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河南省南阳市南召县2020-2021学年九年级上期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年河南省南阳市南召县九年级(上)期中数学试卷学年河南省南阳市南召县九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分;共分;共 30 分)分) 1如果,那么下列叙述正确的是( ) Aa2 Ba2 Ca2 Da2 2下列计算正确的是( ) A B C D 3学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我学校,唱我学校”的歌咏比赛,共有 18 名同学入围,他 们的决赛成绩如表,则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是( ) 成绩(分) 9.40 9.50 9.60 9.70 9.80 9.90 人数 2 3 5 4 3 1 A9.70,9.60 B9.60,9.6

2、0 C9.60,9.70 D9.65,9.60 4已知 2+是关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的一个实数根,则实数 m 的值是( ) A0 B1 C3 D1 5中国古代在利用“计里画方” (比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时,会利用测杆、水准 仪和照板来测量距离在如图所示的测量距离 AB 的示意图中,记照板“内芯”的高度为 EF观测者的 眼睛(图中用点 C 表示)与 BF 在同一水平线上,则下列结论中,正确的是( ) A B C D 6小明想要计算一组数据 92,90,94,86,99,85 的方差,在计算平均数的过程中,将这组数据中的 每一个数都减去 90,得到一组新数据

3、 2,0,4,4,9,5,记这组新数据的方差为,则下列表述 正确的是( ) A B C D无法确定 7用配方法解一元二次方程 2x23x10,配方正确的是( ) A (x)2 B (x)2 C (x)2 D (x)2 8如图,在ABC 中,DEBC,AD:DB1:2,DE2,则下列叙述正确的是( ) BC4;ADEABC A B C D 9对于实数 a、b,定义运算“”如下:aba2ab,如 323232,则方程(x+1)32 的根 的情况是( ) A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 10如图,在直角坐标系中,OAB 的顶点为 O(0,0) ,A(4,

4、3) ,B(3,0) 以点 O 为位似中心,在 第三象限内作与OAB 的位似比为的位似图形OCD,则点 C 的坐标为( ) A (1,1) B (,1) C (1,) D (2,1) 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分;共分;共 15 分)分) 11在如图的方格中,若要使横,竖,斜对角的 3 个实数相乘都得到同样的结果,则空格 A 应填的实数 为 12如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点 A,B, C 都在横格线上若线段 AB3cm,则线段 BC cm 13 对于任意的正数 m、 n 定义运算为: mn, 计算 (32) (812) 的结

5、果为 14直线 yx+a 不经过第二象限,则关于 x 的方程 ax2+2x+10 实数解的个数有 15如图,平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(4,0)和 B 点(0,3) ,点 C 是 AB 的中点,点 P 在 x 轴上, 若以 P、A、C 为顶点的三角形与AOB 相似,那么点 P 的坐标是 三、解答题(三、解答题(8+9+9+9+9+10+10+11=75 分)分) 16计算:+ 17关于 x 的方程 x2ax+a+10 有两个相等的实数根,求的值 18关于 x 的一元二次方程 2x2mx+n0 (1)当 mn4 时,请判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,当 n2 时,求

6、此时方程的根 19阅读理解:对于 x3(n2+1)x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式: x3(n2+1)x+n x3n2xx+n x(x2n2)(xn) x(x+n) (xn)(xn) (xn) (x2+nx1) 理解运用: 如果 x3(n2+1)x+n0, 那么(xn) (x2+nx1)0, 即有 xn0 或 x2+nx10, 因此,方程 xn0 和 x2+nx10 的所有解就是方程 x3(n2+1)x+n0 的解 解决问题: 解方程:x310 x+30 20目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展某市 2019 年底有 5G 用户 2 万户,计划到 2021 年底 全市

7、 5G 用户数累计达到 8.72 万户 (1)求全市 5G 用户数年平均增长率为多少? (2)按照这个增长率,预计 2022 年底全市 5G 用户数累计达到多少万户? 21如图,在ABC 和ABC中,D、D分别是 AB、AB上一点,当 时,判断ABC 与ABC是否相似,并说明理由 22如图,在直角坐标系中,点 C 在第一象限,CBx 轴于 B,CAy 轴于 A,且 AC、BC 的长恰好是一元 二次方程 m29m+180 的两根(ACBC) ;反比例函数刚好过点 C (1)直接写出 k ,直线 AB 的函数表达式 y2 ; (2) 直线 lx 轴, 并从 y 轴出发, 以每秒 1 个单位的速度向

8、 x 轴正方向运动, 交反比例函数图象于点 D, 交 AC 于点 E,交直线 AB 于点 F,当直线 l 运动到经过点 B 时,停止运动,设运动时间 t(秒) 问是否 存在这样的 t 值,使四边形 DFBC 为平行四边形?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由; 23 (1)问题发现 如图 1,在 RtABC 中,A90,1,点 P 是边 BC 上一动点(不与点 B 重合) ,PAD90, APDB,连接 CD 填空: ; ACD 的度数为 (2)拓展探究 如图 2,在 RtABC 中,A90,k点 P 是边 BC 上一动点(不与点 B 重合) ,PAD90, APDB, 连接 CD, 请

9、判断ACD 与B 的数量关系以及 PB 与 CD 之间的数量关系, 并说明理由 (3)解决问题 如图 3,在ABC 中,B45,AB4,BC12,P 是边 BC 上一动点(不与点 B 重合) ,PAD BAC,APDB,连接 CD若 PA5,请直接写出 CD 的长 2020-2021 学年河南省南阳市南召县九年级(上)期中数学试卷学年河南省南阳市南召县九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1如果,那么下列叙述正确的是( ) Aa2 Ba2 Ca2 Da2 【分析】根据二次根式的性质可得 a20,求出 a 的取值范围,即可得

10、出答案 【解答】解:|a2|2a, a20, a2, 故选:A 2下列计算正确的是( ) A B C D 【分析】根据二次根式的加减法对 A、C 进行判断;根据二次根式的除法法则对 B 进行判断;根据二次 根式的乘法法则对 D 进行判断 【解答】解:A、与不能合并,所以 A 选项错误; B、原式,所以 B 选项错误; C、原式,所以 C 选项错误; D、原式2,所以 D 选项正确 故选:D 3学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我学校,唱我学校”的歌咏比赛,共有 18 名同学入围,他 们的决赛成绩如表,则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是( ) 成绩(分) 9.40 9.50 9.60 9

11、.70 9.80 9.90 人数 2 3 5 4 3 1 A9.70,9.60 B9.60,9.60 C9.60,9.70 D9.65,9.60 【分析】根据中位数和众数的定义解答第 9 和第 10 个数的平均数就是中位数,9.6 出现的次数最多 【解答】解:在这一组数据中 9.60 是出现次数最多的, 故众数是 9.60, 而这组数据处于中间位置的那两个数都是 9.60 和 9.6, 由中位数的定义可知,这组数据的中位数是 9.60 故选:B 4已知 2+是关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的一个实数根,则实数 m 的值是( ) A0 B1 C3 D1 【分析】把 x2+代入方程就得

12、到一个关于 m 的方程,就可以求出 m 的值 【解答】解:根据题意,得 (2+)24(2+)+m0, 解得 m1; 故选:B 5中国古代在利用“计里画方” (比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时,会利用测杆、水准 仪和照板来测量距离在如图所示的测量距离 AB 的示意图中,记照板“内芯”的高度为 EF观测者的 眼睛(图中用点 C 表示)与 BF 在同一水平线上,则下列结论中,正确的是( ) A B C D 【分析】由平行得相似,由相似得比例,即可作出判断 【解答】解:EFAB, CEFCAB, , 故选:B 6小明想要计算一组数据 92,90,94,86,99,85 的方差,在计算平均数

13、的过程中,将这组数据中的 每一个数都减去 90,得到一组新数据 2,0,4,4,9,5,记这组新数据的方差为,则下列表述 正确的是( ) A B C D无法确定 【分析】一组数据中的每一个数据都加上(或都减去)同一个常数后,它的平均数都加上(或都减去) 这一个常数,方差不变 【解答】解:一组数据中的每一个数据都加上(或都减去)同一个常数后,它的平均数都加上(或都 减去)这一个常数,方差不变, 则 S12S02 故选:C 7用配方法解一元二次方程 2x23x10,配方正确的是( ) A (x)2 B (x)2 C (x)2 D (x)2 【分析】化二次项系数为 1 后,把常数项右移,应该在左右两

14、边同时加上一次项系数的一半的 平方 【解答】解:由原方程,得 x2x, x2x+, (x)2, 故选:A 8如图,在ABC 中,DEBC,AD:DB1:2,DE2,则下列叙述正确的是( ) BC4;ADEABC A B C D 【分析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可 【解答】解:DEBC, ADEABC, ,()2, , DE2, BC6, 正确, 故选:D 9对于实数 a、b,定义运算“”如下:aba2ab,如 323232,则方程(x+1)32 的根 的情况是( ) A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 【分析】根据运算“”的定义将

15、方程(x+1)32 转化为一般式,由根的判别式170,即可得 出该方程有两个不相等的实数根 【解答】解:(x+1)32, (x+1)23(x+1)2,即 x2x40, (1)241(4)170, 方程(x+1)32 有两个不相等的实数根 故选:C 10如图,在直角坐标系中,OAB 的顶点为 O(0,0) ,A(4,3) ,B(3,0) 以点 O 为位似中心,在 第三象限内作与OAB 的位似比为的位似图形OCD,则点 C 的坐标为( ) A (1,1) B (,1) C (1,) D (2,1) 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系,把 A 点的横纵坐标都乘以即可 【解答】解:以

16、点 O 为位似中心,位似比为, 而 A (4,3) , A 点的对应点 C 的坐标为(,1) 故选:B 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 11在如图的方格中,若要使横,竖,斜对角的 3 个实数相乘都得到同样的结果,则空格 A 应填的实数为 【分析】根据题意列出算式,再计算除法即可 【解答】解:设空格 A 应填的实数为 a, 则 a3 故答案为: 12如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点 A,B, C 都在横格线上若线段 AB3cm,则线段 BC 9 cm 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式,代入计算解答即可 【解答】解:练习本中

17、的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,AB3cm, BC9cm, 故答案为:9 13对于任意的正数 m、n 定义运算为:mn,计算(32)(812)的结果为 2 【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式,根据二次根式的混合运算法则计算即 可 【解答】解: (32)(812) ()(+) ()2(+) 2, 故答案为:2 14直线 yx+a 不经过第二象限,则关于 x 的方程 ax2+2x+10 实数解的个数有 1 或 2 【分析】利用一次函数的性质得到 a0,再判断224a0,从而得到方程根的情况 【解答】解:直线 yx+a 不经过第二象限, a0, 当 a0 时,关

18、于 x 的方程 ax2+2x+10 是一元一次方程,解为 x, 当 a0 时,关于 x 的方程 ax2+2x+10 是一元二次方程, 224a0, 方程有两个不相等的实数根 故答案为 1 或 2 15如图,平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(4,0)和 B 点(0,3) ,点 C 是 AB 的中点,点 P 在 x 轴上, 若以 P、A、C 为顶点的三角形与AOB 相似,那么点 P 的坐标是 (2,0)或(,0) 【分析】设 P(x,0) ,可表示出 AP 的长,分APCAOB 和ACPAOB,利用相似三角形的性 质可得到关于 t 的方程,可求得 P 点的坐标 【解答】解: A(4,0)和 B

19、 点(0,3) , OA4,OB3, AB5, C 是 AB 的中点, AC2.5, 设 P(x,0) , 由题意可知点 P 在点 A 的左侧, AP4x, 以 P、A、C 为顶点的三角形与AOB 相似, 有APCAOB 和ACPAOB 两种情况, 当APCAOB 时,则,即,解得 x2, P(2,0) ; 当ACPAOB 时,则,即,解得 x, P(,0) ; 综上可知 P 点坐标为(2,0)或(,0) 故答案为: (2,0)或(,0) 三解答题三解答题 16计算:+ 【分析】先根据二次根式的乘除法则运算,然后化简后合并即可 【解答】解:原式+4 23+4 63 17关于 x 的方程 x2a

20、x+a+10 有两个相等的实数根,求的值 【分析】先化简分式,再由方程根的个数,可得到关于 a 的方程,可求得 a24a 的值,可求得答案 【解答】解: , 关于 x 的方程 x2ax+a+10 有两个相等的实数根, 0,即(a)24(a+1)0, a24a4, 原式 18关于 x 的一元二次方程 2x2mx+n0 (1)当 mn4 时,请判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,当 n2 时,求此时方程的根 【分析】 (1)先计算判别式得到(m)242n,再把 nm4 代入得到(m4)2+16, 从而得到0,然后判断方程根的情况; (2)根据判别式的意义得(m)242n0,加上 n

21、2 时,于是可求出 m4 或 m4,当 m4 时,方程变形为 2x24x+20,当 m4 时,方程变形为 2x2+4x+20,然后分别解方程即可 【解答】解: (1)(m)242n, mn4, nm4, m28(m4) m28m+32 (m4)2+16, (m4)20, 0, 方程有两个不相等的实数根; (2)根据题意得(m)242n0, 当 n2 时,m2160,解得 m4 或 m4, 当 m4 时,方程变形为 2x24x+20,解得 x1x21; 当 m4 时,方程变形为 2x2+4x+20,解得 x1x21 19阅读理解:对于 x3(n2+1)x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解

22、因式: x3(n2+1)x+n x3n2xx+n x(x2n2)(xn) x(x+n) (xn)(xn) (xn) (x2+nx1) 理解运用: 如果 x3(n2+1)x+n0, 那么(xn) (x2+nx1)0, 即有 xn0 或 x2+nx10, 因此,方程 xn0 和 x2+nx10 的所有解就是方程 x3(n2+1)x+n0 的解 解决问题: 解方程:x310 x+30 【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式,这样把原方程转化为 x30 或 x2+3x10,然后 解一次方程和一元二次方程即可 【解答】解:x310 x+30, x39xx+30, x(x29)(x3)0, (x3)

23、 (x2+3x1)0, x30 或 x2+3x10, x13,x2,x3 20目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展某市 2019 年底有 5G 用户 2 万户,计划到 2021 年底 全市 5G 用户数累计达到 8.72 万户 (1)求全市 5G 用户数年平均增长率为多少? (2)按照这个增长率,预计 2022 年底全市 5G 用户数累计达到多少万户? 【分析】 (1)设全市 5G 用户数年平均增长率为 x,根据该市 2019 年底 5G 用户的数量及计划到 2021 年 底全市 5G 用户数累计达到 8.72 万户,即可得出关于 x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论; (2

24、)根据 2022 年底全市 5G 用户累计数量2021 年底全市 5G 用户累计数量+2022 年底全市 5G 用户的 数量,即可求出结论 【解答】解: (1)设全市 5G 用户数年平均增长率为 x, 根据题意得:2+2(1+x)+2(1+x)28.72, 整理得:x2+3x1.360, 解得:x10.440%,x23.4(不合题意,舍去) 答:全市 5G 用户数年平均增长率为 40% (2)8.72+2(1+40%)314.208(万户) 答:预计 2022 年底全市 5G 用户数累计达到 14.208 万户 21如图,在ABC 和ABC中,D、D分别是 AB、AB上一点,当 时,判断ABC

25、 与ABC是否相似,并说明理由 【分析】根据相似三角形的判定解答即可 【解答】解:相似,理由如下: , 又, , ADCADC, AA, 又, ABCABC 22如图,在直角坐标系中,点 C 在第一象限,CBx 轴于 B,CAy 轴于 A,且 AC、BC 的长恰好是一元 二次方程 m29m+180 的两根(ACBC) ;反比例函数刚好过点 C (1)直接写出 k 18 ,直线 AB 的函数表达式 y2 x+3 ; (2) 直线 lx 轴, 并从 y 轴出发, 以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动, 交反比例函数图象于点 D, 交 AC 于点 E,交直线 AB 于点 F,当直线 l 运动

26、到经过点 B 时,停止运动,设运动时间 t(秒) 问是否 存在这样的 t 值,使四边形 DFBC 为平行四边形?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由; 【分析】 (1)根据条件可以得到点 A、B、C 的坐标,然后用待定系数法就可解决问题; (2)由题可得 xDxFt,于是得到,根据 DFBC 列方程,解方程于是得到结 论 【解答】解: (1)AC、BC 的长恰好是一元二次方程 m29m+180 的两根, AC6,BC3, CBx 轴于 B,CAy 轴于 A, C(6,3) ,A(0,3) ,B(6,0) , 函数刚好过点 C, k18; 设直线 AB 的函数表达式 y2ax+b, , 解

27、得:, 直线 AB 的函数表达式为:, 故答案为:18,x+3; (2)不存在 t,使得四边形 DFBC 为平行四边形 理由:由题可得 xDxFt, 则, 当 DFBC 时, 整理得:t212t+360, 解得:t1t26, 此时 DF 与 CB 重合, 不存在 t,使得四边形 DFBC 为平行四边形 23 (1)问题发现 如图 1,在 RtABC 中,A90,1,点 P 是边 BC 上一动点(不与点 B 重合) ,PAD90, APDB,连接 CD 填空: 1 ; ACD 的度数为 45 (2)拓展探究 如图 2,在 RtABC 中,A90,k点 P 是边 BC 上一动点(不与点 B 重合)

28、 ,PAD90, APDB, 连接 CD, 请判断ACD 与B 的数量关系以及 PB 与 CD 之间的数量关系, 并说明理由 (3)解决问题 如图 3,在ABC 中,B45,AB4,BC12,P 是边 BC 上一动点(不与点 B 重合) ,PAD BAC,APDB,连接 CD若 PA5,请直接写出 CD 的长 【分析】 (1)根据已知条件推出ABPACD,根据全等三角形的性质得到 PBCD,ACDB 45,于是得到1; (2)根据已知条件得到ABCAPD,由相似三角形的性质得到k,得到ABPACD, 根据相似三角形的性质得到结论; (3)过 A 作 AHBC 于 H,得到ABH 是等腰直角三角

29、形,求得 AHBH4,根据勾股定理得到 AC 4, PH3, 根据相似三角形的性质得到, 推出ABPACD, 根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解: (1)A90,1, ABAC, B45, PAD90,APDB45, APAD, BAPCAD, 在ABP 与ACD 中, ABPACD, PBCD,ACDB45, 1, 故答案为:1,45; (2)ACDB,k; 理由是:BACPAD90,BAPD, ABCAPD, k, BAP+PACPAC+CAD90, BAPCAD, ABPACD, ACDB,k; (3)过 A 作 AHBC 于 H, B45, ABH 是等腰直角三角形, AB4, AHBH4, BC12, CH8, AC4, PH3, PB1, BACPAD,BAPD, ABCAPD, , BAP+PACPAC+CAD, BAPCAD, ABPACD, ,即, CD 过 A 作 AHBC 于 H, B45, ABH 是等腰直角三角形, AB4, AHBH4, BC12, CH8, AC4, PH3, PB7, BACPAD,BAPD, ABCAPD, , BAP+PACPAC+CAD, BAPCAD, ABPACD, ,即, CD