1、2021 年春中考二轮复习旋转变换综合型压轴题专题突破训练年春中考二轮复习旋转变换综合型压轴题专题突破训练 2 1如图 1，AE 是ABC 的高，AEBE，D 是 AE 上的一点，且 DECE，连接 BD，CD （1）求证：AECBED； （2）试判断 BD 与 AC 的位置关系和数量关系，并说明理由； （3）如图 2，若将图 1 中的DCE 绕点 E 旋转 度（0180）后，BD 与 AC 的位置关系和数 量关系是否发生变化？请说明理由 2已知在ABC，ABAC，D、E 是 BC 边上的点，将ABC 绕点 A 旋转，得到ABD，连结 DE （1）如图 1，当BAC120，DAE60，求证：D
2、EDE； （2）如图 2，DEDE，DAE 与BAC 有怎样的数量关系？请你写出这个关系，并说明理由； （3）如图 3，在（2）的结论下，当添加“BAC90，DEBD”条件时，判断DEC 形状， 并加以证明 3如图，在 RtABC 中，ACB90，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC，点 B 的对应点为 E， 点 A 的对应点 D 落在线段 AB 上，DE 与 BC 相交于点 F，连接 BE （）求证：DC 平分ADE； （）试判断 BE 与 AB 的位置关系，并说明理由； （）若 BEBD，求ABC 的大小 （直接写出结果即可） 4在等边ABC 中，点 O 在 BC 边上，点 D 在 A
3、C 的延长线上且 OAOD （1）如图 1，若点 O 为 BC 中点，求证：COD 的度数 （2）如图 2，若点 O 为 BC 上任意一点，求证：AD2BO+OC （3）如图 3，若点 O 为 BC 上任意一点，点 D 关于直线 BC 的对称点为点 P，连接 AP，OP，请判断 AOP 的形状，并说明理由 5在 RtABC 中，ABAC，OBOC，A90，MON，分别交直线 AB、AC 于点 M、N （1）如图 1，当 90时，求证：AMCN； （2）如图 2，当 45时，求证：BMAN+MN； （3）当 45时，旋转MON 至图 3 位置，请你直接写出线段 BM、MN、AN 之间的数量关系
4、6如图，在ABC 中，BCA90，BC8，AC6，点 D 是 AB 边上的中点，点 E 是 BC 边上的一个 动点，连接 DE，将BDE 沿 DE 翻折得到FDE （1）如图，线段 DF 与线段 BC 相交于点 G，当 BE2 时，则 ； （2）如图，当点 E 与点 C 重合时，线段 EF 与线段 AB 相交于点 P，求 DP 的长； （3）如图，连接 CD，线段 EF 与线段 CD 相交于点 M，当DFM 为直角三角形时，求 BE 的长 7 如图， 点 O 是等边ABC 内一点， AOB110， BOC， 将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 得ADC，连接 OD （1）填空：线段 O
5、D 与 OC 的数量关系为 ； （2）当 150时，试判断AOD 的形状，并说明理由； （3）直接写出当 为多少度时，AOD 为等腰三角形 8已知四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120，MBN60，MBN 绕 B 点 旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F （1）当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时（如图 1） ，试猜想线段 AE、CF、EF 之间存在的数量关系 为 （不需要证明） ； （2）当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，线段 AE、CF、EF 又
6、有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 9 （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，FAG45，请直接写出 DG，BF 与 FG 的数量关系，不需要证明 （2）如图 2，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，E，F 分别是 BC 上两点，EAF45 写出 BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明； 若将（2）中的AEF 绕点 A 旋转至如图 3 所示的位置，上述结论是否仍然成立？若不成立，直接写 出新的结论，无需证明 （3）如图 4，AEF 中，EAF45，AGEF 于 G，且 GF2，GE3，则 SAEF 10小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究 （一）猜测探
7、究 在ABC 中，ABAC，M 是平面内任意一点，将线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转与BAC 相等的角 度，得到线段 AN，连接 NB （1）如图 1，若 M 是线段 BC 上的任意一点，请直接写出NAB 与MAC 的数量关系是 ；NB 与 MC 的数量关系是 ； （2）如图 2，点 E 是 AB 延长线上一点，若 M 是CBE 内部射线 BD 上任意一点，连接 MC， （1）中结 论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由 （二）拓展应用 如图 3，在A1B1C1中，A1B17，A1B1C160，B1A1C175，P 是 B1C1上的一点，C1P， 连接A1P， 将A1P
8、绕点A1按顺时针方向旋转75， 得到线段A1Q， 连接B1Q， 则A1B1Q的面积是 11如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 DC， 点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点 （1）观察猜想：图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形 状，并说明理由； （3）拓展延伸：把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD3，AB7，请直接写出PMN 面积的最 大值 12如图，AOB120，OC 是
9、AOB 的平分线，点 E，M 分别在射线 OA，OC 上，作射线 ME，以 M 为中心，将射线 ME 逆时针旋转 60，交 OB 所在直线于点 F （1）按要求画图，并完成证明 过点 M 作 MHOA，交射线 OB 于点 H，求证：OMH 是等边三角形 （2）当点 F 落在射线 OB 上，请猜想线段 OE，OF，OM 三者之间的数量关系，并说明理由； （3）当点 F 落在射线 OB 的反向延长线上，请直接写出线段 OE，OF，OM 三者之间的数量关系 （4）点 G 是射线 OA 上一点，且满足 OG8，若 MG7，OF1.5，请直接写出 OE 的长 13如图 1，在ABC 中，ABAC，BAC
10、D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合） ，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 ，得到 AE，连接 DE，CE （1）求证：CEBD； （2）若 60，其他条件不变，如图 2请猜测线段 AC，CD，CE 之间的数量关系，并说明理由； （3）若 90，其他条件不变，如图 3，请写出ACE 的度数及线段 AD，BD，CD 之间的数量关系， 并说明理由 14 （1）如图 1，在ABC 内有一点 D，且 ADBDCD，若BAC40，则DBC （2）如图 2，在ABC 中，CABCBA45，AB5，作线段 CD3，将线段 CD 绕点 C 逆时 针旋转 90得到线段 CE，连接 DE、AD、BE求证
11、：ACDBCE； （3）在（2）的条件下，设 AD、BE 所在直线交于点 Q（如图 3） ，求ABQ 面积的最小值 15把ABC 绕着点 A 逆时针旋转 ，得到ADE （1）如图 1，当点 B 恰好在 ED 的延长线上时，若 60，求ABC 的度数； （2）如图 2，当点 C 恰好在 ED 的延长线上时，求证：CA 平分BCE； （3）如图 3，连接 CD，如果 DEDC，连接 EC 与 AB 的延长线交于点 F，直接写出F 的度数（用含 的式子表示） 参考答案参考答案 1 （1）证明：延长 BD 交 AC 于 F AEBC， AEBAEC90， 在BED 和AEC 中， ， BEDAEC（S
12、AS） ； （2）解：BDAC，BDAC，理由如下： 由（1）知，AECBED，则 BDAC，DBECAE， BED90， EBD+BDE90， BDEADF， ADF+CAE90， AFD1809090， BDAC； （3）结论不发生变化， 理由是：设 AC 与 DE 相交于点 O， BEADEC90， BEA+AEDDEC+AED， BEDAEC， 在BED 和AEC 中， ， BEDAEC（SAS） ， BDAC，BDEACE， DEC90， ACE+EOC90， EOCDOF， BDE+DOF90， DFO1809090， BDAC 2 （1）证明：ABD 绕点 A 旋转得到ACD，
13、ADAD，CADBAD， BAC120，DAE60， DAECAD+CAE， BAD+CAE， BACDAE， 12060， 60， DAEDAE， 在ADE 和ADE 中， ， ADEADE（SAS） ， DEDE； （2）解：DAEBAC 理由如下：在ADE 和ADE 中， ， ADEADE（SSS） ， DAEDAE， BAD+CAECAD+CAEDAEDAE， DAEBAC； （3）解：DEC 是等腰直角三角形； 证明：BAC90，ABAC， BACBACD45， DCE45+4590， 由（2）知，DEDE， DEBD， DEBD， ABD 绕点 A 旋转得到ACD， BDCD， D
14、ECD， 在 RtDEC 中，cosCED， CED45， CDE90CED45CED， DEC 是等腰直角三角形 3 （）证明：DCE 是由ACB 旋转得到， CACD，ACDE， ACDA， CDACDE， CD 平分ADE （）解：结论：BEAB 由旋转的性质可知，ACDBCE， CACD，CBCE， CADCDACBECEB， ABC+CAB+ACD+DCB180， ABC+CBE+DCB+BCE180， DCE+DBE180， DCE90， DBE90， BEAB （）如图，设 BC 交 DE 于 O连接 AO，过点 B 作 BHCD 交 CD 的延长线于 H，作 BTCE 于 T，
15、 HBTCHCT90， HBTDBE90， DBHEBT， BDBE，HBTE90 BHDBTE（AAS） ， BHBT， BHCH，BTCE， DCODEB45， ACB90， ACDOCD， CDCD，ADCODC， ACDOCD（ASA） ， ACOC， AOCCAO45， ADO135， CADADC67.5， ABC22.5， AOCOAB+ABO， OABABO22.5 4解： （1）ABC 为等边三角形， BAC60， O 为 BC 中点， ， 且 AOBC，AOC90， OAOD， AOD 中，DCAO30， AOD180DCAO120， CODAODAOC30； （2）如图
16、1，过 O 作 OEAB，OE 交 AD 于 E， OEAB EOCABC60CEOCAB60， COE 为等边三角形， OEOCCEAEO180CEO120DCO180ACB120， 又OAOD， EAOCDO， 在AOE 和COD 中， ， AOEDOC（AAS） ， CDEA， EAACCE，BOBCCO， EABO， BOCD， 又ADAC+CD，ABBC， ADAB+BOBC+BOBO+CO+BO2BO+CO； （3）AOP 为等边三角形 证明：如图 2，连接 PC，PD，延长 OC 交 PD 于 F， P、D 关于 OC 对称， PFDF，PFODFO90， 在OPE 与OPF 中
17、， ， OPEOPF（SAS） ， POFDOF，OPOD， AOP 为等腰三角形， 过 O 作 OEAB，OE 交 AD 于 E， 由（2）得AOEDOCAOEDOC， AOEPOF， AOE+POEPOF+POE， 即AOPCOE60， AOP 是等边三角形 5证明： （1）如图 1，连接 OA， ABAC，BAC90，OBOC， AOBC，OAOBOC，ABOACOBAOCAO45， MONAOC90， AOMCON，且 AOCO，BAOACO45， AOMCON（ASA） AMCN； （2）证明：如图 2，在 BA 上截取 BGAN，连接 GO，AO， ABAC，BAC90，OBOC，
18、 AOBC，OAOBOC，ABOACOBAOCAO45， BGAN，ABONAO45，AOBO， BGOAON（SAS） ， OGON，BOGAON， MON45AOM+AON， AOM+BOG45， AOB90， MOGMON45， MOMO，GONO， GMONMO（SAS） ， GMMN， BMBG+GMAN+MN； （3）MNAN+BM， 理由如下：如图 3，过点 O 作 OGON，连接 AO， ABAC，BAC90，OBOC， AOBC，OAOBOC，ABOACOBAOCAO45， GBONAO135， MOGO， NOG90AOB， BOGAON，且 AOBO，NAOGBO， NA
19、OGBO（ASA） ， ANGB，GOON， MOMO，MONGOM45，GONO， MONMOG（SAS） ， MNMG， MGMB+BG， MNAN+BM 6解： （1）连接 CD， 在ABC 中，BCA90，BC8，AC6， AB10， 点 D 是 AB 边上的中点， CDBDAB5， DCBB， 将BDE 沿 DE 翻折得到FDE， FB，EFEB2， CGDFGE， CDGFEG， ， 故答案为：； （2）PCDBCD，BCDB， PCDB， CPDBPC， CPDBPC， ， 设 DP5k，CP8k， CP2PDPB， 6425k（5k+5） ， k， PD5k， （3）如图a，当
20、FMD90时， FB，FMDACB90， FDMBAC， ， ， DM3， CMCDDM2， ECMB， CMEACB90， CEMBAC， ， ， CE， BE； 如图b， 当FDM90时， FBCD，FMDCME， CEMFDM90， FEDBED45， 作 DHBC 于 H， 则BDHBAC， ， ， DH3，BH4， EHDH3， BE3+47 综上所述，BE或 7 7解： （1）将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC， COCD，OCD60， COD 是等边三角形， OCOD， 故答案为：OCOD； （2）解：当 150时，AOD 是直角三角形 理由是：将BOC 绕点 C
21、 按顺时针方向旋转 60得ADC， BOCADC，OCD60， ADCBOC150，OCOD， COD 是等边三角形， ODC60， ADOADCODC90， 150，AOB110，COD60， AOD360AOBCOD3601501106040， AOD 不是等腰直角三角形，即AOD 是直角三角形； （3）AOC360110250， AODAOC60190， ADCBOC， ODA60， AOD 为等腰三角形， 当 AOOD 时，AOD+2ODA180， 即 190+2（60）180，解得 110， 当 AOAD 时，AODODA，即 19060，解得 125， 当 ODAD 时，2（190
22、）+60180，解得 140 所以当 为 110、125、140时，AOD 是等腰三角形 综上所述：当 的度数为 125或 110或 140时，AOD 是等腰三角形 8解： （1）AE+CFEF， 理由如下：延长 DC 至点 K，使 CKAE，连接 BK， 在BAE 与BCK 中， ， BAEBCK（SAS） ， BEBK，ABEKBC， FBE60，ABC120， FBC+ABE60， FBC+KBC60， KBFFBE60， 在KBF 与EBF 中， ， KBFEBF（SAS） ， KFEF， AE+CFKC+CFKFEF； （2）解：AECFEF， 理由如下：延长 DC 至 G，使 CG
23、AE， 由（1）可知，BAEBCG（SAS） ， BEBG，ABEGBC， GBFGBCFBCABEFBC120+FBC60FBC60， GBFEBF， BGBE，GBFEBF，BFBF， GBFEBF， EFGF， AECFCGCFGFEF 9解： （1）结论：FGBF+DG 理由如下： 如图 1 中，在正方形 ABCD 中，ABAD，BADADCB90， 把ABF 绕点 A 逆时针旋转 90得到ADE， ADGADE90， 点 G、D、E 共线， EAG904545FAG， 在AGF 和AGE 中， ， AGFAGE（SAS） ， FGGEDE+DGBF+DG （2）BE、CF、EF 之间
24、的数量关系为：EF2BE2+FC2 证明如下： BAC90，ABAC， 将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90得ACG，连 FG，如图 2， AGAE，CGBE，ACGB，EAG90， FCGACB+ACGACB+B90， FG2FC2+CG2BE2+FC2； 又EAF45，而EAG90， GAF904545， 而 AGAE，AF 公共， AGFAEF（SAS） ， FGEF， EF2BE2+FC2 如图 3，将AEB 沿直线 AE 折叠，得AED，连 DF， ADEABE， ADAB，DEEB，DAEBAE，ADEABE45， 又ABAC， ADAC， DAEDAF+EAFDAF+45， BA
25、EBACEAC90（EAFFAC）45+FAC， DAFFAC， 在AFD 和AFC 中， ， ADFACF（SAS） ， FCDF，ADFACFBAC+B135， EDFADFADE1354590， 在 RtEDF 中，DE2+FD2EF2， 即 EF2BE2+FC2 （3）证明：如图 4，将AEG 沿 AE 折叠得到AEB，将AFG 沿 AF 折叠得到AFD，延长 BE 和 DF 相交于点 C ADAGAB，DAGF90，BAGE90，DAFGAF，BAEGAE， EAF45FAG+GAE， DAF+BAE45， DAB45+4590， 即BDDAB90，ADAB， 四边形 ABCD 是正
26、方形 由折叠知，RtABERtAGE，RtADFRtAGF， BEEG3，DFFG2， EF5， 设 AGx，则 ABBCCDAGx，CECBBEx3，CFx2 CE2+CF2EF2， （x3）2+（x2）252 解得 x16，x21（舍去） AG6 AEF 的面积EFAG5615 故答案为：15 10解： （一） （1）结论：NABMAC，BNMC 理由：如图 1 中， MANCAB， NAB+BAMBAM+MAC， NABMAC， ABAC，ANAM， NABMAC（SAS） ， BNCM 故答案为：NABMAC，BNCM （2）如图 2 中， （1）中结论仍然成立 理由：MANCAB，
27、NAB+BAMBAM+MAC， NABMAC， ABAC，ANAM， NABMAC（SAS） ， BNCM （二）如图 3 中， 在 A1C1上截取 A1NA1B1，连接 PN，作 NHB1C1于 H，作 A1MB1C1于 M C1A1B1PA1Q， QA1B1PA1N， A1QA1P，A1B1AN， QA1B1PA1N（SAS） ， B1QPN， 在 RtA1B1M 中，A1B1M60，A1B17， B1M， A1M， MA1C1B1A1C1B1A1M753045， A1C1A1M， NC1A1C1A1N7， 在 RtNHC1，C145， NHNC1， （）， M， ， 故答案为： 11解：
28、 （1）点 P，N 是 BC，CD 的中点， PNBD，PNBD， 点 P，M 是 CD，DE 的中点， PMCE，PMCE， ABAC，ADAE， BDCE， PMPN， PNBD， DPNADC， PMCE， DPMDCA， BAC90， ADC+ACD90， MPNDPM+DPNDCA+ADC90， PMPN， 故答案为：PMPN，PMPN； （2）PMN 是等腰直角三角形 理由如下： 由旋转知，BADCAE， ABAC，ADAE， ABDACE（SAS） ， ABDACE，BDCE， 利用三角形的中位线得，PNBD，PMCE， PMPN， PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM
29、CE， DPMDCE， 同（1）的方法得，PNBD， PNCDBC， DPNDCB+PNCDCB+DBC， MPNDPM+DPNDCE+DCB+DBC BCE+DBCACB+ACE+DBC ACB+ABD+DBCACB+ABC， BAC90， ACB+ABC90， MPN90， PMN 是等腰直角三角形； （3）由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，PMPNBD， PM 最大时，PMN 面积最大， 点 D 在 BA 的延长线上， BDAB+AD10， PM5， SPMN最大PM2 12 （1）证明：如图 1 中，过点 M 作 MHOA，交射线 OB 于点 H OC 是AOB 的平分线， AOC
30、COBAOB， MHOA， HMOAOC60， HMOCOBMHO60， OMH 是等边三角形 （2）结论：OMOF+OE OMH 是等边三角形， OMMHOH， 以 M 为中心，将射线 ME 逆时针旋转 60， EMFHMO60， EMFOMFHMOOMF， 即EMOHMF， 又MOEMHF60， EMOFMH（ASA） ， OEFH， OMOHOF+FH， OMOF+OE （3）结论：OMOEOF 理由：如图 2 中，过点 M 作 MHOA，交射线 OB 于点 H OMH 是等边三角形， OMMHOH， 以 M 为中心，将射线 ME 逆时针旋转 60， EMFHMO60， EMF+OMFH
31、MO+OMF， 即EMOHMF， 又MOEMHF60， EMOFMH（ASA） ， OEFH， OMOHFHOF， OMOEOF （4）如图 3 中，在射线 OA 上取一点 J，使得 OMOJ，连接 MJ，MG，过点 M 作 MKOA 于 K OMOJ，MOJ60， MOJ 是等边三角形，设 OMOJMJx MKOJ， JKKOx，MKx， 在 RtMGK 中，MK2+GK2MG2， （x）2+（8x）272， 解得 x5 或 3， 当 x5 时，如图 3 中，当点 F 在射线 OB 上时，OE+OFOM5， OE51.53.5， 当点 F 在思想 OB 栋反向延长线上时，OEOFOM，可得
32、OE5+1.56.5 如图 4 中，当 x3 时，同法可得 OE1.5 或 4.5 综上所述，满足条件的 OE 的值为 3.5 或 6.5 或 1.5 或 4.5 13证明： （1）将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 ， ADAE，DAE， BACDAE， BADCAE， 又ABAC，ADAE， BADCAE（SAS） BDCE； （2）ACCD+CE， 理由如下： ABAC，BAC60 ABC 是等边三角形， ACBC， 由（1）可知：BDCE， BCBD+CDCE+CD， ACCD+CE； （3）ACE45，BD2+CD22AD2， 理由如下：ABAC，BAC90， ABCACB45， B
33、ADCAE ACEABC45， BCEACE+ACB90， CE2+CD2DE2， ADAE，DAE90， DE22AD2， CE2+CD22AD2， BD2+CD22AD2 14解： （1）ADBDCD， ABDBAD，ACDCAD， ABD+ACDBAD+CADBAC40， CBD+BCDABD+ACDBAD+CAD180（ABD+ACD+BAD+CAD） 100， DBDC， DBC50， 故答案为：50； （2）CABCBA45， ACB90，ACBC， 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90得到线段 CE， DCEACB90，CDCE， ACDBCE， 在ACD 和BCE 中， ，
34、 ACDBCE（SAS） ； （3）ACDBCE， CADCBE， CBE+ABC+BAQCAD+ABC+BAQ180ACB90， ， AQBQ25， 12.5， 当 AQ+BQ 取最小值时，SABQ的值最小， 若 CDAD 时，如图 1， 此时，CDQDQBDCE90， 四边形 CDQE 为矩形， CDCE， 四边形 CDQE 为正方形， DQEQ， CABCBA45，AB5， BCACAB5， CDCE3， ADBE， AQ+BQAD+DQ+AQAD+BE8， 若 AD 与 CD 不垂直时，如图 2， 过 C 作 CFAQ 于点 F，作 CGBQ 于 G， AQG90， 四边形 CFQG
35、是矩形， FCG90DCE， DCFECG， CDCE，CFDCGE90， CDFCEG（AAS） ， CFCG， 四边形 CFQG 为正方形， QFQG， AQ+BQAF+FQ+AQAF+QG+BQAF+BG， AFBG， CGCE，CE3， AFBG4， AQ+BQ8， 由上可知，当 CDAD 时，AQ+BQ 的最小值为 8 SABQ12.5， 当 AQ+BQ8 时，SABQ的值最小为 3.5， 即ABQ 面积的最小值为 3.5 15解： （1）60，ABCADE， ADAB，ABCADE ABDDAB60 ADEDAB+ABD120； （2）ACAE，EAC， EACE ABCADE， ACBE ACBACE CA 平分BCE； （3）把ABC 绕着点 A 逆时针旋转 ，得到ADE， AEAC，CAE， ACEAEC（180）90， DECD，ADAD， ADEADC（SSS） ， EADCAD， BADCAE， BAC， FACECAF9090