1、2021 年中考复习二次函数压轴题分类训练年中考复习二次函数压轴题分类训练 10：与几何变换相关的综合题：与几何变换相关的综合题 1在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为 x1，过点 A（2，2） ，点 P（m，n）为抛 物线上一点 （1）求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标； （2）若向上平移抛物线，使顶点落在 x 轴上，原来的点 P 平移后的对应点为 P，若 OPOP，求点 P 的坐标； （3）若AOB 的面积等于AOP 的面积，直接写出 m 的值 2将抛物线 y12x2向右平移 2 个单位，得到如图抛物线 y2的图象，P 是抛物线 y2对称轴上的一个动点， 直线 xt 平
2、行于 y 轴，分别与直线 yx、抛物线 y2交于点 A、B若ABP 是以点 A 或点 B 为直角顶点 的等腰直角三角形，求满足条件的 t 的值 3如图，点 A（2，0） ，B（4，0） ，C（3，3）在抛物线 L：yax2+bx+c 上，连接 BC，过点 C 作 CD BC，交 y 轴于点 D （1）求抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； （2）求直线 CD 的解析式，并直接回答：把抛物线 L 向下平移多少个单位长度将经过点 D？ （3）试在 y 轴的正半轴上求一点 F？使得FDC 是等腰三角形，写出点 F 的坐标 4已知抛物线的顶点为 P，与 x 轴正半轴交于点 B，抛物线 C2与抛物线 C1
3、关于 x 轴 对称，将抛物线 C2向右平移，平移后的抛物线记为 C3，C3的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对 称时，求 C3的解析式 5如图，已知抛物线 C1：ya（x+2）25 的顶点为 P1与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 且点 B 的坐标为（1，0） ； （1）由图象可知，抛物线 C1的开口向 ，当 x2 时，y 随 x 的增大而 ； （2）求 a 的值； （3）如图，抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线 C2向右平移，平移后的抛物线记为 C3，抛 物线 C3的顶点为 M，当点 PM 关于点 O 成中心对称时，求抛物线 C3的解
4、析式 6如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，2） ，点 B 的坐标为（3，1） ，二次函数 yx2 的图象为 l1 （1）平移抛物线 l1，使平移后的抛物线过点 A，但不过点 B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写 一个即可） ； （2）平移抛物线 l1，使平移后的抛物线过 A、B 两点，记抛物线为 l2，如图 2，求抛物线 l2的函数解析 式及顶点 C 的坐标； （3）设 P 为 y 轴上一点，且 SABCSABP，求点 P 的坐标； （4）请在图 2 上用尺规作图的方式探究抛物线 l2上是否存在点 Q，使QAB 为等腰三角形？若存在， 请判断点 Q 共有几个可能的位置（保
5、留作图痕迹） ；若不存在，请说明理由 7已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示， （1）求 a、b、c 的值 （2）若将该函数绕点 B 旋转 180，求旋转后的解析式； （3）若将该函数作关于 x 轴对称，求轴对称后的函数解析式 8已知抛物线 yx2+x2 （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）将抛物线 yx2+x2 沿 y 轴向上平移，平移后与直线 yx+2 的一个交点为点 P，与 y 轴相交于点 Q，当 PQx 轴时，求抛物线平移了几个单位； （3）将抛物线 yx2+x2 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其他部分保持不变，翻折后 的图象与原图象在 x
6、 轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线 yx+b 与该新图象恰好有三 个公共点，求 b 的值 9已知在平面直角坐标系中，抛物线 l1的解析式为 yx2，将抛物线 l1平移后得到抛物线 l2，若抛物线 l2经过点（3，1） ，且对称轴为 x1 （1）求抛物线 l2的解析式； （2）求抛物线 l2的顶点坐标； （3）若将抛物线 l2沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线 l3，设抛物线 l3的顶点坐标为 B，直线 OB 于 抛物线 l3的另一个交点为 C，当 OBOC 时，求 C 点坐标 10在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数图象所在的位置如图所示： （1）请根据图象信息求该二次函数的表
7、达式； （2）将该图象（x0）的部分，沿 y 轴翻折得到新的图象，请直接写出翻折后的二次函数表达式； （3）在（2）的条件下与原有二次函数图象构成了新的图象，记为图象 G，现有一次函数 yx+b 的图 象与图象 G 有 4 个交点，请画出图象 G 的示意图并求出 b 的取值范围 11如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 坐标为（2，4） ，直线 x2 与 x 轴相交于点 B，连结 OA，二次 函数 yx2图象从点 O 沿 OA 方向平移，与直线 x2 交于点 P，顶点 M 到 A 点时停止移动 （1）求线段 OA 所在直线的函数解析式； （2）设二次函数顶点 M 的横坐标为 m，当 m 为何值
8、时，线段 PB 最短，并求出二次函数的表达式； （3）当线段 PB 最短时，二次函数的图象是否过点 Q（a，a1） ，并说理由 12已知抛物线 yx2+bx+c 的顶点为 D，且经过 A（1，0） ；B（0，2）两点， 将OAB 绕点 A 顺时针旋转 90后，点 B 落到点 C 的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经 过点 C，此时得到的新抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 D1 （1）求新抛物线的解析式； （2）若点 N 在新抛物线上，满足三角形 NBB1的面积是三角形 NDD1面积的 2 倍，求点 N 坐标 13如图，四边形 ABCO 为矩形，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y
9、 轴上，且点 B 的坐标为（1，2） ，将此矩形绕 点 O 顺时针旋转 90得矩形 DEFO，抛物线 yx2+bx+c 过 B，E 两点 （1）求此抛物线的函数关系式 （2）将矩形 ABCO 向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离 （3）将矩形 DEFO 向上平移距离 d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则 d 的值是 14如图，抛物线 yx2+5x+n 经过点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B （1）求抛物线的解析式； （2）P 是 y 轴上一点，且PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形，试求 P 点坐标 （3）将抛物线 yx2+5x+n 沿着坐标轴方向经过怎样的一次平移
10、可以使它使它经过原点 15如图，已知二次函数 yx2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点 A（5，3） ，点 C（0，8） ，顶点为点 M，过点 A 作 ABx 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC （1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标； （2）求ABC 的面积； （3）若将该二次函数图象向下平移 m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部（不包括ABC 的边界） ，求 m 的取值范围 参考答案参考答案 1解： （1）依据题意得：，解得：， 抛物线的解析式为 yx2+2x2， yx2+2x2（x+1）23， 顶点 B 的坐标为（1，3
11、） （2）设点 P 的坐标为 P（x，x2+2x2） ，根据题意可知平移后点 B 落在 x 轴上， 图象向上平移了 3 个单位，则点 P的坐标为 P（x，x2+2x+1） OPOP 且 PPx 轴， 点 P 与点 P关于 x 轴对称， x2+2x2+x2+2x+10，整理得：2x2+4x10，解得：x1+或 x1 点 P 的坐标为（1+，）或（1，） （3）如图所示：过点 B 作 BPOA 交抛物线与点 P 设直线 OA 的解析式为 ykx，将 A（2，2）代入得：2k2，解得 k1， OA 的解析式为 yx BPOA， 设 BP 的解析式为 yx+b，将点 B（1，3）代入得：1+b3，解得
12、 b2， 直线 BP 的解析式为 yx2， 将 yx2 与 yx2+2x2 联立，解得：x1 或 x0， m0 在 y 轴上取点 C（0，2） ，过点 C 作 CP 平行与 OA，交抛物线与 P和 P，则 CP 的解析式为 yx+2， 将 yx+2 代入 yx2+2x2 得： x+2x2+2x2， 整理得： x2+x40， 解得： x或 x， m或 m， 综上所述，m 的值为 0 或或 2解：抛物线 y12x2向右平移 2 个单位， 抛物线 y2的函数解析式为 y2（x2）22x28x+8， 抛物线 y2的对称轴为直线 x2， 直线 xt 与直线 yx、抛物线 y2交于点 A、B， 点 A 的
13、坐标为（t，t） ，点 B 的坐标为（t，2t28t+8） ， AB|2t28t+8t|2t29t+8|， AP|t2|， APB 是以点 A 或 B 为直角顶点的三角形， |2t29t+8|t2|， 2t29t+8t2或 2t29t+8（t2）， 整理得，t25t+50， 解得 t1，t2， 整理得，t24t+30， 解得 t11，t23， 综上所述，满足条件的 t 值为：1 或 3 或或 故答案为：1 或 3 或或 3解： （1）由抛物线与 X 轴的两个交点 A、B 的坐标， 可以由两根式设抛物线解析式为：ya（x+2） （x4） ， 然后将 C 点坐标代入得：a（3+2） （34）3，
14、解得：a， 故抛物线解析式是：y（x+2） （x4）x2+x+， 顶点 M 的坐标为（1，） ； （2）由 C、B 两点坐标利用待定系数法可以求得 CB 直线方程为：y3x+12， B（4，0） 、C（3，3） ， BC， 设点 D 坐标为（0，a） （a0） ， 则 CD， BD， CDCB， BC2+CD2BD2， a2， 点 D 坐标为（0，2） 设 CD 的解析式为 ykx+b， ， 即 CD 直线方程为：yx+2； 抛物线 yx2+x+于 y 轴交于（0，） ， 2， 把抛物线 L 向下平移个单位长度将经过点 D； （3）D（0，2） ，C（3，3） ， CD， 当 DFCD时，FD
15、C 是等腰三角形， F（0，2+） ， 当 DFCF 时，FDC 是等腰三角形， 过 F 作 FGCD 于 G， DGCD， 过 C 作 CHDF 于 H， CHOH3， DH1， CHDFGD90，CDHFDG， CDHFDG， ， ， DF5， F（0，7） ， 当 CFCD 时， CHDF， DF2DH2， OF4， F（0，4） ，综上所述，当FDC 是等腰三角形，点 F 的坐标为（0，2+）或（0，7） 4解：点 P 的坐标为（2，5） ， 令 y0，则（x+2）250， 解得 x11，x25， 所以，点 B 的坐标为（1，0） ， 点 P、M 关于点 B 对称， 点 M 的坐标为（
16、4，5） ， 抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，抛物线 C2向右平移得到 C3， 抛物线 C3的解析式为 y（x4）2+5 5解： （1）由图象可知，抛物线 C1的开口向上，当 x2 时，y 随 x 的增大而增大； 故答案为：上，增大； （2）把点 B 的坐标（1，0）代入 ya（x+2）25 得，0a（1+2）25， 解得 a； （3）设抛物线 C3：ya（xh）2+k， 抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，C3是 C2向右平移得到的， a， 点 PM 关于点 O 成中心对称，且 P（2，5） ， 点 M（2，5） ， 抛物线 C3的解析式为 y（x2）2+5 6解： （1
17、）让抛物线过点 A，即把点 A 的坐标代入计算，得到，b+c1，不过点 B，则把点 B 的坐标代 入得到 3b+c8，依此两个要求，随便找一个数即可故平移后的抛物线的一个解析式 yx2+2x3 或 yx2+4x5 等（满足条件即可） ； （2）设 l2的解析式为 yx2+bx+c，联立方程组， 解得：，则 l2的解析式为 yx2+x 点 C 的坐标为（） （3）如答图 1，过点 A、B、C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E、F， 则 AD2，CF，BE1，DE2，DF，FE 得：SABCS梯形ABEDS梯形BCFES梯形ACFD 延长 BA 交 y 轴于点 G，直线 AB 的解析式
18、为 yx，则点 G 的坐标为（0，） ，设点 P 的坐标为 （0，h） ， 当点 P 位于点 G 的下方时，连接 AP、BP， 则 SABPSBPGSAPGh，又 SABCSABP，得，点 P 的坐标为（0，） 当点 P 位于点 G 的上方时，同理，点 P 的坐标为（0，） 综上所述所求点 P 的坐标为（0，）或（0，） （4）作图痕迹如答图 2 所示 若 AB 为等腰三角形的腰，则分别以 A、B 为圆心，以 AB 长为半径画圆，交抛物线分别于 Q1、Q2； 若 AB 为等腰三角形的底边，则作 AB 的垂直平分线，交抛物线分别于 Q3、Q4， 由图可知，满足条件的点有 Q1、Q2、Q3、Q4，
19、共 4 个可能的位置 7解： （1）由于 A、B 两点关于直线 x2 对称，则 B（6，0） ，将 A、B、C 三点代入二次函数得： ，解得： （2）旋转后，开口向上，对称轴为直线 x10，A 点坐标为（14，0） ，C 点坐标为（10，4） ， 点 C 是顶点坐标， 设旋转后的解析式为：ya（x10）24， a（1410）240， 解得：a， 旋转后的解析式为； （3）若作该函数关于 x 轴对称的函数，则 xx，yy， yax2bxc0.25x2x3， 轴对称后的函数解析式为 8解： （1）令 y0，则 x2+x20，解得 x12，x21， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（2，0） ， （1，
20、0） ； （2）设抛物线向上平移了 n 个单位，则平移后的抛物线为 yx2+x2+n， 如图 1，抛物线 yx2+x2+n 与 y 轴的交点为（0，n2） ， P 的纵坐标为 n2，代入 yx+2 得，xn4， P（n4，n2） ， 抛物线 yx2+x2+n 的对称轴为 xn2， 由抛物线 yx2+x2+n 可知对称轴为 x， n2，解得 n3， 当 PQx 轴时，求抛物线平移了 3 个单位； （3）yx2+x2（x+）2， 抛物线 yx2+x2 的顶点坐标为（，） ， 抛物线 yx2+x2 图象 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为 y （x+）2+（2x
21、1） ，如图 2， 把直线 yx 向上平移，当平移后的直线 yx+b 过点 A 时，直线 yx+b 与该新图象恰好有三个公 共点，所以（2）+b0，解得 b1； 当直线 yx+b 与抛物线 y（x+）2+（2x1）相切时，直线 yx+b 与该新图象恰好有 三个公共点，即（x+）2+x+b 有相等的实数解，整理得 x2+x+b20，（）24（b 2）0，解得 b， 所以 b 的值为 1 或 9解： （1）根据题意，设抛物线 l2的解析式为：y（x1）2+k， 将点（3，1）代入函数解析式， 14+k， 解得：k3， 抛物线 l2的解析式为：y（x1）2+3； （2）抛物线 l2的顶点坐标为（1，
22、3） ； （3）设 l3的解析式为：y（x1）2+3+m， B 点坐标为（1，3+m） ， B，O，C 三点共线且 OBOC， C 点坐标为（1，3m） ， C 在 l3上， （11）2+3+m3m， m1， C 点坐标为（1，2） 10解： （1）由图象可知抛物线经过点（1，0） ， （3，0） ， （0，3） ， 设抛物线的解析式为 ya（x1） （x3） ， 代入（0，3）得，3a3， 解得 a1， y（x1） （x3） ， 即：yx24x+3 （2）yx24x+3（x2）21， 顶点为（2，1） ， 沿 y 轴翻折得到新的图象顶点为（2，1） ， 翻折后的二次函数表达式 yx2+4x+
23、3（x0） ； （3）示意图正确 解 整理得： 解得：， 当过（0，3）时，b3， 所以综上所述符合题意的 b 的取值范围是 11解： （1）设直线 OA 的解析式为 ykx， A（2，4） ， 2k4，解得 k2， 线段 OA 所在直线的函数解析式为 y2x； （2）顶点 M 的横坐标为 m，且在 OA 上移动， y2m（0m2） ， M（m，2m） ， 抛物线的解析式为 y（xm）2+2m， 当 x2 时，y（2m）2+2mm22m+4（0m2） ， PBm22m+4（m1）2+3（0m2） ， 当 m1 时，PB 最短， 当 PB 最短时，抛物线的解析式为 y（x1）2+2； （3）若二
24、次函数的图象是过点 Q（a，a1） 则方程 a1（a1）2+2 有解 即方程 a23a+40 有解， （3）241470 二次函数的图象不过点 Q 12解： （1）已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（0，2） ， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx23x+2； A（1，0） ，B（0，2） ， OA1，OB2， 可得旋转后 C 点的坐标为（3，1） ， 当 x3 时，由 yx23x+2 得 y2， 可知抛物线 yx23x+2 过点（3，2） ， 将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C 平移后的抛物线解析式为：y2x23x+1； （2）点 N 在 yx23x+1
25、上，可设 N 点坐标为（x0，x023x0+1） ， 将 yx23x+1 配方得 y（x）2， 其对称轴为直线 x 0 x0时，如图， SNBB12SNDD1， 1x021（x0） ， x01， 此时 x023x0+11， N 点的坐标为（1，1） 当 x0时，如图， 同理可得1x02（x0） ， x03， 此时 x023x0+11， 点 N 的坐标为（3，1） 当 x0 时，由图可知，N 点不存在， 综上，点 N 的坐标为（1，1）或（3，1） 13解： （1）由题意，点 E 的坐标为（2，1） ， 则，解得， 此抛物线的解析式为 yx2+x+ （2）矩形 ABCO 的中心坐标为（，1） ，
26、 1x2+x+， 解得 x或 2， 平移距离 d（） （3）yx2+x+（x）2+， 抛物线的顶点坐标为（，） ， E（2，1） ， 平移距离 d或1， 故答案为或 14解： （1）抛物线 yx2+5x+n 经过点 A（1，0） n4 yx2+5x4； （2）抛物线的解析式为 yx2+5x4， 令 x0，则 y4， B 点坐标（0，4） ，AB， 当 PAAB 时，PAAB，则有 OBOP 此时 P（0，4） 当 PBAB 时，|PB|， 故 P（0，） ；P（0，） 因此 P 点的坐标为 P（0，4） ；P（0，） ；P（0，） （3）将抛物线 yx2+5x4 沿着坐标轴方向向左平移 1 个
27、，或向左平移 4 个，或向上平移 4 个均平移 可以使它使它经过原点 15解： （1）把点 A（5，3） ，点 C（0，8）代入二次函数 yx2+bx+c，得 ， 解得， 二次函数解析式为 yx2+4x+8，配方得 y（x2）2+12 点 M 的坐标为（2，12） ； （2）由（1）知，抛物线的对称轴是 x2 A（5，3） ，ABx 轴， AB6，D（0，3） C（0，8） ， CD5， ABC 的面积ABCD6515， 即ABC 的面积15； （3）设直线 AC 解析式为 ykx+b，把点 A（5，3） ，C（0，8）代入， 解得， 直线 AC 的解析式为 yx+8，对称轴直线 x2 与ABC 两边分别交于点 E、点 F， 把 x2 代入直线 AC 解析式 yx+8， 解得 y6，则点 E 坐标为（2，6） ，点 F 坐标为（2，3） 312m6，解得 6m9