1、2020-2021 学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.） 1下列方程中，一定是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 B2（xx2）10 Cx2y20 Dmx23xx2+2 2在数 2、3、4 和 5 中，是方程 x2+x120 的根的为（ ） A2 B3 C4 D5 3已知 x1 是方程 mx2+nx0 的根，则必有（ ） Am+n0 Bm2+n0 Cmn0 Dm2n0 4在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆
2、圆打分，得到互不相等的五个分数若去掉一个最高分，平均分 为 x；去掉一个最低分，平均分为 y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为 z，则（ ） Ayzx Bxzy Cyxz Dzyx 5有一题目： “已知：点 O 为ABC 的外心，BOC130，求A ”嘉嘉的解答为：画ABC 以及它 的外接圆 O，连接 OB，OC如图，由BOC2A130，得A65而淇淇说： “嘉嘉考虑的 不周全，A 还应有另一个不同的值 ”下列判断正确的是（ ） A淇淇说的对，且A 的另一个值是 115 B淇淇说的不对，A 就得 65 C嘉嘉求的结果不对，A 应得 50 D两人都不对，A 应有 3 个不同值 6 中国美
3、食讲究色香味美， 优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花 图中的摆盘， 其形状是扇形的一部分， 图是其几何示意图 （阴影部分为摆盘） ， 通过测量得到 ACBD12cm， C， D 两点之间的距离为 4cm， 圆心角为 60，则图中摆盘的面积是（ ） A80cm2 B40cm2 C24cm2 D2cm2 7根据下列表格中关于 x 的代数式 ax2+bx+c 的值与 x 对应值， x 5.12 5.13 5.14 5.15 ax2+bx+c 0.04 0.02 0.01 0.03 那么你认为方程 ax2+bx+c0（a0，a、b、c 为常数）的一个解最接近于下面的（ ） A5.12 B5.13 C5.
4、14 D5.15 8 如图， 点 C 为扇形 OAB 的半径 OB 上一点， 将OAC 沿 AC 折叠， 点 O 恰好落在上的点 D 处， 且： 1： 3 （表示的长） ， 若将此扇形 OAB 围成一个圆锥， 则圆锥的底面半径与母线长的比为 （ ） A1：3 B1： C1：4 D2：9 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9将一元二次方程 3x（x1）2 化成 ax2+bx+c0（a0）的形式为 10一元二次方程 x290 的解是 11九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，
5、4，1，这 组数据的众数为 12某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行 了测试，测试成绩如下表所示如果将学历、经验和工作态度三项得分按 2：1：3 的比例确定两人的最 终得分，并以此为依据确定录用者，那么 将被录用（填甲或乙） 应聘者 项目 甲 乙 学历 9 8 经验 7 6 工作态度 5 7 13已知O 的直径为 8，点 P 到圆心 O 的距离为 5，则点 P 与O 的位置关系是 14如图，四边形 ABCD 内接于O，延长 CO 交O 于点 E，连接 BE若A100，E60，则 ECD 15如图，菱形 OABC 的顶点 A，B，C 在O 上，
6、过点 B 作O 的切线交 OA 的延长线于点 D若O 的 半径为 1，则 BD 的长为 16如图，学校准备修建一个面积为 48m2的矩形花园它的一边靠墙，其余三边利用长 20m 的围栏，已知 墙长 9m，则围成矩形的长为 17若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx10（a0）有一根为 x2019，则一元二次方程 a（x1）2+b（x 1）10 必有一根为 18如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，点 D 在 BC 上，且 CD2，点 P 是线段 AC 上一个动 点，以 PD 为直径作O，点 Q 为直径 PD 上方半圆的中点，连接 AQ，则 AQ 的最小值为 三、解答题（本题共三、解答
7、题（本题共 9 小题，共小题，共 96 分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19解下列方程： （1） （x1）29 （2）x210 x+180 （3）2x2+1x （4） （2x+1）23（2x+1） 20关于 x 的一元二次方程 x28xk0 有两个相等的实数根 （1）求 k 的值； （2）求出方程的根 21如图，点 A、B、C、D 在O 上，ABDC，AC 与 BD 相等吗？为什么？ 22如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A，B，C，其中 B 点坐标为（3，4） ， （1）则该弧所在圆心的坐标是 （2）C 与下列格点的连
8、线中，能与该圆弧相切的是 A点（6，0） ；B点（5，1） ；C点（2，5） ；D点（1，6） 23为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中现有 A、B 两家农副产品加 工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的 鸡腿 检查人员从两家分别抽取 100 个鸡腿， 然后再从中随机各抽取 10 个， 记录它们的质量 （单位： 克） 如表： A 加工厂 74 75 75 75 73 77 78 72 76 75 B 加工厂 78 74 78 73 74 75 74 74 75 75 （1）根据表中数据，求 A 加工厂的 10 个鸡腿
9、质量的中位数、众数、平均数； （2）估计 B 加工厂这 100 个鸡腿中，质量为 75 克的鸡腿有多少个？ （3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？ 24如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径，点 C 为O 上一点，且 AC 平分PAE， 过 C 作 CDPA，垂足为 D （1）求证：CD 为O 的切线； （2）若 CD2AD，O 的直径为 20，求线段 AC、AB 的长 25新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，准备到一家植物种植基地购买 A、B 两 种花苗 据了解， 购买 A 种花苗 3 盆， B 种花苗 5 盆， 则需 2
10、10 元； 购买 A 种花苗 4 盆， B 种花苗 10 盆， 则需 380 元 （1）求 A、B 两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买 A、B 两种花苗共 12 盆进行搭配装扮教室种植基地销售人 员为了支持本次活动， 为该班同学提供以下优惠： 购买多少盆 B 种花苗， B 种花苗每盆就降价多少元 若 九年级一班的同学本次购买花苗共花费了 256 元，请计算出本次购买了 A、B 两种花苗各多少盆？ 26某“优学团”在社团活动时，研究了教材第 12 页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配 方过程的直观演示他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花
11、拉子米和我国古代数学家 赵爽两种不同构图方法该社团以方程 x2+10 x390 为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中 的一些填空因为 x2+10 x390，所以有 x（x+10）39 展示 1：阿尔花拉子米构图法 如图 1，由方程结构，可以看成是一个长为（x+10） ，宽为 x，面积为 39 的矩形若剪去两个相邻的，长、 宽都分别为 5 和 x 的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图 2 的大正方形 （1）图 2 中，补上的空白小正方形的边长为 ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方 程化为（x+ ）239+ ； 展示 2：赵爽构图法 如图 3，用 4 个长都是（
12、x+10） ，宽都是 x 的相同矩形，拼成如图 3 所示的正方形 （2）图 3 中，大正方形面积可以表示为（ ）2（用含 x 的代数式表示） ；另一方面，它又等于 4 个小矩形的面积加上中间小正方形面积， 即等于 439+ ， 故可得原方程的一个正的根为 （3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程 x2+2x3 的配方结果（请在相应位置画出图形，需在 图中标注出相关线段的长度） 27 【问题情境】如图 1，C，D 是AOB 的边 OA 上两点，在边 OB 上找一点 P，使得CPD 最大 【问题解决】小明在解决这个问题时认为：如图 2，同时过 C、D 两点的圆与 OB 边相切于点 P，当且仅
13、当取此切点时，CPD 才最大 （1）小明证明自己结论的思路是：在射线 OB 上任取另一点 P1（不同于切点 P） ，证明CDDCP1D 即可请完成小明的证明； 【结论应用】请和小明一起，利用“问题情境”的结论解决下列问题： （2） 如图 3， 一幢楼 BC 上有一高为 2m 的信号塔 AB， 当观测点 E 在水平地面 CD 上， 且满足 CE6 时，看信号塔 AB 的视角（即AEB）最大，求楼高 BC； （3）如图 4，四边形 ABCD 中，AB90，BCD60，BC9，对角线 AC 平分BCD点 E 是 BC 上一点， 请问当 BE 的长满足什么条件时， 在线段 AD 上恰好只存在一点 P，
14、 使得BPE60？ （直接写出结果，不必写出解答过程） 2020-2021 学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1下列方程中，一定是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 B2（xx2）10 Cx2y20 Dmx23xx2+2 【分析】 根据只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程进行解答即可 【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、不是一元二次方程，故
15、此选项错误； D、不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B 2在数 2、3、4 和 5 中，是方程 x2+x120 的根的为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案 【解答】解：x2+x120， （x+4） （x3）0， x4 或 x3， 故选：B 3已知 x1 是方程 mx2+nx0 的根，则必有（ ） Am+n0 Bm2+n0 Cmn0 Dm2n0 【分析】把 x1 代入已知方程，即可求得（mn）的值 【解答】解：由题意，得 x1 满足方程 mx2+nx0， 所以，mn0， 故选：C 4在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数若去
16、掉一个最高分，平均分 为 x；去掉一个最低分，平均分为 y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为 z，则（ ） Ayzx Bxzy Cyxz Dzyx 【分析】根据题意，可以判断 x、y、z 的大小关系，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， 若去掉一个最高分， 平均分为 x， 则此时的 x一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为 z， 去掉一个最低分，平均分为 y，则此时的 y 一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为 z， 故 yzx， 故选：A 5有一题目： “已知：点 O 为ABC 的外心，BOC130，求A ”嘉嘉的解答为：画ABC 以及它 的外接圆 O，
17、连接 OB，OC如图，由BOC2A130，得A65而淇淇说： “嘉嘉考虑的 不周全，A 还应有另一个不同的值 ”下列判断正确的是（ ） A淇淇说的对，且A 的另一个值是 115 B淇淇说的不对，A 就得 65 C嘉嘉求的结果不对，A 应得 50 D两人都不对，A 应有 3 个不同值 【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案 【解答】解：如图所示：A 还应有另一个不同的值A与A 互补 故A18065115 故选：A 6 中国美食讲究色香味美， 优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花 图中的摆盘， 其形状是扇形的一部分， 图是其几何示意图 （阴影部分为摆盘） ， 通过测量得到 ACBD1
18、2cm， C， D 两点之间的距离为 4cm， 圆心角为 60，则图中摆盘的面积是（ ） A80cm2 B40cm2 C24cm2 D2cm2 【分析】首先证明OCD 是等边三角形，求出 OCODCD4cm，再根据 S阴S扇形OABS扇形OCD， 求解即可 【解答】解：如图，连接 CD OCOD，O60， COD 是等边三角形， OCODCD4cm， S阴S扇形OABS扇形OCD40（cm2） ， 故选：B 7根据下列表格中关于 x 的代数式 ax2+bx+c 的值与 x 对应值， x 5.12 5.13 5.14 5.15 ax2+bx+c 0.04 0.02 0.01 0.03 那么你认为
19、方程 ax2+bx+c0（a0，a、b、c 为常数）的一个解最接近于下面的（ ） A5.12 B5.13 C5.14 D5.15 【分析】观察表格确定出解的范围，进而求出近似解即可 【解答】解：根据表格可得方程 ax2+bx+c0（a0，a、b、c 为常数）的一个解 x 的范围为 5.13x 5.14， |0.02|0.02，|0.01|0.01，且 0.020.01， 方程的解最接近于 5.14 故选：C 8 如图， 点 C 为扇形 OAB 的半径 OB 上一点， 将OAC 沿 AC 折叠， 点 O 恰好落在上的点 D 处， 且： 1： 3 （表示的长） ， 若将此扇形 OAB 围成一个圆锥
20、， 则圆锥的底面半径与母线长的比为 （ ） A1：3 B1： C1：4 D2：9 【分析】连接 OD，能得AOB 的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解 【解答】解：连接 OD 交 AC 于 M 由折叠的知识可得：OMOA，OMA90， OAM30， AOM60， 且：1：3， AOB80 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 2r， r：l2：9 故选：D 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 9将一元二次方程 3x（x1）2 化成 ax2+bx+c0（a0）的形式为 3x23x20 【分析】方程整理为一般形式即可 【解答】解：方程 3x（x1）2， 去括号得：3x23x2，
21、移项得：3x23x20 故答案为：3x23x20 10一元二次方程 x290 的解是 x13，x23 【分析】利用直接开平方法解方程得出即可 【解答】解：x290， x29， 解得：x13，x23 故答案为：x13，x23 11九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这 组数据的众数为 5 【分析】根据众数的定义直接求解即可 【解答】解：5 出现了 3 次，出现的次数最多， 这组数据的众数为 5 故答案为：5 12某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行 了测试，测试成绩如下表所示如果将学历
22、、经验和工作态度三项得分按 2：1：3 的比例确定两人的最 终得分，并以此为依据确定录用者，那么 乙 将被录用（填甲或乙） 应聘者 项目 甲 乙 学历 9 8 经验 7 6 工作态度 5 7 【分析】根据加权平均数的定义列式计算，比较大小，平均数大者将被录取 【解答】解：， ， 乙将被录用， 故答案为：乙 13已知O 的直径为 8，点 P 到圆心 O 的距离为 5，则点 P 与O 的位置关系是 在圆外 【分析】首先求得该圆的半径，再根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断若 dr，则 直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离 【解答】解：根据题意，得 该圆的半径
23、是 4，小于点 P 到圆心 O 的距离 5，则点 P 在O 外部， 故答案为在圆外 14如图，四边形 ABCD 内接于O，延长 CO 交O 于点 E，连接 BE若A100，E60，则 ECD 50 【分析】根据圆周角定理得到EBC90，求出BCE，根据圆内接四边形的性质得到BCD180 A80，计算即可 【解答】解：EC 是O 的直径， EBC90， BCE90E30， 四边形 ABCD 内接于O， BCD180A80， ECDBCDBCE50， 故答案为：50 15如图，菱形 OABC 的顶点 A，B，C 在O 上，过点 B 作O 的切线交 OA 的延长线于点 D若O 的 半径为 1，则 B
24、D 的长为 【分析】连接 OB，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到AOB 为等边三角形，进而求出AOB 60，根据切线的性质得到DBO90，根据正切的定义计算，得到答案 【解答】解：连接 OB， 四边形 OABC 是菱形， OAAB， OAOB， OAABOB， AOB 为等边三角形， AOB60， BD 是O 的切线， DBO90， OB1， BDOB， 故答案为： 16如图，学校准备修建一个面积为 48m2的矩形花园它的一边靠墙，其余三边利用长 20m 的围栏，已知 墙长 9m，则围成矩形的长为 8m 【分析】设宽为 xm，则长为（202x）m，然后根据 48 平方米的长方形即可列出
25、方程，解方程即可解决 问题 【解答】解：设宽为 xm，则长为（202x）m 由题意，得 x （202x）48， 解得 x14，x26 当 x4 时，2024129（舍去） ， 当 x6 时，20268 即：围成矩形的长为 8m 故答案为：8m 17若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx10（a0）有一根为 x2019，则一元二次方程 a（x1）2+b（x 1）10 必有一根为 x2020 【分析】对于一元二次方程 a（x1）2+b（x1）0，设 tx1 得到 at2+bt0，利用 at2+bt10 有一个根为 t2019 得到 x12019，从而可判断一元二次方程 a（x1）2+b（x1）1
26、0 必有一根 为 x2020 【解答】解：对于一元二次方程 a（x1）2+b（x1）10， 设 tx1， 所以 at2+bt10， 而关于 x 的一元二次方程 ax2+bx10（a0）有一根为 x2019， 所以 at2+bt10 有一个根为 t2019， 则 x12019， 解得 x2020， 所以 a（x1）2+b（x1）10 必有一根为 x2020 故答案为：x2020 18如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，点 D 在 BC 上，且 CD2，点 P 是线段 AC 上一个动 点，以 PD 为直径作O，点 Q 为直径 PD 上方半圆的中点，连接 AQ，则 AQ 的最小值为 4 【
27、分析】如图，连接 OQ，CQ，过点 A 作 ATCQ 交 CQ 的延长线于 T证明ACT45，求出 AT 即 可解决问题 【解答】解：如图，连接 OQ，CQ，过点 A 作 ATCQ 交 CQ 的延长线于 T ， OQPD， QOD90， QCDQOD45， ACB90， ACT45， ATCT， ATC90， AC8， ATACsin454， AQAT， AQ4， AQ 的最小值为 4， 故答案为 4 三解答题三解答题 19解下列方程： （1） （x1）29 （2）x210 x+180 （3）2x2+1x （4） （2x+1）23（2x+1） 【分析】 （1）利用直接开平方法求解即可； （2）
28、利用配方法求解即可； （3）利用公式法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）（x1）29， x13 或 x13， 解得 x14，x22； （2）x210 x18， x210 x+2518+25，即（x5）27， 则 x5， x15+，x25； （3）2x2+1x， 2x2x+10， a2，b，c1， 则（）242120， x， 即 x1，x2； （4）（2x+1）23（2x+1） ， （2x+1）23（2x+1）0， 则（2x+1） （2x2）0， 2x+10 或 2x20， 解得 x10.5，x21 20关于 x 的一元二次方程 x28xk0 有两个相等的实数根 （1
29、）求 k 的值； （2）求出方程的根 【分析】 （1）根据题意得出关于 k 的方程，解方程即可求得 k 的值； （2）把 k 的值代入原方程解方程即可 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x28xk0 有两个相等的实数根 0，即（8）24 （k）0， 64+4k0， 解得 k16； （2）因为 k16， 所以方程为 x28x+160 解之得 x1x24 21如图，点 A、B、C、D 在O 上，ABDC，AC 与 BD 相等吗？为什么？ 【分析】由 ABDC，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组 量相等，则另外两组量也对应相等得到弧 AB弧 CD，即有
30、弧 AB+弧 BC弧 BC+弧 CD，即弧 AC弧 BD，因此 AC 与 BD 相等 【解答】解：AC 与 BD 相等 理由如下：ABDC， 弧 AB弧 CD， 弧 AB+弧 BC弧 BC+弧 CD， 即弧 AC弧 BD， ACBD 22如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A，B，C，其中 B 点坐标为（3，4） ， （1）则该弧所在圆心的坐标是 （1，1） （2）C 与下列格点的连线中，能与该圆弧相切的是 A A点（6，0） ；B点（5，1） ；C点（2，5） ；D点（1，6） 【分析】 （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线，交点 即为圆
31、心 （2）根据切线的判定在网格中作图即可得结论 【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线，交点即为圆心 如图所示，则圆心是（1，1） 故答案是： （1，1） （2） 过格点 A，B，C 画圆弧，则点 C 与下列格点连线所得的直线中， 能够与该圆弧相切的格点坐标是（6，0） 故答案是：A 23为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中现有 A、B 两家农副产品加 工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的 鸡腿 检查人员从两家分别抽取 100 个鸡腿， 然后再从中随机各抽取
32、 10 个， 记录它们的质量 （单位： 克） 如表： A 加工厂 74 75 75 75 73 77 78 72 76 75 B 加工厂 78 74 78 73 74 75 74 74 75 75 （1）根据表中数据，求 A 加工厂的 10 个鸡腿质量的中位数、众数、平均数； （2）估计 B 加工厂这 100 个鸡腿中，质量为 75 克的鸡腿有多少个？ （3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？ 【分析】 （1）根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可； （2）用总数乘以质量为 75 克的鸡腿所占的百分比即可； （3）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案
33、 【解答】解： （1）把这些数从小到大排列，最中间的数是第 5 和第 6 个数的平均数， 则中位数是75（克） ； 因为 75 出现了 4 次，出现的次数最多， 所以众数是 75 克； 平均数是：（74+75+75+75+73+77+78+72+76+75）75（克） ； （2）根据题意得： 10030（个） ， 答：质量为 75 克的鸡腿有 30 个； （3）选 B 加工厂的鸡腿 A 的方差是：（7475）2+4（7575）2+（7675）2+（7375）2+（7275）2+（7775）2+ （7875）22.8； B 的平均数是：（78+74+78+73+74+75+74+74+75+75
34、）75， B 的方差是：2（7875）2+4（7475）2+（7375）2+3（7575）22.6； A、B 平均值一样，B 的方差比 A 的方差小，B 更稳定， 选 B 加工厂的鸡腿 24如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径，点 C 为O 上一点，且 AC 平分PAE， 过 C 作 CDPA，垂足为 D （1）求证：CD 为O 的切线； （2）若 CD2AD，O 的直径为 20，求线段 AC、AB 的长 【分析】 （1）欲证明 CD 为O 的切线，只要证明OCD90即可 （2）作 OFAB 于 F，设 ADx，则 OFCD2x，在 RtAOF 中利用勾股定理列出方
35、程即可解决问 题 【解答】证明： （1）连接 OC 点 C 在O 上，OAOC， OCAOAC， CDPA， CDA90， CAD+DCA90， AC 平分PAE， DACCAO， DCODCA+ACODCA+DAC90， CD 是O 切线 （2）作 OFAB 于 F， OCDCDFOFD90， 四边形 CDFO 是矩形， OCFD，OFCD， CD2AD，设 ADx，则 OFCD2x， DFOC10， AF10 x， 在 RtAOF 中，AF2+OF2OA2， （10 x）2+（2x）2102， 解得 x4 或 0（舍弃） ， AD4，AF6，AC4， OFAB， AB2AF12 25新学期
36、开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，准备到一家植物种植基地购买 A、B 两 种花苗 据了解， 购买 A 种花苗 3 盆， B 种花苗 5 盆， 则需 210 元； 购买 A 种花苗 4 盆， B 种花苗 10 盆， 则需 380 元 （1）求 A、B 两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买 A、B 两种花苗共 12 盆进行搭配装扮教室种植基地销售人 员为了支持本次活动， 为该班同学提供以下优惠： 购买多少盆 B 种花苗， B 种花苗每盆就降价多少元 若 九年级一班的同学本次购买花苗共花费了 256 元，请计算出本次购买了 A、B 两种花苗各多少盆？
37、【分析】 （1）设 A 种花苗的单价为 x 元，B 种花苗的单价为 y 元，根据“购买 A 种花苗 3 盆，B 种花苗 5 盆，则需 210 元；购买 A 种花苗 4 盆，B 种花苗 10 盆，则需 380 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方 程组，解之即可得出结论； （2）设购买 B 种花苗 m 盆，则购买 A 种花苗（12m）盆，根据总价单价数量，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）设 A 种花苗的单价为 x 元，B 种花苗的单价为 y 元， 依题意得：， 解得： 答：A 种花苗的单价为 20 元，B 种花苗的单价为 30 元 （2）设购买 B
38、种花苗 m 盆，则购买 A 种花苗（12m）盆， 依题意得：20（12m）+（30m）m256， 整理得：m210m+160， 解得：m12，m28， 当 m2 时，12m10； 当 m8 时，12m4 答：共购买了 A 种花苗 10 盆，B 种花苗 2 盆；或购买了 A 种花苗 4 盆，B 种花苗 8 盆 26某“优学团”在社团活动时，研究了教材第 12 页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配 方过程的直观演示他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家 赵爽两种不同构图方法该社团以方程 x2+10 x390 为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中
39、的一些填空因为 x2+10 x390，所以有 x（x+10）39 展示 1：阿尔花拉子米构图法 如图 1，由方程结构，可以看成是一个长为（x+10） ，宽为 x，面积为 39 的矩形若剪去两个相邻的，长、 宽都分别为 5 和 x 的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图 2 的大正方形 （1）图 2 中，补上的空白小正方形的边长为 5 ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程 化为（x+ 5 ）239+ 25 ； 展示 2：赵爽构图法 如图 3，用 4 个长都是（x+10） ，宽都是 x 的相同矩形，拼成如图 3 所示的正方形 （2）图 3 中，大正方形面积可以表示为（
40、2x+10 ）2（用含 x 的代数式表示） ；另一方面，它又等于 4 个小矩形的面积加上中间小正方形面积， 即等于 439+ 100 ， 故可得原方程的一个正的根为 x3 （3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程 x2+2x3 的配方结果（请在相应位置画出图形，需在 图中标注出相关线段的长度） 【分析】 （1）观察图形即可求解； （2）先观察图形填空，再直接开平方即可求解； （3）根据拼图方法直观地表示方程 x2+2x3 的配方结果 【解答】解： （1）图 2 中，补上的空白小正方形的边长为 5；通过不同的方式表达大正方形面积，可以 将原方程化为（x+5）239+25； 故答案为：5，5，
41、25； （2）图 3 中，大正方形面积可以表示为（2x+10）2（用含 x 的代数式表示） ；另一方面，它又等于 4 个 小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于 439+100， 则（2x+10）2439+100， （2x+10 ）2256， 2x+1016， 解得 x13，x213 故原方程的一个正的根为 x3 故答案为：2x+10，100，x3； （3）如图所示： 27 【问题情境】如图 1，C，D 是AOB 的边 OA 上两点，在边 OB 上找一点 P，使得CPD 最大 【问题解决】小明在解决这个问题时认为：如图 2，同时过 C、D 两点的圆与 OB 边相切于点 P，当且仅 当取此切点
42、时，CPD 才最大 （1）小明证明自己结论的思路是：在射线 OB 上任取另一点 P1（不同于切点 P） ，证明CDDCP1D 即可请完成小明的证明； 【结论应用】请和小明一起，利用“问题情境”的结论解决下列问题： （2） 如图 3， 一幢楼 BC 上有一高为 2m 的信号塔 AB， 当观测点 E 在水平地面 CD 上， 且满足 CE6 时，看信号塔 AB 的视角（即AEB）最大，求楼高 BC； （3）如图 4，四边形 ABCD 中，AB90，BCD60，BC9，对角线 AC 平分BCD点 E 是 BC 上一点， 请问当 BE 的长满足什么条件时， 在线段 AD 上恰好只存在一点 P， 使得BP
43、E60？ （直接写出结果，不必写出解答过程） 【分析】 （1）CPDCED，CEDCP1D，即可求解； （2） 证明 OECF 为矩形， 以 O 为圆心 OB 为半径的圆 O， 必与 CD 切于点 E， 则 OBOE， 得到 BF1； 在直角三角形 OBF 中，有 OB2BF2+OF2，即（1+x）2（6）2+1，即可求解； （3）当以 BE 为弦的圆与 AD 相切时，符合题设要求，得到 ABPFr+r3，解得 r2， 进而求解；如图 4，当以 BE 为弦的圆过点 D 时，符合题设要求，即点 P、D 重合，进而求解；当 以 BE 为弦的圆过点 A 时，此时点 A 为临界点，即可求解 【解答】解
44、： （1）在射线 OB 上任取另一点 P1（不同于切点 P） ，连接 P1D，交圆于点 E，连接 P1C，CD CPDCED，CEDCP1D， CPDCP1D； （2）作 AB 垂直平分线 OF，过点 E 作 OECD，连接 OB 则有CFOCEOC90， 四边形 OECF 为矩形 OFCE6， 看信号塔 AB 的视角（即AEB）最大， 以 O 为圆心 OB 为半径的圆 O，必与 CD 切于点 E， 即 OBOE AB2， BF1 设 BCx 米，则 OBOECF（1+x）米 在直角三角形 OBF 中，有 OB2BF2+OF2，即（1+x）2（6）2+1， 解得 x18 或20（舍去） ， 所
45、以楼高 BC 为 18 米； （3）如图 3，BCD60，BC9，对角线 AC 平分BCD， 则ACB30，则 ABBCtan3093，则 AC2AB6， ADBC，则ACBDACACD30， 故ADC 为底角为 30、底边为 6的等腰三角形， 则 ADCDACcos3066； 当以 BE 为弦的圆与 AD 相切时，符合题设要求， 则点 P 在 AD 上，BPE60，连接 OP 并延长 PO 交 BC 于点 F，则 PFBC，连接 OB、OE， 则BOF2BPO60， 则 RtBOF 中，OBF30，设圆的半径为 r（以下圆的半径均用 r 表示） ，则 OFr， 则 ABPFr+r3，解得 r
46、2， 在 RtBOF 中，BFBOcos3023BE， 故 BE6； 如图 4，当以 BE 为弦的圆过点 D 时，符合题设要求，即点 P、D 重合， 连接 BO 并延长交 CD 于点 G， 同理可得BOE 为底角为 30的等腰三角形， 则GBC30， 而DCB60，故BGC90，即 BGCD， 在 RtBCG 中，CGBC，BGBCcos30， 则 GDCDCG6，OGBGrr， 连接 OD、OE， 在 RtODG 中，OD2DG2+OG2，即 r2（r）2+（）2， 解得 r， 由知，BE2rcos3027； 当以 BE 为弦的圆过点 A 时，此时点 A 为临界点， 连接 AE， ABC90， 故 AE 过点 O， 同理可得：AEB30， 则 AE2AB62r， 则 BE2rcos3069 综上，BE6 或 7BE9 时，符合要求