1、绝密启用前 吴忠市吴忠市 2021 届高三一届高三一模模联考试题联考试题 理科数学理科数学 注意事项注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置 2选择题的作答： 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题一、选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每
2、小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目 要求的要求的 l复数 z 满足(2 ) (1)2zii（i 为虚数单位） ，则z （ ） A1 B2 C2 D5 2设集合 2 430Ax xx， 2 log (2)1Bxx，则AB （ ） A14xx B23xx C24xx D12xx 3若, a bR，则“4ab”是“a，b 至少有一个大于 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4在 6 2 1 x x 的展开式中， 3 x的系数为（ ） A15 B15 C20 D20 5已知抛物线 2 :8C yx上一点
3、A 到焦点 F 的距离等于 6，则直线 AF 的斜率为（ ） A2 B2 C2 2 D2 2 6已知非零向量a，b满足2ab，且 abb，则a与b的夹角为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 7数列 n a是等差数列， n S为其前 n 项和，且 1 0a ， 20202021 0aa， 20202021 0aa，则使0 n S 成 立的最大正整数 n 是（ ） A2020 B2021 C4040 D4041 8下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ） A 2 12 a B 2 6 a C 2 3 a D 2 a 9已知直线:40()l kxykR是圆 22 :629
4、0C xyxy的对称轴，过点1,Pk作圆 C 的两 条切线，切点分别为 A，B，则三角形 PAB 的面积等于（ ） A3 B 3 2 C 3 4 D 3 3 4 10已知函数( )sin(04)f xx的图像关于直线 3 x 对称，将函数 f x的图像向右平移 2 个单 位得到函数 g x的图像，则 g x在 7 0, 18 上的值域为（ ） A 1 1, 2 B 2 1, 2 C 21 , 22 D 2 1 , 22 11已知圆 222 :(0)O xyrr与 x 轴的交点为 A、B，以 A、B 为左、右焦点的双曲线 22 22 :1 xy C ab 0,0ab 的右支与圆 O 交于 P，Q
5、 两点，若直线 PQ 与 x 轴的交点恰为线段 AB 的一个四等分点， 则双曲线的离心率等于（ ） A31 B2 3 1 C 31 2 D 2 31 2 12设函数 f x的定义域为 R，满足(1)2 ( )f xf x，且当(0,1x时，( )(1)f xx x，若对任意 (,xm 都有 8 ( ) 9 f x ，则 m 的取值范围是（ ） A 8 , 3 B 9 , 4 C 5 , 2 D 7 , 3 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续 7 天中随机选择 3 天进
6、 行紧急疏散演练，则选择的 3 天中恰好仅有 2 天连续的概率为 14若某程序框图如图所示，当输入26n时，则该程序运行后输出的结果 i 等于 15变量 x，y 满足约束条件 0 220 0 xy xy mxy ，若2zxy的最大值为 2，则实数m_ 16 已知数列 n a， n b， 其中数列 n a满足 * 5nn aan N， 前 n 项和为 n S满足 1 ( 1) 2 n nn n San 3(16)n；数列 n b满足： * 8nn bbn N，且 1 2b ， 1 (17) 1 nn n bbn n ，则数列 nn ab的第 2024 项的值为_ 三三、解答题解答题：共共 70
7、分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生每个试题考生 都必须作答都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17 （本小题 12 分） 已知 a、b、c 分别为ABC内角 A、B、C 的对边，且满足 sinsin sinsin acAB bCA （1）求角 C 的大小： （2）若6c ，求ABC面积的最大值 l8 （本小题 12 分） 如图，在三棱锥PABC中，PA 平面 ABC，ABC是正三角形，PAAB，点 D、E、F 分别
8、为 棱 PA、PC、BC 的中点，G 为 AD 的中点 （1）求证：/ /GF平面 BDE； （2）求二面角BDEF的余弦值 19 （本小题满分 12 分） 某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行” ，培养学生的环保意识 “十 一黄金周”期间，组织学生去 A、B 两地游玩，因目的地 A 地近，B 地远，特制定方案如下： 目的地 A 地 出行方式 绿色直行 非绿色出行 概率 3 4 1 4 得分 1 0 目的地 B 地 出行方式 绿色直行 非绿色出行 概率 2 3 1 3 得分 1 0 若甲同学去 A 地玩，乙、内同学去 B 地玩，选择出行方式相互独立 （1）求恰有一名同
9、学选择“绿色出行”方式的概率； （2）求三名同学总得分 X 的分布列及数学期望 EX 20 （本小题满分 12 分） 若双曲线 22 9xy与椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 共顶点，且它们的离心率之积为 4 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若椭圆 C 的左、右顶点分别为 1 A， 2 A，直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，设直线 1 AP与 2 A Q的 斜率分别为 1 k， 2 k，且 12 1 0 5 kk试问，直线 l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不 是，请说明理由 21 （本小题 12 分） 已知函数 1 ln ( )e1, x x f xa
10、a x R （1）若1a ，求 f x的极值； （2）若 0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围 （二二）选考题：共选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】 已知在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 过点0,1M， 倾斜角为， 以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 取相同的长度单位建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为4sin （1）把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求直线 l 的参数方程； （2）若直线 l 被圆 C
11、 截得的弦长为13，求直线 l 的倾斜角 23 （10 分） 【选修 45：不等式选讲】 已知函数 1f xx （1）解不等式( )421f xx； （2）已知1(0,0)mnmn，若13a ，求证 11 ( )2xaf x mn 吴忠市吴忠市 2021 届高三一轮联考参考答案届高三一轮联考参考答案 数学理科数学理科 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1C 【解析】由(2 ) (1)2zii得 2 21 1 zii i ， 1z
12、i ， 22 112z故选 C 2B 【解析】 (1)(3)013Ax xxxx， 由 2 log (2)1x得022x，即24x， 24Bxx ，则23ABxx，故选 B 3A 【解析】当4ab时，假设 a，b 都不大于 2，即2a，2b， 则4ab，这与4ab矛盾， 所以“4ab”是“a，b 至少有一个大于 2”的充分条件； 但是，当 ab 至少有一个大于 2，如3a ，1b，4ab， 所以“4ab”不是“a，b 至少有一个大于 2”的必要条件，所以选 A 4C 【解析】由二项式定理得 6 2 1 x x 的展开式的通项 6 212 3 166 1 ( 1) r rr r rr r TCx
13、C x x ， 令12 33r，得3r ， 所以 3333 46 ( 1)20TC xx ，所以 3 x的系数为20，故选 C 5D 6B 7C 【解析】设数列 n a的公差为 d， 则由 1 0a ， 20202021 0aa， 20202021 0aa， 可知 2020 0a， 2021 0a，所以0d ，数列为递增数列， 40412021 40410Sa， 14044020200420 102 202020200Saaaa， 所以可知 n 的最大值为 4040故选 C 8C 【解析】根据三视图可知，该几何体为如图正方体中的三棱锥ABCD， 正方体的棱长等于 a，三棱锥的外接球就是正方体的
14、外接球， 所以外接球的直径23Ra， 因此外接球的表面积为 22 43SRa，故选 C 9D 【解析】因为直线40kxy是圆 22 :6290C xyxy的对称轴， 所以直线40kxy过圆心3, 1C，即31 40k ，1k ， 所以点1, 1P2PC ， 因为圆 C 的半径1r ，所以切线长 2 2 3PAPBPCr， 且在直角三角形中 1 sinsin 2 r APCBPC PC ， 所以30APCBPC，60APB， 所以三角形 PAB 的面积 13 3 sin 24 SPA PBAPB，故选 D 10A 【解析】函数( )sinf xx的图像关于直线 3 x 对称，且04，可得 3 2
15、 ， 故 3 ( )sin 2 f xx， 333 ( )sinsin 2224 g xxx ， 7 0, 18 x ， 333 4246 x ， 331 1sin 242 x ，故选 A 11A 【解析】由题意可知 PQ 为 OB 的中垂线，因为点 A，B 坐标为,0r，,0r， 所以 PQ 方程为 2 r x ，与 222 xyr联立， 可取 3 , 22 rr P ， 3 , 22 r Q r ， 所以双曲线的焦距22cr，即cr， 因为 2 2 3 3 22 rr PArr ， 2 2 3 22 rr PBrr ， 由双曲线定义可得 23 1aPAPBr， 31 2 r a ， 所以双
16、曲线的离心率31 31 2 cr e a r 故选 A 12D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 4 7 【解析】 连续 7 天中随机选择 3 天，有 3 7 35C 种选择，其中恰好仅有 2 天连续，有 2 5 20A 种选择， 所以所求的概率为 204 357 146 【解析】 第一次循环：1S ，2i ； 第二次循环：4S ，3i ； 第三次循环：11S ，4i ； 第四次循环：26S ，5i ；继续循环， 第五次循环：57S ，6i ；此时Sn，输出6i 153 【解析】 先画 0 220 xy xy 表示的区域，分
17、析可知， 当 1 2 m 时，2zxy没有最大值 2； 当 1 2 m 时，目标函数对应的直线2zxy过直线0mxy和220 xy的交点 22 , 21 21 m mm 时，取最大值， 代入22xy，解得3m 16 47 64 【解析】 1 ( 1)3(16) 2 n nn n Sann ， 当1n 时，由 1 11 1 ( 1)1 3 2 Sa 得 1 3 4 a ， 当3n时， 1233 1 8 aaaa ， 23 7 2 8 aa， 当4n时， 12344 1 1 16 aaaaa， 23 29 16 aa， 由得 2 11 4 a ， 3 15 16 a ， 当5n时， 123455
18、1 2 32 aaaaaa ， 45 31 2 32 aa， 当6n时， 1234566 1 3 64 aaaaaaa， 45 125 64 aa， 由得 4 47 16 a ， 5 63 64 a 1 (17) 1 nn n bbn n ， 1 2b ， 1 (1)2(17) nn nbnbn ， 2 (18) n bn n ， * 5nn aan N， * 8nn bbn N， 数列 nn ab是以 40 为周期的数列，因此 202420242424 abab， 而 244 47 16 aa， 248 21 84 bb， 因此 202420242424 47147 16464 abab 三
19、、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17 【解析】 （1）由 sinsin sinsin acAB bCA 和正弦定理得 acab bca ， 化简得： 222 cabab，即 222 abcab ， 所以由余弦定理得 222 1 cos 22 abc C ab ， 因为 C 是三角形的内角，所以120C （2）因为6c ，由 222 3cababab，当且仅当
20、ab时取等号， 所以12ab，当且仅当2 3ab时取等号， 所以ABC面积 1 sin3 3 2 SabC， 即ABC面积的最大值为3 3 18 【解析】 （1）法一：连接 PF 交 BE 于点 H，连接 DH，见图 1， E，F 分别是 PC，BC 的中点，H 是PBC的重心， 2PHHF 由已知得2PDDG，/DHGF， 又DH 平面 BDE，GF 平面 BDE， / /GF平面 BDE 法二：取 EC 中点 M，连接 FM，GM，见图 1， 由已知得/DEGM DE 平面 BDE，GM 平面 BDE， /GM平面 BDE M，F 分别是 EC，BC 的中点， /BEMF，又BE 平面 B
21、DE，MF 平面 BDE， /MF平面 BDE GMMFM， 平面/GFM平面 BDE，又GF 平面 GFM， / /GF平面 BDE 法三：在平面 ABC 内，以垂直于 AB 的直线为 x 轴，AB 所在的直线为 y 轴，AP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，见图 2，设正ABC边长为2a（0a ） 则0,0,Da， 3 , 22 a Eaa ，0,2 ,0Ba， 3 ,0 22 a DEa ，(0,2 ,)DBaa 设平面 BDE 的法向量为 111 ,mx y z，则 DEm，DBm， 11 11 31 0 22 20 xy yz ，可取 3 ,1,2 3 m 又0,0, 2 a
22、 G ， 33 ,0 22 Faa ， 331 , 222 GFaaa ，0GF m， 即GFm，又GF 平面 BDE， / /GF平面 BDE （2）在平面 ABC 内，以垂直于 AB 的直线为 x 轴，AB 所在的直线为 y 轴，AP 所在的直线为 z 轴建立 空间直角坐标系，见图 2，设正ABC边长为20a a 则0,0,Da， 3 , 22 a Eaa ，0,2 ,0Ba， 33 ,0 22 Faa 由第（1）问方法三可知，平面 BDE 的法向量为 3 ,1,2 3 m 设平面 DEF 的法向量为 222 ,xny z， 又(0, ,)EFaa， 3 ,0 22 a DEa nEF ，
23、DEn， 22 22 0 31 0 22 yz xy ，可取 3 ,1,1 3 n ， 1 12 5 7 3 cos, 1411 52 33 m n 二面角BDEF为锐二面角， 二面角BDEF的余弦值为 5 7 14 19 【解析】 （1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率 2 1 2 3111 27 4343 336 PC （2）根据题意，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，根据事件的独立性和互斥性得： 1111 (0) 43336 P X ； 3111 (1) 43312 P X ； 1 2 1211 (2) 4339 P XC； 1 2 3211 (3) 4333 P XC；
24、1221 (4) 4339 P X ； 3221 (5) 4333 P X 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 所以 11111141 012345 3612939312 EX 20 【解析】 （1）由已知得双曲线的离心率为2，又两曲线离心率之积为 4 3 ，所以椭圆的离心率为 2 2 3 ； 由题意知3a ，所以2 2c ，1b 所以椭圆的标准万程为 2 2 1 9 x y （2）当直线 l 的斜率为零时，由对称性可知： 12 0kk ，不满足 12 1 0 5 kk， 故直线 l 的斜率不为零设直线 l 的方程为xtyn
25、， 由 2 2 1 9 xtyn x y ，得： 222 9290tytnyn， 因为直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点， 所以 2222 44990t ntn ， 整理得： 22 90tn， 设 11 ,P x y、 22 ,Q xy，则 12 2 2 9 tn yy t ， 2 12 2 9 9 n y y t ， 1 1 1 3 y k x ， 2 2 2 3 y k x 因为 12 1 0 5 kk， 所以 1 1212 11 2 22121 2 3331 533 3 y yxy tynkx y kyxytyn x ， 整理得： 1212 45(3)(3)0ty ynyny， 1
26、2122 45(3)(612)ty ynyyny， 将 12 2 2 9 tn yy t ， 2 12 2 9 9 n y y t 代入整理得： 2 2 (2)(3)(2)9t nnnty 要使上式恒成立，只需2n，此时满足 22 90tn， 因此，直线 l 恒过定点2,0 21 【解析】 （1）当1a 时， 1 ln ( )e1,(0) x x f xx x ， 21 1 22 1 lne1 ln ( )e x x xxx fx xx ， 在0 x 范围内，易知 21 e1 ln x xx 单调递增，且1x 时 0fx ， 当0,1x， 0fx，当1,x时， 0fx， 故 f x在0,1上单
27、调递减，在1,上单调递增， 1x 时 f x取极小值， 10f，无极大值 （2） 1 ln ( )e10 x x f xa x ， 1 eln 0 x axxx x ，即 1 eln0 x axxx ， 令 1 ( )eln x g xaxxx ，则对(0,)x ，( )0g x 都成立， 则 110ga ，1a 当1a 时， 1 1 ( )(1)exg xxa x 令 1 1 ( )exh xa x ， h x单调递增， 且当0 x时 0h x ，且 20h， 由零点存在性定理可知，当(0,)x时， h x存在零点 0 x， 即 0 0h x， 0 1 0 1 e0 x a x ， 0 1
28、0e 1 x ax ， 0 1 0 1 ex a x 当 0 0,xx时，( )0h x ， 0gx， g x的减区间是 0 0,x， 当 0, xx时， 0h x ， 0gx， g x的增区间是 0, x ， 0 g x是最小值， 0 0g x， 即 0 1 000 ln0 x ax exx ， 0 1 0 1 x ax e ， 00 1 ln0 xx，解得 0 01x， 又因为 0 1 0 1 x a x e 在 0 01x时单调递减， 所以1a 由可得， 0f x 恒成立时 a 的取值范围是1, 22 【解析】 （1）圆 C 的直角坐标方程为： 22 40 xyy 直线 l 的参数方程为
29、： cos 1sin xt yt （t 为参数） （2）代入 2 12 2sin302sintttt ， 12 3t t ， l 被 C 截得弦长 2 2 12121 2 44sin12dttttt t 1 13sin 2 ， 6 或 5 6 23 【解析】 （1）( )421f xx等价于1421xx， 当1x时，原不等式化为(1)4(21)xx， 即 4 3 x ， 4 1 3 x ； 当 1 1 2 x 时，原不等式化为 1421xx ， 即2x ， 1 1 2 x ； 当 1 2 x 时，原不等式化为1421xx ， 即 4 3 x ， 14 23 x； 综上可得，原不等式的解集为 44 33 xx （2）证明：|( )1()(1)1xaf xxaxxaxa， 13a ，212a ，即12a ， 2xaf x， 1(0,0)mnmn， 11 24 mnmnnm mnmnmn ， 11 22 mn ， 11 ( )2xaf x mn