1、2020-2021 学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期中数学试卷学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确） 1方程 x23x0 的解为（ ） Ax0 Bx3 Cx10，x23 Dx10，x23 2已知O 的半径 r，圆心 O 到直线的距离为 d，当 dr 时，直线与O 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D以上都不对 3已知方程 x25x+20 的两个解分别为 x1、x2，则 x1+x2x1x2的值为（
2、） A7 B3 C7 D3 4如图，AB 是圆 O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，DC 切圆 O 于 C，若A25则D 等于（ ） A40 B50 C60 D70 5如图，已知O 是ABC 的外接圆，连接 AO，若B40，则OAC 的度数为（ ） A20 B40 C50 D80 6下列四个说法中，正确的是（ ） A一元二次方程有实数根 B一元二次方程有实数根 C一元二次方程有实数根 D一元二次方程 x2+4x+5a（a1）有实数根 7关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ） 垂直于弦的直线一定经过圆心； 经过直径外端的直线是圆的切线； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 圆外一点引圆的两条
3、切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8O 的内接多边形周长为 3，O 的外切多边形周长为 5，则下列各数中与此圆的周长最接近的 是（ ） A B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题。每小题小题。每小题 2 分，共分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上）相应位置上） 9已知 x111 是方程 x2mx+50 的一个根，则 m 10如图，在O 中，ACB20，则AOB 度 11如图，在O 中，弦 AB 的长为 6，圆心 O 到 AB 的距离
4、为 4，则O 的半径长 12若一元二次方程 x2（a+2）x+2a0 的两个实数根分别是 3、b，则 a+b 13如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它 们外缘边上的公共点 P 在小量角器上对应的度数为 65， 那么在大量角器上对应的度数为 度 （只 需写出 090的角度） 14关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个实数根，则 m 的取值范围是 15弧长为，半径为 2 的扇形的圆心角为 16将直径为 60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（接缝处不计） ，则每个圆锥容器的底面 半径为 17如图，在 RtABC 中，ABC90
5、，O 的圆心在 AB 边上，且分别与 AC、BC 相切于点 D、B，若 AB6cm，AC10cm，则O 的半径为 cm 18如图，一个半径为 1 的圆形纸片在边长为 8 的等边三角形内沿边滚动一周，在该等边三角形内，这个 圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 64 分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推 理过程）理过程） 19 （20 分）解下列方程： （1）2x280； （2）x24x+20； （3）2x23x10； （4）3（2x+5）4x210
6、 x0 20 （6 分）一个直角三角形的斜边长为cm，两条直角边长的和是 8cm，求这两条直角边的长 21 （6 分）在脱贫攻坚过程中，某村计划建造矩形蔬菜温室大棚带动蔬菜种植与销售，如图是该村设计的 温室种植大棚，按照要求长与宽的比为 2：1，在温室内，沿前侧内墙保留 3m 的空地，其他三侧内墙各 保留 1m 的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2？ 22 （6 分） 如图， 已知 AB 是O 的弦， OB2， B30， C 是弦 AB 上的任意一点 （不与点 A、 B 重合） ， 连接 CO 并延长 CO 交O 于点 D，连接 AD （1）求弦 AB 的长；
7、 （2）当D20时，求BOD 的度数 23 （6 分）已知：如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的圆，分别交 AB、BC 于点 D、E （1）求证：BECE； （2）若 BD4，BE6，求 AC 的长 24 （7 分）如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径，点 C 为O 上一点，且 AC 平分 PAE，过 C 作 CDPA，垂足为 D （1）求证：CD 为O 的切线； （2）若 DC+DA6，O 的直径为 10，求 AB 的长度 25 （6 分）阅读与理解： 阅读材料：像 x+3 这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程 解法如下：移项：3x；两边平方
8、：x196x+x2 解这个一元二次方程：x12，x25 检验所得到的两个根，只有 是原无理方程的根 理解应用：求无理方程 x2 26 （7 分）如图，已知直线 ykx+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A（，0） 、点 B（0，5） （1）求直线 ykx+b 的函数表达式； （2）若O 与直线 AB 相切于点 M，求O 的半径长及点 M 的坐标； 是否在直线 AB 上存在点 P、O 上存在点 Q，使得OPQOBM？若存在，请直接写出点 P 和点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期中数学试卷学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期中数学试卷 参
9、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确） 1方程 x23x0 的解为（ ） Ax0 Bx3 Cx10，x23 Dx10，x23 【分析】将方程左边的多项式提取 x，分解因式后根据两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为 两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解 【解答】解：方程 x23x0， 因式分解得：x（x3）0， 可化为 x0 或 x30， 解得：x10，x23 故选：D 2已知O 的半径 r，圆
10、心 O 到直线的距离为 d，当 dr 时，直线与O 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D以上都不对 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可 【解答】解：已知O 的半径 r，圆心 O 到直线的距离为 d，当 dr 时，直线与O 的位置关系是相交， 故选：A 3已知方程 x25x+20 的两个解分别为 x1、x2，则 x1+x2x1x2的值为（ ） A7 B3 C7 D3 【分析】根据根与系数的关系，先求出 x1+x2与 x1x2的值，然后再把它们的值整体代入所求代数式求值 即可 【解答】解：根据题意可得 x1+x25，x1x22， x1+x2x1x2523 故选：D 4如图，A
11、B 是圆 O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，DC 切圆 O 于 C，若A25则D 等于（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】 首先连接 OC， 由 CD 是O 的切线， 可得 OCCD，又由 OAOC，得到OCAA25， 即可求得DOC 的度数，然后由两锐角互余即可求得答案 【解答】解：连接 OC， CD 是O 的切线， OCCD， 即OCD90， OAOC， OCAA25， DOC50， D905040 故选：A 5如图，已知O 是ABC 的外接圆，连接 AO，若B40，则OAC 的度数为（ ） A20 B40 C50 D80 【分析】连接 CO，根据圆周角定理可得AOC2
12、B80，进而得出OAC 的度数 【解答】解：连接 CO， B40， AOC2B80， OAC（18080）250 故选：C 6下列四个说法中，正确的是（ ） A一元二次方程有实数根 B一元二次方程有实数根 C一元二次方程有实数根 D一元二次方程 x2+4x+5a（a1）有实数根 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式b24ac 的值的符号就可以了 【解答】解：A、b24ac164（5）240，方程无实数根，错误； B、b24ac164（5）240，方程无实数根，错误； C、b24ac164（5）40，方程无实数根，错误； D、b24ac164（5a）4（a1）0，方程有实数根，正确；
13、 故选：D 7关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ） 垂直于弦的直线一定经过圆心； 经过直径外端的直线是圆的切线； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用垂径定理，切线的性质和判定定理逐个判断即可求得答案 【解答】解：垂直平分弦的直线经过圆心，故不符合题意； 经过直径外端切垂直于这条直径的直线是圆的切线，故不符合题意； 对角互补的四边形四个顶点共圆；故符合题意； 圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分，故符合题意； 故选：B 8O 的内接多边形周长为 3，O 的外
14、切多边形周长为 5，则下列各数中与此圆的周长最接近的 是（ ） A B2 C3 D4 【分析】根据圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长圆的内接多边形周长 为 3，外切多边形周长为 5，再利用夹逼法对即可选择答案 【解答】解：圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长 圆的内接多边形周长为 3，外切多边形周长为 5，所以圆周长在 9 与 12 之间 只有只有 C 选项满足条件 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题。每小题小题。每小题 2 分，共分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分，不需写出解答过程，请把答案
15、直接填写在答题卡 相应位置上）相应位置上） 9已知 x111 是方程 x2mx+50 的一个根，则 m 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x111 代入方程得到关于 m 的方程，然后解方程即可求解 【解答】解：把 x111 代入 x2mx+50 得，11211m+50， 解得 m 故答案为： 10如图，在O 中，ACB20，则AOB 40 度 【分析】根据圆周角定理，在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半解答 【解答】解：ACB20，AOB2ACB40 11如图，在O 中，弦 AB 的长为 6，圆心 O 到 AB 的距离为 4，则O 的半径长 5 【分析】连接 OA，先根据垂径定
16、理得到 AC3，然后在 RtOAC 中，根据勾股定理计算出 OA 即可 【解答】解：连接 OA，如图所示： 由题意得：OCAB，OC4， ACBCAB3， 在 RtOAC 中，OC4，AC3， OA5， 即O 的半径为 5 故答案为：5 12若一元二次方程 x2（a+2）x+2a0 的两个实数根分别是 3、b，则 a+b 5 【分析】欲求 a+b 的值，先把 x3 代入一元二次方程 x2（a+2）x+2a0，求出 a，再由根与系数的关 系，求得 b，代入数值计算即可 【解答】解：把 x3 代入一元二次方程 x2（a+2）x+2a0， 解得：a3， 由根与系数的关系得 3+b5， 解得：b2，
17、a+b3+25 故答案为：5 13如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它 们外缘边上的公共点 P 在小量角器上对应的度数为 65，那么在大量角器上对应的度数为 50 度（只 需写出 090的角度） 【分析】依题意，设大量角器的左端点为 A，小量角器的圆心为 B利用三角形的内角和定理求出PAB 的度数然后根据圆的知识可求出大量角器上对应不度数 【解答】解：设大量角器的左端点是 A，小量角器的圆心是 B，连接 AP，BP，则APB90，ABP 65，因而PAB906525，在大量角器中弧 PB 所对的圆心角是 50，因而 P 在大量角 器上对应的度数
18、为 50 故答案为：50 14关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个实数根，则 m 的取值范围是 m1 【分析】根据方程有实数根，得出0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 【解答】解：由题意知，44m0， m1， 故答案为：m1 15弧长为，半径为 2 的扇形的圆心角为 45 【分析】根据 l，结合题意可得出扇形圆心角的度数 【解答】解：扇形的弧长为，半径为 2， ， 解得：n45 故答案为 45 16将直径为 60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（接缝处不计） ，则每个圆锥容器的底面 半径为 10cm 【分析】根据已知得出直径为 60cm 的圆形铁皮，
19、被分成三个圆心角是 120，半径为 30 的扇形，再根 据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案 【解答】解：根据将直径为 60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接 缝处的材料损耗） ， 直径为 60cm 的圆形铁皮，被分成三个圆心角是 120，半径为 30 的扇形， 假设每个圆锥容器的底面半径为 r， 2r， 解得：r10（cm） 故答案为：10cm 17如图，在 RtABC 中，ABC90，O 的圆心在 AB 边上，且分别与 AC、BC 相切于点 D、B，若 AB6cm，AC10cm，则O 的半径为 cm 【分析】根据勾股定理可得 BC 的长，再根据切线的性
20、质可得 DCBC，再根据勾股定理即可求出O 的半径 【解答】解：如图，连接 OD， ABC90，AB6cm，AC10cm， BC8（cm） ， AC、BC 分别相切于点 D、B， CDBC8（cm） ， ADACCD2（cm） ， 在 RtAOD 中，AOABOB6OB6OD， 根据勾股定理，得 （6OD）2OD2+22， 解得，OD（cm） ， 则O 的半径为cm 故答案为： 18如图，一个半径为 1 的圆形纸片在边长为 8 的等边三角形内沿边滚动一周，在该等边三角形内，这个 圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是 【分析】如图，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积的图中阴影部分的面积，求出
21、阴影部分的面 积和即可 【解答】解：如图，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积的图中阴影部分的面积 当O 与A 相切时，设切点为 D，E，连接 OD，OE 在 RtAOD 和 RtAEO 中，OADOAE30， ADAEOD， 当O 与C 相切时，设切点为 G，则四边形 GHKD 是矩形， 同法可得 CGADPHQK， DGHK82， PQ84， S阴321+（84）23148 故答案为：3148 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 64 分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推 理过
22、程）理过程） 19 （20 分）解下列方程： （1）2x280； （2）x24x+20； （3）2x23x10； （4）3（2x+5）4x210 x0 【分析】 （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）利用公式法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）2x280， 2x28， x24， x2， x12，x22； （2）x24x+20， x24x2， x24x+42+4，即（x2）22， x2， x12+，x22； （3）2x23x10， a2，b3，c1， b24ac942（1）17， x， x1，x2； （4）3（2x+5）4x210 x0，
23、 3（2x+5）2x（2x+5）0， （2x+5） （32x）0， 2x+50 或 32x0， x1，x2 20 （6 分）一个直角三角形的斜边长为cm，两条直角边长的和是 8cm，求这两条直角边的长 【分析】设一条直角边为 xcm，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案 【解答】解：设一条直角边为 xcm，则另一条直角边为（8x）cm， 由勾股定理得，x2+（8x）2（2）2， 整理得，x28x+120， 解得，x12，x26， 当 x2 时，8x6， 当 x6 时，8x2， 则这两条直角边的长为 2cm 和 6cm 21 （6 分）在脱贫攻坚过程中，某村计划建造矩形蔬菜温室大棚带动蔬菜种植与
24、销售，如图是该村设计的 温室种植大棚，按照要求长与宽的比为 2：1，在温室内，沿前侧内墙保留 3m 的空地，其他三侧内墙各 保留 1m 的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2？ 【分析】设温室的宽为 xm，则长为 2xm，根据矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2，即可得出关于 x 的一 元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：设温室的宽为 xm，则长为 2xm， 依题意，得： （2x31） （x2）288， 整理，得：x24x1400， 解得：x114，x210（不合题意，舍去） ， 2x28 答：温室的长为 28m，宽为 14m 22 （6 分） 如
25、图， 已知 AB 是O 的弦， OB2， B30， C 是弦 AB 上的任意一点 （不与点 A、 B 重合） ， 连接 CO 并延长 CO 交O 于点 D，连接 AD （1）求弦 AB 的长； （2）当D20时，求BOD 的度数 【分析】 （1）过点 O 作 OEAB 于 E，由垂径定理和直角三角形的性质即可求得 AB 的长； （2）连接 OA，由 OAOB，OAOD，可得BAOB，DAOD，则可求得DAB 的度数，又 由圆周角定理即可求得BOD 的度数； 【解答】解： （1）过点 O 作 OEAB 于 E，如图： 则 AEBEAB，OEB90， OB2，B30， OEOB1，BEOE， AB
26、2BE2； （2）连接 OA，如图： OAOB，OAOD， BAOB，DAOD， DABBAO+DAOB+D， 又B30，D20， DAB50， BOD2DAB100 23 （6 分）已知：如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的圆，分别交 AB、BC 于点 D、E （1）求证：BECE； （2）若 BD4，BE6，求 AC 的长 【分析】 （1）连接 AE，先由圆周角定理得AEC90，则 AEBC，再由等腰三角形的性质即可得出 结论； （2）证 DEBE6，由（1）得：BC2BE12，再证BDEBCA，得，即可求出 AC 的 长 【解答】 （1）证明：连接 AE，如图 1 所示： AC
27、 为圆的直径， AEC90， AEBC， ABAC， BECE； （2）解：连接 DE，如图 2 所示： ABAC， BC， BDEC， BBDE， DEBE6， 由（1）得：BC2BE12， BB，BDEC（圆内接四边形的外角等于它的内对角） ， BDEBCA， ， 即， 解得：AC18 24 （7 分）如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径，点 C 为O 上一点，且 AC 平分 PAE，过 C 作 CDPA，垂足为 D （1）求证：CD 为O 的切线； （2）若 DC+DA6，O 的直径为 10，求 AB 的长度 【分析】（1） 连接 OC， 根据题意可证得CAD
28、+DCA90， 再根据角平分线的性质， 得DCO90， 则 CD 为O 的切线； （2）过 O 作 OFAB，则OCDCDAOFD90，得四边形 OCDF 为矩形，设 ADx，在 Rt AOF 中，由勾股定理得（5x）2+（6x）225，从而求得 x 的值，由勾股定理得出 AB 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC， OAOC， OCAOAC， AC 平分PAE， DACCAO， DACOCA， PBOC， CDPA， CDOC，CO 为O 半径， CD 为O 的切线； （2）解：过 O 作 OFAB，垂足为 F， OCDCDAOFD90， 四边形 DCOF 为矩形， OCFD，OFCD D
29、C+DA6， 设 ADx，则 OFCD6x， O 的直径为 10， DFOC5， AF5x， 在 RtAOF 中，由勾股定理得 AF2+OF2OA2 即（5x）2+（6x）225， 化简得 x211x+180， 解得 x12，x29 CD6x 大于 0，故 x9 舍去， x2， 从而 AD2，AF523， OFAB，由垂径定理知，F 为 AB 的中点， AB2AF6 25 （6 分）阅读与理解： 阅读材料：像 x+3 这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程 解法如下：移项：3x；两边平方：x196x+x2 解这个一元二次方程：x12，x25 检验所得到的两个根，只有 x2 是原无理方
30、程的根 理解应用：求无理方程 x2 【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解为 x2； 理解应用：先移项得到 x2；再两边平方：x24x+4（x+1） ，然后解这个一元二次方程， 然后进行检验确定原无理方程的根 【解答】解：阅读材料： 经检验 x2 是原方程的解； 理解应用：移项：x2； 两边平方：x24x+4（x+1） 解这个一元二次方程：x1，x23， 经检验原无理方程的根为 x3 故答案为 x2； 26 （7 分）如图，已知直线 ykx+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A（，0） 、点 B（0，5） （1）求直线 ykx+b 的函数表达式； （2）若O 与直线 AB 相切于点 M，求
31、O 的半径长及点 M 的坐标； 是否在直线 AB 上存在点 P、O 上存在点 Q，使得OPQOBM？若存在，请直接写出点 P 和点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将点 A、B 的坐标代入直线表达式即可求解； （2）由 SAOBABOMOAOB，求得 OM，在 RtABO 中，tanOAB2， 则|yM|OMsinAOM1，故 yM1，同理可得 xM2，即可求解； 由OPQOBM 知BMOPQO90，OPOB5，OQOM，再利用数形结合求解求 解 【解答】解： （1）将点 A、B 的坐标代入直线表达式得，解得， 故直线的表达式为 y2x5； （2）连接 OM，则 OMAB，
32、由点 A、B 的坐标知，OA，OB5， 在 RtABO 中，SAOBABOMOAOB，即OM5，解得 OM， 即圆的半径为， 在 RtABO 中，tanOAB2， 则 cosOABsinAOM， 则|yM|OMsinAOM1，故 yM1， 同理可得 xM2， 故点 M 的坐标为（2，1） ； 存在，理由： OPQOBM， BMOPQO90，OPOB5，OQOM， 设点 P 的坐标为（x，2x5） ， 则 x2+（2x5）225， 解得 x0（舍去）或 4， 故点 P 的坐标为（4，3） ， 设点 Q 的坐标为（m，n） ，则 m2+n2（）25， 过点 Q 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 H，交过点 P 与 x 轴的平行线于点 G， GQP+GPQ90，GQP+HQO90， GPQHQO， tanGPQtanHQO，即， 联立并解得或， 故点 P、Q 的坐标分别为（4，3） 、 （，）或（4，3） 、 （2，1）