1、2020-2021 学年辽宁省抚顺市新宾县、顺城区九年级（上）期末数学试卷学年辽宁省抚顺市新宾县、顺城区九年级（上）期末数学试卷 一、 选择题 （下列各题只有一个答案是正确的， 将正确答案填涂到答题卡的对应处。 每小题一、 选择题 （下列各题只有一个答案是正确的， 将正确答案填涂到答题卡的对应处。 每小题 3 分， 共分， 共 30 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x+2y1 Bx25x1 Cx21 D2x23x+1 2在下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 3下列事件中是不可能事件的是（ ） A三角形内角和等于 360 B两实数之和为正
2、C抛物线 yx2+bx2 的开口方向向上 D抛一枚硬币 2 次都正面朝上 4一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向 其中放入 10 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球 200 次，其中 40 次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球（ ） A30 个 B35 个 C40 个 D50 个 5二次函数 y2（x+2）22 图象向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位后，所得图象的函数表达式 是（ ） Ay2x2+20 x+24 By2x24x3 Cy2x220 x+24 Dy2x2+4x1 6当 ab0 时
3、，yax2与 yax+b 的图象大致是（ ） A B C D 7关于 x 的方程（m21）x2+2（m1）x+10 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 8如图，将菱形 ABCD 绕点 A 沿逆时针方向旋转，得菱形 ABCD，连接 AC，AC，若B120， BAD100，则CAC等于（ ） A30 B40 C50 D60 9 如图， 点 A， D， B， C 是圆 O 上的四个点， 连接 AB， CD， 相交于点 E， 若BOD40， AOC120， 则AEC 等于（ ） A70 B75 C80 D85 10如图所示，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为 x，
4、与 x 轴的一个交点 A（，0） ，抛物线的顶点 B 纵坐标 1yB2， 则以下结论： abc0； b24ac0； 3ab0； 4a+c0； ， 其中正确结论的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 11方程 x22x 的根是 12在平面直角坐标系 xOy 中，以点（3，4）为圆心，4 为半径的圆与 y 轴的位置关系为 13 若 x1 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+20 （a0） 的一个根， 则 20172a+2b 的值等于 14在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 15如图，圆锥
5、母线长 BC9 厘米，若底面圆的半径 OB4 厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 16若一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人感染了流感按照这样的传染速度，若 2 人患了流感， 第一轮传染后患流感的人数共有 人 17 如图， 已知ABC 中， ACB90， ACBC2， 将直角边 AC 绕 A 点逆时针旋转至 AC， 连接 BC， E 为 BC的中点，连接 CE，则 CE 的最大值为 18如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为 yx2将 x 轴绕原点 O 逆时针旋转 45，交抛物线 于点 A1， 将直线 OA1绕点 A1顺时针旋转 45， 交抛物线于点 A2， 将直线 A1A2绕点 A
6、2逆时针旋转 45， 交抛物线于点 A3， 将直线 A2A3绕点 A3顺时针旋转 45， 交抛物线于点 A4， 依次进行下去， 则点 A2020 的坐标为 三、解答题（三、解答题（19 题题 10 分，分，20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10 分） （1） （x1）22（x1） （2）2x25x20 20 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点都在格点上，点 A，B，C 的坐标分别为 A（3， 4） ，B（4，1） ，C（1，2）请解答下列问题： （1）如图，ABC是ABC 绕点 D 顺时针旋转 90得到的图形，请直接写出旋转中心点 D 的坐标； （2）
7、在（1）的条件下，求点 B 经过的路径的长？（结果保留 ） （3）ABC 与A1B1C1关于原点 O 成中心对称，画出A1B1C1并直接写出点 A 的对应点 A1的坐标 四、解答题（四、解答题（21 题题 12 分，分，22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和 扇形统计图（不完整） ，请你根据图中信息解答下列问题 （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“
8、世界读书日”宣传活动，请用列表 法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率 22 （12 分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为 500t，三月份的总产量为 720t，若平均每月的增 长率相同 （1）第一季度平均每月的增长率； （2） 如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年 5 月份 总产量能否突破 1000t？ 五、解答题（本题五、解答题（本题 12 分）分） 23 （12 分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供 产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销
9、售本市 生产的一种新型节能灯 已知这种节能灯的成本价为每件 10 元， 出厂价为每件 12 元， 每月销售量 y （件） 与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数：y10 x+500 （1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）设李明获得的利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于 3000 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 六、解答题（本题六、解答题（本题 12 分）分） 24 （12 分）如图，在矩形
10、ABCD 中，点 O 在对角线 BD 上，以 OB 的长为半径的圆 O 与 AB，BD 分别交 于点 E，F，连接 DE，且ADEBDC （1）判断直线 DE 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 BC6，CD8，AE4.5，求O 的半径 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 25 （12 分）在ABC 中，ABAC，BAC，过点 A 作直线 l 平行于 BC，点 D 是直线 l 上一动点，连 接 CD，射线 DC 绕点 D 顺时针旋转 交直线 AB 于点 E （1）如图 1，若 60，当点 E 在线段 AB 上时，请直接写出线段 AC，AD，AE 之间的数量关系，不 用证
11、明； （2）如图 2，若 60，当点 E 在线段 BA 的延长线上时， （1）中的结论是否成立？若成立，请证明； 若不成立，请写出正确结论，并证明 （3）如图 3，若 90，BC6，AD，请直接写出 AE 的长 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于两点 A（4，0）和 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C，连 接 AC，BC，AB （1）求抛物线的解析式； （2） 点 D 是ABC 边上一点， 连接 OD， 将线段 OD 以 O 为旋转中心， 逆时针旋转 90， 得到线段 OE， 若点 E 落在抛物线上，求出此时点
12、E 的坐标； （3）点 M 是抛物线对称轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，是否存在以 A，C，M，N 为顶点的四边 形是平行四边形，若存在，请直接写出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由 2020-2021 学年辽宁省抚顺市新宾县、顺城区九年级（上）期末数学试卷学年辽宁省抚顺市新宾县、顺城区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 （下列各题只有一个答案是正确的， 将正确答案填涂到答题卡的对应处。 每小题一、 选择题 （下列各题只有一个答案是正确的， 将正确答案填涂到答题卡的对应处。 每小题 3 分， 共分， 共 30 分）分） 1下列方程是一元二次方程
13、的是（ ） A3x+2y1 Bx25x1 Cx21 D2x23x+1 【分析】利用一元二次方程的定义逐一分析四个选项中的方程或代数式，即可得出结论 【解答】解：A、3x+2y1 含有两个未知数， 3x+2y1 不是一元二次方程，选项 A 不符合题意； B、x25x1 含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2， x25x1 是一元二次方程，选项 B 符合题意； C、x21 不是整式方程， x21 不是一元二次方程，选项 C 不符合题意； D、2x23x+1 不是方程， 选项 D 不符合题意 故选：B 2在下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称
14、图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 3下列事件中是不可能事件的是（ ） A三角形内角和等于 360 B两实数之和为正 C抛物线 yx2+bx2 的开口方向向上 D抛一枚硬币 2 次都正面朝上 【分析】根据事件发生的可能性大小判断 【解答】解：A、三角形内角和等于 360是不可能事件，符合题意； B、两实数之和为正是随机事件，不符合题
15、意； C、抛物线 yx2+bx2 的开口方向向上是必然事件，不符合题意； D、抛一枚硬币 2 次都正面向上是随机事件，不符合题意， 故选：A 4一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向 其中放入 10 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球 200 次，其中 40 次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球（ ） A30 个 B35 个 C40 个 D50 个 【分析】可根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数黑球 个数+白球个数“， “黑球所占比例随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”
16、【解答】解：设盒子里有白球 x 个， 根据 得： 解得：x40 故选：C 5二次函数 y2（x+2）22 图象向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位后，所得图象的函数表达式 是（ ） Ay2x2+20 x+24 By2x24x3 Cy2x220 x+24 Dy2x2+4x1 【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案 【解答】解：将二次函数 y2（x+2）22 图象向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位后，所得图 象的函数表达式是 y2（x+23）22+3，即 y2x2+4x1 故选：D 6当 ab0 时，yax2与 yax+b 的图象大致是（ ） A B C D
17、 【分析】根据题意，ab0，分 a0 与 a0 两种情况讨论，分析选项可得答案 【解答】解：根据题意，ab0， 当 a0 时，b0，yax2开口向上，过原点，yax+b 过一、三、四象限； 此时，A 选项符合， 当 a0 时，b0，yax2开口向下，过原点，yax+b 过一、二、四象限； 此时，没有选项符合 故选：A 7关于 x 的方程（m21）x2+2（m1）x+10 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令0，即可求出 m 的取值范围，要注意， m210再令方程为一元一次方程，进行解答 【解答】解：当方程（m
18、21）x2+2（m1）x+10 为一元二次方程时， m210，即 m1 关于 x 的方程（m21）x2+2（m1）x+10 有实数根， 2（m1）24（m21） 8m+80， 解得 m1； m1， 当方程（m21）x2+2（m1）x+10 为一元一次方程时， m210 且 2（m1）0， 则 m1， 综上，m1 时方程有实数根 故选：A 8如图，将菱形 ABCD 绕点 A 沿逆时针方向旋转，得菱形 ABCD，连接 AC，AC，若B120， BAD100，则CAC等于（ ） A30 B40 C50 D60 【分析】由菱形的性质可求BAD60，由旋转的性质可求解 【解答】解：四边形 ABCD 是菱
19、形，B120， BAD60， DADBADBAD40， 将菱形 ABCD 绕点 A 沿逆时针方向旋转，得菱形 ABCD， CACDAD40， 故选：B 9 如图， 点 A， D， B， C 是圆 O 上的四个点， 连接 AB， CD， 相交于点 E， 若BOD40， AOC120， 则AEC 等于（ ） A70 B75 C80 D85 【分析】连接 BC，根据圆周角定理和已知条件求出ABC 和DCB 的度数，再根据三角形的外角性质 求出答案即可 【解答】解：连接 BC， 对的圆周角是ABC，圆心角是AOC，AOC120， ABCAOC60， 同理可得：DCBBOD20， AECABC+DCB6
20、0+2080， 故选：C 10如图所示，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为 x，与 x 轴的一个交点 A（，0） ，抛物线的顶点 B 纵坐标 1yB2， 则以下结论： abc0； b24ac0； 3ab0； 4a+c0； ， 其中正确结论的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据二次函数图象与性质即可求出答案 【解答】解：由图象可知：a0，c0， 对称轴 x0， b0， abc0，故正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，故正确； 由对称轴可知：x， b+3a0，故错误； 由图可知：x1，y0， ab+ca+3a+c4a+c0，故正确； 由题意可知：x，1y2， 即
21、1+b+c2， 抛物线与 x 轴的一个交点 A（，0） ， ab+c0， b3a， c， 12， a，故错误； 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 11方程 x22x 的根是 x10，x22 【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方 程来求解 【解答】解：方程变形得：x2+2x0，即 x（x+2）0， 可得 x0 或 x+20， 解得：x10，x22 故答案为：x10，x22 12在平面直角坐标系 xOy 中，以点（3，4）为圆心，4 为半径的圆与 y 轴的位置关系为 相交 【分析】 可先求出圆心
22、到 y 轴的距离， 再根据半径比较， 若圆心到 y 轴的距离大于圆心距， y 轴与圆相离； 小于圆心距，y 轴与圆相交；等于圆心距，y 轴与圆相切 【解答】解：依题意得：圆心到 y 轴的距离为：3半径 4， 所以圆与 y 轴相交， 故答案为：相交 13 若 x1 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+20 （a0） 的一个根， 则 20172a+2b 的值等于 2021 【分析】将 x1 代入方程得出 ab2，再整体代入计算可得 【解答】解：将 x1 代入方程得：ab+20， 则 ab2， 则原式20172（ab） 20172（2） 2017+4 2021 故答案为：2021 14在如图所
23、示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 【分析】用阴影部分的面积除以总面积即可求得飞镖落在阴影部分的概率 【解答】解：观察发现阴影部分占所有面积的， 其他部分的面积占所有面积的， 飞镖未落在阴影区域的概率是； 故答案为： 15 如图， 圆锥母线长 BC9 厘米， 若底面圆的半径 OB4 厘米， 则侧面展开扇形图的圆心角为 160 【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等，可得弧长圆锥底面周长4，再根据 l 即可求出圆心角的度数 【解答】解：由题意知：弧长圆锥底面周长248（厘米） ， 设所求圆心角的度数为 n， 则8，解得 n160， 即侧面展开扇形图的圆
24、心角为 160 故答案为：160 16若一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人感染了流感按照这样的传染速度，若 2 人患了流感， 第一轮传染后患流感的人数共有 22 人 【分析】 设每轮传染中 1 人传染给 x 人， 则第一轮传染后共 （1+x） 人患流感， 第二轮传染后共1+x+x （x+1） 人患流感，根据经过两轮传染后共有 121 人感染了流感，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正 值即可得出结论 【解答】 解：设每轮传染中 1 人传染给 x 人，则第一轮传染后共 （1+x）人患流感，第二轮传染后共1+x+x （x+1）人患流感， 根据题意得：1+x+x（x+1）121，
25、解得：x110，x212（舍去） ， 2（1+x）22 故答案为：22 17 如图， 已知ABC 中， ACB90， ACBC2， 将直角边 AC 绕 A 点逆时针旋转至 AC， 连接 BC， E 为 BC的中点，连接 CE，则 CE 的最大值为 +1 【分析】 取 AB 的中点 M， 连接 CM， EM， 当 CECM+EM 时， CE 的值最大， 根据旋转的性质得到 AC AC2， 由三角形的中位线的性质得到 EMAC1， 根据勾股定理得到 AB2， 即可得到结论 【解答】解：取 AB 的中点 M，连接 CM，EM， 当 CECM+EM 时，CE 的值最大， 将直角边 AC 绕 A 点逆时
26、针旋转至 AC， ACAC2， E 为 BC的中点， EMAC1， ACB90，ACBC2， AB2， CMAB， CECM+EM+1， 故答案为： 18如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为 yx2将 x 轴绕原点 O 逆时针旋转 45，交抛物线 于点 A1， 将直线 OA1绕点 A1顺时针旋转 45， 交抛物线于点 A2， 将直线 A1A2绕点 A2逆时针旋转 45， 交抛物线于点 A3， 将直线 A2A3绕点 A3顺时针旋转 45， 交抛物线于点 A4， 依次进行下去， 则点 A2020 的坐标为 （1010，10102） 【分析】根据二次函数性质可得出点 A1的坐标，求得直线 A2
27、A3为 yx+2，联立方程求得 A3的坐标，即 可求得 A4的坐标，同理求得 A5的坐标，即可求得 A6的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出 点 A2020的坐标 【解答】解：A1点坐标为（1，1） ， 直线 OA1为 yx，A2（1，1） ， A2A3OA1， 直线 A2A3为 yx+2， 由得或， A3（2，4） ， A4（2，4） ， A4A5OA1， 直线 A4A5为 yx+6， 解得或， A5（3，9） ， A6（3，9） ， ， A2020（1010，10102） ， 故答案为（1010，10102） 三、解答题（三、解答题（19 题题 10 分，分，20 题题 12 分，
28、共分，共 22 分）分） 19 （10 分） （1） （x1）22（x1） （2）2x25x20 【分析】 （1）根据一元二次方程的解法即可求出答案 （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案 【解答】解： （1）（x1）22（x1） ， （x1）22（x1）0， （x1） （x12）0， x1 或 x3 （2）2x25x20， a2，b5，c2， 2542（2）41， x 20 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点都在格点上，点 A，B，C 的坐标分别为 A（3， 4） ，B（4，1） ，C（1，2）请解答下列问题： （1）如图，ABC是ABC 绕点 D 顺时针旋转 90得到
29、的图形，请直接写出旋转中心点 D 的坐标； （2）在（1）的条件下，求点 B 经过的路径的长？（结果保留 ） （3）ABC 与A1B1C1关于原点 O 成中心对称，画出A1B1C1并直接写出点 A 的对应点 A1的坐标 【分析】 （1）旋转中心点 D 是对应点连线的垂直平分线的交点； （2）利用弧长公式求出答案即可； （3）分别作出点 A、B、C 关于原点 O 的对称点，然后顺次连接，并写出点 A3的坐标 【解答】解： （1）ABC 绕点 D 顺时针旋转 90后得到的ABC如图所示，D（1，1） ； （2）DB， 点 B 经过的路径的长：； （3）如图所示，A1B1C1即为所求，点 A1的坐标
30、为（3，4） ， 四、解答题（四、解答题（21 题题 12 分，分，22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和 扇形统计图（不完整） ，请你根据图中信息解答下列问题 （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表 法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率 【分析】 （1）先有一等奖人数及其对应的百分比可得总人数，总人数减去一等奖
31、、三等奖的人数和求出 二等奖的人数，从而补全图形； （2）用 360乘以“二等奖”所占比例即可得； （3）画出树状图，由概率公式即可解决问题 【解答】解： （1）本次比赛获奖的总人数为 410%40（人） ， 所以二等奖人数为 40（4+24）12（人） ， 补全图形如下： （2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为 360108； （3）树状图如图所示， 从四人中随机抽取两人有 12 种可能，恰好是甲和乙的有 2 种可能， 抽取两人恰好是甲和乙的概率是 22 （12 分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为 500t，三月份的总产量为 720t，若平均每月的增 长率相同 （1）
32、第一季度平均每月的增长率； （2） 如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年 5 月份 总产量能否突破 1000t？ 【分析】 （1）设第一季度平均每月的增长率为 x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2） 根据五月份的总产量三月份的总产量 （1+增长率） 2， 即可求出今年五月份的总产量， 再与 1000 进行比较即可得出结论 【解答】解： （1）设第一季度平均每月的增长率为 x， 根据题意得：500（1+x）2720， 解得：x10.220%，x22.2（舍去） 答：第一季度平均每月的增长
33、率为 20% （2）720（1+20%）21036.8（t） ， 1036.81000， 该厂今年 5 月份总产量能突破 1000t 五、解答题（本题五、解答题（本题 12 分）分） 23 （12 分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供 产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市 生产的一种新型节能灯 已知这种节能灯的成本价为每件 10 元， 出厂价为每件 12 元， 每月销售量 y （件） 与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数：y10 x+500 （1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定
34、为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）设李明获得的利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于 3000 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 【分析】 （1）把 x20 代入 y10 x+500 求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的 差价； （2）由总利润销售量每件纯赚利润，得 w（x10） （10 x+500） ，把函数转化成顶点坐标式，根 据二次函数的性质求出最大利润； （3）令10 x2+600 x50003000，求出 x 的
35、值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承 担的总差价为 p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值 【解答】解： （1）当 x20 时，y10 x+5001020+500300， 300（1210）3002600 元， 即政府这个月为他承担的总差价为 600 元 （2）由题意得，w（x10） （10 x+500） 10 x2+600 x5000 10（x30）2+4000 a100，当 x30 时，w 有最大值 4000 元 即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 元 （3）由题意得：10 x2+600 x50003000， 解得：x120，x240 a100，
36、抛物线开口向下， 结合图象可知：当 20 x40 时，4000w3000 又x25， 当 20 x25 时，w3000 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元， p（1210）（10 x+500） 20 x+1000 k200 p 随 x 的增大而减小， 当 x25 时，p 有最小值 500 元 即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元 六、解答题（本题六、解答题（本题 12 分）分） 24 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 BD 上，以 OB 的长为半径的圆 O 与 AB，BD 分别交 于点 E，F，连接 DE，且ADEBDC （1）判
37、断直线 DE 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 BC6，CD8，AE4.5，求O 的半径 【分析】 （1）根据平行线的性质和已知得：EBDBDC，证明EOD+EDO90，则DEO 90，可得结论； （2）由勾股定理得：BD10，ED，设O 的半径为，R，根据勾股定理列出关于 R 的方程，解方 程可得结论 【解答】解： （1）直线 DE 与O 相切， 证明：连接 OE， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， EBDBDC， OBOE， EBDBEO， ADEBDC， BEOEBDBDCADE， 四边形 ABCD 是矩形， ADC90， EOD+EDO EBD+BEO+EDO BDC
38、+ADE+EDO ADC 90， OED180（EOD+EDO ）1809090， 即 OEED， OE 为半径， 直线 DE 与O 相切； （2）解：四边形 ABCD 是矩形， AC90， 在 RtDCB 中，C90， BD， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC6， 在 RtADE 中，A90， ED， 设O 的半径为 R， 在 RtDOE 中，DO2DE2+OE2， 解得：R， 即O 的半径是 （2）第二种方法： 解：四边形 ABCD 是矩形， AC90， 在 RtDCB 中，C90， BD， ABCD8，AE4.5， BE84.53.5， 作 OGBE 于 G，则 BGEGBE， OG
39、AD， ，即， OB， 即O 的半径是 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 25 （12 分）在ABC 中，ABAC，BAC，过点 A 作直线 l 平行于 BC，点 D 是直线 l 上一动点，连 接 CD，射线 DC 绕点 D 顺时针旋转 交直线 AB 于点 E （1）如图 1，若 60，当点 E 在线段 AB 上时，请直接写出线段 AC，AD，AE 之间的数量关系，不 用证明； （2）如图 2，若 60，当点 E 在线段 BA 的延长线上时， （1）中的结论是否成立？若成立，请证明； 若不成立，请写出正确结论，并证明 （3）如图 3，若 90，BC6，AD，请直接写出 AE 的
40、长 【分析】 （1）证明BCEACD（SAS） ，由全等三角形的性质可得出 BEAD，则可得出结论； （2）在 AC 的延长线上取点 F，使 AFAD，连接 DF，证明EADCFD（ASA） ，由全等三角形的 性质得出 AECF，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由直角三角形的性质可得出答案 【解答】解： （1）ACAE+AD 证明：连接 CE， 射线 DC 绕点 D 顺时针旋转 交直线 AB 于点 E，60， DCDE，CDE60， CDE 为等边三角形， CDCE，ECD60， ABAC，BAC60， ABC 为等边三角形， CBCAAB，ACB60， BCEACD， BCEACD
41、（SAS） ， BEAD， ABAE+BEAE+AD， ACAE+AD； （2）不成立，ADAC+AE 理由如下：在 AC 的延长线上取点 F，使 AFAD，连接 DF， 当 60时，BACEDC60， ABAC， ABC 是等边三角形， ABACBCBCA60， lBC， DACBCA60，EADABC60， AFAD， ADF 是等边三角形， ADFAFD60，ADFDAF， EDCADF60， EDCADCADFADC， 即EDACDF， ADFD，EADAFD60， EADCFD（ASA） ， AECF， ADAFAC+CFAC+AE； （3）AE 的长为或 当点 E 在线段 AB 上
42、，过点 D 作直线 l 的垂线，交 AC 于点 F，如图 3 所示 ABC 中，BAC90，ACAB， ACBB45 直线 lBC， DAFACB45 FD直线 l， DAFDFA45 ADFD EDCADF90， ADEFDC 射线 DC 绕点 D 顺时针旋转 交直线 AB 于点 E， DCDE， ADEFDC（SAS） ， AECF AD， AF2， BC6， ACAB3， AEACAF32 当点 E 在线段 AB 的延长线上时，如图 4 所示 过点 D 作直线 l 的垂线，交 AB 于点 M， 同理可证得ADCMDE（SAS） ， ACEM3， AD， AM2， EM+AM3+2 综合以
43、上可得 AE 的长为 3+2 或 32 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于两点 A（4，0）和 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C，连 接 AC，BC，AB （1）求抛物线的解析式； （2） 点 D 是ABC 边上一点， 连接 OD， 将线段 OD 以 O 为旋转中心， 逆时针旋转 90， 得到线段 OE， 若点 E 落在抛物线上，求出此时点 E 的坐标； （3）点 M 是抛物线对称轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，是否存在以 A，C，M，N 为顶点的四边 形是平行四边形，若存在，请直接写出点 N 的坐标，若
44、不存在，请说明理由 【分析】 （1）把 A（4，0） ，B（1，0）代入 yax2+bx+2 得到关于 a、b 的二元一次方程组，解方程组 即可得到结论； （2） 将ABC 以 O 为旋转中心， 逆时针旋转 90， 得到ABC， 然后分别求出 BC、 BA、 AC与抛物线的交点即可； （3）利用平行四边形的性质和点的坐标平移变换规律进行讨论，当 AC 为边时，如图 2，若 A 点向右平 移个单位可得 M 点，则 C 点向右平移个单位可得 N 点；如图 3，若 C 点向左平移个单位可得 M 点，则 A 点向左平移个单位可得 N 点；当 AC 为对角线时，如图 4，若，M 点向右平移个单位可得 C
45、 点，则 A 点向右平移个单位可得 N 点，然后计算出对应的纵坐标得到即可 【解答】解： （1）点 A（4，0） ，B（1，0）在抛物线 yax2+bx2 上， ，解得， 抛物线的解析式为 yx2+x2； （2）将ABC 以 O 为旋转中心，逆时针旋转 90，得到ABC， A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，2） ， A（0，4） ，B（0，1） ，C（2，0） ， 如图 1，设直线 BC的解析式为 ykx+b， 将点 B（0，1） ，C（2，0）代入得，解得， 直线 BC的解析式为， 解方程组得或（舍去） ， BC与抛物线的交点坐标为（2+，）； AB与与抛物线的交点 坐标（0，2） ，
46、 AC与抛物线没有交点， E 点坐标为（2+，）或（0，2） ， （3）存在 抛物线的对称轴为直线 x，A（4，0） ，C（0，2） ， 当 AC 为边时， 如图 2， 若 A 点向右平移个单位可得 M 点， 则 C 点向右平移个单位可得 N 点， 即 N 点的横坐标为， 当 x时，yx2+x2，此时 N 点坐标为（，） ； 如图 3，若 C 点向左平移个单位可得 M 点，则 A 点向左平移个单位可得 N 点，即 N 点的横坐标为 ，当 x时，yx2+x2，此时 N 点坐标为（，） ； 当 AC 为对角线时， 如图 4，若，M 点向右平移个单位可得 C 点，则 A 点向右平移个单位可得 N 点，即 N 点的横坐标为 ，当 x时，yx2+x2，此时 N 点坐标为（，） 综上所述，N 点坐标为（，）或（，）或（，）