1、2020-2021 学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分；共分；共 30 分）分） 1如果，那么下列叙述正确的是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 2下列计算正确的是（ ） A B C D 3学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我学校，唱我学校”的歌咏比赛，共有 18 名同学入围，他 们的决赛成绩如表，则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩（分） 9.40 9.50 9.60 9.70 9.80 9.90 人数 2 3 5 4 3 1 A9.70，9.60 B9.60，9.6
2、0 C9.60，9.70 D9.65，9.60 4已知 2+是关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的一个实数根，则实数 m 的值是（ ） A0 B1 C3 D1 5中国古代在利用“计里画方” （比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准 仪和照板来测量距离在如图所示的测量距离 AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF观测者的 眼睛（图中用点 C 表示）与 BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ） A B C D 6小明想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的 每一个数都减去 90，得到一组新数据
3、 2，0，4，4，9，5，记这组新数据的方差为，则下列表述 正确的是（ ） A B C D无法确定 7用配方法解一元二次方程 2x23x10，配方正确的是（ ） A （x）2 B （x）2 C （x）2 D （x）2 8如图，在ABC 中，DEBC，AD：DB1：2，DE2，则下列叙述正确的是（ ） BC4；ADEABC A B C D 9对于实数 a、b，定义运算“”如下：aba2ab，如 323232，则方程（x+1）32 的根 的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 10如图，在直角坐标系中，OAB 的顶点为 O（0，0） ，A（4，
4、3） ，B（3，0） 以点 O 为位似中心，在 第三象限内作与OAB 的位似比为的位似图形OCD，则点 C 的坐标为（ ） A （1，1） B （，1） C （1，） D （2，1） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分；共分；共 15 分）分） 11在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的 3 个实数相乘都得到同样的结果，则空格 A 应填的实数 为 12如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点 A，B， C 都在横格线上若线段 AB3cm，则线段 BC cm 13 对于任意的正数 m、 n 定义运算为： mn， 计算 （32） （812） 的结
5、果为 14直线 yx+a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2+2x+10 实数解的个数有 15如图，平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（4，0）和 B 点（0，3） ，点 C 是 AB 的中点，点 P 在 x 轴上， 若以 P、A、C 为顶点的三角形与AOB 相似，那么点 P 的坐标是 三、解答题（三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75 分）分） 16计算：+ 17关于 x 的方程 x2ax+a+10 有两个相等的实数根，求的值 18关于 x 的一元二次方程 2x2mx+n0 （1）当 mn4 时，请判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，当 n2 时，求
6、此时方程的根 19阅读理解：对于 x3（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3（n2+1）x+n x3n2xx+n x（x2n2）（xn） x（x+n） （xn）（xn） （xn） （x2+nx1） 理解运用： 如果 x3（n2+1）x+n0， 那么（xn） （x2+nx1）0， 即有 xn0 或 x2+nx10， 因此，方程 xn0 和 x2+nx10 的所有解就是方程 x3（n2+1）x+n0 的解 解决问题： 解方程：x310 x+30 20目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展某市 2019 年底有 5G 用户 2 万户，计划到 2021 年底 全市
7、 5G 用户数累计达到 8.72 万户 （1）求全市 5G 用户数年平均增长率为多少？ （2）按照这个增长率，预计 2022 年底全市 5G 用户数累计达到多少万户？ 21如图，在ABC 和ABC中，D、D分别是 AB、AB上一点，当 时，判断ABC 与ABC是否相似，并说明理由 22如图，在直角坐标系中，点 C 在第一象限，CBx 轴于 B，CAy 轴于 A，且 AC、BC 的长恰好是一元 二次方程 m29m+180 的两根（ACBC） ；反比例函数刚好过点 C （1）直接写出 k ，直线 AB 的函数表达式 y2 ； （2） 直线 lx 轴， 并从 y 轴出发， 以每秒 1 个单位的速度向
8、 x 轴正方向运动， 交反比例函数图象于点 D， 交 AC 于点 E，交直线 AB 于点 F，当直线 l 运动到经过点 B 时，停止运动，设运动时间 t（秒） 问是否 存在这样的 t 值，使四边形 DFBC 为平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由； 23 （1）问题发现 如图 1，在 RtABC 中，A90，1，点 P 是边 BC 上一动点（不与点 B 重合） ，PAD90， APDB，连接 CD 填空： ； ACD 的度数为 （2）拓展探究 如图 2，在 RtABC 中，A90，k点 P 是边 BC 上一动点（不与点 B 重合） ，PAD90， APDB， 连接 CD， 请
9、判断ACD 与B 的数量关系以及 PB 与 CD 之间的数量关系， 并说明理由 （3）解决问题 如图 3，在ABC 中，B45，AB4，BC12，P 是边 BC 上一动点（不与点 B 重合） ，PAD BAC，APDB，连接 CD若 PA5，请直接写出 CD 的长 2020-2021 学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1如果，那么下列叙述正确的是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 【分析】根据二次根式的性质可得 a20，求出 a 的取值范围，即可得
10、出答案 【解答】解：|a2|2a， a20， a2， 故选：A 2下列计算正确的是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式的加减法对 A、C 进行判断；根据二次根式的除法法则对 B 进行判断；根据二次 根式的乘法法则对 D 进行判断 【解答】解：A、与不能合并，所以 A 选项错误； B、原式，所以 B 选项错误； C、原式，所以 C 选项错误； D、原式2，所以 D 选项正确 故选：D 3学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我学校，唱我学校”的歌咏比赛，共有 18 名同学入围，他 们的决赛成绩如表，则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩（分） 9.40 9.50 9.60 9
11、.70 9.80 9.90 人数 2 3 5 4 3 1 A9.70，9.60 B9.60，9.60 C9.60，9.70 D9.65，9.60 【分析】根据中位数和众数的定义解答第 9 和第 10 个数的平均数就是中位数，9.6 出现的次数最多 【解答】解：在这一组数据中 9.60 是出现次数最多的， 故众数是 9.60， 而这组数据处于中间位置的那两个数都是 9.60 和 9.6， 由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 9.60 故选：B 4已知 2+是关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的一个实数根，则实数 m 的值是（ ） A0 B1 C3 D1 【分析】把 x2+代入方程就得
12、到一个关于 m 的方程，就可以求出 m 的值 【解答】解：根据题意，得 （2+）24（2+）+m0， 解得 m1； 故选：B 5中国古代在利用“计里画方” （比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准 仪和照板来测量距离在如图所示的测量距离 AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF观测者的 眼睛（图中用点 C 表示）与 BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ） A B C D 【分析】由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断 【解答】解：EFAB， CEFCAB， ， 故选：B 6小明想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差，在计算平均数
13、的过程中，将这组数据中的 每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4，4，9，5，记这组新数据的方差为，则下列表述 正确的是（ ） A B C D无法确定 【分析】一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去） 这一个常数，方差不变 【解答】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都 减去）这一个常数，方差不变， 则 S12S02 故选：C 7用配方法解一元二次方程 2x23x10，配方正确的是（ ） A （x）2 B （x）2 C （x）2 D （x）2 【分析】化二次项系数为 1 后，把常数项右移，应该在左右两
14、边同时加上一次项系数的一半的 平方 【解答】解：由原方程，得 x2x， x2x+， （x）2， 故选：A 8如图，在ABC 中，DEBC，AD：DB1：2，DE2，则下列叙述正确的是（ ） BC4；ADEABC A B C D 【分析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可 【解答】解：DEBC， ADEABC， ，（）2， ， DE2， BC6， 正确， 故选：D 9对于实数 a、b，定义运算“”如下：aba2ab，如 323232，则方程（x+1）32 的根 的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 【分析】根据运算“”的定义将
15、方程（x+1）32 转化为一般式，由根的判别式170，即可得 出该方程有两个不相等的实数根 【解答】解：（x+1）32， （x+1）23（x+1）2，即 x2x40， （1）241（4）170， 方程（x+1）32 有两个不相等的实数根 故选：C 10如图，在直角坐标系中，OAB 的顶点为 O（0，0） ，A（4，3） ，B（3，0） 以点 O 为位似中心，在 第三象限内作与OAB 的位似比为的位似图形OCD，则点 C 的坐标为（ ） A （1，1） B （，1） C （1，） D （2，1） 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把 A 点的横纵坐标都乘以即可 【解答】解：以
16、点 O 为位似中心，位似比为， 而 A （4，3） ， A 点的对应点 C 的坐标为（，1） 故选：B 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的 3 个实数相乘都得到同样的结果，则空格 A 应填的实数为 【分析】根据题意列出算式，再计算除法即可 【解答】解：设空格 A 应填的实数为 a， 则 a3 故答案为： 12如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点 A，B， C 都在横格线上若线段 AB3cm，则线段 BC 9 cm 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算解答即可 【解答】解：练习本中
17、的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，AB3cm， BC9cm， 故答案为：9 13对于任意的正数 m、n 定义运算为：mn，计算（32）（812）的结果为 2 【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即 可 【解答】解： （32）（812） （）（+） （）2（+） 2， 故答案为：2 14直线 yx+a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2+2x+10 实数解的个数有 1 或 2 【分析】利用一次函数的性质得到 a0，再判断224a0，从而得到方程根的情况 【解答】解：直线 yx+a 不经过第二象限， a0， 当 a0 时，关
18、于 x 的方程 ax2+2x+10 是一元一次方程，解为 x， 当 a0 时，关于 x 的方程 ax2+2x+10 是一元二次方程， 224a0， 方程有两个不相等的实数根 故答案为 1 或 2 15如图，平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（4，0）和 B 点（0，3） ，点 C 是 AB 的中点，点 P 在 x 轴上， 若以 P、A、C 为顶点的三角形与AOB 相似，那么点 P 的坐标是 （2，0）或（，0） 【分析】设 P（x，0） ，可表示出 AP 的长，分APCAOB 和ACPAOB，利用相似三角形的性 质可得到关于 t 的方程，可求得 P 点的坐标 【解答】解： A（4，0）和 B
19、 点（0，3） ， OA4，OB3， AB5， C 是 AB 的中点， AC2.5， 设 P（x，0） ， 由题意可知点 P 在点 A 的左侧， AP4x， 以 P、A、C 为顶点的三角形与AOB 相似， 有APCAOB 和ACPAOB 两种情况， 当APCAOB 时，则，即，解得 x2， P（2，0） ； 当ACPAOB 时，则，即，解得 x， P（，0） ； 综上可知 P 点坐标为（2，0）或（，0） 故答案为： （2，0）或（，0） 三解答题三解答题 16计算：+ 【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可 【解答】解：原式+4 23+4 63 17关于 x 的方程 x2a
20、x+a+10 有两个相等的实数根，求的值 【分析】先化简分式，再由方程根的个数，可得到关于 a 的方程，可求得 a24a 的值，可求得答案 【解答】解： ， 关于 x 的方程 x2ax+a+10 有两个相等的实数根， 0，即（a）24（a+1）0， a24a4， 原式 18关于 x 的一元二次方程 2x2mx+n0 （1）当 mn4 时，请判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，当 n2 时，求此时方程的根 【分析】 （1）先计算判别式得到（m）242n，再把 nm4 代入得到（m4）2+16， 从而得到0，然后判断方程根的情况； （2）根据判别式的意义得（m）242n0，加上 n
21、2 时，于是可求出 m4 或 m4，当 m4 时，方程变形为 2x24x+20，当 m4 时，方程变形为 2x2+4x+20，然后分别解方程即可 【解答】解： （1）（m）242n， mn4， nm4， m28（m4） m28m+32 （m4）2+16， （m4）20， 0， 方程有两个不相等的实数根； （2）根据题意得（m）242n0， 当 n2 时，m2160，解得 m4 或 m4， 当 m4 时，方程变形为 2x24x+20，解得 x1x21； 当 m4 时，方程变形为 2x2+4x+20，解得 x1x21 19阅读理解：对于 x3（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解
22、因式： x3（n2+1）x+n x3n2xx+n x（x2n2）（xn） x（x+n） （xn）（xn） （xn） （x2+nx1） 理解运用： 如果 x3（n2+1）x+n0， 那么（xn） （x2+nx1）0， 即有 xn0 或 x2+nx10， 因此，方程 xn0 和 x2+nx10 的所有解就是方程 x3（n2+1）x+n0 的解 解决问题： 解方程：x310 x+30 【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为 x30 或 x2+3x10，然后 解一次方程和一元二次方程即可 【解答】解：x310 x+30， x39xx+30， x（x29）（x3）0， （x3）
23、 （x2+3x1）0， x30 或 x2+3x10， x13，x2，x3 20目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展某市 2019 年底有 5G 用户 2 万户，计划到 2021 年底 全市 5G 用户数累计达到 8.72 万户 （1）求全市 5G 用户数年平均增长率为多少？ （2）按照这个增长率，预计 2022 年底全市 5G 用户数累计达到多少万户？ 【分析】 （1）设全市 5G 用户数年平均增长率为 x，根据该市 2019 年底 5G 用户的数量及计划到 2021 年 底全市 5G 用户数累计达到 8.72 万户，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2
24、）根据 2022 年底全市 5G 用户累计数量2021 年底全市 5G 用户累计数量+2022 年底全市 5G 用户的 数量，即可求出结论 【解答】解： （1）设全市 5G 用户数年平均增长率为 x， 根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）28.72， 整理得：x2+3x1.360， 解得：x10.440%，x23.4（不合题意，舍去） 答：全市 5G 用户数年平均增长率为 40% （2）8.72+2（1+40%）314.208（万户） 答：预计 2022 年底全市 5G 用户数累计达到 14.208 万户 21如图，在ABC 和ABC中，D、D分别是 AB、AB上一点，当 时，判断ABC
25、 与ABC是否相似，并说明理由 【分析】根据相似三角形的判定解答即可 【解答】解：相似，理由如下： ， 又， ， ADCADC， AA， 又， ABCABC 22如图，在直角坐标系中，点 C 在第一象限，CBx 轴于 B，CAy 轴于 A，且 AC、BC 的长恰好是一元 二次方程 m29m+180 的两根（ACBC） ；反比例函数刚好过点 C （1）直接写出 k 18 ，直线 AB 的函数表达式 y2 x+3 ； （2） 直线 lx 轴， 并从 y 轴出发， 以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动， 交反比例函数图象于点 D， 交 AC 于点 E，交直线 AB 于点 F，当直线 l 运动
26、到经过点 B 时，停止运动，设运动时间 t（秒） 问是否 存在这样的 t 值，使四边形 DFBC 为平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由； 【分析】 （1）根据条件可以得到点 A、B、C 的坐标，然后用待定系数法就可解决问题； （2）由题可得 xDxFt，于是得到，根据 DFBC 列方程，解方程于是得到结 论 【解答】解： （1）AC、BC 的长恰好是一元二次方程 m29m+180 的两根， AC6，BC3， CBx 轴于 B，CAy 轴于 A， C（6，3） ，A（0，3） ，B（6，0） ， 函数刚好过点 C， k18； 设直线 AB 的函数表达式 y2ax+b， ， 解
27、得：， 直线 AB 的函数表达式为：， 故答案为：18，x+3； （2）不存在 t，使得四边形 DFBC 为平行四边形 理由：由题可得 xDxFt， 则， 当 DFBC 时， 整理得：t212t+360， 解得：t1t26， 此时 DF 与 CB 重合， 不存在 t，使得四边形 DFBC 为平行四边形 23 （1）问题发现 如图 1，在 RtABC 中，A90，1，点 P 是边 BC 上一动点（不与点 B 重合） ，PAD90， APDB，连接 CD 填空： 1 ； ACD 的度数为 45 （2）拓展探究 如图 2，在 RtABC 中，A90，k点 P 是边 BC 上一动点（不与点 B 重合）
28、 ，PAD90， APDB， 连接 CD， 请判断ACD 与B 的数量关系以及 PB 与 CD 之间的数量关系， 并说明理由 （3）解决问题 如图 3，在ABC 中，B45，AB4，BC12，P 是边 BC 上一动点（不与点 B 重合） ，PAD BAC，APDB，连接 CD若 PA5，请直接写出 CD 的长 【分析】 （1）根据已知条件推出ABPACD，根据全等三角形的性质得到 PBCD，ACDB 45，于是得到1； （2）根据已知条件得到ABCAPD，由相似三角形的性质得到k，得到ABPACD， 根据相似三角形的性质得到结论； （3）过 A 作 AHBC 于 H，得到ABH 是等腰直角三角
29、形，求得 AHBH4，根据勾股定理得到 AC 4， PH3， 根据相似三角形的性质得到， 推出ABPACD， 根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解： （1）A90，1， ABAC， B45， PAD90，APDB45， APAD， BAPCAD， 在ABP 与ACD 中， ABPACD， PBCD，ACDB45， 1， 故答案为：1，45； （2）ACDB，k； 理由是：BACPAD90，BAPD， ABCAPD， k， BAP+PACPAC+CAD90， BAPCAD， ABPACD， ACDB，k； （3）过 A 作 AHBC 于 H， B45， ABH 是等腰直角三角形， AB4， AHBH4， BC12， CH8， AC4， PH3， PB1， BACPAD，BAPD， ABCAPD， ， BAP+PACPAC+CAD， BAPCAD， ABPACD， ，即， CD 过 A 作 AHBC 于 H， B45， ABH 是等腰直角三角形， AB4， AHBH4， BC12， CH8， AC4， PH3， PB7， BACPAD，BAPD， ABCAPD， ， BAP+PACPAC+CAD， BAPCAD， ABPACD， ，即， CD