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广东省佛山市禅城区2020-2021学年九年级上期末数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年广东省佛山市禅城区九年级(上)期末数学试卷学年广东省佛山市禅城区九年级(上)期末数学试卷 一选择题(本大题一选择题(本大题 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1下列方程属于一元二次方程的是( ) Ax2+y20 Bx+y3 Cx2+2x3 Dx+5 2已知 3a2b(a0,b0) ,下列变形错误的是( ) A B C D 3关于菱形,下列说法错误的是( ) A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C四条边相等 D对角线相等 4在 RtABC 中,C90,若ABC 的三边都缩小 5 倍,则 sinA 的值( ) A放大 5 倍 B缩小 5 倍

2、C不变 D无法确定 5关于 x 的一元二次方程 9x26x+k0 有两个不相等的实根,则 k 的范围是( ) Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 6如图,已知12,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABCADE 的是( ) A B CBD DCAED 7如图,已知 RtABC 中,斜边 BC 上的高 AD3,cosB,则 AC 的长为( ) A3 B3.5 C4.8 D5 8在四张完全相同的卡片上,分别画有平行四边形、菱形、等腰三角形、等腰梯形,现从中随机抽取一张, 卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是( ) A B C D1 9如下表给出了二次函数 yx2+2x10 中 x,y 的一些对应值,

3、则可以估计一元二次方程 x2+2x100 的 一个近似解(精确到 0.1)为( ) x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 y 1.39 0.76 0.11 0.56 1.25 A2.2 B2.3 C2.4 D2.5 10如图,点 A 在反比例函数 y1(x0)的图象上,过点 A 作 ABx 轴,垂足为 B,交反比例函数 y2(x0)的图象于点 C,P 为 y 轴上一点,连接 PA,PC,则APC 的面积为( ) A6 B8 C12 D20 二填空题(本大题二填空题(本大题 7 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 28 分)分) 11 (4 分)方程 x24x 的解是 12 (4

4、分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,已知AOD120,AB2.5,则 AC 的 长为 13 (4 分)如图是某天内,电线杆在不同时刻的影长,按先后顺序应当排列为 14 (4 分)已知反比例函数 y在每个象限内 y 随 x 增大而减小,则 m 的取值范围是 15(4分) 如图, 在边长为1的小正方形组成的网格中, ABC 的三个顶点均在格点上, 则tanB的值为 16 (4 分)如图,一个矩形广场的长为 90m,宽为 60m,广场内有两横,两纵四条小路,且小路内外边缘 所围成的两个矩形相似,如果两条横向小路的宽均为 1.2m,那么每条纵向小路的宽为 m 17 (4 分

5、)二次函数 yax2+bx+c(a0)的部分图象如图,图象过点(1,0) ,对称轴为直线 x2,下 列结论:4a+b0;9a+c3b;4a+2bam2+bm(m 为任意实数) ;当 x1 时,y 的值随 x 值的增大而增大;其中正确的结论有 (填序号) 三解答题(一) (本大题三解答题(一) (本大题 3 小题,每小题小题,每小题 6 分,共分,共 18 分)分) 18 (6 分)如图,路灯下一墙墩(用线段 AB 表示)的影子是 BC,小明(用线段 DE 表示)的影子是 EF, 在 M 处有一颗大树,它的影子是 MN (1)试确定路灯的位置并且在图中画出表示大树高的线段; (2)若小明的眼睛近

6、似地看成是点 D,试分析小明能否看见大树,说明理由 19 (6 分)你吃过拉面吗?实际上在制作拉面的过程中就渗透着数学知识,一定体积的面团做拉面,面条 的总长度 y(cm)与面条的粗细(横截面积)x(cm2)的关系如图所示: (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)当面条粗 1.6cm2时,求面条总长度是多少厘米? 20 (6 分)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米,当车门打开角度AOB 为 40时,车门是否会碰到墙?请说明理 由 (参考数据:sin400.64;cos400.77;ta

7、n400.84) 四解答题(二) (本大题四解答题(二) (本大题 3 小题,每小题小题,每小题 8 分,共分,共 24 分)分) 21 (8 分)在不透明的口袋中装有 1 个白色、1 个红色和若干个黄色的乒乓球(除颜外其余都相同) ,小明 为了弄清黄色乒乓球的个数,进行了摸球的实验(每次只摸一个,记录颜色后放回,搅匀后重复上述步 骤) ,下表是实验的部分数据: (1)请你估计:摸出一个球恰好是白球的概率大约是 (精确到 0.01) ,黄球有 个; (2)如果从上述口袋中,同时摸出 2 个球,求结果是一红一黄的概率 摸球次数 80 180 600 1000 1500 摸到白球次数 21 46

8、149 251 371 摸到白球的概率 0.2625 0.256 0.2483 0.251 0.247 22 (8 分)某水果批发商经销一种水果,进货价是 12 元/千克,如果销售价定为 22 元/千克,每日可售出 500 千克;经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克 (1)若要每天销售盈利恰好为 6000 元,同时又可使顾客得到实惠,每千克应涨价为多少元? (2)当销售价是多少时,每天的盈利最多?最多是多少? 23 (8 分)如图,直线 AB 与双曲线 y在第一象限内交于点 P,点 P 的横坐标为 6,直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于

9、A、B 两点,且BAO45; (1)求直线 AB 的解析式; (2)C 为线段 AB 上一点,过 C 作 CDy 轴交双曲线 y于 D 点,连接 DP,当CDP 是等腰直角 三角形时,求点 C 的坐标 五解答题(三) (本大题五解答题(三) (本大题 2 小题,每小题小题,每小题 10 分,共分,共 20 分)分) 24 (10 分)已知,正方形 ABCD 中,MAN45,MAN 绕点 A 顺时针旋转,它的两边分别交 CB、 DC(或它们的延长线)于点 M、N,AHMN 于点 H (1)如图,当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时,请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系: ; (2)如图,

10、当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时, (1)中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗?如 果不成立请写出理由,如果成立请证明; (3)如图,已知MAN45,AHMN 于点 H,且 MH2,NH3,求 AH 的长 (可利用(2) 得到的结论) 25 (10 分)如图,抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A(1,0) ,B(3,0) ,与 y 轴交于点 C,点 D 是 直线 BC 上方抛物线上一动点 (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,连接 BD、CD,设点 D 的横坐标为 m,BCD 的面积为 s试求出 s 与 m 的函数关系式, 并求出 s 的最大值; (3)如图 2,

11、设 AB 的中点为 E,作 DFBC,垂足为 F,连接 CD、CE,是否存在点 D,使得以 C、D、 F 三点为顶点的三角形与CEO 相似?若存在,请直接写出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由 2020-2021 学年广东省佛山市禅城区九年级(上)期末数学试卷学年广东省佛山市禅城区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(本大题一选择题(本大题 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1下列方程属于一元二次方程的是( ) Ax2+y20 Bx+y3 Cx2+2x3 Dx+5 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案 【解答】解:A、

12、该方程中含有 2 个未知数,不符合一元二次方程的定义,此选项不符合题意; B、该方程中含有未知数的项的最高次数是 1,不符合一元二次方程的定义,此选项不符合题意; C、该方程符合一元二次方程的定义,此选项符合题意; D、该方程中含有分式,不符合二元一次方程的定义,此选项不符合题意 故选:C 2已知 3a2b(a0,b0) ,下列变形错误的是( ) A B C D 【分析】根据比例的性质进行变形,再判断即可 【解答】解:A、3a2b, 两边都除以 3b 得:,故本选项不符合题意; B、3a2b, 两边都除以 2a 得:,故本选项符合题意; C、3a2b, 两边都除以 2a 得:,故本选项不符合题

13、意; D、3a2b, 两边都除以 6 得:,故本选项不符合题意; 故选:B 3关于菱形,下列说法错误的是( ) A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C四条边相等 D对角线相等 【分析】利用菱形的性质,依次判断可求解 【解答】解:菱形的性质有四边相等,对角线互相垂直平分, 对角线相等不是菱形的性质, 故选:D 4在 RtABC 中,C90,若ABC 的三边都缩小 5 倍,则 sinA 的值( ) A放大 5 倍 B缩小 5 倍 C不变 D无法确定 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解 【解答】解:C90, sinA, ABC 的三边都缩小 5 倍, A 的对边与斜边的比不变, sinA 的值不变

14、 故选:C 5关于 x 的一元二次方程 9x26x+k0 有两个不相等的实根,则 k 的范围是( ) Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 【分析】根据判别式的意义得到(6)249k0,然后解不等式即可 【解答】解:关于 x 的一元二次方程 9x26x+k0 有两个不相等的实根, (6)249k0, 解得 k1 故选:A 6如图,已知12,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABCADE 的是( ) A B CBD DCAED 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析,从而得到最后答案 【解答】解:12 DAEBAC A,C,D 都可判定ABCADE 选项 B 中不是夹这两个角的边,所

15、以不相似, 故选:B 7如图,已知 RtABC 中,斜边 BC 上的高 AD3,cosB,则 AC 的长为( ) A3 B3.5 C4.8 D5 【分析】根据题中所给的条件,在直角三角形中解题根据角的正弦值与三角形边的关系,可求出 AC 【解答】解:在 RtABC 中,cosB, sinB,tanB 在 RtABD 中 AD3, AB 在 RtABC 中, tanB, AC, 故选:D 8在四张完全相同的卡片上,分别画有平行四边形、菱形、等腰三角形、等腰梯形,现从中随机抽取一张, 卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是( ) A B C D1 【分析】由在四张完全相同的卡片上,分别画有平行四边

16、形、菱形、等腰三角形、等腰梯形,卡片上的 图形恰好是中心对称图形的是平行四边形、菱形,直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解:在四张完全相同的卡片上,分别画有平行四边形、菱形、等腰三角形、等腰梯形,卡片 上的图形恰好是中心对称图形的是平行四边形、菱形, 现从中随机抽取一张,卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是: 故选:B 9如下表给出了二次函数 yx2+2x10 中 x,y 的一些对应值,则可以估计一元二次方程 x2+2x100 的 一个近似解(精确到 0.1)为( ) x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 y 1.39 0.76 0.11 0.56 1.25 A2.2 B2.3

17、 C2.4 D2.5 【分析】根据表格中的数据可得出“当 x2.3 时,y0.11;当 x2.4 时,y0.56 ”由0.11 更接近 于 0 即可得出结论 【解答】解:当 x2.3 时,y0.11;当 x2.4 时,y0.56 0.11 更接近于 0, 方程的一个近似根为 2.3 故选:B 10如图,点 A 在反比例函数 y1(x0)的图象上,过点 A 作 ABx 轴,垂足为 B,交反比例函数 y2(x0)的图象于点 C,P 为 y 轴上一点,连接 PA,PC,则APC 的面积为( ) A6 B8 C12 D20 【分析】连接 OA 和 OC,利用三角形面积可得APC 的面积等于AOC 的面

18、积,再结合反比例函数中 系数 k 的几何意义,利用 SAOCSOABSOBC,可得结果 【解答】解:连接 OA 和 OC, 点 P 在 y 轴上,ABy 轴,则AOC 和APC 面积相等, 点 A 在反比例函数 y1(x0)的图象上,点 C 在反比例函数 y2(x0)的图象上,ABx 轴, SOAB2010,SOBC4, SAOCSOABSOBC6, APC 的面积为 6, 故选:A 二填空题(本大题二填空题(本大题 7 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 28 分)分) 11 (4 分)方程 x24x 的解是 0 或 4 【分析】此题用因式分解法比较简单,先移项,再提取公因式,可得方

19、程因式分解的形式,即可求解 【解答】解:原方程可化为:x24x0, x(x4)0 解得 x0 或 4; 故方程的解为:0,4 12 (4 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,已知AOD120,AB2.5,则 AC 的 长为 5 【分析】依题意,已知AOD120,AB2.5,根据矩形的对角线互相平分以及直角三角形的性质可 求出 AC 的长 【解答】解:AOD120, AOB60, 又AC、BD 相等且互相平分, ABO 为等边三角形, 因此 AC2AO2AB22.55 故答案为:5 13 (4 分)如图是某天内,电线杆在不同时刻的影长,按先后顺序应当排列为 DABC

20、【分析】根据北半球上太阳光下的影子变化的规律,易得答案 【解答】解:根据北半球上太阳光下的影子变化的规律, 从早晨到傍晚物体的指向是:西西北北东北东,影长由长变短,再变长 可得顺序为 DABC 14 (4 分)已知反比例函数 y在每个象限内 y 随 x 增大而减小,则 m 的取值范围是 m4 【分析】根据反比例函数的性质列出关于 m 的不等式,求出 m 的取值范围即可 【解答】解:在反比例函数 y图象的每个象限内,y 随 x 的增大而减小, m40, 解得 m4 故答案为:m4 15 (4 分)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,ABC 的三个顶点均在格点上,则 tanB 的值为 【分

21、析】根据在直角三角形中,正切为对边比邻边,可得答案 【解答】解:如图: , tanB 故答案是: 16 (4 分)如图,一个矩形广场的长为 90m,宽为 60m,广场内有两横,两纵四条小路,且小路内外边缘 所围成的两个矩形相似,如果两条横向小路的宽均为 1.2m,那么每条纵向小路的宽为 1.8 m 【分析】根据两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,则这两个多边形是相似多边形列出比例式解 答即可 【解答】解:小路内外边缘所围成的两个矩形相似, , 解得,x1.8, 故答案为:1.8 17 (4 分)二次函数 yax2+bx+c(a0)的部分图象如图,图象过点(1,0) ,对称轴为直线 x2,下

22、 列结论:4a+b0;9a+c3b;4a+2bam2+bm(m 为任意实数) ;当 x1 时,y 的值随 x 值的增大而增大;其中正确的结论有 (填序号) 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数 a、b、c 满足的关系 进行综合判断即可 【解答】解:2, 4a+b0,故正确; 当 x3 时,y9a3b+c0,即 9a+c3b,故不正确; 当 x2 时,y最大4a+2b+c,当 xm 时,yam2+bm+c, 4a+2b+cam2+bm+c, 4a+2bam2+bm,故正确; 在对称轴的左侧,即当 x2 时,y 随 x 的增大而增大,故不正确; 综上所述,正确的

23、结论有:, 故答案为: 三解答题(一) (本大题三解答题(一) (本大题 3 小题,每小题小题,每小题 6 分,共分,共 18 分)分) 18 (6 分)如图,路灯下一墙墩(用线段 AB 表示)的影子是 BC,小明(用线段 DE 表示)的影子是 EF, 在 M 处有一颗大树,它的影子是 MN (1)试确定路灯的位置并且在图中画出表示大树高的线段; (2)若小明的眼睛近似地看成是点 D,试分析小明能否看见大树,说明理由 【分析】 (1)连接 CA,FD,延长 CA 交 FD 的延长线于 O,作 ORNF 于 R,连接 ON,过点 M 作 MT FN 交 ON 于 T,线段 OR,MT 即为所求作

24、 (2)根据射线 DA 与线段 TM 的位置关系判断即可 【解答】解: (1)如图,线段 OR,是路灯的位置,线段 TM 表示大树的位置 (2)小明不能看见大树,理由是:射线 DA 与线段 MT 不相交 19 (6 分)你吃过拉面吗?实际上在制作拉面的过程中就渗透着数学知识,一定体积的面团做拉面,面条 的总长度 y(cm)与面条的粗细(横截面积)x(cm2)的关系如图所示: (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)当面条粗 1.6cm2时,求面条总长度是多少厘米? 【分析】 (1)由题意可以假设设 y,利用待定系数法即可解决 (2)把 x1.6 代入 y,求出 y 即可 【解答】解: (

25、1)由题意可以假设设 y, 把(4,32)代入得:K128, y(x0) (2)当 x1.6 时,y80, 面条总长度是 80 厘米 20 (6 分)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米,当车门打开角度AOB 为 40时,车门是否会碰到墙?请说明理 由 (参考数据:sin400.64;cos400.77;tan400.84) 【分析】过点 A 作 ACOB,垂足为点 C,解三角形求出 AC 的长度,进而作出比较即可 【解答】解:过点 A 作 ACOB,垂足为点 C, 在 RtACO 中, AOC

26、40,AO1.2 米, ACsinAOCAO0.641.20.768, 汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米, 车门不会碰到墙 四解答题(二) (本大题四解答题(二) (本大题 3 小题,每小题小题,每小题 8 分,共分,共 24 分)分) 21 (8 分)在不透明的口袋中装有 1 个白色、1 个红色和若干个黄色的乒乓球(除颜外其余都相同) ,小明 为了弄清黄色乒乓球的个数,进行了摸球的实验(每次只摸一个,记录颜色后放回,搅匀后重复上述步 骤) ,下表是实验的部分数据: (1)请你估计:摸出一个球恰好是白球的概率大约是 0.25 (精确到 0.01) ,黄球有 2 个; (

27、2)如果从上述口袋中,同时摸出 2 个球,求结果是一红一黄的概率 摸球次数 80 180 600 1000 1500 摸到白球次数 21 46 149 251 371 摸到白球的概率 0.2625 0.256 0.2483 0.251 0.247 【分析】 (1)根据概率公式即可得到结论; (2)根据列表法即可得到结论 【解答】解: (1)从表中可估计摸到白球的概率为 0.25, 10.254,可得黄球的个数为 4112, 估计有 2 个黄色的乒乓球; 故答案为:0.25,2 (2)记一红一黄为“” ,其余记为“” ,列出表格为: 白 红 黄 黄 白 红 黄 黄 从表中可知, “总次数”为 1

28、2, “一红一白”的次数为 4 次, P(一红一黄) 22 (8 分)某水果批发商经销一种水果,进货价是 12 元/千克,如果销售价定为 22 元/千克,每日可售出 500 千克;经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克 (1)若要每天销售盈利恰好为 6000 元,同时又可使顾客得到实惠,每千克应涨价为多少元? (2)当销售价是多少时,每天的盈利最多?最多是多少? 【分析】 (1)设每千克应涨价为 x 元,根据(售价进价+涨价额)销售量6000,可得关于 x 的一元 二次方程,求得方程的解并根据要使顾客得到实惠,可得答案; (2)设销售价为 a 元

29、时,每天的盈利为 w,由题意得 w 关于 a 的二次函数,将其写成顶点式,根据二次 函数的性质可得答案 【解答】解: (1)设每千克应涨价为 x 元,由题意得: (2212+x) (50020 x)6000, 整理得:x215x+500, 解得:x15,x210 要使顾客得到实惠, x5 每千克应涨价 5 元 (2)设销售价为 a 元时,每天的盈利为 w,由题意得: w(a12)50020(a22) 20a2+1180a11280 20+6125, 二次项系数为负,抛物线开口向下, 当 a时,w 有最大值为 6125 当销售价是时,每天的盈利最多,最多是 6125 元 23 (8 分)如图,直

30、线 AB 与双曲线 y在第一象限内交于点 P,点 P 的横坐标为 6,直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点,且BAO45; (1)求直线 AB 的解析式; (2)C 为线段 AB 上一点,过 C 作 CDy 轴交双曲线 y于 D 点,连接 DP,当CDP 是等腰直角 三角形时,求点 C 的坐标 【分析】 (1)利用待定系数法把点 P 的横坐标为 6,代入反比例函数解析式即可得到点 P 的坐标,过 P 作 PEx 轴于 E 点, 根据 tanABO1 可得BAOABOPAE45, 再根据 P 点坐标可得到 AE PE2,进而得到 A 点坐标,再利用待定系数法把 A、P 两点的坐

31、标代入一次函数解析式,求出 k、b 的值,即可得到函数解析式; (2)要使CDP 是等腰直角三角形,只能DPC90,根据 C、D 点所在函数解析式了可设 C(m, m4) ,D(m,) ,过 P 作 PFCD 于 F,则 F(m,2) ,再根据等腰三角形三线合一的性质可得 22(m4) ,解方程即可求出 m 的值,进而可得到点 C 的坐标 【解答】解: (1)P 点在反比例函数 y的图象上, xy12, 点 P 的横坐标为 6, y2, P(6,2) , 过 P 作 PEx 轴于 E 点, ABO45, BAOABOPAE45, P(6,2) , PEAE2, A(4,0) , 设直线 AB

32、的解析式为 ykx+b 且过 A(4,0) ,P(6,2) , , 解得:, 直线 AB 的解析式为:yx4; (2)要使CDP 是等腰直角三角形,只能DPC90, 设 C(m,m4) ,则 D(m,) , 过 P 作 PFCD 于 F,则 F(m,2) , PDPC,PFCD, DFCF, 22(m4) , m28m+120 (m2) (m6)0 m12,m26(不合题意,舍去) 当CDP 是等腰直角三角形时,点 C 的坐标为(2,2) 五解答题(三) (本大题五解答题(三) (本大题 2 小题,每小题小题,每小题 10 分,共分,共 20 分)分) 24 (10 分)已知,正方形 ABCD

33、 中,MAN45,MAN 绕点 A 顺时针旋转,它的两边分别交 CB、 DC(或它们的延长线)于点 M、N,AHMN 于点 H (1) 如图, 当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时, 请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系: AHAB ; (2)如图,当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时, (1)中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗?如 果不成立请写出理由,如果成立请证明; (3)如图,已知MAN45,AHMN 于点 H,且 MH2,NH3,求 AH 的长 (可利用(2) 得到的结论) 【分析】 (1)由三角形全等可以证明 AHAB, (2)延长 CB 至 E,使 BEDN,

34、证明AEMANM,能得到 AHAB, (3) 分别沿 AM、 AN 翻折AMH 和ANH, 得到ABM 和AND, 然后分别延长 BM 和 DN 交于点 C, 得正方形 ABCE,设 AHx,则 MCx2,NCx3,在 RtMCN 中,由勾股定理,解得 x 【解答】解: (1)如图AHAB (2)数量关系成立如图,延长 CB 至 E,使 BEDN ABCD 是正方形, ABAD,DABE90, 在 RtAEB 和 RtAND 中, RtAEBRtAND, AEAN,EABNAD, DAN+BAM45, EAB+BAM45, EAM45, EAMNAM45, 在AEM 和ANM 中, AEMAN

35、M SAEMSANM,EMMN, AB、AH 是AEM 和ANM 对应边上的高, ABAH (3)如图分别沿 AM、AN 翻折AMH 和ANH,得到ABM 和AND, BM2,DN3,BDBAD90 分别延长 BM 和 DN 交于点 C,得正方形 ABCD, 由(2)可知,AHABBCCDAD 设 AHx,则 MCx2,NCx3, 在 RtMCN 中,由勾股定理,得 MN2MC2+NC2 52(x2)2+(x3)2 解得 x16,x21 (不符合题意,舍去) AH6 25 (10 分)如图,抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A(1,0) ,B(3,0) ,与 y 轴交于点 C,点 D

36、 是 直线 BC 上方抛物线上一动点 (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,连接 BD、CD,设点 D 的横坐标为 m,BCD 的面积为 s试求出 s 与 m 的函数关系式, 并求出 s 的最大值; (3)如图 2,设 AB 的中点为 E,作 DFBC,垂足为 F,连接 CD、CE,是否存在点 D,使得以 C、D、 F 三点为顶点的三角形与CEO 相似?若存在,请直接写出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)由抛物线与 x 轴的交点可设交点式来求解析式 (2)过点 D 作 y 轴平行线交 BC 于点 M,把BCD 分成左右两部分CDM 与BDM,都以 DM 为底时 面积和即

37、为 OB 与 DM 的积的一半由 D 的横坐标为 m,可用 m 表示 D 的纵坐标,求 BC 解析式,即可 用 m 表示 BC 上的点 M,进而得到用 m 表示 DM 的式子,代入即求得 s 关于 m 的关系式二次函数,配方 即求出最大值 (3)因为CFDCOE90,所以存在相似时有CFDCOE 或CFDEOC 两种情况,即 OCE 的对应角有两种情况把COE 三边求出并求出OCE 的正弦和余弦值利用(2)求得BCD 面积 s,即能用 m 表示以 BC 为底时的高 DF 的长,再利用FCD 或FDC 与OCE 相等得到的三角函 数关系,即求得 DF 与 CD 的等量关系,解方程即求得 m 的值

38、 【解答】解: (1)抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A(1,0) ,B(3,0) y(x+1) (x3)x2+2x+3 抛物线解析式为 yx2+2x+3 (2)过点 D 作 DMy 轴,交 BC 于点 M 当 x0 时,yx2+2x+33 C(0,3) 直线 BC 解析式为 yx+3 D(m,m2+2m+3) ,M(m,m+3) DMm2+2m+3(m+3)m2+3m sSDMB+SDMCMD(xBxD)+(xMxC)OBDM(m2+3m)m2+m (m)2+(0m3) , s 与 m 的函数关系式为 sm2+m,s 的最大值为 (3)存在点 D,使得以 C、D,F 三点为顶点的

39、三角形与CEO 相似 如图 2,连接 BD 设点 D 的横坐标为 m, 点 E 为 AB 中点,A(1,0) ,B(3,0) ,C(0,3) E(1,0) ,OE1,OC3,CD2m2+(m2+2m+33)2 CE sinOCE,cosOCE BC,DFBC 由(2)知,面积 sBCDFm2+m DF 以 C、D,F 三点为顶点的三角形与CEO 相似,CFDCOE90 CFDCOE 或CFDEOC 若CFDCOE,则FCDOCE sinFCD 10DF2CD2 10()2m2+(m2+2m)2 解得:m14(舍去) ,m2 m2+2m+3+5+3 D(,) 若CFDEOC,则FDCOCE cosFDC 10DF29CD2 10()29m2+(m2+2m)2 解得:m10(舍去) ,m2 m2+2m+3+3+3 D(,) 点 D 的坐标为(,)或(,)