1、2020-2021 学年广东省佛山市禅城区九年级（上）期末数学试卷学年广东省佛山市禅城区九年级（上）期末数学试卷 一选择题（本大题一选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程属于一元二次方程的是（ ） Ax2+y20 Bx+y3 Cx2+2x3 Dx+5 2已知 3a2b（a0，b0） ，下列变形错误的是（ ） A B C D 3关于菱形，下列说法错误的是（ ） A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C四条边相等 D对角线相等 4在 RtABC 中，C90，若ABC 的三边都缩小 5 倍，则 sinA 的值（ ） A放大 5 倍 B缩小 5 倍
2、C不变 D无法确定 5关于 x 的一元二次方程 9x26x+k0 有两个不相等的实根，则 k 的范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 6如图，已知12，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADE 的是（ ） A B CBD DCAED 7如图，已知 RtABC 中，斜边 BC 上的高 AD3，cosB，则 AC 的长为（ ） A3 B3.5 C4.8 D5 8在四张完全相同的卡片上，分别画有平行四边形、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张， 卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ） A B C D1 9如下表给出了二次函数 yx2+2x10 中 x，y 的一些对应值，
3、则可以估计一元二次方程 x2+2x100 的 一个近似解（精确到 0.1）为（ ） x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 y 1.39 0.76 0.11 0.56 1.25 A2.2 B2.3 C2.4 D2.5 10如图，点 A 在反比例函数 y1（x0）的图象上，过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B，交反比例函数 y2（x0）的图象于点 C，P 为 y 轴上一点，连接 PA，PC，则APC 的面积为（ ） A6 B8 C12 D20 二填空题（本大题二填空题（本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）方程 x24x 的解是 12 （4
4、分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，已知AOD120，AB2.5，则 AC 的 长为 13 （4 分）如图是某天内，电线杆在不同时刻的影长，按先后顺序应当排列为 14 （4 分）已知反比例函数 y在每个象限内 y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围是 15（4分） 如图， 在边长为1的小正方形组成的网格中， ABC 的三个顶点均在格点上， 则tanB的值为 16 （4 分）如图，一个矩形广场的长为 90m，宽为 60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘 所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为 1.2m，那么每条纵向小路的宽为 m 17 （4 分
5、）二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下 列结论：4a+b0；9a+c3b；4a+2bam2+bm（m 为任意实数） ；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大；其中正确的结论有 （填序号） 三解答题（一） （本大题三解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）如图，路灯下一墙墩（用线段 AB 表示）的影子是 BC，小明（用线段 DE 表示）的影子是 EF， 在 M 处有一颗大树，它的影子是 MN （1）试确定路灯的位置并且在图中画出表示大树高的线段； （2）若小明的眼睛近
6、似地看成是点 D，试分析小明能否看见大树，说明理由 19 （6 分）你吃过拉面吗？实际上在制作拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做拉面，面条 的总长度 y（cm）与面条的粗细（横截面积）x（cm2）的关系如图所示： （1）写出 y 与 x 的函数关系式； （2）当面条粗 1.6cm2时，求面条总长度是多少厘米？ 20 （6 分）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度AOB 为 40时，车门是否会碰到墙？请说明理 由 （参考数据：sin400.64；cos400.77；ta
7、n400.84） 四解答题（二） （本大题四解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）在不透明的口袋中装有 1 个白色、1 个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同） ，小明 为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步 骤） ，下表是实验的部分数据： （1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是 （精确到 0.01） ，黄球有 个； （2）如果从上述口袋中，同时摸出 2 个球，求结果是一红一黄的概率 摸球次数 80 180 600 1000 1500 摸到白球次数 21 46
8、149 251 371 摸到白球的概率 0.2625 0.256 0.2483 0.251 0.247 22 （8 分）某水果批发商经销一种水果，进货价是 12 元/千克，如果销售价定为 22 元/千克，每日可售出 500 千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克 （1）若要每天销售盈利恰好为 6000 元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ （2）当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？ 23 （8 分）如图，直线 AB 与双曲线 y在第一象限内交于点 P，点 P 的横坐标为 6，直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于
9、A、B 两点，且BAO45； （1）求直线 AB 的解析式； （2）C 为线段 AB 上一点，过 C 作 CDy 轴交双曲线 y于 D 点，连接 DP，当CDP 是等腰直角 三角形时，求点 C 的坐标 五解答题（三） （本大题五解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）已知，正方形 ABCD 中，MAN45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、 DC（或它们的延长线）于点 M、N，AHMN 于点 H （1）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系： ； （2）如图，
10、当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时， （1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如 果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图，已知MAN45，AHMN 于点 H，且 MH2，NH3，求 AH 的长 （可利用（2） 得到的结论） 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点 D 是 直线 BC 上方抛物线上一动点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，连接 BD、CD，设点 D 的横坐标为 m，BCD 的面积为 s试求出 s 与 m 的函数关系式， 并求出 s 的最大值； （3）如图 2，
11、设 AB 的中点为 E，作 DFBC，垂足为 F，连接 CD、CE，是否存在点 D，使得以 C、D、 F 三点为顶点的三角形与CEO 相似？若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年广东省佛山市禅城区九年级（上）期末数学试卷学年广东省佛山市禅城区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本大题一选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程属于一元二次方程的是（ ） Ax2+y20 Bx+y3 Cx2+2x3 Dx+5 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案 【解答】解：A、
12、该方程中含有 2 个未知数，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意； B、该方程中含有未知数的项的最高次数是 1，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意； C、该方程符合一元二次方程的定义，此选项符合题意； D、该方程中含有分式，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意 故选：C 2已知 3a2b（a0，b0） ，下列变形错误的是（ ） A B C D 【分析】根据比例的性质进行变形，再判断即可 【解答】解：A、3a2b， 两边都除以 3b 得：，故本选项不符合题意； B、3a2b， 两边都除以 2a 得：，故本选项符合题意； C、3a2b， 两边都除以 2a 得：，故本选项不符合题
13、意； D、3a2b， 两边都除以 6 得：，故本选项不符合题意； 故选：B 3关于菱形，下列说法错误的是（ ） A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C四条边相等 D对角线相等 【分析】利用菱形的性质，依次判断可求解 【解答】解：菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分， 对角线相等不是菱形的性质， 故选：D 4在 RtABC 中，C90，若ABC 的三边都缩小 5 倍，则 sinA 的值（ ） A放大 5 倍 B缩小 5 倍 C不变 D无法确定 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解 【解答】解：C90， sinA， ABC 的三边都缩小 5 倍， A 的对边与斜边的比不变， sinA 的值不变
14、 故选：C 5关于 x 的一元二次方程 9x26x+k0 有两个不相等的实根，则 k 的范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 【分析】根据判别式的意义得到（6）249k0，然后解不等式即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 9x26x+k0 有两个不相等的实根， （6）249k0， 解得 k1 故选：A 6如图，已知12，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADE 的是（ ） A B CBD DCAED 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案 【解答】解：12 DAEBAC A，C，D 都可判定ABCADE 选项 B 中不是夹这两个角的边，所
15、以不相似， 故选：B 7如图，已知 RtABC 中，斜边 BC 上的高 AD3，cosB，则 AC 的长为（ ） A3 B3.5 C4.8 D5 【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出 AC 【解答】解：在 RtABC 中，cosB， sinB，tanB 在 RtABD 中 AD3， AB 在 RtABC 中， tanB， AC， 故选：D 8在四张完全相同的卡片上，分别画有平行四边形、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张， 卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ） A B C D1 【分析】由在四张完全相同的卡片上，分别画有平行四边
16、形、菱形、等腰三角形、等腰梯形，卡片上的 图形恰好是中心对称图形的是平行四边形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：在四张完全相同的卡片上，分别画有平行四边形、菱形、等腰三角形、等腰梯形，卡片 上的图形恰好是中心对称图形的是平行四边形、菱形， 现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是： 故选：B 9如下表给出了二次函数 yx2+2x10 中 x，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程 x2+2x100 的 一个近似解（精确到 0.1）为（ ） x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 y 1.39 0.76 0.11 0.56 1.25 A2.2 B2.3
17、 C2.4 D2.5 【分析】根据表格中的数据可得出“当 x2.3 时，y0.11；当 x2.4 时，y0.56 ”由0.11 更接近 于 0 即可得出结论 【解答】解：当 x2.3 时，y0.11；当 x2.4 时，y0.56 0.11 更接近于 0， 方程的一个近似根为 2.3 故选：B 10如图，点 A 在反比例函数 y1（x0）的图象上，过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B，交反比例函数 y2（x0）的图象于点 C，P 为 y 轴上一点，连接 PA，PC，则APC 的面积为（ ） A6 B8 C12 D20 【分析】连接 OA 和 OC，利用三角形面积可得APC 的面积等于AOC 的面
18、积，再结合反比例函数中 系数 k 的几何意义，利用 SAOCSOABSOBC，可得结果 【解答】解：连接 OA 和 OC， 点 P 在 y 轴上，ABy 轴，则AOC 和APC 面积相等， 点 A 在反比例函数 y1（x0）的图象上，点 C 在反比例函数 y2（x0）的图象上，ABx 轴， SOAB2010，SOBC4， SAOCSOABSOBC6， APC 的面积为 6， 故选：A 二填空题（本大题二填空题（本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）方程 x24x 的解是 0 或 4 【分析】此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方
19、程因式分解的形式，即可求解 【解答】解：原方程可化为：x24x0， x（x4）0 解得 x0 或 4； 故方程的解为：0，4 12 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，已知AOD120，AB2.5，则 AC 的 长为 5 【分析】依题意，已知AOD120，AB2.5，根据矩形的对角线互相平分以及直角三角形的性质可 求出 AC 的长 【解答】解：AOD120， AOB60， 又AC、BD 相等且互相平分， ABO 为等边三角形， 因此 AC2AO2AB22.55 故答案为：5 13 （4 分）如图是某天内，电线杆在不同时刻的影长，按先后顺序应当排列为 DABC
20、【分析】根据北半球上太阳光下的影子变化的规律，易得答案 【解答】解：根据北半球上太阳光下的影子变化的规律， 从早晨到傍晚物体的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长 可得顺序为 DABC 14 （4 分）已知反比例函数 y在每个象限内 y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围是 m4 【分析】根据反比例函数的性质列出关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 【解答】解：在反比例函数 y图象的每个象限内，y 随 x 的增大而减小， m40， 解得 m4 故答案为：m4 15 （4 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanB 的值为 【分
21、析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案 【解答】解：如图： ， tanB 故答案是： 16 （4 分）如图，一个矩形广场的长为 90m，宽为 60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘 所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为 1.2m，那么每条纵向小路的宽为 1.8 m 【分析】根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比例式解 答即可 【解答】解：小路内外边缘所围成的两个矩形相似， ， 解得，x1.8， 故答案为：1.8 17 （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下
22、 列结论：4a+b0；9a+c3b；4a+2bam2+bm（m 为任意实数） ；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大；其中正确的结论有 （填序号） 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数 a、b、c 满足的关系 进行综合判断即可 【解答】解：2， 4a+b0，故正确； 当 x3 时，y9a3b+c0，即 9a+c3b，故不正确； 当 x2 时，y最大4a+2b+c，当 xm 时，yam2+bm+c， 4a+2b+cam2+bm+c， 4a+2bam2+bm，故正确； 在对称轴的左侧，即当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，故不正确； 综上所述，正确的
23、结论有：， 故答案为： 三解答题（一） （本大题三解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）如图，路灯下一墙墩（用线段 AB 表示）的影子是 BC，小明（用线段 DE 表示）的影子是 EF， 在 M 处有一颗大树，它的影子是 MN （1）试确定路灯的位置并且在图中画出表示大树高的线段； （2）若小明的眼睛近似地看成是点 D，试分析小明能否看见大树，说明理由 【分析】 （1）连接 CA，FD，延长 CA 交 FD 的延长线于 O，作 ORNF 于 R，连接 ON，过点 M 作 MT FN 交 ON 于 T，线段 OR，MT 即为所求作
24、 （2）根据射线 DA 与线段 TM 的位置关系判断即可 【解答】解： （1）如图，线段 OR，是路灯的位置，线段 TM 表示大树的位置 （2）小明不能看见大树，理由是：射线 DA 与线段 MT 不相交 19 （6 分）你吃过拉面吗？实际上在制作拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做拉面，面条 的总长度 y（cm）与面条的粗细（横截面积）x（cm2）的关系如图所示： （1）写出 y 与 x 的函数关系式； （2）当面条粗 1.6cm2时，求面条总长度是多少厘米？ 【分析】 （1）由题意可以假设设 y，利用待定系数法即可解决 （2）把 x1.6 代入 y，求出 y 即可 【解答】解： （
25、1）由题意可以假设设 y， 把（4，32）代入得：K128， y（x0） （2）当 x1.6 时，y80， 面条总长度是 80 厘米 20 （6 分）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度AOB 为 40时，车门是否会碰到墙？请说明理 由 （参考数据：sin400.64；cos400.77；tan400.84） 【分析】过点 A 作 ACOB，垂足为点 C，解三角形求出 AC 的长度，进而作出比较即可 【解答】解：过点 A 作 ACOB，垂足为点 C， 在 RtACO 中， AOC
26、40，AO1.2 米， ACsinAOCAO0.641.20.768， 汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米， 车门不会碰到墙 四解答题（二） （本大题四解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）在不透明的口袋中装有 1 个白色、1 个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同） ，小明 为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步 骤） ，下表是实验的部分数据： （1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是 0.25 （精确到 0.01） ，黄球有 2 个； （
27、2）如果从上述口袋中，同时摸出 2 个球，求结果是一红一黄的概率 摸球次数 80 180 600 1000 1500 摸到白球次数 21 46 149 251 371 摸到白球的概率 0.2625 0.256 0.2483 0.251 0.247 【分析】 （1）根据概率公式即可得到结论； （2）根据列表法即可得到结论 【解答】解： （1）从表中可估计摸到白球的概率为 0.25， 10.254，可得黄球的个数为 4112， 估计有 2 个黄色的乒乓球； 故答案为：0.25，2 （2）记一红一黄为“” ，其余记为“” ，列出表格为： 白 红 黄 黄 白 红 黄 黄 从表中可知， “总次数”为 1
28、2， “一红一白”的次数为 4 次， P（一红一黄） 22 （8 分）某水果批发商经销一种水果，进货价是 12 元/千克，如果销售价定为 22 元/千克，每日可售出 500 千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克 （1）若要每天销售盈利恰好为 6000 元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ （2）当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？ 【分析】 （1）设每千克应涨价为 x 元，根据（售价进价+涨价额）销售量6000，可得关于 x 的一元 二次方程，求得方程的解并根据要使顾客得到实惠，可得答案； （2）设销售价为 a 元
29、时，每天的盈利为 w，由题意得 w 关于 a 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次 函数的性质可得答案 【解答】解： （1）设每千克应涨价为 x 元，由题意得： （2212+x） （50020 x）6000， 整理得：x215x+500， 解得：x15，x210 要使顾客得到实惠， x5 每千克应涨价 5 元 （2）设销售价为 a 元时，每天的盈利为 w，由题意得： w（a12）50020（a22） 20a2+1180a11280 20+6125， 二次项系数为负，抛物线开口向下， 当 a时，w 有最大值为 6125 当销售价是时，每天的盈利最多，最多是 6125 元 23 （8 分）如图，直
30、线 AB 与双曲线 y在第一象限内交于点 P，点 P 的横坐标为 6，直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，且BAO45； （1）求直线 AB 的解析式； （2）C 为线段 AB 上一点，过 C 作 CDy 轴交双曲线 y于 D 点，连接 DP，当CDP 是等腰直角 三角形时，求点 C 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法把点 P 的横坐标为 6，代入反比例函数解析式即可得到点 P 的坐标，过 P 作 PEx 轴于 E 点， 根据 tanABO1 可得BAOABOPAE45， 再根据 P 点坐标可得到 AE PE2，进而得到 A 点坐标，再利用待定系数法把 A、P 两点的坐
31、标代入一次函数解析式，求出 k、b 的值，即可得到函数解析式； （2）要使CDP 是等腰直角三角形，只能DPC90，根据 C、D 点所在函数解析式了可设 C（m， m4） ，D（m，） ，过 P 作 PFCD 于 F，则 F（m，2） ，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 22（m4） ，解方程即可求出 m 的值，进而可得到点 C 的坐标 【解答】解： （1）P 点在反比例函数 y的图象上， xy12， 点 P 的横坐标为 6， y2， P（6，2） ， 过 P 作 PEx 轴于 E 点， ABO45， BAOABOPAE45， P（6，2） ， PEAE2， A（4，0） ， 设直线 AB
32、的解析式为 ykx+b 且过 A（4，0） ，P（6，2） ， ， 解得：， 直线 AB 的解析式为：yx4； （2）要使CDP 是等腰直角三角形，只能DPC90， 设 C（m，m4） ，则 D（m，） ， 过 P 作 PFCD 于 F，则 F（m，2） ， PDPC，PFCD， DFCF， 22（m4） ， m28m+120 （m2） （m6）0 m12，m26（不合题意，舍去） 当CDP 是等腰直角三角形时，点 C 的坐标为（2，2） 五解答题（三） （本大题五解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）已知，正方形 ABCD
33、 中，MAN45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、 DC（或它们的延长线）于点 M、N，AHMN 于点 H （1） 如图， 当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时， 请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系： AHAB ； （2）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时， （1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如 果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图，已知MAN45，AHMN 于点 H，且 MH2，NH3，求 AH 的长 （可利用（2） 得到的结论） 【分析】 （1）由三角形全等可以证明 AHAB， （2）延长 CB 至 E，使 BEDN，
34、证明AEMANM，能得到 AHAB， （3） 分别沿 AM、 AN 翻折AMH 和ANH， 得到ABM 和AND， 然后分别延长 BM 和 DN 交于点 C， 得正方形 ABCE，设 AHx，则 MCx2，NCx3，在 RtMCN 中，由勾股定理，解得 x 【解答】解： （1）如图AHAB （2）数量关系成立如图，延长 CB 至 E，使 BEDN ABCD 是正方形， ABAD，DABE90， 在 RtAEB 和 RtAND 中， RtAEBRtAND， AEAN，EABNAD， DAN+BAM45， EAB+BAM45， EAM45， EAMNAM45， 在AEM 和ANM 中， AEMAN
35、M SAEMSANM，EMMN， AB、AH 是AEM 和ANM 对应边上的高， ABAH （3）如图分别沿 AM、AN 翻折AMH 和ANH，得到ABM 和AND， BM2，DN3，BDBAD90 分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCD， 由（2）可知，AHABBCCDAD 设 AHx，则 MCx2，NCx3， 在 RtMCN 中，由勾股定理，得 MN2MC2+NC2 52（x2）2+（x3）2 解得 x16，x21 （不符合题意，舍去） AH6 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点 D
36、 是 直线 BC 上方抛物线上一动点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，连接 BD、CD，设点 D 的横坐标为 m，BCD 的面积为 s试求出 s 与 m 的函数关系式， 并求出 s 的最大值； （3）如图 2，设 AB 的中点为 E，作 DFBC，垂足为 F，连接 CD、CE，是否存在点 D，使得以 C、D、 F 三点为顶点的三角形与CEO 相似？若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由抛物线与 x 轴的交点可设交点式来求解析式 （2）过点 D 作 y 轴平行线交 BC 于点 M，把BCD 分成左右两部分CDM 与BDM，都以 DM 为底时 面积和即
37、为 OB 与 DM 的积的一半由 D 的横坐标为 m，可用 m 表示 D 的纵坐标，求 BC 解析式，即可 用 m 表示 BC 上的点 M，进而得到用 m 表示 DM 的式子，代入即求得 s 关于 m 的关系式二次函数，配方 即求出最大值 （3）因为CFDCOE90，所以存在相似时有CFDCOE 或CFDEOC 两种情况，即 OCE 的对应角有两种情况把COE 三边求出并求出OCE 的正弦和余弦值利用（2）求得BCD 面积 s，即能用 m 表示以 BC 为底时的高 DF 的长，再利用FCD 或FDC 与OCE 相等得到的三角函 数关系，即求得 DF 与 CD 的等量关系，解方程即求得 m 的值
38、 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） y（x+1） （x3）x2+2x+3 抛物线解析式为 yx2+2x+3 （2）过点 D 作 DMy 轴，交 BC 于点 M 当 x0 时，yx2+2x+33 C（0，3） 直线 BC 解析式为 yx+3 D（m，m2+2m+3） ，M（m，m+3） DMm2+2m+3（m+3）m2+3m sSDMB+SDMCMD（xBxD）+（xMxC）OBDM（m2+3m）m2+m （m）2+（0m3） ， s 与 m 的函数关系式为 sm2+m，s 的最大值为 （3）存在点 D，使得以 C、D，F 三点为顶点的
39、三角形与CEO 相似 如图 2，连接 BD 设点 D 的横坐标为 m， 点 E 为 AB 中点，A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） E（1，0） ，OE1，OC3，CD2m2+（m2+2m+33）2 CE sinOCE，cosOCE BC，DFBC 由（2）知，面积 sBCDFm2+m DF 以 C、D，F 三点为顶点的三角形与CEO 相似，CFDCOE90 CFDCOE 或CFDEOC 若CFDCOE，则FCDOCE sinFCD 10DF2CD2 10（）2m2+（m2+2m）2 解得：m14（舍去） ，m2 m2+2m+3+5+3 D（，） 若CFDEOC，则FDCOCE cosFDC 10DF29CD2 10（）29m2+（m2+2m）2 解得：m10（舍去） ，m2 m2+2m+3+3+3 D（，） 点 D 的坐标为（，）或（，）