1、2020-2021 学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期中数学试卷学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1方程 x22x0 的根是（ ） Ax1x20 Bx1x22 Cx10，x22 Dx10，x22 2下列各组线段中，能构成比例线段的是（ ） A1cm，2cm，4cm，6cm B2cm，4cm，0.4cm，7cm C3cm，9cm，18cm，6cm D3cm，4cm，5cm，6cm 3 如图， 将ABC 沿 BC 方向平移得到DCE， 连接 AD， 下列条件能够判定四边形 ACED 为菱
2、形的是 （ ） AABBC BACBC CB60 DACB60 4如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB若 AD2BD，则 的值为（ ） A B C D 5已知关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0，则 a 的值为（ ） A0 B1 C1 D1 6小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜， 那么，小李获胜的概率为（ ） A B C D 7共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单车数量 比第一个月多 440 辆设该公司
3、第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，则所列方程正确的 为（ ） A1000（1+x）21000+440 B1000（1+x）2440 C440（1+x）21000 D1000（1+2x）1000+440 8如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，ACDB，那么图中一定相似的三角 形共有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D6 对 9如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B处，若 AE2，DE6，EFB60，则 矩形 ABCD 的面积是（ ） A12 B24 C12 D16 10如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F
4、 分别是 BC、CD 上的点，且AEF 是等边三角形，则 BE 的长 为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11若，则 12快过元旦了，全班同学每两人互发一条祝福短信，共发了 380 条，设全班有 x 名同学，则可列方程 为 13一个口袋中有若干个白球，另外放入 5 个黑球，从袋中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这 样的试验共 300 次，结果有 50 次出现黑球，则袋中白球的个数为 14如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC8，BD6，OEAD 于点 E，交 BC 于点 F
5、，则 EF 的长为 15如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的黄金分割点，且 BECE，AE 与 BD 相交于点 F那 么 FD：BF 的值为 16如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，点 M 为对角线 BD 上一动点，MEBC 于 E，MFCD 于 F， 则 EF 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 72 分）分） 17解方程： （1）x24x30； （2） （x3）22（3x） 18如图，已知ABC，点 D 为 AB 一点，在 AC 上找一点 E，使ADEACB（尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法） 19已知关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0
6、（1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是 1，求出方程的另一个根 20如图，ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E， 使 OEOD，连接 AE，BE （1）求证：四边形 AEBD 是矩形 （2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由 21对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境为了检查垃圾分类的 落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的 A，B，C，D 四个 小区进行检查，并且每个小区不重复检查 （1）甲组抽到 A 小区
7、的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率 22如图，已知DABECB，ABDCBE求证：ABCDBE 23将进货为 100 元的商品按 150 元售出时，能卖出 300 件已知这批商品每件涨价 5 元，其销售量将减 少 10 个 （1）这批商品每件涨价 x 元，其销售量将减少多少个（用含 x 的代数式表示） ； （2）问为了赚取 19200 元利润，同时也考虑尽量减轻销售人员的工作量，问售价应定为多少？这时应进 货多少件？ 24如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且 A
8、FEB （1）求证：ADFDEC； （2）若 AB8，AD6，AF4，求 AE 的长 25问题探究 （1）请在图的正方形 ABCD 的对角线 BD 上作一点 P，使 PA+PC 最小； （2） 如图， 点 P 为矩形 ABCD 的对角线 BD 上一动点， AB2， ADB30， 点 E 为 BC 边的中点， 求作一点 P，使 PE+PC 最小，并求这个最小值 问题解决 （3）如图，李师傅有一块边长为 1000 米的菱形 ABCD 采摘园，AC1200 米，BD 为小路，BC 的中 点 E 为一水池，李师傅现在准备在小路 BD 上建一个游客临时休息纳凉室 P，为了节省土地，使休息纳 凉室 P 到
9、水池 E 与大门 C 的距离之和最短， 那么是否存在符合条件的点 P？若存在， 请作出点 P 的位置， 并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由 2020-2021 学学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期中数学试卷年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1方程 x22x0 的根是（ ） Ax1x20 Bx1x22 Cx10，x22 Dx10，x22 【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案 【解答】解：x22x0 x（x2）0， 解得：x10，x22 故选：C 2下列各组线段中，能构成比例线段的是
10、（ ） A1cm，2cm，4cm，6cm B2cm，4cm，0.4cm，7cm C3cm，9cm，18cm，6cm D3cm，4cm，5cm，6cm 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段对选项一一分 析，排除错误答案 【解答】解：A、1642，故选项错误； B、0.4724，故选项错误； C、18396，故选项正确； D、3645，故选项错误 故选：C 3 如图， 将ABC 沿 BC 方向平移得到DCE， 连接 AD， 下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是 （ ） AABBC BACBC CB60 DACB60 【分析】首先根据平移的性质得出 A
11、CED，得出四边形 ACED 为平行四边形，进而利用菱形的判定得 出答案 【解答】解：将ABC 沿 BC 方向平移得到DCE， ACED， 四边形 ACED 为平行四边形， 当 ACBC 时，则 DEEC， 平行四边形 ACED 是菱形 故选：B 4如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB若 AD2BD，则 的值为（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出2，即可得出答案 【解答】解：DEBC，EFAB，AD2BD， 2，2， ， 故选：A 5已知关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0，则 a
12、的值为（ ） A0 B1 C1 D1 【分析】直接把 x0 代入进而方程，再结合 a10，进而得出答案 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0， a210，且 a10， 则 a 的值为：a1 故选：D 6小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜， 那么，小李获胜的概率为（ ） A B C D 【分析】画出树状图，共有 25 个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有 13 个，即可得 出答案 【解答】解：画树状图如图： 共有 25 个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有 13 个， 小
13、李获胜的概率为； 故选：A 7共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单车数量 比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，则所列方程正确的 为（ ） A1000（1+x）21000+440 B1000（1+x）2440 C440（1+x）21000 D1000（1+2x）1000+440 【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， 1000（1+x）21000+440， 故选：A 8如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，ACDB，那么图
14、中一定相似的三角 形共有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D6 对 【分析】两个三角形两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似若是两个三角形中两组角 对应相等，那么这两个三角形相似 【解答】解：点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC， ADEABC ACDB，AA， ADCABC， ADEADC， BDCE，BCDEDC， DCEBCD 故有 4 组 故选：C 9如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B处，若 AE2，DE6，EFB60，则 矩形 ABCD 的面积是（ ） A12 B24 C12 D16 【分析】 在矩形 ABCD 中根据 A
15、DBC 得出DEFEFB60， 由折叠的性质可得AA90， AEAE2，ABAB，AEFAEF18060120，AEB60根据直 角三角形的性质得出 ABAB2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：在矩形 ABCD 中， ADBC， BEFEFB60， 由折叠的性质得AA90，AEAE2，ABAB，AEFAEF18060 120， AEBAEFBEF1206060 在 RtAEB中， ABE906030， BE2AE，而 AE2， BE4， AB2，即 AB2， AE2，DE6， ADAE+DE2+68， 矩形 ABCD 的面积ABAD2816 故选：D 10如图，正方形 AB
16、CD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且AEF 是等边三角形，则 BE 的长 为（ ） A B C D 【分析】由于四边形 ABCD 是正方形，AEF 是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明ABE ADF，再根据全等三角形的性质得到 BEDF，设 BEx，那么 DFx，CECF1x，那么在 Rt ABE 和 RtADF 利用勾股定理可以列出关于 x 的方程，解方程即可求出 BE 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BD90，ABAD， AEF 是等边三角形， AEEFAF， 在 RtABE 和 RtADF 中 ， RtABERtADF（HL） ， BEDF， 设 B
17、Ex，那么 DFx，CECF1x， 在 RtABE 中，AE2AB2+BE2， 在 RtCEF 中，FE2CF2+CE2， AB2+BE2CF2+CE2， x2+12（1x）2， x24x+10， x2，而 x1， x2， 即 BE 的长为2 故选：A 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11若，则 【分析】直接利用已知将原式变形进而得出 x，y 之间的关系进而得出答案 【解答】解：， 2x+2y3x， 故 2yx， 则 故答案为： 12快过元旦了，全班同学每两人互发一条祝福短信，共发了 380 条，设全班有 x 名同学，则可列方程为 x（x1）380 【分析】设该班级共有同学 x 名
18、，每个人要发（x1）条短信，根据题意可得等量关系：人数每个人 所发的短信数量总短信数量 【解答】解：设全班有 x 名同学，由题意得： x（x1）380， 故答案是：x（x1）380 13一个口袋中有若干个白球，另外放入 5 个黑球，从袋中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这 样的试验共 300 次，结果有 50 次出现黑球，则袋中白球的个数为 25 个 【分析】设袋中白球有 x 个，然后根据概率的意义列出方程求解即可 【解答】解：设袋中白球有 x 个，根据题意得， 解得 x25， 经检验 x25 是原方程的解， 即袋中白球的个数为 25 个 故答案为：25 个 14如图，在菱形 ABCD
19、中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC8，BD6，OEAD 于点 E，交 BC 于点 F，则 EF 的长为 【分析】根据菱形的性质分别求出 OB、OC，根据勾股定理求出 BC，根据菱形的面积公式计算即可 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OBBD3，OCAC4， 在 RtBOC 中，由勾股定理得，BC5， SOBCOBOCBCOF， OF， EF 故答案为 15如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的黄金分割点，且 BECE，AE 与 BD 相交于点 F那 么 FD：BF 的值为 【分析】根据黄金分割的定义，以及平行四边形的性质解决问题即可 【解答】解
20、：点 E 是边 BC 上的黄金分割点，且 BECE， BEBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBE， EBFADF， ， ， 故答案为 16如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，点 M 为对角线 BD 上一动点，MEBC 于 E，MFCD 于 F， 则 EF 的最小值为 3 【分析】连接 MC，证出四边形 MECF 为矩形，由矩形的性质得出 EFMC，当 MCBD 时，MC 取得 最小值，此时BCM 是等腰直角三角形，得出 MCBC3，即可得出结果 【解答】解：连接 MC，如图所示： 四边形 ABCD 是正方形， C90，DBC45， MEBC 于 E，MFCD 于
21、F， 四边形 MECF 为矩形， EFMC， 当 MCBD 时，MC 取得最小值， 此时BCM 是等腰直角三角形， MCBC63， EF 的最小值为 3； 故答案为：3 三解答题三解答题 17解方程： （1）x24x30； （2） （x3）22（3x） 【分析】 （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法中的提取公因式法求解即可 【解答】解： （1）x24x30， x24x+44+3， （x2）27， x2； ，； （2）（x3）22（3x） ， （x3）22（3x）0， （x3） （x3+2）0， （x1） （x3）0， x10 或 x30， x11，x23 18如图，已知ABC，点
22、D 为 AB 一点，在 AC 上找一点 E，使ADEACB（尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法） 【分析】作ADEC即点 E 就是所求作的点 【解答】解：作ADEC即点 E 就是所求作的点 19已知关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是 1，求出方程的另一个根 【分析】 （1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明0 即可（m+2）24（2m1） m24m+8（m2）2+4，因为（m2）20，可以得到0； （2）将 x1 代入方程 x2（m+2）x+（2m1）0，求出 m 的值，进而得出方程的解 【解答】 （1）证明
23、：（m+2）24（2m1）m24m+8（m2）2+4， 而（m2）20， 0 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：方程的一个根是 1， 12（m+2）+2m10， 解得：m2， 原方程为：x24x+30， 解得：x11，x23 故方程的另一个根是 3 20如图，ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E， 使 OEOD，连接 AE，BE （1）求证：四边形 AEBD 是矩形 （2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由 【分析】 （1）利用平行四边形的判定首先得出四边形 AEBD 是平行四边形，进而由等腰三
24、角形的性质得 出ADB90，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出 ADBDCD，进而利用正方形的判定得出即可 【解答】 （1）证明： 点 O 为 AB 的中点， OAOB OEOD， 四边形 AEBD 是平行四边形， ABAC，AD 是BAC 的角平分线， ADBC， ADB90， 平行四边形 AEBD 是矩形； （2）当BAC90时，矩形 AEBD 是正方形 理由：BAC90，ABAC，AD 是BAC 的角平分线， ABDBAD45， ADBD， 由（1）得四边形 AEBD 是矩形， 矩形 AEBD 是正方形 21对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护
25、环境为了检查垃圾分类的 落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的 A，B，C，D 四个 小区进行检查，并且每个小区不重复检查 （1）甲组抽到 A 小区的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2） 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲组抽到 A 小区， 同时乙组抽到 C 小区的情况数， 然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）共有 A，B，C，D，4 个小区， 甲组抽到 A 小区的概率是， 故答案为： （2）根据题意画树状图如下： 共有 12
26、种等可能的结果数，其中甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的结果数为 1， 甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率为 22如图，已知DABECB，ABDCBE求证：ABCDBE 【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理即可得到结论 【解答】证明：DABECB，ABDCBE， ABDCBE， ， 即， ABCABD+DBC，DBEDBC+CBE， ，ABCDBE， ABCDBE 23将进货为 100 元的商品按 150 元售出时，能卖出 300 件已知这批商品每件涨价 5 元，其销售量将减 少 10 个 （1）这批商品每件涨价 x 元，其销售量将减少多少个（用含 x 的代数式表
27、示） ； （2）问为了赚取 19200 元利润，同时也考虑尽量减轻销售人员的工作量，问售价应定为多少？这时应进 货多少件？ 【分析】 （1）由题意即可得出答案； （2）设售价定为 x 元，根据题意列出方程，解方程得出 x1220，x2180，由题意得出 x220，即可得 出答案 【解答】解： （1）这批商品每件涨价 5 元，其销售量将减少 10 个， 这批商品每件涨价 x 元，其销售量将减少x2x（个） ； 即这批商品每件涨价 x 元，其销售量将减少 2x 个 （2）设售价定为 x 元，根据题意得： （x100） （30010）19200 解得：x1220，x2180， 尽量减轻销售人员的工作
28、量， x2180 舍去， x220， 30010160， 答：售价应定为 220 元，这时应进货 160 件 24如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且 AFEB （1）求证：ADFDEC； （2）若 AB8，AD6，AF4，求 AE 的长 【分析】 （1）根据四边形 ABCD 为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角 互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：ADF DEC； （2）由ADFDEC，得比例，求出 DE 的长利用勾股定理求出 AE 的长 【解
29、答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC， C+B180，ADFDEC AFD+AFE180，AFEB， AFDC ADFDEC （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB8 由（1）知ADFDEC， ， DE12 在 RtADE 中，由勾股定理得：AE6 25问题探究 （1）请在图的正方形 ABCD 的对角线 BD 上作一点 P，使 PA+PC 最小； （2） 如图， 点 P 为矩形 ABCD 的对角线 BD 上一动点， AB2， ADB30， 点 E 为 BC 边的中点， 求作一点 P，使 PE+PC 最小，并求这个最小值 问题解决 （3）如图，李师傅有
30、一块边长为 1000 米的菱形 ABCD 采摘园，AC1200 米，BD 为小路，BC 的中 点 E 为一水池，李师傅现在准备在小路 BD 上建一个游客临时休息纳凉室 P，为了节省土地，使休息纳 凉室 P 到水池 E 与大门 C 的距离之和最短， 那么是否存在符合条件的点 P？若存在， 请作出点 P 的位置， 并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）作点 C 关于 BD 的对称点 C，交 BD 于 F，连接 CE 交 BD 于 P，则 PE+PC 最小CE，连接 EF，根据勾股定理求出 BC，证明CEC是直角三角形，根据勾股定理求出 CE，得
31、到答案； （3）根据菱形的性质、勾股定理求出 OB，根据三角形中位线定理求出 EF，根据勾股定理求出 CF，进 而得到 AF，根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解： （1）如图，连接 AC 交 BD 于 P，则 AP+CP 最小； （2）如图，作点 C 关于 BD 的对称点 C，交 BD 于 F，连接 CE 交 BD 于 P，则 PE+PC 最小C E，连接 EF， BD 是矩形 ABCD 的对角线， CDAB2，BCD90，CBDADB30， BD2CD4， 由勾股定理得，BC2， 由轴对称可知，CC2CF，CCBD， CFD90， BCF60，DCF30， 在 RtCDF 中，CD2，D
32、CF30， CF， CC2CF2， 点 E 为 BC 边的中点， CEBC， CFCE， CEF 是等边三角形， EFCFCF， CEC是直角三角形， 在 RtCEC中，CC2，CE， CE3， PE+PC 最小为 3； （3）存在， 如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O， OCOAAC600（米） ，ACBD， 在 RtBOC 中，OB800（米） ， 过点 E 作 EFAC 于 F， EFOB， 点 E 是 BC 的中点， EFOB400（米） ，CEBC500（米） ， 根据勾股定理得，CF300（米） ， AFACCF1200300900（米） ， 连接 AE 交 BD 于 P，即 PC+PE 最小AE， 在 RtAEF 中，根据勾股定理得，AE100（米） ， 最短距离为 100米