1、第第 10 讲：讲：几何计数几何计数 内容概述内容概述 合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方 格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。 典型问题典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.如图 10-1，线段ABBCCDDE、的长度都是 3 厘米。请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度 之和是多少厘米？ 2.小明把巧克力棒摆成了如图 10-2 所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问： （1）一共有多少个巧克力棒？ （2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？ （3）嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有小箭头的小边）
2、，剩下的图形中还有多少个三角形？ 3.如图 10-3，它是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形，基中某些相邻的小正三角形可以拼成较大 的正三角形。图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？ 4.如图 10-4 和 10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 5.如图 10-6，在一个44的方格表中，共有多少个正方形？ 6.如图 10-7，数一数图中共有多少线线段？多少个矩形？ 7.如图 10-8，ABCDEFMN、互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 8.如图 10-9，125 个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有 多少
3、个？ 9 如图 10-10， 木板上钉着 12 枚钉子， 排成三行四列的长方阵。 用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？ 10.如图 10-11，在23的长方形中，每个小正方形的面积都 1。请问：ABCDEFG、 、 、 、 、 、为顶点且面 积为 1 的三角形共有多少个？ 拓展篇拓展篇 1.如图 10-12，数一数，图中有多少个三角形？ 2.如图 10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形。 3.如图 10-14，数一数，图中有多少个三角形？ 4.如图 10-15，数一数，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形） 5.如图 10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形。
4、用 16 个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形。数一 数，图中共有多少个菱形？ 6.如图 10-17，这是一个长为 9，宽为 4 的网格，每一个小格都是一个正方形。请问： （1）从中可以数出多个长方形？ （2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？ 7.如图 10-18，数一数，图中共有多少个长方形？ F A B E C D 8.如图 10-19，数一数，图中共有多少个平行四边形？ 9.如图 10-20，18 个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形。数一数，图中共有多少个梯形？ 10.如图 10-21，方格纸上放了 20 枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？ 11.一个平面封闭
5、图形， 只要组成它的边中有一条边不是直线段， 就将这个图形称为曲边形， 例如圆、 半圆、 扇形等都是曲边形。在图 10-22 中，共有多少个不同的曲边形？ F E C BD A 12.如图 10-23，一个23的网格中，每个小正方形的面积都是 1。以这些格点为顶点，可以连成多少个面积 为 1 的三角形？ 超越篇超越篇 1.图 10-24 是一个等边三角形的点阵。以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）？ 2.如图 10-25，数一数，图中共有多少个三角形？ 3.如图 10-26，这是一个48的矩形网格，每一个小格都是一个小正方形。请问： （1）包含有两个“”的矩形共有多少个？
6、 （2）至少包含一个“”的矩形有多少个？ 4.如图 10-27， 在图中的3 3正方形格子中， 格线的交点称为格点。 例如：, ,A B C这 3 个点都是格点。 那么， 以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？ 5.如图 10-28，用 12 个点将圆周 12 等分。以这些点为顶点的梯形共有多少个？ 6.一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、 扇形等都是曲边形。在图 10-29 中，共有多少个不同的曲边形？ 7.如图 10-30，木板上钉着 16 枚钉子，排成四行四列的方阵。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角 形
7、？ 8.如图 10-31，在3 3的方格表内，每个小正方形的面积为 1。请问： (1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 4 的三角形？ (2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 3 的三角形？ (3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 1.5 的三角形？ 第第 10 讲：讲：几何计数几何计数 内容概述内容概述 合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方 格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。 典型问题典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.如图 10-1，线段ABBCCDDE、的长度都是 3 厘米。请问：图中一共有多少条线段？这些线
8、段的长度 之和是多少厘米？ 【详解】【详解】图中一共有 2 5 10C 条线段。长度之和为4 1 3 22 3 1 4360 厘米。 2.小明把巧克力棒摆成了如图 10-2 所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问： （1）一共有多少个巧克力棒？ （2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？ （3）嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有小箭头的小边） ，剩下的图形中还有多少个三角形？ 【详解】【详解】 （1）一共有 30 个巧克力棒； （2）由 1 个三角形组成的有 16 个三角形，由 4 个三角形组成的有 7 个三角形，由 9 三角形组成的有 3 个三角形，由 16 个三角形组成的
9、三角形有 1 个。所以总共有 1673127 个。 （3）一共有 5 个三角形的边用到了这根巧克力棒，所以剩下的图形中还有 27522个三角形。 3.如图 10-3，它是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形，基中某些相邻的小正三角形可以拼成较大 的正三角形。图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？ 【详解】【详解】 只观察包含“*”的各种大小的正三角形。 由 1 个三角形组成的有 1 个， 由 4 个三角形组成的有 4 个， 由 9 个三角形组成的有 1 个。那么总共有1416 个。 4.如图 10-4 和 10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 【详解】【详解】图
10、10-4 中不包含中间的线的有 5 个三角形，加上中间那条线多了 7 个三角形，所以一共5712 个。图 10-5 中先观察形如下图 1 的形状的三角形有 5 个，总共是5420个，再数该形状之间的 交叉的三角形有 4 个，再数下图 2 的三角形有 4 个，再数它们互相交叉的三角形有 4 个，所以总共 有2044432个。 5.如图 10-6，在一个44的方格表中，共有多少个正方形？ 【详解】【详解】先数面积为 1 的有 16 个，再数面积为 4 的有 9 个，再数面积为 9 的有 4 个，再数面积为 16 的有 1 个，总共有1694130 个。 6.如图 10-7，数一数图中共有多少线线段
11、？多少个矩形？ 【详解】【详解】线段：水平方向有 2 5 440C条线段，竖直方向有 2 4 530C条线段，总共有403070条线段。 矩形：水平方向选两条线，竖直方向选两条线即可以组成矩形共有 22 54 60C C 个矩形。 7.如图 10-8，ABCDEFMN、互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 【详解】【详解】梯形的个数为 22 45 60C C 个，三角形的个数为 2 5 440C个，它们的差为 20 个。 8.如图 10-9，125 个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有 多少个？ 【详解】【详解】 每条棱上都有两个小立方体共
12、 12 条棱， 一共有2 1224个， 每一个面上除了棱有 4 个小立方体， 一共有4624个。总共有242448个。 9 如图 10-10， 木板上钉着 12 枚钉子， 排成三行四列的长方阵。 用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？ 【详解】【详解】从 12 个钉子中选择 3 个钉子组成三角形，一共有 3 12 220C个，但是有 3 个点在同一条直线上的情 况，需要排除，水平方向共有 3 4 312C个，竖直方向有1 44个，斜着有 4 个，这样的话总共有 2201244200个。 10.如图 10-11，在23的长方形中，每个小正方形的面积都 1。请问：ABCDEFG、 、 、 、 、
13、 、为顶点且面 积为 1 的三角形共有多少个？ 【详解】【详解】有底为 1，高为 2 的三角形有： ,;,DEADEBEFAEFBFGAFGBABDABEABFABG 底为 2，高为 1 的三角形有：,DFCEGC。此外还有,BCFACG。一共 14 个。 拓展篇拓展篇 1.如图 10-12，数一数，图中有多少个三角形？ 【详解】【详解】先数由 1 个三角形组成的三角形一共 25 个，再数由 4 个三角形组成的大三角形一共 13 个，再数 由 9 个三角形组成的大三角形一共 6 个，再数由 16 个三角形组成的大三角形一共 3 个，再数由 25 个 三角形组成的大三角形一共 1 个。所以一共有
14、251363148 个三角形。 2.如图 10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形。 【详解】【详解】 （1）图中有两个五边形，对于外围的五边形，三角形三个顶点全在外围五边形上的三角形一共有 3 5 10C 个。再看内部的五边形，组成的三角形中其中一个顶点在内部五边形顶点上，另两个顶点在 外围五边形上的三角形一共有4520个。还有 5 个三角形属于有两个顶点在内部五边形上，另一 个顶点在外围五边形上。这样一共有1020535个。 （2）包含少的那一条线段的三角形的个数 一共有 6 个， 这样的话三角形的总数为35629个。 （3） 包含新加线段的三角形左边右边各 6 个， 所以一共
15、有三角形352647个。 3.如图 10-14，数一数，图中有多少个三角形？ 【详解】【详解】 如上题， 本题应该有35270个， 但是内部五边形中每一条线又与外部五边形连接着 3 个三角形， 这样的话多出3 515个三角形。一共701585个三角形。 4.如图 10-15，数一数，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形） 【详解】【详解】 诸如像 和 的长方形一共有 12 个，再算上底下的长方形一共有 15 个长方形，但是还 有两个长方形如下图长方形ABCD和长方形ABFE。一共 17 个 5.如图 10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形。用 16 个同样大小的菱形组成如图的
16、一个大菱形。数一 数，图中共有多少个菱形？ 【详解】【详解】把这个图扶正了就相当于数一数有多少个正方形，先数一个小正方形组成的，共 16 个，再数 4 个 小正方形组成的，共 9 个，再数 9 个小正方形组成的，共 4 个，最后数 16 个小正方形组成的，共 1 个。加起来，一共 30 个。 6.如图 10-17，这是一个长为 9，宽为 4 的网格，每一个小格都是一个正方形。请问： （1）从中可以数出多个长方形？ （2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？ 【详解】【详解】 （1）两条水平线和两条竖直的线组成一个长方形，这样的话就从 10 条竖直的线中取两条，从 5 条 水平的线中取两条即可
17、， 即 22 105 450CC个。 （2） 同样的道理， 两条竖直的线应该为黑点左边一条， 黑点右边一条；两条水平的线应该为黑点上边一条，黑点下边一条，即 1111 6423 144C C C C 个含黑点的 长方形。 7.如图 10-18，数一数，图中共有多少个长方形？ F A B E C D 【详解】【详解】如图，下方阴影部分中一共有长方形 22 46 90CC个；右方的阴影中一共有长方形 22 73 63CC个。 其中右下方32长方形中的长方形被重复计算了，共有 22 43 18CC个。所以图中一共包含长方形 906318135个。 8.如图 10-19，数一数，图中共有多少个平行四边
18、形？ 【详解】【详解】首先，如下图，平行四边形 ABCD、平行四边形 ABDE、平行四边形 AFBD 是三个方向上的平行四边 形，又因为整个图形是一个等边三角形，由图形的对称性，知道三个方向上的平行四边形个数是 相等的。 接下来， 不妨取与平行四边形 ABCD 方向相同的所有平行四边形为研究对象， 分别延长其四条边， 观察到各边的延长线都与大等边三角形的底边交于一点。可以看出，底边上的 4 个点可以唯一地 确定一个平行四边形。同时，当平行四边形最靠下的一个点落在等边三角形的底边上时，平行四 边形四条边的延长线与三角形底边只有3个交点， 也即底边上的3个点同样对应一个平行四边形。 因此图中与 A
19、BCD 方向相同的平行四边形总数为：（个） 因此图中平行四边形总数为 153=45（个） 另一方面，我们也可以这样考虑： 如果将大三角形再往下延长一层，那么底边上的点就从 5 个变成 6 个。同时，所有与平行四边形 ABCD 方向相同的平行四边形各边延长线都会与新的底边交于 4 个点，因此，新的底边上的四个点 的选取方法和原图中与平行四边形 ABCD 方向相同的平行四边形是一一对应的。因此图中与 ABCD 方向相同的平行四边形总数为：错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 （个） 9.如图 10-20，18 个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形。数一数，图中共有多少个梯形？ 【详解】【详
20、解】先把该图形分成左右两个完全一样的部分，任意拿出一部分数一数里面有多少个梯形，我们发现 是 18 个。总共有18236个。但是中间还有 20 个梯形同时覆盖了左右两个部分。这样的话总共 有362056个。 10.如图 10-21，方格纸上放了 20 枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？ 【详解】【详解】除了图中的 9 个正方形之外，还可以连出许多的斜三角形，经过尝试不难看出，斜三角形只有下 列四种形式： F E C BD A 容易数出， 第一种有4个， 第二种有2个， 第三种有4个， 第四种有2个。 综上， 总共9424221 个。 11.一个平面封闭图形， 只要组成它的边中有一
21、条边不是直线段， 就将这个图形称为曲边形， 例如圆、 半圆、 扇形等都是曲边形。在图 10-22 中，共有多少个不同的曲边形？ 【详解】【详解】五角星把圆分成五段弧，所有的曲边形按照圆的段数分，一段弧组成的曲边形有5210个，两 段弧组成的曲边形有 2 5 10C 个， 三段弧组成的曲边形有 3 5 10C 个， 四段弧组成的曲边形有 4 5 5C 个， 五段弧组成的曲边形有 1 个（圆） 。综上，总共1035136 个。 12.如图 10-23，一个23的网格中，每个小正方形的面积都是 1。以这些格点为顶点，可以连成多少个面积 为 1 的三角形？ 【详解】【详解】如下第一个图，水平方向底为
22、2，竖直方向高为 1 的三角形一共有4 832个；如下第二个图，水 平方向高为 1，竖直方向底为 2 的三角形一共有3618个；我们还漏了几个，如下第三个图水平 方向底为 1，竖直方向高为 2 而且两条边不在格点图上的三角形有2612个；如下第四个图竖直 方向底为 1，水平方向高为 2 而且两条边不在格点图上的三角形有248个。总共 321812870个。 超越篇超越篇 1.图 10-24 是一个等边三角形的点阵。以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）？ 【详解】【详解】先计算腰的长为 1 的等腰三角形，一个菱形中有 4 个，一共有 9 个菱形，但是重复计算了 9 个， 一
23、共49927个。再计算腰长为菱形长对角线的等腰三角形，如下图 1，一共有 5 个；再计算腰 长为 2 的等腰三角形， 一共有 3 个， 再计算腰长为 3 的等腰三角形， 一共有 1 个。 我们还漏了三个， 如下图 2。总共27531339 个。 2.如图 10-25，数一数，图中共有多少个三角形？ 【详解】【详解】如下图 1，先数出一共有 21 个三角形；如下图 2，再加 1 条线，多增加 21 个三角形；如下图 3， 再加 1 条线，多增加 12 个三角形；最后再把最后一条线加上，又多了 13 个三角形。则总共 2121121367个三角形。 3.如图 10-26，这是一个48的矩形网格，每
24、一个小格都是一个小正方形。请问： （1）包含有两个“”的矩形共有多少个？ （2）至少包含一个“”的矩形有多少个？ 【详解】【详解】 （1）按照长方形四条边的选取来计算有 1111 3521 30C C C C 个。 （2）包含左边的的长方形有 1111 3641 72C C C C 个，包含右边的的长方形有 1111 4523 120C C C C 个。所 以至少包含一个“”的矩形有1207230162个。 4.如图 10-27， 在图中的3 3正方形格子中， 格线的交点称为格点。 例如：, ,A B C这 3 个点都是格点。 那么， 以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个
25、？ 【详解】【详解】能覆盖阴影部分三角形的有三种： 共有 4 个 共有 8 个 共有 4 个 共有48416个。 5.如图 10-28，用 12 个点将圆周 12 等分。以这些点为顶点的梯形共有多少个？ 【详解】【详解】分两类考虑，首先，如下左图，连接相邻两点作为最短线段作出平行线。 这样的话共有 6 条平行线，从中选 2 条就可以组成梯形，但是其中有 3 个矩形。这样作为一组的 话一个圆上共有 12 个点，每两个相邻点就组成一组这样的平行线，共有 6 组（对称的不算） ，这 样的话，共有 2 6 3672C 个； 其次，如上右图，两点相连（中间隔 1 点）作为最短线段作出平行线。 跟上一类同
26、样的接法，共有 2 5 2648C 个。而如果两点相连（中间隔 2）作为最短线段作出 平行线就与第一类情况相同。同样的道理，隔 3 个点，隔 4 个点也是重复情况。 综上，总共有7248120个。 6.一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、 扇形等都是曲边形。在图 10-29 中，共有多少个不同的曲边形？ 【详解】【详解】 （1）包含 90 的弧的有： ， 各有 4 个，总共4 832个。 （2）包含 180 的弧的有： ， 各 4 个，共 16 个 ，各 2 个，共 6 个。 （3）包含 270 的弧的有： ，各 4 个，共 8 个。 （
27、4）包含 360 的弧的有 1 个。 所以一共321668163 个。 7.如图 10-30，木板上钉着 16 枚钉子，排成四行四列的方阵。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角 形？ 【详解】【详解】 如左图，这样的等腰三角形有9436个； 如左图，这样的等腰三角形有24个； 如左图，这样的等腰三角形有16个； 如左图，这样的等腰三角形有8个； 如左图，这样的等腰三角形有16个； 如左图，这样的等腰三角形有4个； 如左图，这样的等腰三角形有16个； 如左图，这样的等腰三角形有16个； 如左图，这样的等腰三角形有4个； 如左图，这样的等腰三角形有4个； 如左图，这样的等腰三角形有4个； 这样
28、的话，总共有36241681641616444148个。 8.如图 10-31，在3 3的方格表内，每个小正方形的面积为 1。请问： (1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 4 的三角形？ (2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 3 的三角形？ (3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 1.5 的三角形？ 【详解】【详解】 （1）如下图，诸如此类的直角三角形共有 4 个 （2）底为 2（水平） ，高为 3（竖直）的三角形 16 个； 底为 3（水平） ，高为 2（竖直）的三角形 16 个； 底为 2（竖直） ，高为 3（水平）的三角形 16 个； 底为 3（竖直） ，高为 2（水平）的三角形 16 个； 重复计算 16 个，所以总共 48 个。 （3）有至少一条边在表格上： 底为 3（水平） ，高为 1（竖直）的三角形 24 个； 底为 1（水平） ，高为 3（竖直）的三角形 24 个； 底为 3（竖直） ，高为 1（水平）的三角形 24 个； 底为 1（竖直） ，高为 3（水平）的三角形 24 个； 重复计算 24 个，所以总共 72 个。 如图，三条边都不在表格上： 每个 22 正方形中有 4 个这样的三角形，共有 16 个。 或者如图还有一种情况： 这样的情况一共有 4 个三角形。 所以总共7216492个。