1、第第 12 讲讲 余数余数 内容概述：内容概述： 掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法。学会利用余数的可加性、可减 性和可乘性计算余数；学会运用周期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数”问题。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1. 72 除以一个数，余数是除以一个数，余数是 7。商可能是多少？。商可能是多少？ 2. 100 和和 84 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为 0。这个除数可能是多少？。这个除数可能是多少？ 3. 20080808 除以除以 9 的余数是多少？除以的余数是多少？除以 8 和和 25 的余数分别是多少？
2、除以的余数分别是多少？除以 11 的余数是多少？的余数是多少？ 4. 4 个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为 101、126、173、193。规定每两人之间比赛的盘数是。规定每两人之间比赛的盘数是 他们号码的和除以他们号码的和除以 3 所得的余数。请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？所得的余数。请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？ 5. 某工厂有某工厂有 128 名工人生产零件，他们每个月工作名工人生产零件，他们每个月工作 23 天，在工作期间每人每天可以生产天，在工作期间每人每天可以生产 300 个零件。月个零件。月 底将这些零件按底将这些零
3、件按 17 个一包的规格打包，发现最后一包不够个一包的规格打包，发现最后一包不够 17 个。请问：最后一包有多少个零件？个。请问：最后一包有多少个零件？ 6. （1） 20 2除以除以 7 的余数是多少？的余数是多少？ （2） 14 14除以除以 11 的余数是多少？的余数是多少？ （3） 121 28除以除以 13 的余数是多少？的余数是多少？ 7. 108 88 88 88 个 除以除以 5 的余数是多少？的余数是多少？ 8. 一个三位数除以一个三位数除以 21 余余 17，除以，除以 20 也余也余 17。这个数最小是多少？。这个数最小是多少？ 9. 有一个数，除以有一个数，除以 3 的
4、余数是的余数是 2，除以，除以 4 的余数是的余数是 1。请问：这个数除以。请问：这个数除以 12 余数是几？余数是几？ 10.100 多名小朋友站成一列。从第一人开始依次按多名小朋友站成一列。从第一人开始依次按 1,2，3，11 的顺序循环报数，最后一名同学报的数的顺序循环报数，最后一名同学报的数 是是 9；如果按；如果按 1,2，3，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是 11。请问：一共有多少名小朋。请问：一共有多少名小朋 友？友？ 拓展篇拓展篇 1. 1111 除以一个两位数，余数是除以一个两位数，余数是 66。求这个两位数。求这个两位数
5、。 （1） 21421 421421421 个 除以除以 4 和和 125 的余数分别为多少？的余数分别为多少？ （2） 21808 808808808 个 除以除以 9 和和 11 的余数分别是多少？的余数分别是多少？ 2. 一年有一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个。年终将这些零件按个。年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，个一包的规格打包， 最后一包不够最后一包不够 19 个。请问：最后一包有多少个零件？个。请问：最后一包有多少个零件？ 3. 自然数自然数 672 2 2 22 1 个 的个位数字是多少？的个位数字是多少？ 4
6、. 算式算式 2007200720072007 1232006 计算结果的个位数字是多少？计算结果的个位数字是多少？ 6.一个自然数除以一个自然数除以 49 余余 23，除以，除以 48 也余也余 23。这个自然数被。这个自然数被 14 除的余数是多少？除的余数是多少？ 7.一个自然数除以一个自然数除以 19 余余 9，除以，除以 23 除除 7。这个自然数最小是多少？。这个自然数最小是多少？ 8.刘叔叔养了刘叔叔养了 400 多只兔子。如果每多只兔子。如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2 只；如果只；如果 5 只兔只兔 子关在一
7、个笼子里，那么最后一个笼子里有子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果每只；如果每 7 只兔子关一个笼子里，那么最后一个笼子里有只兔子关一个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只。请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？只。请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？ 9. 123123 123123123 个 除以除以 99 的余数是多少？的余数是多少？ 10.把把 63 个苹果，个苹果，90 个橘子，个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去。请问：剩个水果没有分出去。请问：剩 下个数最多的水果剩下多少个？下个数最多的水果剩下多少个？
8、 11.有一个大于有一个大于 1 的整数，用它除的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数。得到相同的余数，求这个数。 12.用用 61 和和 90 分别除以某一个数， 除完后发现两次除法都除不尽， 而且前一次所得的余数是后一次的分别除以某一个数， 除完后发现两次除法都除不尽， 而且前一次所得的余数是后一次的 2 倍。倍。 如果这个数大于如果这个数大于 1，那么这个数是多少？，那么这个数是多少？ 超越篇超越篇 1.从从 1 依次写到依次写到 99，可以组成一个多位数，可以组成一个多位数 12345979899。这个多位数除以。这个多位数除以 11 的余数是多少？的余数是多
9、少？ 2.算式算式 20087 77 77 77 个 计算结果的末两位数字是多少？计算结果的末两位数字是多少？ 3.算式算式1 3 5 7 2007 计算结果的末两位数字是多少？计算结果的末两位数字是多少？ （北京市第（北京市第 11 届迎春杯决赛试题）届迎春杯决赛试题） 4.有有 5000 多根牙签，按以下多根牙签，按以下 6 种规格分成小包：如果种规格分成小包：如果 10 根一包，最后还剩根一包，最后还剩 9 根；如果根；如果 9 根一包，最后还根一包，最后还 剩剩 8 根；如果依次以根；如果依次以 8、7、6、5 根为一包，最后分别剩根为一包，最后分别剩 7、6、5、4 根。原来一共有牙
10、签多少根？根。原来一共有牙签多少根？ 5.有三个连续的自然数，它们从小到大依次是有三个连续的自然数，它们从小到大依次是 5、7、9 的倍数。这三个连续自然数最小是多少？的倍数。这三个连续自然数最小是多少？ 6.请找出所有的三位数，使它除以请找出所有的三位数，使它除以 7、11、13 的余数之和尽可能大。的余数之和尽可能大。 7.已知已知21!0909421717094000ABCD，那么四位数，那么四位数ABCD是多少？是多少？ 8.有一些自然数有一些自然数n，满足：，满足：2nn是是 3 的倍数，的倍数，3nn是是 5 的倍数，的倍数，5nn是是 2 的倍数。请问：这样的的倍数。请问：这样的
11、n中中 最小的是多少？最小的是多少？ 第第 12 讲讲 余数余数 内容概述：内容概述： 掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法。学会利用余数的可加性、可减 性和可乘性计算余数；学会运用周期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数”问题。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 10. 72 除以一个数，余数是除以一个数，余数是 7。商可能是多少？。商可能是多少？ 【分析】【分析】727ab，所以，所以65ab，由于a是除数，其必须大于 7，则a可以取的值有13与 65。对应 的商可取 5 或者 1。 11. 100 和和 84 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为除以同一个数，得到
12、的余数相同，但余数不为 0。这个除数可能是多少？。这个除数可能是多少？ 【分析】【分析】根据题意，有他们相同的余数应为 16 的一个因数。则可以取 1、2、4、 8、16。由于不能是 100 或者 84 的因数，所以有 8 和 16 两种。 12. 20080808 除以除以 9 的余数是多少？除以的余数是多少？除以 8 和和 25 的余数分别是多少？除以的余数分别是多少？除以 11 的余数是多少？的余数是多少？ 【分析】【分析】一个数的数字之和除以 9 的余数是几，该数除以 9 的余数就为几。而 20080808 的数字和为 26，所 以其除以 9 的余数为 8； 该数的末三位能被 8 整除
13、，所以其除以 8 的余数为 0； 该数的末两位除以 25 的余数为 25，所以其除以 25 的余数为 8； 该数的奇数位的数字之和为：24；偶数位的数字之和为：2，所以奇数位的数字之和与偶数位的数字和的差 为 22。为 11 的倍数。所以其除以 11 的余数为 0。 13. 4 个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为 101、126、173、193。规定每两人之间比赛的盘数是。规定每两人之间比赛的盘数是 他们号码的和除以他们号码的和除以 3 所得的余数。请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？所得的余数。请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？ 【分析】【
14、分析】根据题意，101 3332 ，126 342 ，173 3572 ；193 3641 。 而他们号码的和除以 3 所得的余数与他们除以 3 的余数的和相等。则 101 号选手分别比赛了 2 场、1 场、0 场； 126 号选手分别比赛了 2 场、2 场、1 场共计 5 场； 173 号选手分别比赛了 1 场、2 场共计 3 场； 193 号选手分别比赛了 0 场、1 场、0 场共计 1 场。 所以比赛最多的选手为 126 号选手比赛了 5 场。 14. 某工厂有某工厂有 128 名工人生产零件，他们每个月工作名工人生产零件，他们每个月工作 23 天，在工作期间每人每天可以生产天，在工作期
15、间每人每天可以生产 300 个零件。月个零件。月 底将这些零件按底将这些零件按 17 个一包的规格打包，发现最后一包不够个一包的规格打包，发现最后一包不够 17 个。请问：最后一包有多少个零件？个。请问：最后一包有多少个零件？ 【分析】【分析】该工厂共生产了300 128 23个零件，300 除以 17 的余数为 11，128 除以 17 的余数为 7，23 除 以 17 的余数为 6，而11 9 616(mod17) 所以最后一包有 16 个零件。 15. （1） 20 2除以除以 7 的余数是多少？的余数是多少？ （2） 14 14除以除以 11 的余数是多少？的余数是多少？ （3） 12
16、1 28除以除以 13 的余数是多少？的余数是多少？ 16. 108 88 88 88 个 除以除以 5 的余数是多少？的余数是多少？ 【分析】【分析】 （1）根据题意， 3 21(mod7)，则有 202 224(mod7) （2） 1414 143 (mod11)，由于 5 31 mod11，所以 14144 14334(mod11) （3） 12112112 282222 mod13 所以 20 2除以 7 的余数是 4， 14 14除以 11 的余数是 4； 121 28除以 13 的余数是 2。 17. 一个三位数除以一个三位数除以 21 余余 17，除以，除以 20 也余也余 17
17、。这个数最小是多少？。这个数最小是多少？ 【分析】【分析】根据题意，该数应为17420437。 18. 有一个数，除以有一个数，除以 3 的余数是的余数是 2，除以，除以 4 的余数是的余数是 1。请问：这个数除以。请问：这个数除以 12 余数是几？余数是几？ 【分析】满足条件的所有的自然数为：【分析】满足条件的所有的自然数为：5 12n，这类自然数除以，这类自然数除以 12 的余数为的余数为 5。 10.100 多名小朋友站成一列。从第一人开始依次按多名小朋友站成一列。从第一人开始依次按 1,2，3，11 的顺序循环报数，最后一名同学报的数的顺序循环报数，最后一名同学报的数 是是 9；如果按
18、；如果按 1,2，3，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是 11。请问：一共有多少名小朋。请问：一共有多少名小朋 友？友？ 【分析】【分析】令小朋友的人数为a，则有119a；1311a，则2a能被 11 与 13 整除。 所以141a 。 拓展篇拓展篇 5. 1111 除以一个两位数，余数是除以一个两位数，余数是 66。求这个两位数。求这个两位数。 【分析】【分析】根据题意，111166ab，所以，所以1111 665 11 19ab ，由于a要大于 66。所以95a 6. （1） 21421 421421421 个 除以除以 4 和和 125
19、 的余数分别为多少？的余数分别为多少？ （2） 21808 808808808 个 除以除以 9 和和 11 的余数分别是多少？的余数分别是多少？ 【分析】 （【分析】 （1）对于较大数除以 4 的余数只需看末两位除以 4 的余数，对于较大数除以 125 的余数只需看末 三位除以 125 的余数。 21 451， 421 125346 （2）对于较大数除以 9 的余数只需要看数字和除以 9 的余数即可，数字和为：336。336 除以 9 的余数为 3。 （继续看数字和即可） ，所以 21421 421421421 个 除以 9 的余数为 3。 对于较大数除以 11 的余数只需看奇数位数字之和与
20、偶数位的数字之和除以 11 的余数的差是否是 11 的倍数 即可，如不是，则添上相应的倍数。 则有：奇数位数字之和：8 810 8 8 ； 偶数位数字之和：8 810 所以 21808 808808808 个 除以 11 的余数为 5。 7. 一年有一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个。年终将这些零件按个。年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，个一包的规格打包， 最后一包不够最后一包不够 19 个。请问：最后一包有多少个零件？个。请问：最后一包有多少个零件？ 【分析】【分析】1234 196418，365 19194，则1234 3
21、6518 415 mod19 所以最后一包有 15 个零件。 8. 自然数自然数 672 2 2 22 1 个 的个位数字是多少？的个位数字是多少？ 【分析】 673 22mod10 所以 672 2 2 22 1 个 的个位数字为 7。 9. 算式算式 2007200720072007 1232006计算结果的个位数字是多少？计算结果的个位数字是多少？ 【分析】【分析】由于任意自然数除以 10 的余数均是 4 个一周期。 则 2007200720072007333 1232006122006 (mod10) 方法一：方法一： 22 33322 20062007 12200610032007
22、4 其个位数字为 1。 方法二：由于 3 1 与 3 11 的个位相同， 3 2 与 3 12 的个位相同，其他类似， 而 333 12105 mod10 （可只计算个位） ，这样 333333333 1220061234565 2001 8 74 5 61 mod10 6.一个自然数除以一个自然数除以 49 余余 23，除以，除以 48 也余也余 23。这个自然数被。这个自然数被 14 除的余数是多少？除的余数是多少？ 【分析】【分析】根据题意，所以满足除以 49 余 23，除以 48 也余 23 的自然数可以表示为2349 48m，由于 49 48m一定为 14 的倍数。所以该数除以 14
23、 的余数为 9 7.一个自然数除以一个自然数除以 19 余余 9，除以，除以 23 除除 7。这个自然数最小是多少？。这个自然数最小是多少？ 【分析】【分析】满足除以 23 余 7 的所有自然数可以用723m来表示。 所以有：723199m，则4192m，对应的m最小取值为 10。 所以这个自然数最小是 237。 8.刘叔叔养了刘叔叔养了 400 多只兔子。如果每多只兔子。如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2 只；如果只；如果 5 只兔只兔 子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果
24、每只；如果每 7 只只兔子关一个笼子里，那么最后一个笼子里有兔子关一个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只。请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？只。请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？ 【分析】【分析】令有满足后面三个条件的兔子数为 a 只兔子，则根据条件有： 32 54 75 a a a 满足前两个的所有的自然数为：14 15n。 所以有：14 1575n 由于14 1515mod7nnn所以n最小取 5。 所以满足条件的最小的为 89。现在刘叔叔应该养了89 3 105404 （只兔子） 。 9. 123123 123123123 个 除以除以 99 的余数是多少？的余数是多少？ 【分析】【分析】
25、 根据题意， 判断较大的数除以 99 的余数可以适用两位一段， 所有段数之和除以 99 的余数来判断。 123 12312312323 31 1261 23 1 mod99 123 个 而23 31 1261 234050，其除以 99 的余数为 4050 所以 123123 123123123 个 除以 99 的余数为 4050。 10.把把 63 个苹果，个苹果，90 个橘子，个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去。请问：剩个水果没有分出去。请问：剩 下个数最多的水果剩下多少个？下个数最多的水果剩下多少个？ 【分析】【分
26、析】由于和的余数等于余数的和。则有： 28325ab，即有258ab，即同学数应该为 258 的一个因数，由于最后的余数的和要为 25。则显 然 86 与 129 以及小于 8 的因数都不可以。所以有唯一的因数 43 符合条件。 此时剩下的水果最多的为苹果，20 个。 11.有一个大于有一个大于 1 的整数，用它除的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数。得到相同的余数，求这个数。 【分析【分析】根据题意，该整应为 300-262=38 的一个因数，也为 262-205=57 的一个因数。 也就是该数只能取 19 或者 1。所以该数只能为 19。 12.用用 61 和和
27、 90 分别除以某一个数， 除完后发现两次除法都除不尽， 而且前一次所得的余数是后一次的分别除以某一个数， 除完后发现两次除法都除不尽， 而且前一次所得的余数是后一次的 2 倍。倍。 如果这个数大于如果这个数大于 1，那么这个数是多少？，那么这个数是多少？ 【分析】【分析】根据题意，如若有612ab，则有90ab，将两余数化为相同，则有： 1802ab。 所以有：a应为 119 的一个因数。则可取 1、7、17 或者 119。 经实验可知只有 17 符合条件。所以这个数为 17。 超越篇超越篇 1.从从 1 依次写到依次写到 99，可以组成一个多位数，可以组成一个多位数 12345979899
28、。这个多位数除以。这个多位数除以 11 的余数是多少？的余数是多少？ 【分析】【分析】根据题意，奇数位数字之和： 1 2 3 4 5 67 8 909 975 3 1405254301 mod11 ； 偶数位数字之和为： 1 2 3 4 5 67 8 910 8 642450204708 mod11 则奇数位的数字之和除以 11 的余数与偶数位除以 11 的余数之差不够，则添上 11，所以。 余数为：1+11-8=4。 2.算式算式 20087 77 77 77 个 计算结果的末两位数字是多少？计算结果的末两位数字是多少？ 【分析】【分析】 根据题意有：7的末两位为 07 7的末两位为 07；
29、 2 7的末两位为 49； 3 7的末两位为 43； 4 7的末两位为 01； 5 7的末两位为 07； 6 7的末两位为 49； 7 7的末两位为 43； 8 7的末两位为 01； . 则四个一周期。 所以 20087 77 77 77 个 的所有末两位数字和为：74943 150250200 所以末两位的数字为 00。 3.算式算式1 3 5 72007 计算结果的末两位数字是多少？计算结果的末两位数字是多少？ 【分析】【分析】该数能被 25 整除且为奇数。所以该数的末两位数字只能为 25 或者 75。 由于1 3 5 7 911 13 15 17 191 mod4 所以末两位数字为 25
30、 （北京市第（北京市第 11 届迎春杯决赛试题）届迎春杯决赛试题） 4.有有 5000 多根牙签，按以下多根牙签，按以下 6 种规格分成小包：如果种规格分成小包：如果 10 根一包，最后还剩根一包，最后还剩 9 根；如果根；如果 9 根一包，最后还根一包，最后还 剩剩 8 根；如果依次以根；如果依次以 8、7、6、5 根为一包，最后分别剩根为一包，最后分别剩 7、6、5、4 根。原来一共有牙签多少根？根。原来一共有牙签多少根？ 【分析】【分析】 如果添加 1 根牙签， 那么按六种规格分成小包时都恰好每包装满且无剩余 即这时牙签数是 5、 6、 7、8、9、10 的公倍数5、6、7、8、9、10
31、 的最小公倍数是 32 5,6,7,8,9,10235 72520 ，又已 知原来牙签根数为 5000 多，所以原来共有牙签2 2520 15039 (根) 5.有三个连续的自然数，它们从小到大依次是有三个连续的自然数，它们从小到大依次是 5、7、9 的倍数。这三个连续自然数最小是多少？的倍数。这三个连续自然数最小是多少？ 【分析】【分析】根据题意，令这三个连续的自然数分别是：a、1a、2a，则它们从小到大依次是 5、7、9 的倍数。所以我们有： 50 76 97 a a a 满足前两个的所有的自然数为：2035n 所以有：20 3597n，所以3595n，有895n，则 n 最小取 4。 此
32、时a最小取 160。 所以这三个自然数为 160、161、162。 6.请找出所有的三位数，使它除以请找出所有的三位数，使它除以 7、11、13 的余数之和尽可能大。的余数之和尽可能大。 【分析】【分析】 （1）余数之和最大为除以 7 余 6，除以 11 余 10，除以 13 余 12。此时余数之和为 28，但是此时满 足三个条件的最小的自然数为 1000； （2）无法实现余数和为 28，则考虑余数和为 27，此时会出现三种情况： 除以 7 余 6，除以 11 余 10，除以 13 余 10； 满足除以 7 余 6，除以 11 余 10 的最小的自然数为 76，满足该两条件的所有自然数为：76
33、77n，现在只需 要其满足除以 13 余 10 即可。 76771310n 则有7613511 则771312n，对应的n最小取 1。此时满足条件的最小的三位数为 153。下一个为 153+1001=1154，不 符合； 以 7 余 6，除以 11 余 9，除以 13 余 12； 满足除以 7 余 6，除以 13 余 12 的最小的自然数为 90，满足该两个条件的所有的自然数为9091n，则有： 9091119n，则91112n即3112n，对应的n的最小值为 8，所以满足三个条件的最小的自然 数为 818，下一个为 818+1001=1819 以 7 余 5，除以 11 余 10，除以 13
34、 余 12； 满足除以 11 余 10，除以 13 余 12 的最小的自然数为 142，满足条件的所有自然数为：142143n，则 有： 142 14375n，则有14373n。n 最小取 1 所以满足条件的最小的自然数为：285. 所以除以 7、11、13 的余数之和最大可以取 27，共有三个这样的三位数，分别是：153,818,285。 7.已知已知21!0909421717094000ABCD，那么四位数，那么四位数ABCD是多少？是多少？ 【分析】【分析】由于 121 中有 4 个 5 的倍数，所以21!的末尾有 4 个 0，所以0D 由于21!2 5 10 15 8 2010000
35、8 3MM (M为正整数)，所以 0909421717094000ABCD去掉末尾的4个0后得到的数是8的倍数， 那么94C是8 的倍数， 所以4C 由于该数既是 9 的倍数，又是 11 的倍数。则该数必然为 99 的倍数。则有： 044 9 17 1742 9 9147ABAB 为 99 的倍数。 所以51AB 。 则该四位数ABCD为为 5140。 【拓展】【拓展】 （2005 年第年第 3 届走美杯届走美杯 5 年级决赛第年级决赛第 7 题，题，10 分）分） 已知：23!258 20 67388849766000DCAB则ABC D 【分析】 由于 123 中有 4 个 5 的倍数，所
36、以23!的末尾有 4 个 0，所以0B 由于23!2 5 10 15 8 2010000 8 3MM (M为正整数)，所以 258 20 67388849766000DCAB去掉末尾的 4 个 0 后得到的数是 8 的倍数，那么66A是 8 的倍数，所以4A 易知258 20 673888497664DC是 9 和 11 的倍数，所以 2 5 820673 8 8 84 9766493DCCD 是9的倍数； 2 827 8 8 964506 3 847615CDCD 是11 的倍数， 那么6CD或 15，7CD或4DC 若15CD， 由于CD与CD(或DC)奇偶性相同， 所以此时7CD， 得1
37、1C ， 不合题意所以6CD，4DC，得1C ，5D， 所以401 5=2005ABC D 8.有一些自然数有一些自然数n，满足：，满足：2nn是是 3 的倍数，的倍数，3nn是是 5 的倍数，的倍数，5nn是是 2 的倍数。请问：这样的的倍数。请问：这样的n中中 最小的是多少？最小的是多少？ 【分析】【分析】根据题意，容易知道 2mod3 3mod5 5mod2 n n n n n n 根据2mod3 n n可知，由于2n除以 3 的余数为 2、1、2、1、2、1 两个一周期，n除以 3 的余数为 1、2、 0、1、2、 0 三个一周期，则满足条件的 n 的取为：64k 或者65k ； 根据3mod5 n n可知，由于3n除以 5 的余数为 3、4 、2、1 四个一周期；n除以 5 的余数为 1、2、3、 4、 0 五个一周期， 则合起来 20 一周期， 满足条件的 n 取值为：207p或者2012p 或者2013p或者2014p 根据5mod2 n n可知，n 必须为奇数。 则 n 应同时符合65k 以及207p或者2013p 当1p 时，27 与 33 均不能表示成65k 的形式，不符合； 当当2p 时，47675 所以n的最小值是 47。