1、2021 年中考复习数学考点提分专练年中考复习数学考点提分专练几何专题几何专题 圆的提高题 （二）圆的提高题 （二） 1如图，O 是直角三角形 ABC 的外接圆，直径 AC4，过 C 点作O 的切线，与 AB 延长线交于点 D， M 为 CD 的中点，连接 BM，OM，且 BC 与 OM 相交于点 N （1）求证：BM 与O 相切； （2）当A60时，求弦 AB 和弧 AB 所夹图形的面积； （3）在（2）的条件下，在O 的圆上取点 F，使ABF15，求点 F 到直线 AB 的距离 2如图，已知四边形 ABCD 内接于O，ACBD 于 E， （1）求证：BDC2ADB； （2）若直径 BM 交
2、 AC 于点 N，ADBN2，BC8，求O 的半径 3 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 过T 外一点 P 引它的两条切线， 切点分别为 M， N， 若 60MPN 180，则称 P 为T 的环绕点 （1）当O 半径为 1 时， 在 P1（1，0） ，P2（1，1） ，P3（0，2）中，O 的环绕点是 ； 直线 yx+b 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，若线段 AB 上存在O 的环绕点，求 b 的取值范围； （2） T 的半径为 1， 圆心为 （0， t） ， 以为圆心，为半径的所有圆构成图形 H， 若在图形 H 上存在T 的环绕点，直接写出 t 的取值范围 4如图，ABC
3、内接于O，AB 是O 的直径，C 是中点，弦 CEAB 于点 H，连结 AD，分别交 CE、 BC 于点 P、Q，连结 BD （1）求证：P 是线段 AQ 的中点； （2）若O 的半径为 5，D 是的中点，求弦 CE 的长 5如图，MB，MD 是O 的两条弦，点 A，C 分别在弧 MB，弧 MD 上，且 ABCD，点 M 是弧 AC 的中 点 （1）求证：MBMD； （2）过 O 作 OEMB 于 E，OE1，O 的半径是 2，求 MD 的长 6如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，AC6，CB8， CE 平分ACB 交O 于 E，交 AB 于点 D，过点 E 作 MNAB 分别交 CA
4、、CB 延长线于 M，N （1）补全图形，并证明 MN 是O 的切线 （2）分别求 MN、CD 的长 7如图，AB 为O 的直径，AC，BE 为O 上位于 AB 异侧的两条弦，连接 BC，CE，延长 AB 到点 D，使 得BCDA （1）求证：CD 是O 的切线； （2）当 ACCE 时， 求证：BC2BEBD； 若 BD3BE，AC2，求O 的半径 r 8如图，O 与ABC 的 AB 边相切于点 B，与 AC、BC 边分别交于点 D、E，DEOA，BE 是O 的直 径 （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若C30，AB3，求 DE 的长 9如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 BD
5、是O 的直径，AC 平分BAD，过点 C 作 CGBD 交 AD 的延长线于点 G （1）求证：CG 是O 的切线； （2）若 AB3，AD5，求 AC 的长 10在平面直角坐标系 xOy 中，对于ABC，点 P 在 BC 边的垂直平分线上，若以点 P 为圆心，PB 为半径 的P 与ABC 三条边的公共点个数之和不小于 3，则称点 P 为ABC 关于边 BC 的“Math 点” 如图所 示，点 P 即为ABC 关于边 BC 的“Math 点” 已知点 P（0，4） ，Q（a，0） （1）如图 1，a4，在点 A（1，0） 、B（2，2） 、C（，） 、D（5，5）中，POQ 关于边 PQ 的“
6、Math 点”为 （2）如图 2， 已知 D（0，8） ，点 E 为POQ 关于边 PQ 的“Math 点” ，请直接写出线段 DE 的长度的取值范围； 将POQ 绕原点 O 旋转一周，直线交 x 轴、y 轴于点 M、N，若线段 MN 上存在POQ 关 于边 PQ 的“Math 点” ，求 b 的取值范围 参考答案参考答案 1解：A600，OAOB， ABO 为等边三角形， AOB60， AC4， OA2， S 阴影S扇形AOBSAOB 22； （3）如图 1：ABF15时，AOF30，过点 O 作 OHAB，过 F 作 FPOH，FGBA， 由（2）知AOB60， AOH30， FOP60
7、RtFPO 中，FOP60，OF2， OP1 RtAOH 中，AO2，AOH30， OH， FGHP1 如图 2：ABF15时，AOF30，等边ABO 中，OF 平分AOB， OFAB RtAOH 中，AO2，AOH30， OH， FH2 综上所述，点 F 到直线 AB 的距离是1 或 2 2 （1）证明：如图 1，作直径 DG，交 AC 于 F，交 BC 于 P，交O 于 G，连接 CG， DGBC，BDCD， CBDBCD， ACBD， DEF90， CPF90， DEFCPF， DFECFP， EDFACBADBCDG， BDC2ADB； （2）解：如图 2，作直径 DG，交 AC 于
8、F，交 BC 于 P，交O 于 G，连接 CG，BG， 由（1）知：ADBBDGCDG， ， CBGBCA， BGAC， ONFOBG，OFNOGB， OBOG， OBGOGB， ONFOFN， OFON， ACBD，ADBFDB， DAEAFD， ABDF， 同理得：CFCG， ADBN， DFBN OD+OF（OBON） OF+ON2， OFON1， CFCG，CPFG， FPPG， 设 FPa，则 OBOG2a+1，FPa+1， DGBC，且 BC8， BPBC4， RtOBP 中，OB2OP2+BP2， （2a+1）2（a+1）2+42， 3a2+2a160， （a2） （3a+8）0
9、， a12，a2 （舍） ， O 的半径 OG2a+15 3解： （1）如图，PM，PN 是T 的两条切线，M，N 为切点，连接 TM，TN 当MPN60时，PT 平分MPN， TPMTPN30， TMPM，TNPN， PMTPNT90， TP2TM， 以 T 为圆心，TP 为半径作T， 观察图象可知：当 60MPN180时，T 的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括 小圆上的点） 如图 1 中，以 O 为圆心 2 为半径作O，观察图象可知，P2，P3是O 的环绕点， 故答案为：P2，P3 如图 2 中，设小圆交 y 轴的正半轴与于 E 当直线 yx+b 经过点 E 时，b1 当直线
10、yx+b 与大圆相切于 K（在第二象限）时，连接 OK， 由题意 B（0，b） ，A（b，0） ， OBb，OAb，ABb， OK2， ABOKOAOB， b2bb， 解得 b2， 观察图象可知，当 1b2时，线段 AB 上存在O 的环绕点， 根据对称性可知：当2b1 时，线段 AB 上存在O 的环绕点， 综上所述，满足条件的 b 的取值范围为 1b2或2b1 （2）如图 3 中，不妨设 E（m， m） ，则点 E 在直线 yx 时， m0， 点 E 在射线 OE 上运动，作 EMx 轴， E（m， m） ， OMm，EM， 以 E（m， m） （m0）为圆心， m 为半径的E 与 x 轴相切
11、，作E 的切线 ON， 观察图象可知，以 E（m， m） （m0）为圆心， m 为半径的所有圆构成图形 H，图形 H 即为 MON 的内部，包括射线 OM，ON 上 当T 的圆心在 y 轴的正半轴上时，假设以 T 为圆心，2 为半径的圆与射线 ON 相切于 D，连接 TD tanEOM， EOM30， ON，OM 是E 的切线， EONEOM30， TOD30， OT2DT4， T（0，4） ， 当T 的圆心在 y 轴的负半轴上时，且经过点 O（0，0）时，T（0，2） ， 观察图象可知，当2t4 时，在图形 H 上存在T 的环绕点 4 （1）证明：CEAB，AB 是直径， ， 又 ， CAD
12、ACE， APCP， AB 是O 的直径， ACB90， ACE+BCP90，CAD+CQA90， BCPCQA， CPPQ， APPQ， 即 P 是线段 AQ 的中点； （2）解：，AB 是直径， ACB90，ABC30， 又AB5210， AC5，BC5， CHBC， 又CEAB， CHEH， CE2CH25 5证明： （1）ABCD， ， 又点 M 是弧 AC 的中点， ， +， 即：， MBMD； （2）过 O 作 OEMB 于 E，则 MEBE，连接 OM， 在 RtMOE 中，OE1，O 的半径 OM2， ME， MDMB2ME2 6证明： （1）补全图形如图所示，连接 OE， A
13、B 是O 的直径， ACB90， 又CE 平分ACB， ACEBCEACB45， AOE2ACE90， OEAB， 又MNAB， OEMN， MN 是O 的切线； （2）过点 C 作 CQMN，垂足为 Q，交 AB 于点 P，则 CQAB， 在 RtABC 中， AC6，BC8， AB10 OEPQOAOB5， 由三角形的面积公式得， ACBCABCP， 6810CP， CP4.8， CQ4.8+59.8， ABMN， CABCMN， ，即， MN， 连接 BE，则 BEAE，在 RtABE 中， AEBEAB5， EN 是O 的切线， BENBCEACE， ACBE 是O 的内接四边形， E
14、BNCAB， AECBNE， ， 即， BN， ACEECN，CAECEN， CAECEN， ，即， 解得，CE7， 又ACDECB，CADCEB， ACDECB， ，即， 解得，CD， MN，CD 7BAEBCE， CAECAB+BAECAB+BCE， BCDCAB， CAEBCD+BCEDCE， ACCE， CAEAEC， AECDCE， CDAE， BAED， BAEBCE， BCED， CAB 和CEB 是所对的圆周角， CEBCAB， BCDCAB， CEBBCD， BAED， BCEBDC， ， BC2BEBD； 如图 2，连接 OC，AE， 设 BEx（x0） ， BD3BE，
15、BD3x， 由知，BC2BEB， BCx， 由知，BCEBDC， ， CEAC2， ， CD2， 在 RtOCD 中，ODOB+BDr+3x， 根据勾股定理得，OC2+CD2OD2， r2+（2 ）2（r+3x）2， 3x2+2rx40（） ， 在 RtABC 中，根据勾股定理得，AC2+BC2AB2， 22 +（x）2（2r）2 ， 3x24r2+40（） ， （）+（）得，6x2+2rx4r20， 3x2+rx2r20， （3x2r） （x+r）0， r0，x0， x+r0， 3x2r0， xr， 将 xr 代入（）得，3（r）24r2+40， r（舍去负值） ， 即O 的半径 r 为 8
16、证明： （1）连接 OD， AB 与O 相切于点 B， ABO90， DEOA， OEDBOA，EDOAOD， 又ODOEOB， OEDODE， BOADOA， 在ABO 和ADO 中， OBOD，BOADOA，AOAO， ABOADO （SAS） ， ADOABO90，即 ODAC， AC 是O 的切线； （2）C30，ODC90， DOE903060， 又ODOE， ODE 是正三角形， ODOEDEOB， 在 RtABO 中，AOB60，AB3， OB， DE 9证明： （1）如图，连接 OC， BD 是O 的直径， BAD90， 又AC 平分BAD， BACDACBAD45， BOC2
17、DAC90， OCBD， 又CGBD， OCCG， CG 是O 的切线； （2）BD 是O 的直径， BADBCD90， 又AC 平分BAD， BACDAC， BCCD， 在 RtABD 中，BD， 在 RtBCD 中，BCCDBD， CG 是O 的切线； DCGDACBAC，ACGABC， 又CDGABC， ABCCDG， ，即， DG， 由ACGABC，BACDAC 可得ABCACG， ，即， 解得，AC4 10解： （1）根据“Math 点”的定义，观察图象可知，POQ 关于边 PQ 的“Math 点”为 B、C 故答案为：B，C （2）如图 2 中，P（0，4） ，Q（4，0） ， O
18、P4，OQ4， tanPQO， PQO30， 当点 E 与 PQ 的中点 K 重合时，点 E 是POQ 关于边 PQ 的“Math 点” ，此时 E（2，2） ， D（0，8） ， DE4， 当E与 x 轴相切于点 Q 时，E（4，8） ， DE4， 观察图象可知，当点 E 在线段 KE上时，点 E 为POQ 关于边 PQ 的“Math 点” ， EQOQ， EQO90， EQK60， EKQ90， EEQ30， DEOQ， DEK60， DEDK， DEK 是等边三角形， 点 D 到 EK 的距离的最小值为 4sin606， 如图 3 中，分别以 O 为圆心，2 和 4为半径画圆， 当线段 MN 与图中圆环有交点时，线段 MN 上存在POQ 关于边 PQ 的“Math 点” ， 当直线 MN 与小圆相切时，b4， 当直线 MN 与大圆相切时，b8， 观察图象可知，满足条件的 b 的值为：或