1、9.16 分组分解法,整式乘法,(a+b)(m+n),=a(m+n)+b(m+n),=am+an+bm+bn,am+an+bm+bn,=a(m+n)+b(m+n),=(a+b)(m+n),定义： 这种把多项式分成几组来分解因式的方法 叫分组分解法。,注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。,因式分解,新知学习,【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单. (3)分组时要用到
2、添括号法则，注意在添加带有“”号的括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的,典例讲析,例：因式分解：,解:原式=,这个多项式的前两项用平方差公式分解后与后两项有公因式(x+y)可继续分解,这也是分组分解法中常见的情形.,典例讲析,例：因式分解：,解:原式=,如果把一个多项式分组后各组都能分解因式,且在各组分解后,各组之间又能继续分解因式,那么,这个多项式就可以用分组分解法分解因式.,例 把 a2-ab+ac-bc 分解因式,分析：把这个多项式的前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以提出公
3、因式a-b 。,解： a2-ab+ac-bc,=(a2-ab)+(ac-bc),=a(a-b)+c(a-b),=(a-b)(a+c),分组,组内提公因式,提公因式,还有其他分组的方法吗？,解法二： a2-ab+ac-bc,=(a2+ac)-(ab+bc),=a(a+c)-b(a+c),= (a+c)(a-b),例 把2ax-10ay+5by-bx分解因式,分析：把这个多项式的前两项与后两项分 成两组，然后从两组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。,解： 2ax-10ay+5by-bx,=(2ax-10ay)+(5by-bx),=(2ax
4、-10ay)+(-bx +5by）,=2a(x-5y)-b(x- 5y),=(x-5y)(2a-b),还有其他分组的方法吗？,解法二：2ax-10ay+5by-bx,=(2ax-bx)+(5by-10ay),=x(2a-b)-5y(2a-b),= (2a-b)(x-5y),=(2ax-bx)+(-10ay +5by）,例3 把am+bm+ancm+bncn分解因式.,分析：把这个多项式的含的项和含的项组合分成两组，或把这个多项式的含的项、含的项和含项分别组合分成三组，然后在组内提取公因式后再分解.,解法一：am+bm+an-cm+bn-cn,=(am+bm-cm)+(an+bn-cn),=m(
5、a+b-c)+n(a+b-c),=(a+b-c)(m+n),解法二：am+bm+ancm+bncn,=(am+an)+(bm+bn)(cm+cn),=(m+n)(a+bc),=a(m+n)+b(m+n)c(m+n),在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，或按对应项的次数成比例分组。,(1)分组；,(2)在各组内提公因式；,(3)在各组之间进行因式分解；,(4)直至完全分解。,分组规律：,分解步骤：,把下列各式分解因式：,(1) 20(x+y)+x+y (2) p-q+k(p-q),(3) 5m(a+b)-a-b (4) 2m-2n-4x(m-n),解：原式=20(x+y)+(x+y),=
6、21(x+y),解：原式=(p-q)+k(p-q),=(p-q)(1+k),解：原式=5m(a+b)-(a+b),=(a+b)(5m-1),解：原式=2(m-n)-4x(m-n),=2(m-n)(1-2x),(5) ax+2by+cx-2ay-bx-2cy,解： 原式= (2by-2ay-2cy)+(ax+cx-bx),= -2y(a-b+c)+x(a-b+c),= (a-b+c)(x-2y),还有其他分组的方法吗？,(6) x2-x2y+xy2-x+y-y2,解： = (x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y),= (x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y),= (x-y)(x+y
7、-xy-1),= (x-y)(x-xy)+(y-1),= (x-y)x(1-y)-(1-y),= (x-y)(1-y)(x-1),应如何分组？要保证分组能再分解.,由b2+2ab=c2+2ac, 得 b2+2ab+a2=c2+2ac+a2即，（a+b)2=(a+c)2因为a0，b0，c0，所以 a+b0，a+c0所以a+b=a+c，得b=c所以ABC为等腰三角形.,学科综合应用,已知a,b,c是ABC的三边长，（1）当b2+2ab=c2+2ac时，试判断ABC的形状； （2）试判断多项式a2-b2+c2-2ac的值与0的大小关系，并说明理由.,由b2+2ab=c2+2ac, 得 b2+2ab-
8、c2-2ac=0（b2-c2)+(2ab-2ac)=0(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0(b-c)(b+c+2a)=0因为a0，b0，c0所以b+c+2a0所以b-c=0,即b=c所以ABC为等腰三角形.,解（1）,解法一：,解法二：,学科综合应用,已知a,b,c是ABC的三边长，（1）当b2+2ab=c2+2ac时，试判断ABC的形状； （2）试判断多项式a2-b2+c2-2ac的值与0的大小关系，并说明理由.,a2-b2+c2-2acc，b+ca所以(a+b)-c0,a-(b+c)0所以(a+b)-ca-(b+c)0即， a2-b2+c2-2ac0, co,a+4c0，a-b=0 即
9、a=b，所以ABC为等腰三角形.,=0,练习：已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b的值.,若,则,解: a2+b2-6a+2b+10=0,a2-6a+9+b2+2b+1=0,(a-3)2+(b+1)2=0,a=3,b=-1,1,练 习,把下列各式分解因式：,2,3,练 习,把下列各式分解因式：,4,5,6,练 习,把下列各式分解因式：,8,7,9.x2-y2+ax+ay,(x+y)(x-y+a),练 习,把下列各式分解因式：,10.(z2-x2-y2)2-4x2y2,13,14,练 习,把下列各式分解因式：,153x211x10,3x211x10,练 习,把下列各式分解因式：,16,17,18a450a2625,练 习,把下列各式分解因式：,(a5)2(a5)2,1916x472x281,(2x3)2(2x3)2,