1、专题专题 02 02 截长补短截长补短 【基础训练】 1、如图，AC 平分BAD，CEAB 于点 E，B+D=180 ，求证：AE=AD+BE. 解析：如图，在 EA 上取点 F,使 EF=BE,连接 CF, CEAB CF=CB CFB=B AFC+CFB=180 ，D+B=180 D=AFC AC 平分BAD 即DAC=FAC 在 ACD 和 ACF 中 D=AFC DAC=FAC AC=AC ACDACF（AAS） AD=AF AE=AF+EF=AD+BE 2、如图，已知在 ABC 中，C=2B,1=2，求证：AB=AC+CD 解析：在 AB 上取一点 E,使 AE=AC, 连接 DE,
2、 AE=AC,1=2，AD=AD ACDAED CD=DE,C=3 C=2B 3=2B=4+B 4=B，DE=BE,CD=BE AB=AE+BE AB=AC+CD 3、如图，在五边形 ABCDE 中，AB=AE,BC+DE=CD,B+E=180 ，求证：AD 平分CDE. 解析： 延长 CB 至点 F,使 BF=DE,连接 BF=DE,连接 AF,AC 1+2=180 ，E+1=180 2=E AB=AE,2=E,BF=DE ABFAED F=4，AF=AD BC+BF=CD 即 FC=CD 又AC=AC ACFACD F=3 F=4 3=4 AD 平分CDE. 4、 已知四边形ABCD中，
3、ABC+ADC=180 ， AB=BC， 如图， 点P,Q分别在线段AD,DC上， 满足PQ=AP+CQ, 求证：PBQ=90 -1 2ADC 解析： 如图，延长 DC，在上面找一点 K，使得 CK=AP，连接 BK, ABC+ADC=180 BAD+BCD=180 BCD+BCK=180 BAD=BCK 在 BAP 和 BKC 中 AP=CK BAP=BCK AB=BC BPABKC（SAS） ABP=CBK,BP=BK PQ=AP+CQ PQ=QK 在 BPQ 和 BKQ 中 BP=BK BQ=BQ PQ=KQ BPQBKQ(SSS) PBQ=KBQ PBQ=1 2ABC ABC+ADC=
4、180 ABC=180 -ADC 1 2ABC=90 - 1 2ADC PBQ=90 -1 2ADC 5、如图，在 ABC 中，B=60 ， ABC 的角平分线 AD、CE 相交于点 O，求证：AE+CD=AC. 解析： 由题意可得AOC=120 AOE=DOC=180 -AOC=180 -120 =60 在 AC 上截取 AF=AE，连接 OF，如图 在 AOE 和 AOF 中， AE=AF OAE=OAF OA=OA AOEAOF（SAS） AOE=AOF， AOF=60 COF=AOC-AOF=60 又COD=60 ， COD=COF 同理可得： CODCOF（ASA） CD=CF 又A
5、F=AE AC=AF+CF=AE+CD 即 AE+CD=AC 6、如图所示，ABCD,BE,CE 分别是ABC,BCD 的平分线，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD. 解析： 在 BC 上取点 F，使 BF=AB BE,CE 分别是ABC,BCD 的平分线 ABE=FBE,BCE=DCE ABCD A+D=180 在 ABE 和 FBE 中 AB=FB ABE=FBE BE=BE ABEFBE（SAS） A=BFE BFE+D=180 BFE+EFC=180 EFC=D 在 EFC 和 EDC 中， EFC=D BCE=DCE CE=CE EFCEDC（AAS） CF=CD BC=B
6、F+CF BC=AB+CD 7、四边形 ABCD 中，BDAB,AD=DC,DEBC,BD 平分ABC （1） 证明：BAD+BCD=180 （2） DE=3,BE=6,求四边形 ABCD 的面积. 【解析】 （1）过点 D 作 BA 的垂线，得 DMADEC（HL） ABC+MDE=180 ，ADC=MDE ABC+ADC=180 BAD+BCD=180 （2）S 四边形 ABCD=2S BED=18 8、已知：在 ABC 中，AB=CD-BD,求证：B=2C. 【解析】在 CD 上取一点 M 使得DM=DB 则 CD-BD=CM=AB AMD=B=2C 9、如图， ABC 中，BDAC 于
7、点 D，CEAB 于点 E，且 BD,CE 交于点 F，点 G 是线段 CD 上一点，连 接 AF，GF，若 AF=GF,BD=CD. 求CAF 的度数 判断线段 FG 与 BC 的位置关系，并说明理由. 【解析】 （1）延长 AF 与 BC 交于点 M，可知 AFBC BD=DC，BDDCFBC=45 AF=FG，FDAGAFD=GFD=45 AFGF CAF=45 （2）由（1）可证 FGBC 【提升训练】 1如图，在 ABC 中，A60 ，BD，CE 分别平分ABC 和ACB，BD，CE 交于点 O，试判断 BE， CD，BC 的数量关系，并加以证明 证明：在 BC 上截取 BFBE，连
8、接 OF. BD 平分ABC， EBOFBO. EBOFBO. EOBFOB. A60 ，BD，CE 分别平分ABC 和ACB， BOC180 OBCOCB180 1 2ABC 1 2ACB180 1 2(180 A)120 . EOBDOC60 . BOF60 ，FOCDOC60 . CE 平分DCB， DCOFCO. DCOFCO. CDCF. BCBFCFBECD. 2如图，AD/BC，DCAD，AE 平分BAD，E 是 DC 的中点问：AD，BC，AB 之间有何关系？并说明 理由 解：ABADBC.理由：作 EFAB 于 F，连接 BE. AE 平分BAD，DCAD，EFAB， EFD
9、E. DECE， ECEF. Rt BFERt BCE(HL) BFBC 同理可证：AFAD. ADBCAFBFAB，即 ABADBC. 3如图，已知 DEAE，点 E 在 BC 上，AEDE，ABBC，DCBC，请问线段 AB，CD 和线段 BC 有何 大小关系？并说明理由 解：线段 AB，CD 和线段 BC 的关系是： BCABCD. 理由：在 DCE 中， EDCDEC90 ， AEBDEC90 ， AEBEDC， 又EDAE，ABEECD90 ， ABEECD(AAS)， ABEC，BECD， BCBEECCDAB. 4如图，ABCD，BE，CE 分别是ABC 和BCD 的平分线，点
10、E 在 AD 上 求证：BCABCD. 证明：在 BC 上取点 F，使 BFBA，连接 EF，如图， BE，CE 分别是ABC 和BCD 的平分线， ABEFBE，ECFECD. ABEFBE(SAS)， ABFE， ABCD， AD180 ， BFED180 . BFEEFC180 ， EFCD. CDECFE(AAS)， CFCD. BCBFCF， BCABCD. 5如图，在 Rt ABC 中，C90 ，BCAC，BCAB45 ，AD 平分BAC 交 BC 于 D， 求证：ABACCD. 证明：如图，延长 AC 到 E，使 CECD，连接 DE. 则ECDE45 ， BE. AD 平分BA
11、C， 12， 在 ABD 和 AED 中， BE，21，ADAD， ABDAED(AAS) AEAB. AEACCEACCD， ABACCD. 6如图，在 ABC 中，ABC60 ，AD，CE 分别平分BAC，ACB，AD，CE 交于 O. (1)求AOC 的度数； (2)求证：ACAECD. (1)解：ABC60 ，AD，CE 分别平分BAC，ACB， AOC180 (OACOCA)180 1 2(BACACB)180 180 60 2 120 ； (2)证明：AOC120 ， AOE60 ， 如图，在 AC 上截取 AFAE，连接 OF， AD 平分BAC， BADCAD， AOAO， AOEAOF(SAS)， AOEAOF， AOE60 ，AOC120 ， AOFCODCOF60 . FOCDOC，COCO，DCOFCO， COFCOD(ASA)， CFCD， ACAFCFAECD.