPQN PMCQNP PCPQ ， PCMQPN（AAS） ， NQ=PM=4， 四边形 ONQB 为平行四边形， APBQ 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的 关键 15如图，已知 B 1, 0 ， C 1, 0 ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB AC ，点 D 为第二象限一动点， E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且BDC BAC . （1）求证： ABD ACD ； （2）求证： AD 平分CDE ； （3） 若在 D 点运动的过程中， 始终有 DC DA DB
34、， 在此过程中， BAC 的度数是否变化？如果变化， 请说明理由；如果不变，请求出BAC 的度数？ 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）BAC的度数不变化BAC=60 【解析】 【分析】 （1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论； （2）作 AMCD于点 M，作 ANBE于点 N，证明 ACMABN 即可； （3）用截长补短法在 CD上截取 CP=BD，连接 AP，证明 ABDACP，由全等 性质可知 ADP 是等边三角形，易知BAC 的度数. 【详解】 （1）BDC=BAC，DFB=AFC， 又ABD+BDC+DFB=BAC+ACD+AFC=180 ， ABD=ACD； （2）
35、过点 A作 AMCD于点 M，作 ANBE于点 N 则AMC=ANB=90 OB=OC，OABC， AB=AC， ABD=ACD， ACMABN （AAS） AM=AN AD平分CDE （到角的两边距离相等的点在角的平分线上） ； （3）BAC的度数不变化 在 CD上截取 CP=BD，连接 AP CD=AD+BD， AD=PD AB=AC，ABD=ACD，BD=CP， ABDACP AD=AP；BAD=CAP AD=AP=PD，即 ADP是等边三角形， DAP=60 BAC=BAP+CAP=BAP+BAD=60 【点睛】 本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性
36、质，等腰等边三角形的 性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 16已知：等腰直角三角形 ABC中，ACB=90 ；AC=BC；1=3；BEAD。 求证：BE=1 2AD。 【答案】见解析. 【解析】 【分析】 延长 AC、BE 交于 F，首先由 ASA 证明 AEF AEB，得到 BE=1 2BF，然后再次通过 ASA 证明 ACD BCF，得到 AD=BF，问题得解. 【详解】 证明：延长 AC、BE交于 F， 1=3，BEAE， 在 AEF和 AEB中， 1 = 3 = = = 90 ， AEF AEB(ASA)， FE=BE， BE=1 2BF， ACD=BED
37、=90 ，ADC=BDE， 1=2， 在 ACD和 BCF中， = = 90 = 1 = 2 ， ACD BCF（ASA） ， AD=BF， BE=1 2AD. 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考查学生的推 理能力，题目比较好，有一定的难度 17阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一， ABC中，A=90 ，AB=AC，BD平分ABC，猜想线段 AD与 DC数量关系.小明发现可以用下 面方法解决问题:作 DEBC交 BC于点 E： (1)根据阅读材料可得 AD与 DC的数量关系为_. (2)如图二， ABC 中，A=120 ，AB
38、=AC，BD平分ABC，猜想线段 AD与 DC的数量关系，并证明你 的猜想. (3)如图三， ABC 中，A=100 ，AB=AC，BD平分ABC，猜想线段 AD与 BD、BC的数量关系，并证 明你的猜想. 【答案】 （1）CD=2AD； （2）CD= 3 AD； （3）BC=AD+BD. 【解析】 【分析】 （1）由角平分线的性质可得 AD=DE，根据A=90 ，AB=AC，可得C=45 ，由 DEBC 可得 DEC是 等腰直角三角形，可得 CD=2DE，进而可得答案； （2）在 BC上截取 BE=AB，连接 DE，利用 SAS 可证明 ABD EBD，可得 AD=DE，BED=A=120
39、，由等腰三角形的性质可得C=30 ，利用三角形外角 性质可得CDE=90 ，利用含 30 角的直角三角形的性质即可得答案； （3）在 BC 上取一点 E，使 BE=BD， 作 DFBA于 F， DGBC于 G， 由角平分线的性质就可以得出 DF=DG， 利用 AAS 可证明 DAFDEG， 可得 DA=DE，利用外角性质可求出EDC=40 ，进而可得 DE=CE，即可得出结论 【详解】 （1）A=90 ，BD平分ABC，DEBC， DE=AD， A=90 ，AB=AC， C=45 ， CDE是等腰直角三角形， CD=2DE=2AD， 故答案为：CD=2AD （2）如图，在 BC上截取 BE=A
40、B，连接 DE， BD平分ABC， ABD=DBE， 在 ABD和 EBD中， AB = BE ABD= DBE BD = BD ， ABD EBD， DE=AD，BED=A=120 ， AB=AC， C=ABC=30 ， CDE=BED-C=90 ， CD= 3 DE= 3 AD. （3）如图，在 BC上取一点 E，是 BE=BD，作 DFBA于 F，DGBC 于 G， DFA=DGE=90 BD平分ABC，DFBA，DGBC， DF=DG BAC=100 ，AB=AC， FAD=80 ，ABC=C=40 ， DBC=20 ， BE=BD， BED=BDE=80 ， FAD=BED 在 DA
41、F和 DEG 中， DFA= DGE FAD= BED DF=DG ， DAFDEG（AAS） ， AD=ED BED=C+EDC， 80 =40+EDC， EDC=40 ， EDC=C， DE=CE， AD=CE BC=BE+CE， BC=BD+AD 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时 合理添加辅助线是解答本题的关键 18如图，已知 BC是O的弦，A是O 外一点， ABC为正三角形，D为 BC的中点，M 为O 上一点 （1）若 AB 是O 的切线，求BMC； （2）在（1）的条件下，若 E，F分别是 AB，AC上的两个动点，
42、且EDF120，O 的半径为 2，试问 BECF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 【答案】 （1）60 ； （2）BE+CF的值是定值，BE+CF= 3. 【分析】 （1）连接 BO，由 AB是切线可以得到ABO的度数，由 ABC 为等边三角形，得到OBC的度数，然后 得到BOC，根据圆心角与圆周角的关系得到BMC的度数. （2）作 DHAB 于 H，DNAC于 N，连结 AD ，OD，如图 2，根据等边三角形三角形的性质得 AD平 分BAC，BAC=60 ，则利用角平分线性质得 DH=DN，根据四边形内角和得HDN=120 ，由于 EDF=120 ，所以HDE=NDF，
43、接着证明 DHEDNF得到 HE=NF，于是 BE+CF=BH+CN，再计算 出 BH= 1 2 BD， CN= 1 2 DC， 则 BE+CF= 1 2 BC， 于是可判断 BE+CF的值是定值， 为等边 ABC边长的一半， 再计算 BC的长即可 【详解】 （1）解：如图，连接 BO， AB是圆的切线， ABO=90 ， ABC是等边三角形， ABC=60 ， CBO=90 -60 =30 ， BO=CO， BCO=CBO=30 ， BOC=120 ， BMC= 1 BOC60 2 （2）解：BE+CF的值是为定值 理由：作 DHAB于 H，DNAC于 N，连结 AD，OD，如图 2， AB
44、C为正三角形，D为 BC的中点， AD平分BAC，BAC=60 ， DH=DN，HDN=120 ， EDF=120 ， HDE=NDF， 在 DHE 和 DNF中， DHEDNF DHDN HDENDF ， DHEDNF， HE=NF， BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN， 在 Rt DHB中，DBH=60 ， BH= 1 2 BD， 同理可得 CN= 1 2 OC， BE+CF= 1 2 DB+ 1 2 DC= 1 2 BC， BD= 3， BC=2 3， BE+CF= 3， BE+CF的值是定值，为：3 【点睛】 本题考查了切线的判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线
45、是圆的切线 要证某线是圆的切线， 已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可也考查了等边三角形的性质 三、填空题三、填空题 19如图所示，ABC的外角ACD的平分线 CP 与ABC的平分线相交于点 P，若 36BPC，则 CAP_ 【答案】54 【分析】 如图（见解析） ，设CBPx，从而可得2ABCx，先根据三角形的外角性质可求出72BAC ， 再根据角平分线的性质可得,PMPN PMPE，从而可得PNPE，然后根据直角三角形全等的判定 定理与性质可得PANPAE，最后根据平角的定义即可得 【详解】 如图，过点 P 分别作PMBD于点 M，PNBA于点 N，PEAC于点
46、E， 设CBPx，则2ABCx， 36BPC， 36DCPBPCBPCx， CP是ACD的平分线， 2272ACDDCPx ， 272272BACACDABCxx， BP是ABC的平分线，PMBD，PNBA， PMPN， 同理可得：PMPE， PNPE， 在Rt ANP和RtAEP中， PNPE PAPA ， ()Rt ANPRt AEP HL ， PANPAE，即PANCAP， 又180PANCAPBAC， 272180CAP ， 解得54CAP， 故答案为：54 【点睛】 本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通 过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键 20 （香坊名师原创） 如图， 四边形ABCD中2120DB ，ABAD，E为BC上一点， 连接AE， 2BE ，7CD，若4120BAEBCD，则线段CE的长为_ 【答案】13 【分析】 如下图，先构造并证明AMBAND，从而得出ACMACN，再根据4120BAEBCD可 推导出ACCE，最后在 Rt ACM中求解 【详解】