1、2021 年春中考二轮复习图形的变换综合型压轴题专题突破训练年春中考二轮复习图形的变换综合型压轴题专题突破训练 1在ABC 中，C90，AC2，BC2，点 D 为边 AC 的中点（如图） ，点 P、Q 分别是射线 BC、 BA 上的动点，且 BQBP，联结 PQ、QD、DP （1）求证：PQAB； （2）如果点 P 在线段 BC 上，当PQD 是直角三角形时，求 BP 的长； （3）将PQD 沿直线 QP 翻折，点 D 的对应点为点 D，如果点 D位于ABC 内，请直接写出 BP 的取 值范围 2在ABC 与CDE 中，ACBCDE90，ACBC2，CDED2，连接 AE，BE，点 F 为 A
2、E 的中点，连接 DF，CDE 绕着点 C 旋转 （1）如图 1，当点 D 落在 AC 的延长线上时，DF 与 BE 的数量关系是： ； （2）如图 2，当CDE 旋转到点 D 落在 BC 的延长线上时，DF 与 BE 是否仍具有（1）中的数量关系， 如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由； （3）旋转过程中，若当BCD105时，直接写出 DF2的值 3如图 1，在 RtABC 中，C90，ACBC2，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，ADDEAB， 连接 DE将ADE 绕点 A 顺时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现 当 0时， ； 当 180时， ； （2）拓展研究 试判断：当
3、 0360时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明； （3）问题解决 在旋转过程中，BE 的最大值为 4如图 1，已知ABC 中，ACB90，ACBC6，点 D 在 AB 边的延长线上，且 CDAB （）求 BD 的长度； （）如图 2，将ACD 绕点 C 逆时针旋转 （0360）得到ACD 若 30，AD与 CD 相交于点 E，求 DE 的长度； 连接 AD、BD，若旋转过程中 ADBD时，求满足条件的 的度数 （）如图 3，将ACD 绕点 C 逆时针旋转 （0360）得到ACD，若点 M 为 AC 的中点， 点 N 为线段 AD上任意一点，直接写出旋转过程中线段 MN 长度的取值范
4、围 5在ABC 中，ABAC，BAC，过点 A 作直线 l 平行于 BC，点 D 是直线 l 上一动点，连接 CD，射 线 DC 绕点 D 顺时针旋转 交直线 AB 于点 E （1）如图 1，若 60，当点 E 在线段 AB 上时，请直接写出线段 AC，AD，AE 之间的数量关系，不 用证明； （2）如图 2，若 60，当点 E 在线段 BA 的延长线上时， （1）中的结论是否成立？若成立，请证明； 若不成立，请写出正确结论，并证明 （3）如图 3，若 90，BC6，AD，请直接写出 AE 的长 6如图 1，在ABC 中，AEBC 于点 E，AEBE，D 是 AE 上的一点，且 DECE，连接
5、 BD，CD （1）试判断 BD 与 AC 的位置关系是： ；数量关系是： ； （2）如图 2，若将DCE 绕点 E 旋转一定的角度后，试判断 BD 与 AC 的位置关系和数量关系是否发生 变化，并说明理由； （3）如图 3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变 试猜想 BD 与 AC 的数量关系为： ； 你能求出 BD 与 AC 的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由 7综合与实践 在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段 长度的有关问题 动手操作： 第一步：在图 1 中，测得三角形纸片 ABC
6、中，ACB60，BCAC 第二步：将图 1 中的ABC 纸片折叠，使点 B 落在边 AC 上的点 E 处，然后展平，得到折痕 CD，连结 BE、DE，如图 2 解决问题： 请根据图 2 完成下列问题： （1）BD DE（请正确选择“” 、 “” 、 “”中的一个） ； （2）试判断BCE 的形状，并给予证明 拓展探究： （3） 将图 2 中的纸片BCE 剪下来， 在BCE 内选一点 F， 连结 BF、 EF， BFEF， BFE90， 如图 3 将EFB 绕点 E 顺时针旋转 60得到EMN，连结 BM，请你直接写出线段 BM 的长； 将中的EMN 绕点 E 顺时针旋转 360的过程中，请你直
7、接写出线段 BM 长的取值范围 8如图，在ABC 中，ACBC，ACB，点 D、E 在 AB 边上（点 D 在点 E 的右侧） ，且ACB2 DCE将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 角得到线段 CF，连结 AF、EF 【感知】如图，当 60时，则CBDCAF，CDECFE （不需要证明） 【探究】如图，当 90时， （1）EAF 的度数为 （2）线段 AE、ED、DB 之间什么数量关系？请说明理由 【应用】 （3）如图，当 120，BCD15时，请直接写出BCD、DCE、ACE 这三个三 角形的面积比 9已知，ABC 中，ABAC，D 是 BC 边的中点，连接 AD，点 E 为线段 AD 上
8、一动点，线段 EC 绕点 E 顺时针旋转得到线段 EF，且CEFCAB，连接 FG，FD （1）如图 1，当BAC60时，请直接写出的值； （2）如图 2，当BAC90时， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写 出正确的结论，并说明理由； （3）如图 3，若 AB13，BC10，点 E 在线段 AD 上运动，当 AE 的值为 时，的值最小， 最小值是 10综合与实践 问题情境 从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图 形具有的普遍规律 如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，AD 为 BC 边上的中线，E 为 A
9、D 上一点，将AEC 以点 C 为旋转中心，逆时针旋转 90得到BFC，AD 的延长线交线段 BF 于点 P探究线段 EP，FP，BP 之 间的数量关系 数学思考： （1）请你在图 1 中证明 APBF； 特例探究： （2）如图 2，当 CE 垂直于 AD 时，求证：EP+FP2BP； 类比再探 （3）请判断（2）的结论在图 1 中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 11已知：ABC 和CDE 中，ACBC，DECE，DECACB90，将CED 绕点 C 进行旋转， 连接 BE，在 BE 的延长线上截取 EFBE，连接 AF、DF、AD 发现问题（1）如图 1，当点 D 在 A
10、C 边上时， ；FAD ； 探究猜想（2）如图 2，当点 D 不在ABC 的边上时， （1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如 果不成立，请写出新的结论，并说明理由 拓展应用（3）若 AC13，CE5，将CED 绕点 C 进行旋转，当 DFCE 时，直接写出 AF 的值 12已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作ACD 和BCE，且 CACD，CB CE，ACDBCE，直线 AE 与 BD 交于点 F， （1）如图 1，证明：ACEDCB； （2）如图 1，若ACD60，则AFB ； 如图 2，若ACD，则AFB ； （用含 的式子表示） （3） 将
11、图 2 中的ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度 （交点 F 至少在 BD、 AE 中的一条线段上） ， 如图 3， 试探究AFB 与 的数量关系，并予以证明 13如图 1，ABC 与ADE 均为等腰直角三角形，BACDAE90，CE 的延长线与直线 BD 交点 P，现将ADE 绕点 A 旋转 （1）若点 D 与点 P 重合时（如图 2） ，AC，AD，求 BP 的长； （2）若点 E 与点 P 重合时（如图 3） ，ACAD，猜想 BC 与 BP 的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）若 ACDE4，在将ADE 绕点 A 旋转的过程中，请直接写出线段 BP 长的最大值和最小值 14问题解决
12、 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点 P 是等边ABC 内的一点，PA6，PB8，PC 10你能求出APB 的度数和等边ABC 的面积吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BPA，连接 PP，可得BPP是等边三角形，根 据勾股定理逆定理可得APP 是直角三角形，从而使问题得到解决 （1） 结合小明的思路完成填空： PP ， APP ， APB ， SABC （2）类比探究 如图， 若点 P 是正方形 ABCD 内一点， PA1， PB2， PC3， 求APB 的度数和正方形的面积 如图，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，
13、PA3，PB1，PC，求APB 的度数和正方形的 面积 15已知ACD90，ACDC，MN 是过点 A 的直线，过点 D 作 DBMN 于 B，连接 CB 问题发现： 如图， 过点C作CECB， 与MN交于点E， 则容易发现BD与EA之间的数量关系为 ， BD，AB，CB 之间的数量关系为 拓展探究：当 MN 绕点 A 旋转到如图的位置时，试猜想线段 BD，AB，CB 之间的数量关系，并证明； 解决问题：当 MN 绕点 A 旋转到如图的位置时（点 C，D 在直线 MN 的两侧） ，若此时BCD30， BD2，则 CB 参考答案参考答案 1解： （1）在 RtABC 中，AC2，BC2， 根据勾
14、股定理得，AB4， ， BQBP， ， ， QBPCBA， BPQBAC， BQPACB90， PQAB； （2）点 D 是 AC 的中点， ADCDAC1， 由（1）知，PQAB， AQP90， PQD90， PQD 是直角三角形， 当DPQ90时，如图 1， 在 RtABC 中，AC2，AB4， sinABC， ABC30， QPB90ABC60， DPC90BPQ30， CP， BPBCCP， 当PDQ90时， ADQ+PDC90， 如图 1， 过 Q 作 QEAC 于 E， DEQ90ACB， ADQ+DQE90， DQEPDC， EQDCDP， ， ， 设 BPt，则 CPBCBP2
15、t， 在 RtBQP 中，BQBPcos30t， AQABBQ4t， 在 RtAEQ 中，QEAQcos30（4t） 2t，AEAQ2t， DEADAEt1， ， t或 t（大于 2，舍去） BP； 即 BP或； （3）； 理由：如图 3， 当点 D恰好落在边 BC 上时， 由折叠知，PDPD，PQDD， 由（1）知，PQAB， DDAB， DDCABC30， CDCD， 设 BPm，则 CPBCBP2m， DPDPCDCPm， 在 RtCDP 中，根据勾股定理得，DP2CP2+CD2， （m）2（2m）2+1， m， 当点 D落在 D 时，即 PQ 过点 D， 在 RtCDP中，P90DDP
16、30， CP， BPBC+CP， 综上： 2解： （1）当点 D 落在 AC 的延长线上时，DFBE CDED，ACBCDE90， DCE45，BCD90， BCE90+45135， ACE360ACBBCE135， ACEBCE， 又ACBC，CECE， ACEBCE（SAS） ， AEBE， F 为 AE 的中点，ADE90， DFAE， DFBE 故答案为：DFBE （2）当CDE 旋转到点 D 落在 BC 的延长线上时，DF 与 BE 仍具有（1）中的数量关系 证明：延长 ED 到 G，使 DGED，连接 AG，CG， F 为 AE 的中点， DF 是EAG 的中位线， DFAG， C
17、DE90，CDED， DCE45， CDCD，DGED，CDECDG90， CDECDG（SAS） ， CECG，DCEDCG45， ECG90， CBCA，CECG，BCEACG90+ACE， CBECAG（SAS） ， BEAG， DFBE （3）如图 3，当BCD105时，且点 D 位于 BC 右侧， DCE45， BCEBCD+DCE105+45150， 过点 E 作 EMBC 交 BC 的延长线于点 M， MCE30， CDDE2， CE2， MECE，CM， BMBC+CM2+3， BE2BM2+ME2+56， 由（1） （2）可知 DFBE， DF25614 如图 4，当BCD1
18、05时，且点 D 位于 BC 左侧， 过点 B 作 BNCE 于点 N， BCD105，DCE45， BCE60， BC2， CNBC，BN3， ENCECN2， BE2EN2+BN2+328， DF2BE282 综合以上可得 DF2的值为 14 或 82 3解： （1）在 RtABC 中，ACBC， ABAC， ACBC， AB， ADDE， DEAA， DEAB， DEBC， ， ， 故答案为：； 如图， ACBC， BACB， BACDAE， DAEB， ADDE， DEADAE， DEAB， DEBC， ， ， ， 故答案为：； （2）当 0360时，的大小没有变化； 证明：在 RtA
19、BC 中， ACB90，ACBC， ，CAB45， 同理，DAE45， ， CABDAE， CADBAE， ADCAEB， ； （3）如答图，当点 E 在 BA 的延长线上时，BE 最大，其最大值为 AB+AE， 在 RtABC 中，ACBC2， ABAC24， ADDEAB2， 由（1）知，DEBC， ADEC90， AEAD2， BE最大AB+AE4+2， 故答案为：4+2 4解： （）如图 1，过点 C 作 CHAB 于 H， ACB90，ACBC6，CHAB， ABCD6，CHBHAB3，CABCBA45， DH3， BDDHBH33； （）如图 2，过点 E 作 EFCD于 F， 将
20、ACD 绕点 C 逆时针旋转 （0360）得到ACD， CDCD6，DCD30CDACDA， CEDE， 又EFCD， CFDF3，EF，CE2EF2， DEDCCE62； 如图 21， ABC45，ADC30， BCD15， ACD105， 将ACD 绕点 C 逆时针旋转 （0360）得到ACD， ACAC，CDCD，ACADCD， CBCA， 又ADBD， ACDBCD（SSS） ， ACDBCD， 10515+， 45； 如图 22， 同理可证：ACDBCD， ACDBCD， 10536015， 225， 综上所述：满足条件的 的度数为 45或 225； （）如图 3，当 ADAC 时，
21、N 是 AC 与 AD的交点时，MN 的长度最小， A45，ADAC， ANCA45， CNAN3， 点 M 为 AC 的中点， CMAC3， MN 的最小值NCCM33； 如图 4，当点 A，点 C，点 D共线，且点 N 与点 D重合时，MN 有最大值， 此时 MNCM+CN6+3， 线段 MN 的取值范围是 33MN6+3 5解： （1）ACAE+AD 证明：连接 CE， 射线 DC 绕点 D 顺时针旋转 交直线 AB 于点 E，60， DCDE，CDE60， CDE 为等边三角形， CDCE，ECD60， ABAC，BAC60， ABC 为等边三角形， CBCAAB，ACB60， BCE
22、ACD， BCEACD（SAS） ， BEAD， ABAE+BEAE+AD， ACAE+AD； （2）不成立，ADAC+AE 理由如下：在 AC 的延长线上取点 F，使 AFAD，连接 DF， 当 60时，BACEDC60， ABAC， ABC 是等边三角形， ABACBCBCA60， lBC， DACBCA60，EADABC60， AFAD， ADF 是等边三角形， ADFAFD60，ADFDAF， EDCADF60， EDCADCADFADC， 即EDACDF， ADFD，EADAFD60， EADCFD（ASA） ， AECF， ADAFAC+CFAC+AE； （3）AE 的长为或 当点
23、 E 在线段 AB 上，过点 D 作直线 l 的垂线，交 AC 于点 F，如图 3 所示 ABC 中，BAC90，ACAB， ACBB45 直线 lBC， DAFACB45 FD直线 l， DAFDFA45 ADFD EDCADF90， ADEFDC 射线 DC 绕点 D 顺时针旋转 交直线 AB 于点 E， DCDE， ADEFDC（SAS） ， AECF AD， AF2， BC6， ACAB3， AEACAF32 当点 E 在线段 AB 的延长线上时，如图 4 所示 过点 D 作直线 l 的垂线，交 AB 于点 M， 同理可证得ADCMDE（SAS） ， ACEM3， AD， AM2， E
24、M+AM3+2 综合以上可得 AE 的长为 3+2 或 32 6解： （1）结论：BDAC，BDAC 理由：延长 BD 交 AC 于 F AECB， AECBED90 在AEC 和BED 中， ， AECBED（SAS） ， ACBD，CAEEBD， AEC90， ACB+CAE90， CBF+ACB90， BFC90， ACBD， 故答案为：BDAC，BDAC （2）如图 2 中，不发生变化，设 DE 与 AC 交于点 O，BD 与 AC 交于点 F 理由是：BEADEC90， BEA+AEDDEC+AED， BEDAEC， 在BED 和AEC 中， ， BEDAEC（SAS） ， BDAC
25、，BDEACE， DEC90， ACE+EOC90， EOCDOF， BDE+DOF90， DFO1809090， BDAC； （3）如图 3 中，结论：BDAC， 理由是：ABE 和DEC 是等边三角形， AEBE，DEEC，BEADEC60， BEA+AEDDEC+AED， BEDAEC， 在BED 和AEC 中， ， BEDAEC（SAS） ， BDAC， 故答案为：BDAC 能；设 BD 与 AC 交于点 F， 由知，BEDAEC， BDEACE， DFC180（BDE+EDC+DCF） 180（ACE+EDC+DCF） 180（60+60） 60， 即 BD 与 AC 的夹角中的锐角
26、的度数为 60 7解： （1）将ABC 纸片折叠， BDDE， 故答案为：； （2）ABC 是等边三角形， 理由如下：将ABC 纸片折叠， BCCE， 又ACB60， BCE 是等边三角形； （3）如图 3，连接 BN，延长 BM 交 EN 与 H， BFEF，BFE90， BEEF2， 将EFB 绕点 E 顺时针旋转 60得到EMN， ENEB2，NEB60，NMBFEMEF， NEB 是等边三角形， BNBE， 又MNME， BM 是 NE 的垂直平分线， BHNE，NHHE1， BH， MENMNE45， HEMHME45， HEHM1， MB1； 将中的EMN 绕点 E 顺时针旋转 3
27、60， 点 M 在以 E 为圆心，EF 为半径的圆上， 当点 M 在线段 BE 上时，BM 有最小值为 BEEM2， 当点 M 在线段 BE 的延长线上时，BM 有最大值为 BE+EM2+ 2BM2+ 8解： （1）在ABC 中，ACBC，ACB，90，ACB2DCE， ABC 是等腰直角三角形，ACB90， ACBC，BACB45， 由旋转知，CDCF，DCF90， ACFBCD， 在ACF 和BCD 中， ， ACFBCD（SAS） ， CAFB45，AFDB， EAFBAC+CAF90； 故答案为：90； （2）AE2+DB2DE2，理由如下： 90，ACB2DCE， DCF90，DCE
28、45， FCE904545， DCEFCE， 在DCE 和FCE 中， ， DCEFCE（SAS） ， DEEF， 在 RtAEF 中，AE2+AF2EF2， 又AFDB， AE2+DB2DE2 （3）如图 3， 将BCD 绕点 C 顺时针旋转 120，连接 AF，EF， ABC 是等腰三角形，ACB120， ACBC，BACB30， 由旋转知，CDCF，DCF120， ACFBCD， 在ACF 和BCD 中， ， ACFBCD（SAS） ， CAFB30，AFDB，AFCBDC180BBCD135， EAFBAC+CAF60， DCF120，DCE60， FCE1206060， DCEFCE
29、， 在DCE 和FCE 中， ， DCEFCE（SAS） ， DEEF，CFEADEB+BCD45， AFE90， 在 RtAEF 中，EAF60， AEF30， EFAF，AE2AF， DEEFAF，BDAF SBCD：SCDE：SACEBD：DE：AEAF：AF：2AF1：2 9解： （1）连接 BF， ABAC，BAC60， ABC 为等边三角形， 线段 CE 绕点 E 顺时针旋转 60得到线段 EF， ECEF，CEF60， EFC 都是等边三角形， ACBC，ECCF，ACBECF60， ACEBCF， ACEBCF（SAS） ， AEBF， 1 （2）不成立，结论： 证明：连接 B
30、F， E 是 AD 的中点， EMBC， AEMADC， ABAC，D 是 BC 中点， ADBC， ADC90， AEM90， 当BAMCEF90时， ABC 和CEF 为等腰直角三角形， ACBECF45， ACEBCF， ， ACEBCF， CBFCAE， （3）连接 BF，取 AC 的中点 M，连接 EM， 同（2）可知 ECEF，BACFEC， ， BACFEC， ACBBCF， ACEBCF， ACEBCF， D 为 BC 的中点，M 为 AC 的中点， ， ， E 为 AD 中点，M 为 AC 的中点， EMDC， ABAC，D 为 BC 的中点， ADBC， AEEM， sin
31、CAE， sinCAE， AB13，BC10， BDDC5， AD12， AE6， sinCAE， ， 故答案为： （3）6； 10证明： （1）如图 1，将AEC 以点 C 为旋转中心，逆时针旋转 90得到BFC， AECBFC， CAECBF， ACB90， CAE+EAB+CBA90， CBF+EAB+CBA90， APB90， APBF； （2）如图 2，CEAD， AEC90CEP， 将AEC 以点 C 为旋转中心，逆时针旋转 90得到BFC， AECBFC，ECF90， AECBFC90，CECF， 四边形 CEPF 是正方形， EPPFCECF，EPF90， AD 为 BC 边上
32、的中线， CDBD， 又CDEBDP，CEDBPD90， CDEBDP（AAS） ， CEBP， EPPFBP， EP+FP2BP； （3）结论仍然成立， 理由如下：如图 1，过点 C 作 CNAD 于 N，作 CMBF，交 BF 的延长线于 M， 将AEC 以点 C 为旋转中心，逆时针旋转 90得到BFC， CAECBF，CECF， ACB90， CAE+EAB+CBA90， CBF+EAB+CBA90， APB90， 又CNAD，CMBM， 四边形 CNPM 是矩形， CAECBF，ANCBMC90，ACBC， ACNBCM（AAS） ， CMCN， 四边形 CNPM 是正方形， CNCM
33、NPMP， AD 为 BC 边上的中线， CDBD， 又CDNBDP，CNDBPD90， CDNBDP（AAS） ， CNBP， CNBPNPMP， EP+FPEN+NP+FPNP+MF+PFNP+MP2BP 11解： （1）如图 1，延长 DE 交 BC 于 H， DECE，DECACB90， DCECDE45， ECHCHE45CDE， CDCH， 又CEDH， DEEH， 在DEF 和HEB 中， ， DEFHEB（SAS） ， BHDF，DFEHBE， DFBC， FDCDCB90， ADF90， ACBC，CDCH， ADBH， ADDF， AFAD，FAD45， ， 故答案为：，4
34、5； （2）结论仍然成立， 理由如下：如图 2，延长 DE 至 N，使 DEEN，连接 CN，BN， DEENCE， DCN90， DCECDE45， CDECND45， CDCN， DEEN，DEFNEB，EFBE， DEFNEB（SAS） ， DFBN，FDECNB， ACBDCN90， ACDBCN， 又ACBC，CDCN， ACDBCN（SAS） ， ADBN，ADCBCN， ADBNDF，ADFADCFDCCNBFDCCNE+ENBFDC45+FDE FDC45+CDE+FDCFDC90， AFAD，FAD45， ； （3）如图 3，当点 D 在点 A，点 E 之间时， DFCE，
35、FDE+CED180， FDE90， 由（2）可知ADF90，AFAD， ADF+FDE180， 点 A，点 D，点 E 三点共线， AE12， ADAEDE7， AFAD7； 如图 4，当点 E 在 A，D 之间时， 同理可求 AF17， 综上所述：AF7或 17 12解： （1）ACDBCE， ACD+DCEBCE+DCE， ACEDCB， 在ACE 和DCB 中， ， ACEDCB（SAS） ， （2）由（1）可知ACEDCB， CAECDB， AFBCDB+CDA+DAECDA+DAE+BAECDA+DAC18060120， 故答案为：120 （2）由（1）可知ACEDCB， CAEC
36、DB， AFBCDB+CDA+DAECDA+DAE+BAECDA+DAC180ACD180 ， 故答案为：180 （3）AFB180， 理由如下：ACDBCE， ACD+DCEBCE+DCE， ACEDCB， 在ACE 和DCB 中， ACEDCB（SAS） ， AECDBC， AFBAEC+CEB+EBDDBC+CEB+EBCCEB+EBC180ECB180 ， 即AFB180 13解： （1）ABC 与ADE 均为等腰直角三角形， DAEBAC90， DABEAC， PAAE 且 BAAC， 在BPA 与EAC 中， ， BPAEAC（SAS） ， BPEC，ACEABD， 设 CP 与
37、AB 交于 O 点， AOCBOP， BPCOAC90， BDCE， AC， BC13， AD， PE， 设 BPx，由勾股定理得：x2+（x+7）2132， 解得：x5， 可得：BP5， （2）猜想：BPBC， 过点 A 作 AHBD 于点 H， ADAE，DAE90，AHDE， AHDHHE， ADAH， 设 AHDHDHm， 则 AOm， ACAD， ABACm， BAC90， BCAB2m， 在 RtAHB 中，AHB90， BH， BEBHEH2m， 点 P 与点 E 重合， BPBE2m， ， BPBC， （3）以 A 为圆心，AD 为半径画圆，当 CE 在A 下方时与A 相切，P
38、B 值最小，如图 4： 当 CE 在A 上方与A 相切时，PB 最大， BD2，DPAD2， PB最大值2+2，PB最小值22 14解： （1）将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BPA， BPBP8，PCPA10，PBP60， BPP是等边三角形， BPPP8，BPP60， PA2100，AP2+PP236+64100， PA2AP2+PP2， APP90， APB150， 如图，过点 B 作 BHAP，交 AP 延长线于 H， 又BPH180APB30， BHBP4，PHBH4， AH6+4， AB2BH2+AH216+84+48100+48， SABCAB2+36； 故答案为：8，
39、90，150，+36； （2）、将ABP 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，使 AB 与 BC 重合，过点 A 作 AHBP，交 BP 的延 长线于 H， 则PBP90，BPBP2，PCPA1； 由勾股定理得：PP222+228； PC2121，PC2329， PC2PP2+PC2， PPC90， 又BPP45， BPC135， APBBPC135， APH45， APHPAH45， AHPHAP， AB2AH2+BH2+（2+）25+2， 正方形的面积AB25+2； 、将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，过点 A 作 AHBP，交 BP 的延长线 于 H， ABPC
40、BP， PBP90，BPBP1，APCP， 在 RtPBP中，BPBP1， BPP45，根据勾股定理得，PPBP， AP3， AP2+PP29+211， AP2（）211， AP2+PP2AP2， APP是直角三角形，且APP90， APBAPPBPP904545； AHPH， APBPAH45， AHPH， BH1， AB2BH2+AH2+（1）2103， 正方形的面积103 15解：问题发现：ACD90， ACE90ACB，BCD90ACB， ACEBCD， DBMN， 在四边形 ACDB 中，BAC+ACD+ABD+CDB360， BAC+CDB180， CAE+BAC180， CAEC
41、DB， 又ACDC， ACEDCB（ASA） ， AEDB，CECB， ECB90， ECB 是等腰直角三角形， BECB， BEAE+ABDB+AB， BD+ABCB； 故答案为：BDAE，BD+ABCB； 拓展探究：猜想：BDABCB， 理由如下：过点 C 作CB 交 MN 于点 E， ACD90， ACE90+ACB，BCD90+ACB， ACEBCD， DBMN， CAE90AFB，BDC90CFD， AFBCFD， CAEBDC， ACDC， ACEDCB（ASA） ， AEDB，CECB， ECB90， ECB 是等腰直角三角形， BECB， BEAEABDBAB， BDABCB； 解决问题：如图，过点 C 作CB 交 MN 于点 E，过点 D 作 DHBC， ACD90， ACE90DCE， BCD90DCE， ACEBCD， DBMN， CAE90AFC，D90CFD， AFCBFD， CAECDB， ACDC， ACEDCB（ASA） ， AEDB，CECB， ECB90， ECB 是等腰直角三角形， BEBC， BEABAEABDB， ABDBCB； BCE 为等腰直角三角形， BECCBE45， ABD90， DBH45 DHB 是等腰直角三角形， BDBH2， BHDH， 在 RtCDH 中，BCD30，DH， CHDH， BCCHBH； 故答案为：