1、2021 年春中考二轮复习旋转变换综合型压轴题专题突破训练年春中考二轮复习旋转变换综合型压轴题专题突破训练 1 1已知正方形 ABCD，E 为平面内任意一点，连接 AE，BE，将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90得到BFC （1）如图 1，求证： AECF； AECF （2）若 BE2， 如图 2，点 E 在正方形内，连接 EC，若AEB135，EC5，求 AE 的长； 如图 3，点 E 在正方形外，连接 EF，若 AB6，当 C、E、F 在一条直线时，求 AE 的长 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 为第一象限中的点，M、D 为 x 轴正半轴上动点，点 O 与点 D 关于 点 M 对
2、称，将射线 MA 绕点 M 旋转后得到射线 MB，且AMBAOM，作 ACAM 与射线 MB 交于 点 C，连接 CD （1）如图 1，当OAM 是等边三角形时，求证：CDOD； （2）如图 2，若点 A（1，1） ，OM，求 CD 长度； （3）如图 3，若点 A（1，2） ，MBOA，求点 C 的坐标 3已知等腰 RtABC 中ABC90，ABBC，已知点 A（4，0） ，点 B 在 y 轴正半轴上（OB4） （1）如图 1，若点 B（0，2） ，求点 C 的坐标 （2）如图 2，CDx 轴于 D，连接 BD，求ADB 的度数 （3）如图 3 中，将ABO 沿 AB 所在直线对折得ABP，
3、以 BP 为直角边作等腰 RtPBQ，其中 BP BQ连接 CQ 交 PB 的延长线于 E当点 B 在 y 轴上运动时，线段 BE 的长度是否变化？若变化，求其变 化范围：若不变，求其值 4如图，ABC 是等腰直角三角形，其中C90，ACBC，D 是 BC 上任意一点（点 D 与点 B、C 都 不重合） ，连接 AD，CFAD，交 AD 于点 E，交 AB 于点 F，BGBC 交 CF 的延长线于点 G （1）求证：BGCD； （2）当点 D 为线段 BC 中点时，连接 DF，求证：BDFCDE； （3）当点 C 和点 F 关于直线 AD 成轴对称时，直接写出线段 CE，DE，AD 三者之间的
4、数量关系 5 （1）问题发现： 如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，当DCE 旋转至点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE则： AEB 的度数为 ； 线段 AD、BE 之间的数量关系是 （2）拓展研究： 如图 2，ACB 和DCE 均为等腰三角形，且ACBDCE90，点 A、D、E 在同一直线上，若 AE30，DE14，求 AB 的长度 （3）探究发现： 图 1 中的ACB 和DCE，在DCE 旋转过程中，当点 A，D，E 不在同一直线上时，设直线 AD 与 BE 相交于点 O，试在备用图中探索AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由 6如图 1，ABC 中，CACB，ACB，D
5、为ABC 内一点，将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到CBE，点 A，D 的对应点分别为点 B，E，且 A，D，E 三点在同一直线上 （1）填空：CDE ； （用含 的代数式表示） （2）如图 2，若 60，请补全图形，再过点 C 作 CFAE 于点 F，然后探究线段 CF，AE，BE 之间 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图 3，若 90，AC5，直接写出四边形 ABEC 面积的最大值 7如图，在平面直角坐标系中，A（6，0） ，B（0，8） ，AB10，点 C 在线段 OB 上，现将AOC 翻折， 使得线 段 AO 的对应边 AD 落到 AB 上，点 O 的对应点是点 D，折
6、痕为 AC （1）求点 C 的坐标； （2）连接 OD，过点 O 作 OHCD 于点 H，求 OH 的长； （3）在（2）的条件下，若点 P 从点 C 出发，沿着 CDA 运动，速度为每秒 1 个单位，时间为 t，是 否存在 t 值，使得AOP 的面积为 12，若存在求出 t 的值；若不存在，请说明理由 8在ABC 中，ABAC，M 是平面内任意一点，将线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转与BAC 相等的角 度，得到线段 AN，连结 NB 【感知】如图，若 M 是线段 BC 上的任意一点，易证ABNACM，可知NABMAC，BN MC 【探究】 如图，点 E 是 AB 延长线上的点，若点 M
7、 是CBE 内部射线 BD 上任意一点，连结 MC， （1） 中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由 【拓展】如图，在DEF 中，DE8，DEF60，EDF75，P 是 EF 上的任意点，连结 DP， 将 DP 绕点 D 按顺时针方向旋转 75，得到线段 DQ，连结 EQ，则 EQ 的最小值为 9 （1）方法探索 如图 1，在等边ABC 中，点 P 在ABC 内，且 PA6，PC8，APC150，求 PB 的长 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图 1，把APC 绕着点 A 顺时针旋转 60得到APB，连 接 PP，分别证明APP 和BPP 是特殊三角形，从而得解请
8、在此思路提示下，求出 PB 的长 解：把APC 绕着点 A 顺时针旋转 60得到APB，连接 PP 接着写下去： （2）方法应用 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： 如图 2，点 P 在等边ABC 外，且 PA4，PB3，APB120，若 AB2，求PBC 度数 如图 3，在ABC 中，BAC90，ABAC，P 是ABC 外一点，连接 PA、PB、PC已如 APB45，PB2请直接写出 PC 的长 10如图，在等边ABC 中，AB8cm，动点 P 从点 A 出发以 1cm/s 的速度沿 AB 匀速运动动点 Q 同时 从点 C 出发以同样的速度沿 BC 延长线方向匀速运动当点 P 到达
9、点 B 时，点 P、Q 同时停止运动设 运动时间为 t（s） 过点 P 作 PEAC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D （1）当 t s 时，BPQ 为直角三角形； （2）在整个运动过程中，DE 的长是否为定值？若是，请求出这个值，若不是，请说明理由； （3）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将BPM 沿直线 PM 翻折，得BPM，连接 AB，当 t 为何值 时，AB的值最小？并求出最小值 11在等腰ADC 和等腰BEC 中，ADCBEC90，BCCD，将BEC 绕点 C 逆时针旋转，连 接 AB，点 O 为线段 AB 的中点，连接 DO，EO （1）如图 1，当点 B 旋转到 CD
10、 边上时，请直接写出线段 DO 与 EO 的位置关系和数量关系； （2）如图 2，当点 B 旋转到 AC 边上时， （1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立， 请说明理由； （3）若 BC4，CD2，在BEC 绕点 C 逆时针旋转的过程中，当ACB60时，请直接写出线 段 OD 的长 12在ABC 中，ABAC，BAC，点 P 为线段 CA 延长线上一动点，连接 PB，将线段 PB 绕点 P 逆 时针旋转，旋转角为 ，得到线段 PD，连接 DB，DC （1）如图 1，当 60时， 求证：PADC； 求DCP 的度数； （2）如图 2，当 120时，请直接写出 PA 和 DC 的
11、数量关系 （3）当 120时，若 AB6，BP，请直接写出点 D 到 CP 的距离为 13探索发现 （1）如图，ABC 与ADE 为等腰三角形，且两顶角ABCADE，连接 BD 与 CE，则ABD 与 ACE 的关系是 ； 操作探究 （2）在ABC 中，ABAC3，BAC100，D 是 BC 的中点，在线段 AD 上任取一点 P，连接 PB， 将线段 PB 绕点 P 按逆时针方向旋转 80，点 B 的对应点是点 E，连接 BE，得到BPE，随着点 P 在线 段 AD 上位置的变化，点 E 的位置也在变化，点 E 可能在直线 AD 的左侧，也可能在直线 AD 上，还可 能在直线 AD 的右侧 请
12、你探究，当点 E 在直线 AD 上时，如图所示，连接 CE，判断直线 CE 与直线 AB 的位置关系，并说 明理由 拓展应用 （3）在（2）的应用下，请在图中画出BPE，使得点 E 在直线 AD 的右侧，连接 CE，试求出点 P 在线段 AD 上运动时，AE 的最小值 14初步尝试（1）如图，在三角形纸片 ABC 中，ACB90，将ABC 折叠，使点 B 与点 C 重合， 折痕为 MN，则 AM 与 BM 的数量关系为 ； 思考说理 （2）如图，在三角形纸片 ABC 中，ACBC6，AB10，将ABC 折叠，使点 B 与点 C 重合，折 痕为 MN，求的值； 拓展延伸（3）如图，在三角形纸片
13、ABC 中，AB9，BC6，ACB2A，将ABC 沿过顶点 C 的直线折叠，使点 B 落在边 AC 上的点 B处，折痕为 CM 求线段 AC 的长； 若点 O 是边 AC 的中点，点 P 为线段 OB上的一个动点，将APM 沿 PM 折叠得到APM，点 A 的对应点为点 A，AM 与 CP 交于点 F，求的取值范围 15如图 1，在平面直角坐标系中，直线 MN 分别与 x 轴、y 轴交于点 M（6，0） ，N（0，2） ，等边ABC 的顶点 B 与原点 O 重合，BC 边落在 x 轴正半轴上，点 A 恰好落在线段 MN 上，将等边ABC 从图 1 的 位置沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度
14、的速度平移，边 AB，AC 分别与线段 MN 交于点 E，F（如图 2 所 示） ，设ABC 平移的时间为 t（s） （1）OMN ，等边ABC 的边长为 ； （2）在运动过程中，当 t 为何值时，AB 垂直平分 MN； （3）在ABC 开始平移的同时，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 BA AC 运动，当点 P 运动到 C 时立即停止运动，ABC 也随之停止平移 当点 P 在线段 BA 上运动时，若 AE2PE，求 t 的值； 当点 P 在线段 AC 上运动时，若PEF 的面积，求 t 的值 16在ABC 与CDE 中，ACBCDE90，ACBC，CDE
15、D，连接 AE，BE，F 为 AE 的中点， 连接 DF，CDE 绕着点 C 旋转 （1）如图 1，当点 D 落在 AC 上时，DF 与 BE 的数量关系是： ； （2）如图 2，当CDE 旋转到该位置时，DF 与 BE 是否仍具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予 证明；如果没有，请说明理由； （3）如图 3，当点 E 落在线段 CB 延长线上时，若 CDAC2，求 DF 的长 参考答案参考答案 1解： （1）ABE 绕点 B 顺时针旋转 90得到BFC， AEBCFB， AECF； 如图 1， 延长 AE 交 CF 于 M， 由知，AEBCFB， FAEB，BAECBF， AEB+BAE
16、+ABE180， F+CBF+BAM180 四边形 ABCD 是正方形， ABC90， AMF360ABCFBAM90， AECF； （2）如图 2， 连接 EF，由旋转知，BEBF 且 BEBF， BFE45， 在 RtBEF 中，BEBF2， EF28， BEF45，AEB135， AEB+BEF180， 点 A，E，F 在同一条直线上， 由（1）知，AECF， 在 RtECF 中，CE5，利用勾股定理得，FC， AECF 如图 3，四边形 ABCD 是正方形， BCAB6， 在 RtBEF 中，BFBE2， EF2， 过点 B 作 BGFC 于点 G， BGFGEF， 在 RtBCG 中
17、，利用勾股定理得，GC， 故 FCCG+FG+， AECF+ 2 （1）证明：如图 1 中，取 CM 的中点 T，连接 DT OAM 是等边三角形， AMOAOM60，AMOM， AMBAOM， AMB60， DMC180606060， CAAM， CAM90， CM2AM， MTCM， MTAMMO， O，D 关于点 M 对称， MDMO， MTMD， MDT 是等边三角形， TDTMTC， CDM90， CDOD （2）解：如图 2 中，过点 A 作 APOD 于 P，过点 C 作 CQPA 交 PA 的延长线于 Q A（1，1） ，OMDM AOMAMC45， CAMA， CAM90，A
18、MCACM45， ACAM， APMQ90， CAQ+PAM90，PAM+AMP90， CAQAMP， CQAAPM（AAS） ， AQPM，CQPA1， PQ1+， C（2，） ， D（，0） ， CD （3）解：如图 3 中，连接 AD CMOA， CMDAOM，AMCOAM， AMCAOM， MAOAOM，AMCDMC， MAMO， OMMD， MAOMMD， OAD90， OAAD， A（1，2） ， 设 D（m，0） ，则有 AD2m2（）222+（m1）2， 解得 m5， D（5，0） OD5，OMDM2.5， 直线 OA 的解析式为 y2x，OACM， 直线 CM 的解析式为 y
19、2x5， MAMD，AMCDMC，MCMC， AMCDMC（SAS） ， MACCDM90， C（5，5） 3解： （1）如图 1 中，过点 C 作 CHy 轴于 H A（4，0） ，B（0，2） ， OA4，OB2， ABCAOBCHB90， ABO+CBH90，OAB+ABO90， OABHBC， 在AOB 和HBC 中， ， AOBBHC（AAS） ， CHOB2，BHOA4， OHBHOB422， C（2，2） （2）如图 2 中，过点 C 作 CHy 轴于 H 由（1）可知，AOBBHC（AAS） ， CHOB， CDOD，CHOH， CDOCHODOH90， 四边形 ODCH 是矩
20、形， ODCH， OBOD， ADB45 （3）结论：BE 是定值，定值为 2 理由：如图 3 中，延长 QB 到 T，使得 BTBQ，连接 PT，CT APB 是由AOB 翻折得到， APAB4， PBBQBT，PBTPBQ90， ABCPBT， ABPCBT， 在ABP 和CBT 中， ， ABPCBT（SAS） ， APCT4，APBCTB90， QBEBTC90， BECT， QBBT， QEEC， BECT2， BE 是定值，定值为 2 4 （1）证明：CGAD，BGBC， CEACBGACD90， BCG+ACE90， ACE+EAC90， BCGCAD， 在CBG 和ACD 中，
21、 ， CBGACD（ASA） ， BGCD （2）证明：D 是 CB 的中点， CDBD， BGDC， BDBG， CBCA，ACB90， CBA45， CBG90， FBDFBG45， 在FBD 和FBG 中， ， BFDBFG（SAS） ， BDFG， CBGACD， ADCG， BDFCDE （3）解：结论：AD2CE+2DE 理由：如图 3 中，在 DB 上取一点 J，使得 DJCD，连接 FJ，过点 F 作 FMBC 于 M，FNBG 于 N C，F 关于 AD 对称， CEEF， CDDJ， DEFJ，FJ2DE， GFJGED90， FBMFBN45，FMBM，FNBN， FMF
22、N， GBJ+GFJ180， G+BJF180， BJF+FJM180， GFJM， 在FMJ 和FNG 中， ， FMJFNG（AAS） ， FGFJ， FG2DE， BCGACD， ADCG， CGCF+FG2CE+2DE， AD2CE+2DE 解法二：在 AE 上取一点 M，使得 ECDM，证明 DMDM，可得结论 5解： （1）如图 1， ACB 和DCE 均为等边三角形， CACB，CDCE，ACBDCE60 ACDBCE 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ADCBEC DCE 为等边三角形， CDECED60 点 A，D，E 在同一直线上， ADC120 BEC
23、120 AEBBECCED60 故答案为：60 ACDBCE， ADBE 故答案为：ADBE （2）ACB 和DCE 均为等腰直角三角形， CACB，CDCE，ACBDCE90 ACDBCE 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ADBEAEDE16，ADCBEC， DCE 为等腰直角三角形， CDECED45 点 A，D，E 在同一直线上， ADC135 BEC135 AEBBECCED90 AB34； （3）如图 3，由（1）知ACDBCE， CADCBE， CABCBA60， OAB+OBA120， AOE18012060， 如图 4，同理求得AOB60， AOE120，
24、 AOE 的度数是 60或 120 6解： （1）如图 1 中， 将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到CBE ACDBCE，DCE CDCE CDE 故答案为： （2）AEBE+CF 理由如下：如图 2 中， 将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 60得到CBE ACDBCE ADBE，CDCE，DCE60 CDE 是等边三角形，且 CFDE DFEFCF AEAD+DF+EF AEBE+CF （3）如图 3 中，过点 C 作 CWBE 交 BE 的延长线于 W，设 AE 交 BC 于 J CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90得到CBE， CADCBE， CADCBE， AJCB
25、JE， ACJBEJ90， 点 E 在以 AB 为直径的圆上运动，即图中上运动，当时，四边形 ABEC 的面积最大，此时 ECEB， CDCE，DCE90， CED45， AEWAEB90， CEW45， CFEW， WCECEW45， CWEW，设 CWEWx，则 ECEBx， 在 RtBCW 中，BC2CW2+BW2， x2+（x+x）2（5）2， x2， SBCEBECWx2， S四边形ABECSABC+SBCE55+ 7解： （1）设 C（0，m） ， A（6，0） ，B（0，8） ， OA6，OB8， 由翻折的性质可知，CDAAOC90，OCCDm， SAOBSAOC+SACB， O
26、AOBOCOA+ABCD， 686m+10m， m3， C（0，3） （2）如图 2 中， 由翻折的性质可知，OAAD6，CDOC3， AB10， BDABAD1064， BD：AB4：102：5， SBODSAOB68， OC：OB3：8， SCDOSBOD， OHCD， 3OH， OH （3）如图 3 中，设 P（m，n） SPOA12， 6n12， n4， 当点 P 在线段 AB 上时，PAPB5，此时 P（3.4） ， PDADPA651， CD+PD3+14， t4（s） 当点 P在线段 CD 上时，CPt，则有 S四边形AOCDSADPSPOCSPOA， 2366（3t）t12，
27、t（s） 综上所述，满足条件的 t 的值为 4s 或s 8解： 【探究】如图中，结论成立 理由：MANCAB， NAB+BAMBAM+MAC， BANCAM， ABAC，ANAM， NABMAC（SAS） ， BNCM 【拓展】如图中，在 DF 上取一点 H，使 DHDE8，连接 PH，过点 H 作 HMEF 于 M， 由旋转知，DQDP，PDQ75， EDF75， PDQEDF， EDQHDP， DEQDHP（SAS） ， EQHP， 要使 EQ 最小，则有 HP 最小，而点 H 是定点，点 P 是 EF 上的动点， 当 HMEF（点 P 和点 M 重合）时，HP 最小， 即：点 P 与点
28、M 重合，EQ 最小，最小值为 HM， 过点 D 作 DGEF 于 G， 在 RtDEG 中，DE8，DEG60， EDG30， EGDE4， DGEG4， F180756045，DGF90 FGDF45， DGGF4， DFDG4 FHDFDH48， 在 RtHMF 中，F45， HMFH（48）44， 即：EQ 的最小值为 44 故答案为：44 9解： （1）如图 1 中，把APC 绕着点 A 顺时针旋转 60得到APB，连接 PP， 由旋转不变性可知，APAP6，BPPC8，APCAPB150，PABPAC， PAPBAC60， APP 为等边三角形， PPPA6，APP60， PPB1
29、506090 在BPP 中，PP6，BP8， PB10 （2）如图 2 中，把APB 绕着点 B 顺时针旋转 60得到BCD，连接 PD， ABC 是等边三角形， ABBC2，ABC60， 由旋转不变性可知，APCD4，BPBD3，APBBDC120，PBADBC， PBDABC60， PBD 为等边三角形， BDP60， BDP+BDC180， P，D，C 共线， ABBC2，PB3，PC3+47， PB2+BC2PC2， PBC90 如图 3 中，过点 A 作 ADAP，使得 ADAP，连接 PD，BD PAD，ABC 都是等腰直角三角形， ADAP，ABAC，PADBAC， DABPAC
30、（SAS） ， DBPC， APDAPB45， DPB90， 过点 B 作 BHPA 于 H， PB2，BPH45， BHPH， 在 RtABH 中，AHB90，AB，BH， AH2， APAD3， PDPA6， 在 RtDPB 中，BD2， PCBD2 解法二：把APB 绕着点 A 逆时针旋转 90得到ACP，连接 PP，先证明 P、P、B 共线，再利用勾 股定理求解即可 10解： （1）ABC 是等边三角形， B60， 当 BQ2BP 时，BPQ90， 8+t2（8t） ， t， t时，BPQ 是直角三角形 故答案为 （2）不变化理由如下： 如图 1 中，作 PKBC 交 AC 于 K A
31、BC 是等边三角形， BA60， PKBC， APKB60， APK 是等边三角形， PAPK， PEAK， AEEK， APCQPK，PKDDCQ，PDKQDC， PKDQCD（AAS） ， DKDC， DEEK+DK（AK+CK）AC4cm； （3）如图 2 中，连接 AM， 则 ABAMMB， 而 MBMB， 当 A，B，M 在一条直线上时，AB最小， 即：点 B在 AM 上， （如图 3） BMCM3，ABAC6， AMBC， BAMBAC30，AM4， BMBM4， AB的最小值为 AMBM44， 由折叠知，BPBP，PBMB60， APBPBMBAC30BAM， ABBP8t44，
32、 t124， 即：t 为 124时，AB的值最小，最小值为 44 11解： （1）DOEO，DOEO； 理由：当点 B 旋转到 CD 边上时，点 E 必在边 AC 上， AEBCEB90， 在 RtABE 中，点 O 是 AB 的中点， OEOAAB， BOE2BAE， 在 RtABD 中，点 O 是 AB 的中点， ODOAAB， DOE2BAD， ODOE， 等腰ADC，且ADC90， DAC45， DOEBOE+DOE2BAE+2BAD2（BAE+DAE）2DAC90， ODOE； （2）仍然成立， 理由：如图 2，延长 EO 到点 M，使得 OMOE，连接 AM，DM，DE， O 是
33、AB 的中点， OAOB， AOMBOE， AOMBOE（SAS） ， MAOEBO，MAEB， ACD 和CBE 是等腰三角形，ADCCEB90， CADACDEBCBCE45， OBE180EBC135， MAO135， MADMAODAC90， DCEDCA+BCE90， MADDCE， MAEB，EBEC， MAEC， ADDC， MADECD， MDED，ADMCDE， CDE+ADE90， ADM+ADE90， MDE90， MOEO，MDDE， ，ODME， ， ODOE，ODOE； （3）当点 B 在 AC 左侧时，如图 3， 延长 EO 到点 M，使得 OMOE，连接 AM，
34、DM，DE， 同（2）的方法得，OBEOAM（SAS） ， OBEOAM，OMOE，BEAM， BECE， AMCE， 在四边形 ABECD 中，ADC+DCE+BEC+OBE+BAD540， ADCBEC90， DCE5409090OBEBAD360OBE360OAMBAD， DAM+OAM+BAD360， DAM360OAMBAD， DAMDCE， ADCD， DAMDCE（SAS） ， DMDE，ADMCDE， EDMADM+ADECDE+ADEADC90， OMOE， ODOEME，DOE90， 在 RtBCE 中，CEBC2， 过点 E 作 EHDC 交 DC 的延长线于 H， 在
35、RtCHE 中，ECH180ACDACBBCE18045604530， EHCE， 根据勾股定理得，CHEH， DHCD+CH3， 在 RtDHE 中，根据勾股定理得，DE2， ODDE2， 当点 B 在 AC 右侧时，如图 4， 同的方法得，ODOE，DOE90， 连接 DE，过点 E 作 EHCD 于 H， 在 RtEHC 中，ECH30 EHCE， 根据勾股定理得，CH， DHCDCH， 在 RtDHE 中，根据勾股定理得，DE2， ODDE2， 即：线段 OD 的长为 2 或 12 （1）证明：如图 1 中， 将线段 PB 绕点 P 逆时针旋转，旋转角为 ，得到线段 PD， PBPD，
36、 ABAC，PBPD，BACBPD60， ABC，PBD 是等边三角形， ABCPBD60， PBADBC， BPBD，BABC， PBADBC（SAS） ， PADC 解：如图 1 中，设 BD 交 PC 于点 O PBADBC， BPABDC， BOPCOD， OBPOCD60，即DCP60 （2）解：结论：CDPA 理由：如图 2 中， ABAC，PBPD，BACBPD120， BC2ABcos30BA，BD2BPcos30BP， ， ABCPBD30， ABPCBD， CBDABP， ， CDPA （3）过点 D 作 DMPC 于 M，过点 B 作 BNCP 交 CP 的延长线于 N
37、如图 31 中，当PBA 是钝角三角形时， 在 RtABN 中，N90，AB6，BAN60， ANABcos603，BNABsin603， PN2， PA321， 由（2）可知，CDPA， BPABDC， DCAPBD30， DMPC， DMCD 如图 32 中，当ABP 是锐角三角形时，同法可得 PA2+35，CD5，DMCD， 综上所述，满足条件的 DM 的值为或 故答案为或 13解： （1）如图中， ABC 与ACE 为等腰三角形，且两顶角ABCADE， BABC，DADE， BACDAE， BACDAE， ， ， BACDAE， BADCAE， BADCAE 故答案为：相似 （2）如图
38、 2 中，结论：ABEC 理由：BPE80，PBPE， PEBPBE50， ABAC，BDDC， ADBC， BDE90， EBD905040， AE 垂直平分线段 BC， EBEC， ECBEBC40， ABAC，BAC100， ABCACB40， ABCECB， ABEC 故答案为 50，ABEC （2）如图 3 中，以 P 为圆心，PB 为半径作P AD 垂直平分线段 BC， PBPC， BCEBPE40， ABC40， ABEC 如图 4 中，作 AHCE 于 H， 点 E 在射线 CE 上运动，点 P 在线段 AD 上运动， 当点 P 运动到与点 A 重合时，AE 的值最小，此时 A
39、E 的最小值AB3 14解： （1）如图中， ABC 折叠，使点 B 与点 C 重合，折痕为 MN， MN 垂直平分线段 BC， CNBN， MNBACB90， MNAC， CNBN， AMBM 故答案为 AMBM （2）如图中， CACB6， AB， 由题意 MN 垂直平分线段 BC， BMCM， BMCB， BCMA， BB， BCMBAC， ， ， BM， AMABBM10， （3）如图中， 由折叠的性质可知，CBCB6，BCMACM， ACB2A， BCMA， BB， BCMBAC， ， BM4， AMCM5， ， AC 如图1 中， AAMCF，PFAMFC，PAPA， PFAMFC
40、， ， CM5， ， 点 P 在线段 OB 上运动，OAOC，AB6， PA， 15解： （1）直线 MN 分别与 x 轴、y 轴交于点 M（6，0） ，N（0，2） ， OM6，ON2， tanOMN， OMN30， ABC 是等边三角形， ABC60， BAM90， ABBM3， 故答案为：30，3； （2）由（1）可知 MN4， 当 AB 垂直平分线段 MN 时，EMMN2， BM4， OBOMBM642， t2 时直线 AB 垂直平分线段 MN （3）如图 1 中，由题意 BP2t，BM6t， BEM90，BME30， BE3，AEABBE， BAC60， EFAEt， 当点 P 在
41、EF 下方时，PEBEBP3t， 可得2（3） ， 解得 t， 当点 P 在 EF 上方时，PEBPBEt3， 可得t2（t3） ， 解得 t， 综上所述，满足条件的 t 的值为或 当 P 点在 EF 上方时，过 P 作 PHMN 于 H，如图 2 中， 由题意，EFt，FCMC3t，PFH30， PFPCCF（62t）（3t）3t， PHPF， SPEFEFPHt， 解得 t2 或 1（舍弃） ， 当 t3 时，点 P 与 F 重合，故 P 点在 EF 下方不成立 满足条件的 t 的值为 2 16解： （1）结论：DFBE 理由：ADEEDC90，AFEF， DFAE， CDDE， ECDECB45， CACB，CECE， ACEBCE（SAS） ， AEBE， DFBE （2）如图，将CDE 沿着 CD 翻折，得到DCMDCE，连接 AM， 由CDE 为等腰直角三角形易知CME 为等腰 Rt 三角形， 在ACM 和BCE 中， ACBC，ACMBCE CMCE， ACMBCE（SAS） ， AMBE， F 为 AE 的中点，D 为 ME 的中点， DF 为AME 的中位线， DF DFBE （3）将EDC 沿 DC 翻折得到DCM CDDE2，由勾股定理可知 CE BECECB， 由前面的结论可知：DFBE DF