1、2019-2020 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 ）题目要求的 ） 1如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，则这个几何体的主视图是（ ） A B C D 2如果线段 a2，c8，那么线段 a 和 c 的比例中项 b 是（ ） A4 B16 C4 D16 3在一个暗箱里放有 m 个除颜色外其他完全相同的球，这 m 个球中只有 3 个黄球，
2、每次将球搅拌均匀后， 任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 25%，推算 m 的值大约是（ ） A12 B9 C4 D3 4如图所示，MN 为O 的弦，N50，则MON 的度数为（ ） A40 B50 C80 D100 5已知一个函数中，两个变量 x 与 y 的部分对应值如下表： x 1 2 3 2 y 6 3 2 3 如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是（ ） Ax 轴 By 轴 C直线 x1 D直线 yx 6如图，AC 是旗杆 AB 的一根拉线，测得 AC6 米，ACB50，则 BC 的长为（ ） A6cos50米 B6sin50米 C
3、米 D米 7将二次函数 yx2+4x+3 化成顶点式，变形正确的是（ ） Ay（x2）21 By（x+1） （x+3） Cy（x2）2+1 Dy（x+2）21 8如图，RtABC 中，ACB90，AB5，AC4，CDAB 于 D，则 tanBCD 的值为（ ） A B C D 9如图，两个反比例函数 y和 y在第一象限内的图象分别是 C1和 C2，设点 P 在 C1上，PAx 轴 于点 A，交 C2于点 B，则POB 的面积为（ ） A1 B2 C4 D无法计算 10如图，在矩形 ABCD 中，P 为 BC 边的中点，E、F 分别为 AB、CD 边上的点，若 BE2，CF3， EPF90，则
4、EF 的长为（ ） A5 B2 C2 D4 11如图，用八根长为 4cm 的铁丝，首尾相接围成一个正八边形（接点不固定）要将它的四边按图中的方 式向内等距离移动 acm，同时去掉另外四根长为 4cm 的铁丝（虚线部分）得到一个正方形，则 a 的值为 （ ） A4cm B2cm C2cm Dcm 12已知，二次函数 yax2+bx+c 满足以下三个条件：4c，ab+c0，bc，则它的图象可 能是（ ） A B C D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13如图，根据图象写出反比例函数的表达式为 14如图，四边
5、形 ABCD 内接于O，E 为 CD 延长线上一点，若B100，则ADE 15两个相似三角形对应高的比为 4：1，那么这两个相似三角形的面积比是 16 如图： 一个小球由地面沿着坡度为 1： 2 的坡面前进了 10 米， 此时小球在竖直方向上上升了 米 17如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 yax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端 O 匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 8 秒时和 24 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行 车通过拱梁部分的桥面 OC 共需 秒 18如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，对角线 AC、
6、BD 相交于点 O，过 点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F，交 AD、BC 于点 M、N下列结论： APEAME； PM+PNAC； PE2+PF2PO2； POFBNF； 当PMNAMP 时， 点 P 是 AB 的中点 其中正确的结论有 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （6 分） 20 （6 分）已知二次函数的解析式为 yx2+4x+3 （1） 直接写出顶点坐标 （ ） ； 与 x 交点坐标 （ ） ； （ ） ；
7、 与 y 轴交点坐标 （ ） ； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数图象的示意图 21 （6 分）如图：在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 延长线上点，DE 交 BC 于点 F （1）求证：DFCEFB； （2）若 DC6，BE4，DE10，求 DF 的长度？ 22 （8 分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OA，A 处的喷头向外喷水，水流在 各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系式是 y x2+2x+（x0） （1）求水流喷出的最大高度是多少 m？此时的水平距离是多少 m？ （2）若不计其他因
8、素，水池的半径 OB 至少为多少 m，才能使喷出的水流不落在池外？ 23 （8 分）如图，点 O 在ADE 的边 AE 上，以 O 为圆心，OA 为半径的圆与 AE 交于点 B，与 AD 交于点 F，并且与边 DE 相切于点 C，连接 AC已知 AC 平分DAE （1）求证：ADCD； （2）若CAO30，O 的半径为 3求阴影部分的面积 （结果保留 和根号） 24 （10 分）为深化课程改革，提高学生的综合素质，某校开设了形式多样的校本课程为了解校本课程在 学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从 A：天文地理；B：科学探究；C：文史 天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的
9、课程（被调查者限选一项） ，并将调查结果绘制成两个不完 整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的总人数为 人，扇形统计图中 A 部分的圆心角是 度； （2）请补全条形统计图； （3）根据本次调查，该校 400 名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？ （4）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形 式， 比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生， 并且规定： 同一小组的两名同学的题目类型不能相同， 且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率 是多少？（请用画树状图或
10、列表的方法求） 25（10分） 如图所示， 一次函数y2x+b的图象分别交x轴、 y轴于点A、 B （0， 4） ， 与反比例函数的 交于点 C（1，n） 把线段 AB 所在直线向右平移得到直线 l，交反比例函数的图象于点 D，交 x 轴 于点 E （1）求出 k 的值； （2）当 BCDE 时，请求出直线 l 平移的距离； （3）连接 OD，在直线 l 平移过程中是否存在点 E，使得ABO 的面积是DEO 面积的 2 倍，若存在， 请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 26 （12 分）如图 1，在菱形 ABCD 中，AC2，BD2，AC，BD 相交于点 O （1）求边 AB 的长；
11、（2） 如图 2， 将一个足够大的直角三角板 60角的顶点放在菱形 ABCD 的顶点 A 处， 绕点 A 左右旋转， 其中三角板 60角的两边分别与边 BC，CD 相交于点 E，F，连接 EF 与 AC 相交于点 G 判断AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由； 旋转过程中，当点 E 为边 BC 的四等分点时（BECE） ，求 CG 的长 27 （12 分）如图 1，已知抛物线 yax2+bx（a0）经过 A（3，0） 、B（4，4） 、D（2，n）三点 （1）求抛物线的解析式及点 D 坐标； （2）点 M 是抛物线对称轴上一动点，求使 BMAM 的值最大时的点 M 的坐标； （3）如图 2，
12、将射线 BA 沿 BO 翻折，交 y 轴于点 C，交抛物线于点 N，求点 N 的坐标； （4）在（3）的条件下，连结 ON，OD，如图 2，请求出所有满足PODNOB 的点 P 坐标（点 P、 O、D 分别与点 N、O、B 对应） 2019-2020 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 ）题目要求的 ）
13、 1如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，则这个几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】解：从正面看是两个矩形，矩形的公共边是虚线， 故选：C 2如果线段 a2，c8，那么线段 a 和 c 的比例中项 b 是（ ） A4 B16 C4 D16 【分析】根据比例中项的定义可得 b2ac，从而易求 b 【解答】解：b 是 a、c 的比例中项， b2ac， 即 b22816， b4（负数舍去） 故选：A 3在一个暗箱里放有 m 个除颜色外其他完全相同的球，这 m 个球中只有 3 个黄球，每次将球搅拌均匀后， 任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，
14、通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 25%，推算 m 的值大约是（ ） A12 B9 C4 D3 【分析】黄球的个数除以它占总数的比例即为球的总数 m 【解答】解：m325%12（个） ， 故选：A 4如图所示，MN 为O 的弦，N50，则MON 的度数为（ ） A40 B50 C80 D100 【分析】根据半径相等得到 OMON，则MN50，然后根据三角形内角和定理计算MON 的 度数 【解答】解：OMON， MN50， MON18025080 故选：C 5已知一个函数中，两个变量 x 与 y 的部分对应值如下表： x 1 2 3 2 y 6 3 2 3 如果这个函数图象是轴对称图
15、形，那么对称轴可能是（ ） Ax 轴 By 轴 C直线 x1 D直线 yx 【分析】根据 x、y 的值可得 y 与 x 的函数关系式，继而可判断出函数图象的对称轴 【解答】解：由表格可得：y，所以该函数图象是经过第一、三象限的双曲线， 故可得这个函数图象是轴对称图形，对称轴是 yx 故选：D 6如图，AC 是旗杆 AB 的一根拉线，测得 AC6 米，ACB50，则 BC 的长为（ ） A6cos50米 B6sin50米 C米 D米 【分析】在 RtABC 中，利用ACB50的余弦函数解答 【解答】解：在 RtABC 中，cos50， AC6 米， BC6cos50， 故选：A 7将二次函数 y
16、x2+4x+3 化成顶点式，变形正确的是（ ） Ay（x2）21 By（x+1） （x+3） Cy（x2）2+1 Dy（x+2）21 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可 【解答】解：yx2+4x+3 x2+4x+41 （x+2）21， 故选：D 8如图，RtABC 中，ACB90，AB5，AC4，CDAB 于 D，则 tanBCD 的值为（ ） A B C D 【分析】先求得ABCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可 【解答】解：ACB90，AB5，AC4， BC3， 在 RtABC 与 RtBCD 中，A+B90，BCD+B90 ABCD tanBCDtanA， 故选：D 9如图，两
17、个反比例函数 y和 y在第一象限内的图象分别是 C1和 C2，设点 P 在 C1上，PAx 轴 于点 A，交 C2于点 B，则POB 的面积为（ ） A1 B2 C4 D无法计算 【分析】根据反比例函数 y（k0）系数 k 的几何意义得到 SPOA42，SBOA21， 然后利用 SPOBSPOASBOA进行计算即可 【解答】解：PAx 轴于点 A，交 C2于点 B， SPOA42，SBOA21， SPOB211 故选：A 10如图，在矩形 ABCD 中，P 为 BC 边的中点，E、F 分别为 AB、CD 边上的点，若 BE2，CF3， EPF90，则 EF 的长为（ ） A5 B2 C2 D4
18、 【分析】利用相似三角形的性质求出 BP，PC，再利用勾股定理求出 PE，PF 即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， BC90， EPF90， EPB+CPF90，CPF+CFP90， EPBCFP， EPBPFC， ， PBCP，BE2，CF3， BPPC， PE，PF， EF5， 故选：A 11如图，用八根长为 4cm 的铁丝，首尾相接围成一个正八边形（接点不固定）要将它的四边按图中的方 式向内等距离移动 acm，同时去掉另外四根长为 4cm 的铁丝（虚线部分）得到一个正方形，则 a 的值为 （ ） A4cm B2cm C2cm Dcm 【分析】由题意可知ABC 是等腰直角
19、三角形，AB4，ACBCa利用勾股定理列出方程，解方程 即可得出结果 【解答】解：如图，由题意可知：ABC 是等腰直角三角形，AB4，ACBCa 则有：a2+a242， 解得：a2或2（舍去） ， 故选：C 12已知，二次函数 yax2+bx+c 满足以下三个条件：4c，ab+c0，bc，则它的图象可 能是（ ） A B C D 【分析】由抛物线满足：4c，ab+c0，bc，判断抛物线与 x 轴的交点，根据图象判断 a、c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c 满足以下三个条件：4c，ab+c0，bc， 由可
20、知当 a0 时 b24ac0，则抛物线与 x 轴有两个交点，当 a0 时 b24ac0，则抛物线与 x 轴无交点； 由可知：当 x1 时，y0， 由可知：b+c0， ab+c0，必须 a0， 符合条件的有 C、D， 由 C 的图象可知，对称轴直线 x0，a0，b0，抛物线交 y 的负半轴，c0，则 bc， 由 D 的图象可知，对称轴直线 x0，a0，b0，抛物线交 y 的负半轴，c0，则有可能 b c， 故满足条件的图象可能是 D， 故选：D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13如图，根据图象写出反比例函
21、数的表达式为 y 【分析】根据待定系数法即可求得 【解答】解：设反比例函数的解析式为 y， 反比例函数的图象经过点（2，1） ， k212， 反比例函数的表达式为：， 故答案为 y 14如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为 CD 延长线上一点，若B100，则ADE 100 【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案 【解答】解：B100， ADE100 故答案为：100 15两个相似三角形对应高的比为 4：1，那么这两个相似三角形的面积比是 16：1 【分析】根据相似三角形的性质解答即可 【解答】解：两个相似三角形对应高的比为 4：1， 这两个
22、相似三角形的相似比为 4：1， 这两个相似三角形的面积比为 16：1， 故答案为：16：1 16 如图： 一个小球由地面沿着坡度为 1： 2 的坡面前进了 10 米， 此时小球在竖直方向上上升了 2 米 【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长 【解答】解：AB10 米，tanA 设 BCx，AC2x， 由勾股定理得，AB2AC2+BC2，即 100 x2+4x2， 解得：x2， BC2 故答案为：2 17如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 yax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端 O 匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 8 秒时和 24 秒时拱梁的
23、高度相同，则小强骑自行 车通过拱梁部分的桥面 OC 共需 32 秒 【分析】根据题意可以求得抛物线的对称轴，从而可以得到 a 与 b 的关系，然后令 y0，即可得到抛物 线与 x 轴的交点，从而可以得到 OC 的长，本题得以解决 【解答】解：当小强骑自行车行驶 8 秒时和 24 秒时拱梁的高度相同， 抛物线的对称轴是直线 x， 16，得 b32a， 令 y0，则 0ax2+bx， 解得，x10，x232， 小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 共需：32032 秒， 故答案为：32 18如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，对角线 AC、BD 相交于
24、点 O，过 点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F，交 AD、BC 于点 M、N下列结论： APEAME； PM+PNAC； PE2+PF2PO2； POFBNF； 当PMNAMP 时， 点 P 是 AB 的中点 其中正确的结论有 【分析】根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得PAEMAE45，然后利用“角边角” 证明APE 和AME 全等； 根据全等三角形对应边相等可得 PEEMPM， 同理， FPFNNP， 证出四边形 PEOF 是矩形， 得出 PFOE，证得APE 为等腰直角三角形，得出 AEPE，PE+PFOA，即可得到 PM+PNAC； 根据矩形的性质
25、可得 PFOE，再利用勾股定理即可得到 PE2+PF2PO2； 判断出POF 不一定等腰直角三角形，BNF 是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似； 证出APM 和BPN 以及APE、BPF 都是等腰直角三角形，从而得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BACDAC45， PMAC， AEPAEM90， 在APE 和AME 中， ， APEAME（ASA） ， 故正确； APEAME， PEEMPM， 同理，FPFNNP， 正方形 ABCD 中，ACBD， 又PEAC，PFBD， PEOEOFPFO90，且APE 中 AEPE 四边形 PEOF 是矩形 PFOE， 在AP
26、E 中，AEP90，PAE45， APE 为等腰直角三角形， AEPE， PE+PFOA， 又PEEMPM，FPFNNP，OAAC， PM+PNAC， 故正确； 四边形 PEOF 是矩形， PEOF， 在直角OPF 中，OF2+PF2PO2， PE2+PF2PO2， 故正确； APEAME， APAM BNF 是等腰直角三角形，而POF 不一定是， POF 与BNF 不一定相似， 故错误； APEAME， APAM， AMP 是等腰直角三角形， 同理，BPN 是等腰直角三角形， 当PMNAMP 时，PMN 是等腰直角三角形 PMPN， 又AMP 和BPN 都是等腰直角三角形， APBP，即 P
27、 是 AB 的中点， 故正确； 故答案为： 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （6 分） 【分析】原式利用绝对值的代数意义，乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可 求出值 【解答】解：原式1+1+11 20 （6 分）已知二次函数的解析式为 yx2+4x+3 （1）直接写出顶点坐标（ 2，1 ） ；与 x 交点坐标（ 1，0 ） ； （ 3，0 ） ；与 y 轴交点坐 标（ 0，3 ） ； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个
28、二次函数图象的示意图 【分析】 （1）化成顶点式即可求得顶点坐标；令 y0，解得 x 的值，即可求得与 x 交点坐标；令 x0， 解得 y 的值，即可求得与 y 交点坐标； （2）根据（1）的数据描点连线大致画出函数的图象即可 【解答】解： （1）yx2+4x+3（x+2）21， 顶点坐标为（2，1） ； 令 yx2+4x+30，解得 x1 或3， 与 x 交点坐标为（1，0） 、 （3，0） ； 令 x0，解得 y3， 与 y 交点坐标为（0，3） ； 故答案为2，1；1，0；3，0；0，3； （2）根据（1）的数据描点连线画出函数的图象如下： 21 （6 分）如图：在平行四边形 ABCD
29、中，E 是 AB 延长线上点，DE 交 BC 于点 F （1）求证：DFCEFB； （2）若 DC6，BE4，DE10，求 DF 的长度？ 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得出 AECD，即可得出ECDF，进而利用两角对应相等的三 角形相似得出即可； （2）由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案 【解答】 （1）证明：在平行四边形 ABCD 中， AECD， ECDF， DFCEFB， DFCEFB （2）解：由（1）得：DFCEFB， ，即， 解得：DF6 22 （8 分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OA，A 处的喷头向外喷水，水流在 各个方向上沿形状相同的
30、抛物线路径落下，水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系式是 y x2+2x+（x0） （1）求水流喷出的最大高度是多少 m？此时的水平距离是多少 m？ （2）若不计其他因素，水池的半径 OB 至少为多少 m，才能使喷出的水流不落在池外？ 【分析】 （1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度及水平距离； （2）令 y0，则可以求水池的半径； 【解答】解： （1）yx2+2x+（x1）2+， 该二次函数的顶点坐标为（1，） ， 水流喷出的最大高度是米，此时的水平距离为 1 米； （2）令 y0，则（x1）2+0， 解得 x2.5 或 x0.5（舍去） 所以水池的半径至少为 2.5m
31、，才能使喷出的水流不落在池外； 23 （8 分）如图，点 O 在ADE 的边 AE 上，以 O 为圆心，OA 为半径的圆与 AE 交于点 B，与 AD 交于点 F，并且与边 DE 相切于点 C，连接 AC已知 AC 平分DAE （1）求证：ADCD； （2）若CAO30，O 的半径为 3求阴影部分的面积 （结果保留 和根号） 【分析】 （1）连接 OC，可证明 OCDE，由条件可得 OCAD，则结论得证； （2）求出COB60，CE3，则 S阴SOCES扇形COB可求出答案 【解答】 （1）证明：连接 OC， DE 与O 相切于点 C， OCDE， OAOC， OCAOAC， 又AC 平分DA
32、E， DACOAC， OCADAC， OCAD， 又OCDE， ADCD； （2）CAO30 COB60， 在 RtOCE 中，CEOCtan60， S阴影SOCES扇形COB ， 24 （10 分）为深化课程改革，提高学生的综合素质，某校开设了形式多样的校本课程为了解校本课程在 学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从 A：天文地理；B：科学探究；C：文史 天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项） ，并将调查结果绘制成两个不完 整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的总人数为 60 人，扇形统计图中 A 部分的圆心角是 36
33、 度； （2）请补全条形统计图； （3）根据本次调查，该校 400 名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？ （4）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形 式， 比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生， 并且规定： 同一小组的两名同学的题目类型不能相同， 且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率 是多少？（请用画树状图或列表的方法求） 【分析】 （1）根据：该项所占的百分比，圆心角该项的百分比360两图给出了 D 的数据，代入即可算出调查的总人数，然后再算出 A 的圆心角； （2）根据条
34、形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“科学探究”的人数，再补全条形图； （3）根据：喜欢某项人数总人数该项所占的百分比，计算即得； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好同时抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目 的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）本次调查的总人数为 2440%60（人） ，扇形统计图中 A 部分的圆心角是 360 36， 故答案为：60、36； （2）B 课程的人数为 60（6+18+24）12（人） ， 补全图形如下： （3）估计最喜欢“科学探究”的学生人数为 40080（人） ； （4）画树状图如图所示， 共有 12 种等可能的结果数，其
35、中抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的结果数为 2， 他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是 25（10分） 如图所示， 一次函数y2x+b的图象分别交x轴、 y轴于点A、 B （0， 4） ， 与反比例函数的 交于点 C（1，n） 把线段 AB 所在直线向右平移得到直线 l，交反比例函数的图象于点 D，交 x 轴 于点 E （1）求出 k 的值； （2）当 BCDE 时，请求出直线 l 平移的距离； （3）连接 OD，在直线 l 平移过程中是否存在点 E，使得ABO 的面积是DEO 面积的 2 倍，若存在， 请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）先求出一次函
36、数解析式，进而求出点 C 坐标，即可得出结论； （2）利用平移的性质求出点 E 的坐标，再判断出AOBAFE，即可得出结论； （3）设出点 D，E 坐标，再用点 D 在直线 DE 上得出方程，再结合利用ABO 的面积是DEO 面积的 2 倍，建立方程，组成方程组求解即可得出结论 【解答】解： （1）将点 B（0，4）代入一次函数 y2x+b 中，得 b4， 一次函数的解析式为 y2x+4， 将点 C（1，n）代入一次函数 y2x+4 中，得 2+4n， n6，C（1，6） ， 将点 C（1，6）代入反比例函数 y中，得 k166； （2）由（1）知，k6， 反比例函数的解析式为 y， 设 D（
37、m，） ， 由（1）知，C（1，6） ， B（0，4） ， 点 C 先向下平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位， BCDE，ABDE， 点 D 也向下平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位到点 E， E（m1，2） ， 点 E 在 x 轴上， 20， m3， E（2，0） ， 过点 E 作 EFAB 于 F， AFE90BOA， OABFAE， AOBAFE， ， 直线 AB 的解析式为 y2x+4， A（2，0） ， AE4，AB2， ， EF， 即直线 l 平移的距离为； （3）存在，理由：A（2，0） ， OA2， B（0，4） ， OB4， SABOOAOB244， ABO 的面
38、积是DEO 面积的 2 倍， SODE2， 设 E（a，0） （a2） ， 直线 DE 的解析式为 y2（xa）2x2a， 反比例函数的解析式为 y， 设点 D（b，） ， 2b2a， SDEOOEyD|a|2， 联立解得，a2 或 a， E（，0）或（2，0） 26 （12 分）如图 1，在菱形 ABCD 中，AC2，BD2，AC，BD 相交于点 O （1）求边 AB 的长； （2） 如图 2， 将一个足够大的直角三角板 60角的顶点放在菱形 ABCD 的顶点 A 处， 绕点 A 左右旋转， 其中三角板 60角的两边分别与边 BC，CD 相交于点 E，F，连接 EF 与 AC 相交于点 G
39、判断AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由； 旋转过程中，当点 E 为边 BC 的四等分点时（BECE） ，求 CG 的长 【分析】 （1）根据菱形的性质，确定AOB 为直角三角形，然后利用勾股定理求出边 AB 的长度； （2）本小问为探究型问题要点是确定一对全等三角形ABEACF，得到 AEAF，再根据已知 条件EAF60，可以判定AEF 是等边三角形； 本小问为计算型问题要点是确定一对相似三角形CAECFG，由对应边的比例关系求出 CG 的 长度 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， ACBD， AOB 为直角三角形，且 OAAC1，OBBD 在 RtAOB 中，由勾股定理得：
40、AB2 （2）AEF 是等边三角形理由如下： 由（1）知，菱形边长为 2，AC2， ABC 与ACD 均为等边三角形， BACBAE+CAE60， 又EAFCAF+CAE60， BAECAF 在ABE 与ACF 中， ， ABEACF（ASA） ， AEAF， AEF 是等腰三角形， 又EAF60， AEF 是等边三角形 BC2，E 为四等分点，且 BECE， CE，BE 由知ABEACF， CFBE EAC+AEG+EGAGFC+FCG+CGF180（三角形内角和定理） ， AEGFCG60（等边三角形内角） ， EGACGF（对顶角） EACGFC 在CAE 与CFG 中， ， CAECF
41、G， ，即， 解得：CG 27 （12 分）如图 1，已知抛物线 yax2+bx（a0）经过 A（3，0） 、B（4，4） 、D（2，n）三点 （1）求抛物线的解析式及点 D 坐标； （2）点 M 是抛物线对称轴上一动点，求使 BMAM 的值最大时的点 M 的坐标； （3）如图 2，将射线 BA 沿 BO 翻折，交 y 轴于点 C，交抛物线于点 N，求点 N 的坐标； （4）在（3）的条件下，连结 ON，OD，如图 2，请求出所有满足PODNOB 的点 P 坐标（点 P、 O、D 分别与点 N、O、B 对应） 【分析】 （1）把 A、B 两点坐标代入可求得 a 和 b 的值，可求得抛物线解析式
42、，再把 D 点坐标代入可求 得 n 的值，可求得 D 点坐标； （2）当点 A、B、M 三点在一条直线上，且 D 在线段 BA 的延长线上时，BMAM 的值最大，可先求得 直线 AB 的解析式，结合对称轴方程可求得 M 点的坐标； （3）由轴对称的性质可证明AOBCOB，可求得 C 点坐标，再利用待定系数法可求得直线 BC 的解 析式，与抛物线的交点即为 N 点； （4）将NOB 沿 x 轴翻折，由三角形相似和全等可求得，则可求得 P 点的坐标，再把 OP1D 沿直线 yx 翻折，由对称性可得另一个满足条件的点 P 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx（a0）经过 A（3，0） 、B（4
43、，4） ， 把 A、B 两点坐标代入可得，解得， 抛物线的解析式是 yx23x 抛物线过点 D， n466， D 点的坐标为（2，2） ； （2）当点 A、B、M 三点在一条直线上，且 M 在线段 BA 的延长线上时，BMAM 的值最大， 设直线 AB 解析式为：ykx+m， 将 A（3，0） 、B（4，4）代入可得，解得， 直线 AB 解析式为 y4x12， 抛物线对称轴为 x， 当 x时，y6， 当点 M（，6）时，BMAM 的值最大； （3）直线 OB 的解析式为 yx，且 A（3，0） ， 根据轴对称性质得出CBOABO，COBAOB， 在AOB 和COB 中 AOBCOB（ASA）
44、， OCOA3， 点 C（0，3） 可设直线 CB 的解析式为 ykx+3，过点 B（4，4） ，代入可得 44k+3，解得 k， 直线 CB 的解析式是 yx+3， 点 N 在直线 CB 上， 设点 N（n，n+3） ， 又点 N 在抛物线 yx23x 上， n+3n23n，解得：n1，n24（不合题意，舍去） ， N 点的坐标为（，） ； （4）如图 1，将NOB 沿 x 轴翻折，得到N1OB1，则 N1（，） ， B1（4，4） ，D（2，2） ， O、D、B1都在直线 yx 上 P1ODNOB，NOBN1OB1， P1ODN1OB1， ， 点 P1的坐标为（，） ； 将OP1D 沿直线 yx 翻折，由对称性可得另一个满足条件的点 P2（，） ， 综上所述，点 P 的坐标是（，）或（，）