1、2020-2021 学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A2x+y2 Bx+y20 Cax2+bx+c0 D2xx21 2若圆弧的半径为 3，所对的圆心角为 60，则弧长为（ ） A
2、 B C D3 3反映一组数据变化范围的是（ ） A极差 B方差 C众数 D平均数 4下列方程中，两个实数根的和为 0 的是（ ） Ax2x0 Bx2+2x0 Cx210 Dx22x+10 5某校九年级（1）班部分学生上学路上所花的时间如图所示设他们上学路上所花时间的平均数为 a，中 位数为 b，众数为 c，则有（ ） Abac Bcab Cabc Dbca 6如图，AC 为半圆的直径，弦 AB3，BAC30，点 E、F 分别为 AB 和 AC 上的动点，则 BF+EF 的 最小值为（ ） A B C3 D+ 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共
3、分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上）相应位置上） 7方程 x240 的解是 8若O 的半径为 3cm，点 A 与圆心 O 的距离为 4cm，则点 A 与O 的位置关系是 9若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a0 有两个相等的实数根，则 a 的值是 10某招聘考试分笔试和面试两种其中笔试按 60%、面试按 40%计算加权平均数作为总成绩小明笔试 成绩为 90 分面试成绩为 85 分，那么小明的总成绩为 分 11将方程 x2+6x30 化为（x+h）2k 的形式是 12如图，ABC 内接于O，A64，则OBC 1
4、3如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，连接 AE、AG，则EAG 14已知圆锥的母线长为 8cm，侧面展开图的圆心角为 45，则该圆锥的侧面积为 cm2 15已知O 的半径为 6，弦 AB 长为 6，则 AB 所对的圆周角的度数为 16如图，在四边形 ABCD 中，BADCDA90，CD2AB，过 A、B、D 三点的O 分别交 BC、 CD 于点 E、F下列结论：DFCF；AEAD其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
5、程或演算步骤）程或演算步骤） 17解下列方程： （1）x210 x+160； （2）x（x3）62x 18已知关于 x 的方程 x2mx+（m2）0 （1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是 2，求 m 的值以及方程的另一个根 19甲、乙两名同学本学期的五次数学测试成绩如下（单位：分） ： 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲 86 83 90 80 86 乙 78 82 84 89 92 （1）完成下表： 中位数 平均数 方差 甲 85 乙 84 85 24.8 （2）请运用所学的统计知识，从两个不同角度评价甲、乙两人的数
6、学成绩 20已知某企业 2020 年 3 月份的口罩产量是 500 万只，4 月份的产量比 3 月份有所增长5 月份新冠疫情 有所好转，口罩产量降为 420 万只若两次产量变化的百分率相同，求这个百分率 21如图，在O 中，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，CDAB，垂足为 P过点 D 作O 的切线与 AB 的延长线相交于点 E （1）若ABC56，求E 的度数 （2）若 CD6，BP2，求O 的半径 22如图，有一道长为 10m 的墙，计划用总长为 54m 的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃 ABCD若花圃 ABCD 面积为 72m2，求 AB 的长 23如图，在O 中，C 是
7、的中点，CAOB求证：四边形 OACB 是菱形 24如图，PM 是O 的切线，切点是 A点 B、C、D 是O 上的点，PAPB （1）求证 PB 是O 的切线； （2）若C92，MAD40，则P 25某商店经销的某种商品，每件成本为 30 元经市场调研，售价为 40 元时，可销售 200 件；售价每增 加 2 元，销售量将减少 20 件如果这种商品全部销售完，该商店可盈利 2250 元，那么该商品每件售价 多少元？ 26如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6点 E 为 CD 边上的一个动点（不与 C、D 重合） ，O 是 BCE 的外接圆 （1）若 CE2，O 交 AD 于点 F、G，求
8、FG 的长度 （2）若 CE 的长度为 m，O 与 AD 的位置关系随着 m 的值变化而变化，试探索O 与 AD 的位置关系 及对应的 m 的取值范围 27 （1）如图，AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，且 BCBD，CDAD求证：ADC2BDC （2）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上若点 D 是平面内任意一点，且满足 ADCD，ADC 2BDC 利用直尺和圆规在图中作出所有满足条件的点 D（保留作图痕迹，不写作法） 若 AB4，BC 长度为 m（0m4） ，点 D 的个数随着 m 的值变化而变化，直接写出点 D 的个数及对 应的 m 的取值范围 2020-2021 学年江苏
9、省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A2x+y2 Bx+y20 Cax2+bx+c0 D2xx21 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可 【解答】解：A、含有 2 个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意是一元一次方程，故此选项 不合题意； B、x+y20 含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、ax2+bx+c0 未指明 a、b、c 为常数且 a0，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
10、 D、2xx21 是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D 2若圆弧的半径为 3，所对的圆心角为 60，则弧长为（ ） A B C D3 【分析】利用弧长公式计算即可 【解答】解：弧长 l， 故选：B 3反映一组数据变化范围的是（ ） A极差 B方差 C众数 D平均数 【分析】根据极差是刻画数据离散程度的一个统计量它能反映数据的波动范围大小解答 【解答】解：反映一组数据变化范围的是极差； 故选：A 4下列方程中，两个实数根的和为 0 的是（ ） Ax2x0 Bx2+2x0 Cx210 Dx22x+10 【分析】利用根与系数的关系对各选项进行判断 【解答】解：x2x0 的两个实数根的和为 1
11、； x2+2x0 的两个实数根的和为2； x210 的两个实数根的和为 0； x22x+10 的两个实数根的和为 2 故选：C 5某校九年级（1）班部分学生上学路上所花的时间如图所示设他们上学路上所花时间的平均数为 a，中 位数为 b，众数为 c，则有（ ） Abac Bcab Cabc Dbca 【分析】根据平均数、众数、中位数的定义解答即可 【解答】解：平均数为 a29，中位数 b30，众数 c20， bac， 故选：A 6如图，AC 为半圆的直径，弦 AB3，BAC30，点 E、F 分别为 AB 和 AC 上的动点，则 BF+EF 的 最小值为（ ） A B C3 D+ 【分析】作 B
12、点关于直径 AC 的对称点 B，过 B点作 BEAB 于 E，交 AC 于 F，如图，利用两点 之间线段最短和垂线段最短可判断此时 FB+FE 的值最小， 再判断ABB为等边三角形， 然后计算出 B E 的长即可 【解答】解：作 B 点关于直径 AC 的对称点 B，过 B点作 BEAB 于 E，交 AC 于 F，如图， 则 FBFB， FB+FEFB+FEBE， 此时 FB+FE 的值最小， BAC30， BAC30， BAB60， ABAB， ABB为等边三角形， BEAB， AEBE， BEAE， 即 BF+EF 的最小值为 故选：B 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 7方程
13、x240 的解是 2 【分析】首先移项可得 x24，再两边直接开平方即可 【解答】解：x240， 移项得：x24， 两边直接开平方得：x2， 故答案为：2 8若O 的半径为 3cm，点 A 与圆心 O 的距离为 4cm，则点 A 与O 的位置关系是 圆外 【分析】判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系可得答案 【解答】解：O 的半径为 3cm，点 A 与圆心 O 的距离为 4cm， 点 A 在O 外， 故答案为：圆外 9若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a0 有两个相等的实数根，则 a 的值是 4 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出164a0，解之即可得出 a 值 【解答】解
14、：关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a0 有两个相等的实数根， 424a164a0， 解得：a4 故答案为：4 10某招聘考试分笔试和面试两种其中笔试按 60%、面试按 40%计算加权平均数作为总成绩小明笔试 成绩为 90 分面试成绩为 85 分，那么小明的总成绩为 88 分 【分析】根据笔试和面试所占的权重以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可 【解答】解：笔试按 60%、面试按 40%， 总成绩是（9060%+8540%）88（分） ； 故答案为：88 11将方程 x2+6x30 化为（x+h）2k 的形式是 （x+3）212 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一
15、次项系数 6 的一半的平方 【解答】解：由原方程，得 x2+6x3， 配方得，x2+6x+93+9， （x+3）212 故答案为： （x+3）212 12如图，ABC 内接于O，A64，则OBC 26 【分析】连接 OC，根据圆周角定理得求出BOC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算， 得到答案 【解答】解：连接 OC， 由圆周角定理得，BOC2A128， OBOC， OBC（180128）226， 故答案为：26 13如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，连接 AE、AG，则EAG 45 【分析】连接 AC、GE、EC，易知四边形 ACEG 为正方形，根据正方形的性质即可求解 【解
16、答】解：连接 AC、GE、EC，如图所示： 在正八边形 ABCDEFGH 中， ABAH，HBHAB135，HGBC， AHGABC（SAS） ， AGAC，HAGBAC22.5， GAC90， 同理，EGCEAG， 四边形 ACEG 为正方形， EAG45， 故答案为：45 14已知圆锥的母线长为 8cm，侧面展开图的圆心角为 45，则该圆锥的侧面积为 8 cm2 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计 算该圆锥的侧面积 【解答】解：根据题意，该圆锥的侧面积8（cm2） 故答案为 8 15已知O 的半径为 6，弦 AB 长为 6，则 AB
17、所对的圆周角的度数为 45或 135 【分析】根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等腰直角三角形，则弦所对的圆心角是 60， 要计算它所对的圆周角， 应考虑两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，则根据圆周角定理，得此圆周角是 45； 当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的对角互补，得此圆周角是 135 【解答】解：根据题意，弦 AB 与两半径组成等腰直角三角形， 弦 AB 所对的圆心角45， 圆周角在优弧上时，圆周角45， 圆周角在劣弧上时，圆周角18045135 圆周角的度数为 45或 135； 故答案为：45或 135 16如图，在四边形 ABCD 中，BADCDA90，CD2
18、AB，过 A、B、D 三点的O 分别交 BC、 CD 于点 E、 F 下列结论： DFCF； ； AEAD 其中所有正确结论的序号是 【分析】连接 BF，AF、EF，如图，利用圆内接四边形的性质得到BFDABF90，则可判断四 边形 ABFD 为矩形，所以 ABDF，然后利用 CD2AB，DFCF，则可对正进行判断；再证明四边 形 ABCF 为平行四边形得到 AFBC，所以AEBFAE，则，由于不能确定AFBEAF AEB30，即不能确定BAEEAF，则可对进行判断；然后证明 RtADFRtAEF，则 可对进行判断 【解答】解：连接 BF，AF、EF，如图， BADCDA90， BFDABF9
19、0， 四边形 ABFD 为矩形， ABDF， CD2AB， CFAB， 即 DFCF；所以正确； BADCDA90， ABCD， ABCF， 四边形 ABCF 为平行四边形， AFBC， AEBFAE， ， 不能确定 AB 与 AD 的大小关系， 不能确定AFBEAFAEB30， 不能确定BAEEAF， 不能确定，所以错误； ， ABEFDF， AEF+D180， AEF90， 在 RtADF 和 RtAEF 中， ， RtADFRtAEF（HL） ， ADAE，所以正确 故答案为 三解答题三解答题 17解下列方程： （1）x210 x+160； （2）x（x3）62x 【分析】 （1）利用配
20、方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）x210 x+259， （x5）29， x53， x18，x22 （2）x（x3）2（x3） ， x（x3）+2（x3）0， （x3） （ x+2）0， 则 x30 或 x+20， x13，x22 18已知关于 x 的方程 x2mx+（m2）0 （1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是 2，求 m 的值以及方程的另一个根 【分析】 （1）先计算判别式的值得到（m2）2+4，然后根据判别式的意义得到结论； （2）设方程的另一个为 t，利用根与系数的关系得到 2+tm，2tm2，然后解方程
21、组即可 【解答】 （1）证明：a1，bm，cm2， b 24ac（m ）2418（m2）m 24m+8（m2）2+4， （m2）20， （m2）2+40，即0， 不论 m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个为 t， 根据题意得，2+tm，2tm2， 2+t2t2，解得 t0， m2， m 的值为 2，另一个根为 0 19甲、乙两名同学本学期的五次数学测试成绩如下（单位：分） ： 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲 86 83 90 80 86 乙 78 82 84 89 92 （1）完成下表： 中位数 平均数 方差 甲 86 85 11
22、.2 乙 84 85 24.8 （2）请运用所学的统计知识，从两个不同角度评价甲、乙两人的数学成绩 【分析】 （1）根据中位数的定义和方差的公式进行解答即可； （2）从中位数和方差的意义进行分析即可 【解答】解： （1）把这些数从小大排列为：80，83，86，86，90，则中位数是 86 分； 甲同学的方差是：（8685）2+（8385）2+（9085）2+（8085）2+（8685）211.2（分）2； 故答案为：85，11.2； （2）数据的集中程度：从中位数看，甲的中位数略大于乙的中位数，说明甲的数学成绩略好于乙； 数据的离散程度：从方差看，甲的方差小于乙的方差，且两人的平均成绩相同，说
23、明甲的成绩比乙更 稳定； 数据的变化趋势：从两人成绩的变化趋势看，乙的成绩在逐渐上升，说明乙的成绩进步较大 20已知某企业 2020 年 3 月份的口罩产量是 500 万只，4 月份的产量比 3 月份有所增长5 月份新冠疫情 有所好转，口罩产量降为 420 万只若两次产量变化的百分率相同，求这个百分率 【分析】设这个百分率是 x，根据该企业 2020 年 3 月份及 5 月份的口罩产量，即可得出关于 x 的一元二 次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：设这个百分率是 x， 依题意，得：500 （1+x） （1x）420， 解得：x10.440%，x20.4（不合题意，舍去） 答：这个百
24、分率是 40% 21如图，在O 中，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，CDAB，垂足为 P过点 D 作O 的切线与 AB 的延长线相交于点 E （1）若ABC56，求E 的度数 （2）若 CD6，BP2，求O 的半径 【分析】 （1）连接 OD，根据直角三角形的性质求出PCB，根据切线的性质得到ODE90，根据 直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据垂径定理求出 PD，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案 【解答】解： （1）连接 OD， 弦 ABCD， CPB90 ABC56， PCB905634， 由圆周角定理得，EOD2CPB68， DE 是O 的切线， ODE90， E906
25、822； （2）弦 ABCD， CPDPCD3， 设O 的半径为 r， 在 RtODP 中，PD2+OP2OD2，即 32+（r2） 2r 2， 解得，r， 所以O 的半径为 22如图，有一道长为 10m 的墙，计划用总长为 54m 的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃 ABCD若花圃 ABCD 面积为 72m2，求 AB 的长 【分析】设 AB 的长是 xm，则 BC 的长是（18x）m，根据题意得方程，解方程即可得到结论 【解答】解：设 AB 的长是 xm，则 BC 的长是（18x）m 根据题意，得 x （18x）72， 解这个方程，得 x16，x212， 当 x6 时，18x12
26、10（不合题意，舍去） 当 x12 时，18x6 符合题意 答：AB 的长是 12m 23如图，在O 中，C 是的中点，CAOB求证：四边形 OACB 是菱形 【分析】如图，连接 OC欲证明四边形 OACB 是菱形，只需推知 ACBCOCOAOB 即可 【解答】证明：如图，连接 OC C 是的中点， ， ACBC， 在AOC 和BOC 中， ， AOCBOC（SSS） ACOBCOACB，AOCBOCAOB 又ACBAOB ACOBCOAOCBOC ACBCOCOAOB， 四边形 OACB 是菱形 24如图，PM 是O 的切线，切点是 A点 B、C、D 是O 上的点，PAPB （1）求证 PB
27、 是O 的切线； （2）若C92，MAD40，则P 76 【分析】 （1）连接 OA，OB，OP，证明PBOPAO，得到PBOPAO90，即可证得结论； （2）连接 BA，由圆内接四边形的性质得到C92，进而求得PAB52，由切线长定理得到 PA PB，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得P 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OA，OB，OP， PM 是O 的切线， PAO90， 在PBO 和PAO 中， ， PBOPAO（SSS） ， PBOPAO90， 点 B 在O 上， PB 是O 的切线； （2）解：如图 2，连接 BA， C92， BAD180C88， MAD40， PA
28、B180408852， PA，PB 是O 的切线， PAPB， PBAPAB52， P180PABPBA76， 故答案为：76 25某商店经销的某种商品，每件成本为 30 元经市场调研，售价为 40 元时，可销售 200 件；售价每增 加 2 元，销售量将减少 20 件如果这种商品全部销售完，该商店可盈利 2250 元，那么该商品每件售价 多少元？ 【分析】设该商品每件售价 x 元根据题意得到方程，解这个方程即可得到结论 【解答】解：设该商品每件售价 x 元 根据题意，得（x30）20010（x40）2 250， 解这个方程，得 x1x245， 答：该商店每件售价 45 元 26如图，在矩形
29、ABCD 中，AB4，BC6点 E 为 CD 边上的一个动点（不与 C、D 重合） ，O 是 BCE 的外接圆 （1）若 CE2，O 交 AD 于点 F、G，求 FG 的长度 （2）若 CE 的长度为 m，O 与 AD 的位置关系随着 m 的值变化而变化，试探索O 与 AD 的位置关系 及对应的 m 的取值范围 【分析】 （1）过点 O 作 OMFG 于点 M，延长 MO 交 BC 于点 N，连接 OG在 RtBCE 中，利用勾股 定理求出 BE，再在 RtOMG 中求出 MG 即可解决问题 （2）如图 1 中，当O 与 AD 相切于点 M 时，连接 OM 并反向延长交 BC 于点 N求出相切
30、时，m 的值 即可判断 【解答】 （1）解：过点 O 作 OMFG 于点 M，延长 MO 交 BC 于点 N，连接 OG， 四边形 ABCD 是矩形， CD90， BE 是O 的直径 CDDMN90， 四边形 MNCD 是矩形， MNBC，MNCDAB4， BNCN OBOE， ON 是BCE 的中位线， ONCE1， OM413， 在 RtBCE 中，BE2， OGBE， 在 RtOMG 中，MG1， FG2MG2 （2）解：如图 1 中，当O 与 AD 相切于点 M 时，连接 OM 并反向延长交 BC 于点 N 由（1）易得 ONCEm，OBOM4m，BN3， 在 RtBON 中，ON2+
31、BN2OB2，即（m）2+32（4m）2， 解得 m， 当 0m时，O 与 AD 相离， 当 m时，O 与 AD 相切， 当m4 时，O 与 AD 相交 27 （1）如图，AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，且 BCBD，CDAD求证：ADC2BDC （2）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上若点 D 是平面内任意一点，且满足 ADCD，ADC 2BDC 利用直尺和圆规在图中作出所有满足条件的点 D（保留作图痕迹，不写作法） 若 AB4，BC 长度为 m（0m4） ，点 D 的个数随着 m 的值变化而变化，直接写出点 D 的个数及对 应的 m 的取值范围 【分析】（1） 连接 AC
32、， 先证明ACD 是等边三角形， 可得ADC60DAC， 可证ADC2BDC； （2）如图，以 B 为圆心，BC 长为半径作B，B 与 AC 的垂直平分线的交点为 D，D； 找出特殊位置时，m 的值，即可求解 【解答】证明： （1）连接 AC， BDBC， ， 又AB 是直径， AB 垂直平分 CD， ACAD， CDAD， ACD 是等边三角形， ADC60DAC， AB 垂直平分 CD， BACBAD30BDC， ADC2BDC； （2）如图，以 B 为圆心，BC 长为半径作B，B 与 AC 的垂直平分线的交点为 D，D； 当B 与 AC 的垂直平分线只有一个交点时，即点 D 的个数为 1， AC2BC， AB2AC2+BC2， 165m2， m， 0m4， 当 0m时，点 D 的个数为 0； 当 m时，点 D 的个数为 1； 当m4 时，点 D 的个数为 2