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江苏省常州市溧阳市2020-2021学年九年级上期中考试数学试卷(含答案详解)

1、2020-2021 学年江苏省常州市溧阳市九年级(上)期中数学试卷学年江苏省常州市溧阳市九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 8 小题,每小题小题,每小题 2 分,共分,共 16 分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确)分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确) 1方程 x23x0 的解为( ) Ax0 Bx3 Cx10,x23 Dx10,x23 2已知O 的半径 r,圆心 O 到直线的距离为 d,当 dr 时,直线与O 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D以上都不对 3已知方程 x25x+20 的两个解分别为 x1、x2,则 x1+x2x1x2的值为(

2、) A7 B3 C7 D3 4如图,AB 是圆 O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,DC 切圆 O 于 C,若A25则D 等于( ) A40 B50 C60 D70 5如图,已知O 是ABC 的外接圆,连接 AO,若B40,则OAC 的度数为( ) A20 B40 C50 D80 6下列四个说法中,正确的是( ) A一元二次方程有实数根 B一元二次方程有实数根 C一元二次方程有实数根 D一元二次方程 x2+4x+5a(a1)有实数根 7关于下列四种说法中,你认为正确的有( ) 垂直于弦的直线一定经过圆心; 经过直径外端的直线是圆的切线; 对角互补的四边形四个顶点共圆; 圆外一点引圆的两条

3、切线,两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8O 的内接多边形周长为 3,O 的外切多边形周长为 5,则下列各数中与此圆的周长最接近的 是( ) A B2 C3 D4 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 10 小题。每小题小题。每小题 2 分,共分,共 20 分,不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡分,不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡 相应位置上)相应位置上) 9已知 x111 是方程 x2mx+50 的一个根,则 m 10如图,在O 中,ACB20,则AOB 度 11如图,在O 中,弦 AB 的长为 6,圆心 O 到 AB 的距离

4、为 4,则O 的半径长 12若一元二次方程 x2(a+2)x+2a0 的两个实数根分别是 3、b,则 a+b 13如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它 们外缘边上的公共点 P 在小量角器上对应的度数为 65, 那么在大量角器上对应的度数为 度 (只 需写出 090的角度) 14关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个实数根,则 m 的取值范围是 15弧长为,半径为 2 的扇形的圆心角为 16将直径为 60cm 的圆形铁皮,做成三个相同的圆锥容器的侧面(接缝处不计) ,则每个圆锥容器的底面 半径为 17如图,在 RtABC 中,ABC90

5、,O 的圆心在 AB 边上,且分别与 AC、BC 相切于点 D、B,若 AB6cm,AC10cm,则O 的半径为 cm 18如图,一个半径为 1 的圆形纸片在边长为 8 的等边三角形内沿边滚动一周,在该等边三角形内,这个 圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 8 小题,共小题,共 64 分请在答卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、演算步骤或推分请在答卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、演算步骤或推 理过程)理过程) 19 (20 分)解下列方程: (1)2x280; (2)x24x+20; (3)2x23x10; (4)3(2x+5)4x210

6、 x0 20 (6 分)一个直角三角形的斜边长为cm,两条直角边长的和是 8cm,求这两条直角边的长 21 (6 分)在脱贫攻坚过程中,某村计划建造矩形蔬菜温室大棚带动蔬菜种植与销售,如图是该村设计的 温室种植大棚,按照要求长与宽的比为 2:1,在温室内,沿前侧内墙保留 3m 的空地,其他三侧内墙各 保留 1m 的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2? 22 (6 分) 如图, 已知 AB 是O 的弦, OB2, B30, C 是弦 AB 上的任意一点 (不与点 A、 B 重合) , 连接 CO 并延长 CO 交O 于点 D,连接 AD (1)求弦 AB 的长;

7、 (2)当D20时,求BOD 的度数 23 (6 分)已知:如图,ABC 中,ABAC,以 AC 为直径的圆,分别交 AB、BC 于点 D、E (1)求证:BECE; (2)若 BD4,BE6,求 AC 的长 24 (7 分)如图,已知直线 PA 交O 于 A、B 两点,AE 是O 的直径,点 C 为O 上一点,且 AC 平分 PAE,过 C 作 CDPA,垂足为 D (1)求证:CD 为O 的切线; (2)若 DC+DA6,O 的直径为 10,求 AB 的长度 25 (6 分)阅读与理解: 阅读材料:像 x+3 这样,根号内含有未知数的方程,我们称之为无理方程 解法如下:移项:3x;两边平方

8、:x196x+x2 解这个一元二次方程:x12,x25 检验所得到的两个根,只有 是原无理方程的根 理解应用:求无理方程 x2 26 (7 分)如图,已知直线 ykx+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(,0) 、点 B(0,5) (1)求直线 ykx+b 的函数表达式; (2)若O 与直线 AB 相切于点 M,求O 的半径长及点 M 的坐标; 是否在直线 AB 上存在点 P、O 上存在点 Q,使得OPQOBM?若存在,请直接写出点 P 和点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 2020-2021 学年江苏省常州市溧阳市九年级(上)期中数学试卷学年江苏省常州市溧阳市九年级(上)期中数学试卷 参

9、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 8 小题,每小题小题,每小题 2 分,共分,共 16 分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确)分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确) 1方程 x23x0 的解为( ) Ax0 Bx3 Cx10,x23 Dx10,x23 【分析】将方程左边的多项式提取 x,分解因式后根据两数相乘积为 0,两因式中至少有一个为 0 转化为 两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解 【解答】解:方程 x23x0, 因式分解得:x(x3)0, 可化为 x0 或 x30, 解得:x10,x23 故选:D 2已知O 的半径 r,圆

10、心 O 到直线的距离为 d,当 dr 时,直线与O 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D以上都不对 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可 【解答】解:已知O 的半径 r,圆心 O 到直线的距离为 d,当 dr 时,直线与O 的位置关系是相交, 故选:A 3已知方程 x25x+20 的两个解分别为 x1、x2,则 x1+x2x1x2的值为( ) A7 B3 C7 D3 【分析】根据根与系数的关系,先求出 x1+x2与 x1x2的值,然后再把它们的值整体代入所求代数式求值 即可 【解答】解:根据题意可得 x1+x25,x1x22, x1+x2x1x2523 故选:D 4如图,A

11、B 是圆 O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,DC 切圆 O 于 C,若A25则D 等于( ) A40 B50 C60 D70 【分析】 首先连接 OC, 由 CD 是O 的切线, 可得 OCCD,又由 OAOC,得到OCAA25, 即可求得DOC 的度数,然后由两锐角互余即可求得答案 【解答】解:连接 OC, CD 是O 的切线, OCCD, 即OCD90, OAOC, OCAA25, DOC50, D905040 故选:A 5如图,已知O 是ABC 的外接圆,连接 AO,若B40,则OAC 的度数为( ) A20 B40 C50 D80 【分析】连接 CO,根据圆周角定理可得AOC2

12、B80,进而得出OAC 的度数 【解答】解:连接 CO, B40, AOC2B80, OAC(18080)250 故选:C 6下列四个说法中,正确的是( ) A一元二次方程有实数根 B一元二次方程有实数根 C一元二次方程有实数根 D一元二次方程 x2+4x+5a(a1)有实数根 【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式b24ac 的值的符号就可以了 【解答】解:A、b24ac164(5)240,方程无实数根,错误; B、b24ac164(5)240,方程无实数根,错误; C、b24ac164(5)40,方程无实数根,错误; D、b24ac164(5a)4(a1)0,方程有实数根,正确;

13、 故选:D 7关于下列四种说法中,你认为正确的有( ) 垂直于弦的直线一定经过圆心; 经过直径外端的直线是圆的切线; 对角互补的四边形四个顶点共圆; 圆外一点引圆的两条切线,两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用垂径定理,切线的性质和判定定理逐个判断即可求得答案 【解答】解:垂直平分弦的直线经过圆心,故不符合题意; 经过直径外端切垂直于这条直径的直线是圆的切线,故不符合题意; 对角互补的四边形四个顶点共圆;故符合题意; 圆外一点引圆的两条切线,两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分,故符合题意; 故选:B 8O 的内接多边形周长为 3,O 的外

14、切多边形周长为 5,则下列各数中与此圆的周长最接近的 是( ) A B2 C3 D4 【分析】根据圆外切多边形的周长大于圆周长,圆内接多边形的周长小于圆周长圆的内接多边形周长 为 3,外切多边形周长为 5,再利用夹逼法对即可选择答案 【解答】解:圆外切多边形的周长大于圆周长,圆内接多边形的周长小于圆周长 圆的内接多边形周长为 3,外切多边形周长为 5,所以圆周长在 9 与 12 之间 只有只有 C 选项满足条件 故选:C 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 10 小题。每小题小题。每小题 2 分,共分,共 20 分,不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡分,不需写出解答过程,请把答案

15、直接填写在答题卡 相应位置上)相应位置上) 9已知 x111 是方程 x2mx+50 的一个根,则 m 【分析】根据一元二次方程的解的定义,把 x111 代入方程得到关于 m 的方程,然后解方程即可求解 【解答】解:把 x111 代入 x2mx+50 得,11211m+50, 解得 m 故答案为: 10如图,在O 中,ACB20,则AOB 40 度 【分析】根据圆周角定理,在同圆或等圆中,等弧所对的圆周角是圆心角的一半解答 【解答】解:ACB20,AOB2ACB40 11如图,在O 中,弦 AB 的长为 6,圆心 O 到 AB 的距离为 4,则O 的半径长 5 【分析】连接 OA,先根据垂径定

16、理得到 AC3,然后在 RtOAC 中,根据勾股定理计算出 OA 即可 【解答】解:连接 OA,如图所示: 由题意得:OCAB,OC4, ACBCAB3, 在 RtOAC 中,OC4,AC3, OA5, 即O 的半径为 5 故答案为:5 12若一元二次方程 x2(a+2)x+2a0 的两个实数根分别是 3、b,则 a+b 5 【分析】欲求 a+b 的值,先把 x3 代入一元二次方程 x2(a+2)x+2a0,求出 a,再由根与系数的关 系,求得 b,代入数值计算即可 【解答】解:把 x3 代入一元二次方程 x2(a+2)x+2a0, 解得:a3, 由根与系数的关系得 3+b5, 解得:b2,

17、a+b3+25 故答案为:5 13如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它 们外缘边上的公共点 P 在小量角器上对应的度数为 65,那么在大量角器上对应的度数为 50 度(只 需写出 090的角度) 【分析】依题意,设大量角器的左端点为 A,小量角器的圆心为 B利用三角形的内角和定理求出PAB 的度数然后根据圆的知识可求出大量角器上对应不度数 【解答】解:设大量角器的左端点是 A,小量角器的圆心是 B,连接 AP,BP,则APB90,ABP 65,因而PAB906525,在大量角器中弧 PB 所对的圆心角是 50,因而 P 在大量角 器上对应的度数

18、为 50 故答案为:50 14关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个实数根,则 m 的取值范围是 m1 【分析】根据方程有实数根,得出0,建立关于 m 的不等式,求出 m 的取值范围即可 【解答】解:由题意知,44m0, m1, 故答案为:m1 15弧长为,半径为 2 的扇形的圆心角为 45 【分析】根据 l,结合题意可得出扇形圆心角的度数 【解答】解:扇形的弧长为,半径为 2, , 解得:n45 故答案为 45 16将直径为 60cm 的圆形铁皮,做成三个相同的圆锥容器的侧面(接缝处不计) ,则每个圆锥容器的底面 半径为 10cm 【分析】根据已知得出直径为 60cm 的圆形铁皮,

19、被分成三个圆心角是 120,半径为 30 的扇形,再根 据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案 【解答】解:根据将直径为 60cm 的圆形铁皮,做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接 缝处的材料损耗) , 直径为 60cm 的圆形铁皮,被分成三个圆心角是 120,半径为 30 的扇形, 假设每个圆锥容器的底面半径为 r, 2r, 解得:r10(cm) 故答案为:10cm 17如图,在 RtABC 中,ABC90,O 的圆心在 AB 边上,且分别与 AC、BC 相切于点 D、B,若 AB6cm,AC10cm,则O 的半径为 cm 【分析】根据勾股定理可得 BC 的长,再根据切线的性

20、质可得 DCBC,再根据勾股定理即可求出O 的半径 【解答】解:如图,连接 OD, ABC90,AB6cm,AC10cm, BC8(cm) , AC、BC 分别相切于点 D、B, CDBC8(cm) , ADACCD2(cm) , 在 RtAOD 中,AOABOB6OB6OD, 根据勾股定理,得 (6OD)2OD2+22, 解得,OD(cm) , 则O 的半径为cm 故答案为: 18如图,一个半径为 1 的圆形纸片在边长为 8 的等边三角形内沿边滚动一周,在该等边三角形内,这个 圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是 【分析】如图,这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积的图中阴影部分的面积,求出

21、阴影部分的面 积和即可 【解答】解:如图,这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积的图中阴影部分的面积 当O 与A 相切时,设切点为 D,E,连接 OD,OE 在 RtAOD 和 RtAEO 中,OADOAE30, ADAEOD, 当O 与C 相切时,设切点为 G,则四边形 GHKD 是矩形, 同法可得 CGADPHQK, DGHK82, PQ84, S阴321+(84)23148 故答案为:3148 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 8 小题,共小题,共 64 分请在答卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、演算步骤或推分请在答卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、演算步骤或推 理过

22、程)理过程) 19 (20 分)解下列方程: (1)2x280; (2)x24x+20; (3)2x23x10; (4)3(2x+5)4x210 x0 【分析】 (1)利用直接开平方法求解即可; (2)利用配方法求解即可; (3)利用公式法求解即可; (4)利用因式分解法求解即可 【解答】解: (1)2x280, 2x28, x24, x2, x12,x22; (2)x24x+20, x24x2, x24x+42+4,即(x2)22, x2, x12+,x22; (3)2x23x10, a2,b3,c1, b24ac942(1)17, x, x1,x2; (4)3(2x+5)4x210 x0,

23、 3(2x+5)2x(2x+5)0, (2x+5) (32x)0, 2x+50 或 32x0, x1,x2 20 (6 分)一个直角三角形的斜边长为cm,两条直角边长的和是 8cm,求这两条直角边的长 【分析】设一条直角边为 xcm,根据勾股定理列出方程,解方程得到答案 【解答】解:设一条直角边为 xcm,则另一条直角边为(8x)cm, 由勾股定理得,x2+(8x)2(2)2, 整理得,x28x+120, 解得,x12,x26, 当 x2 时,8x6, 当 x6 时,8x2, 则这两条直角边的长为 2cm 和 6cm 21 (6 分)在脱贫攻坚过程中,某村计划建造矩形蔬菜温室大棚带动蔬菜种植与

24、销售,如图是该村设计的 温室种植大棚,按照要求长与宽的比为 2:1,在温室内,沿前侧内墙保留 3m 的空地,其他三侧内墙各 保留 1m 的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2? 【分析】设温室的宽为 xm,则长为 2xm,根据矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2,即可得出关于 x 的一 元二次方程,解之取其正值即可得出结论 【解答】解:设温室的宽为 xm,则长为 2xm, 依题意,得: (2x31) (x2)288, 整理,得:x24x1400, 解得:x114,x210(不合题意,舍去) , 2x28 答:温室的长为 28m,宽为 14m 22 (6 分) 如

25、图, 已知 AB 是O 的弦, OB2, B30, C 是弦 AB 上的任意一点 (不与点 A、 B 重合) , 连接 CO 并延长 CO 交O 于点 D,连接 AD (1)求弦 AB 的长; (2)当D20时,求BOD 的度数 【分析】 (1)过点 O 作 OEAB 于 E,由垂径定理和直角三角形的性质即可求得 AB 的长; (2)连接 OA,由 OAOB,OAOD,可得BAOB,DAOD,则可求得DAB 的度数,又 由圆周角定理即可求得BOD 的度数; 【解答】解: (1)过点 O 作 OEAB 于 E,如图: 则 AEBEAB,OEB90, OB2,B30, OEOB1,BEOE, AB

26、2BE2; (2)连接 OA,如图: OAOB,OAOD, BAOB,DAOD, DABBAO+DAOB+D, 又B30,D20, DAB50, BOD2DAB100 23 (6 分)已知:如图,ABC 中,ABAC,以 AC 为直径的圆,分别交 AB、BC 于点 D、E (1)求证:BECE; (2)若 BD4,BE6,求 AC 的长 【分析】 (1)连接 AE,先由圆周角定理得AEC90,则 AEBC,再由等腰三角形的性质即可得出 结论; (2)证 DEBE6,由(1)得:BC2BE12,再证BDEBCA,得,即可求出 AC 的 长 【解答】 (1)证明:连接 AE,如图 1 所示: AC

27、 为圆的直径, AEC90, AEBC, ABAC, BECE; (2)解:连接 DE,如图 2 所示: ABAC, BC, BDEC, BBDE, DEBE6, 由(1)得:BC2BE12, BB,BDEC(圆内接四边形的外角等于它的内对角) , BDEBCA, , 即, 解得:AC18 24 (7 分)如图,已知直线 PA 交O 于 A、B 两点,AE 是O 的直径,点 C 为O 上一点,且 AC 平分 PAE,过 C 作 CDPA,垂足为 D (1)求证:CD 为O 的切线; (2)若 DC+DA6,O 的直径为 10,求 AB 的长度 【分析】(1) 连接 OC, 根据题意可证得CAD

28、+DCA90, 再根据角平分线的性质, 得DCO90, 则 CD 为O 的切线; (2)过 O 作 OFAB,则OCDCDAOFD90,得四边形 OCDF 为矩形,设 ADx,在 Rt AOF 中,由勾股定理得(5x)2+(6x)225,从而求得 x 的值,由勾股定理得出 AB 的长 【解答】 (1)证明:连接 OC, OAOC, OCAOAC, AC 平分PAE, DACCAO, DACOCA, PBOC, CDPA, CDOC,CO 为O 半径, CD 为O 的切线; (2)解:过 O 作 OFAB,垂足为 F, OCDCDAOFD90, 四边形 DCOF 为矩形, OCFD,OFCD D

29、C+DA6, 设 ADx,则 OFCD6x, O 的直径为 10, DFOC5, AF5x, 在 RtAOF 中,由勾股定理得 AF2+OF2OA2 即(5x)2+(6x)225, 化简得 x211x+180, 解得 x12,x29 CD6x 大于 0,故 x9 舍去, x2, 从而 AD2,AF523, OFAB,由垂径定理知,F 为 AB 的中点, AB2AF6 25 (6 分)阅读与理解: 阅读材料:像 x+3 这样,根号内含有未知数的方程,我们称之为无理方程 解法如下:移项:3x;两边平方:x196x+x2 解这个一元二次方程:x12,x25 检验所得到的两个根,只有 x2 是原无理方

30、程的根 理解应用:求无理方程 x2 【分析】阅读材料:通过检验可确定原方程的解为 x2; 理解应用:先移项得到 x2;再两边平方:x24x+4(x+1) ,然后解这个一元二次方程, 然后进行检验确定原无理方程的根 【解答】解:阅读材料: 经检验 x2 是原方程的解; 理解应用:移项:x2; 两边平方:x24x+4(x+1) 解这个一元二次方程:x1,x23, 经检验原无理方程的根为 x3 故答案为 x2; 26 (7 分)如图,已知直线 ykx+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(,0) 、点 B(0,5) (1)求直线 ykx+b 的函数表达式; (2)若O 与直线 AB 相切于点 M,求

31、O 的半径长及点 M 的坐标; 是否在直线 AB 上存在点 P、O 上存在点 Q,使得OPQOBM?若存在,请直接写出点 P 和点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)将点 A、B 的坐标代入直线表达式即可求解; (2)由 SAOBABOMOAOB,求得 OM,在 RtABO 中,tanOAB2, 则|yM|OMsinAOM1,故 yM1,同理可得 xM2,即可求解; 由OPQOBM 知BMOPQO90,OPOB5,OQOM,再利用数形结合求解求 解 【解答】解: (1)将点 A、B 的坐标代入直线表达式得,解得, 故直线的表达式为 y2x5; (2)连接 OM,则 OMAB,

32、由点 A、B 的坐标知,OA,OB5, 在 RtABO 中,SAOBABOMOAOB,即OM5,解得 OM, 即圆的半径为, 在 RtABO 中,tanOAB2, 则 cosOABsinAOM, 则|yM|OMsinAOM1,故 yM1, 同理可得 xM2, 故点 M 的坐标为(2,1) ; 存在,理由: OPQOBM, BMOPQO90,OPOB5,OQOM, 设点 P 的坐标为(x,2x5) , 则 x2+(2x5)225, 解得 x0(舍去)或 4, 故点 P 的坐标为(4,3) , 设点 Q 的坐标为(m,n) ,则 m2+n2()25, 过点 Q 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 H,交过点 P 与 x 轴的平行线于点 G, GQP+GPQ90,GQP+HQO90, GPQHQO, tanGPQtanHQO,即, 联立并解得或, 故点 P、Q 的坐标分别为(4,3) 、 (,)或(4,3) 、 (2,1)