1、第第 4 讲讲 包含与排除包含与排除 内容概念： 有重叠部分的若干对象的计数问题，能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合 文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重 复计数问题。 典型问题： 兴趣篇兴趣篇 1. 暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”。他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两 人都去过的。如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？ 2.在一群小朋友中，有 12 人看过动画片黑猫警长 ，有 21 人看过动画片大闹天宫 ，并且有 8 人两部动 画片都看过。请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？
2、 3、 五年级一班 45 个学生参加期末考试。成绩公布后，数学得满分的有 10 人，数学及语文均得满分的有 3 人，这两科都没有得满分的有 29 人。请问：语文成绩得满分的有多少人？ 4.某餐馆有 27 道招牌菜。小悦吃过其中的 13 道，冬冬吃过其中的 7 道，而且有 2 道菜是两人都吃过的。请 问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？ 5.如图 4-1，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 6、8、 5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为 2。请问： （1）只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？ （2）只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的
3、面积是多少？ 6.在一个由 30 人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有 10 个人爱喝 红茶，12 人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问：只爱喝花茶的有多少人？ 7.光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是 54 人、46 人、36 人。同时参 加体育小组和音乐小组的有 4 人，同时参加体育小组和书法小组的有 7 人，同时参加音乐小组和书法小组 的有 10 人，三组都参加的有 2 人。光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？ 8.卫生部对 120 种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查，结果发现：含维生素 A 的有 62 种，含维生素
4、C 的有 90 种，含维生素 E 的有 68 种，同时含维生素 A 和 C 的有 48 种，同时含维生素 A 和 E 的有 36 种，同 时含维生素 C 和 E 的有 50 种，同时含这三种维生素的有 25 种。请问： （1）这三种维生素都不含的食物有多少种？ （2）仅含维生素 A 的食物有多少种？ 9.操场上有 50 名同这在跑步或跳绳。其中女生有 18 名，跳绳的同学有 31 名，跑步的男生有 14 名。跳绳的 女生有多少名？ 10.学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项。根据报名的人数，学校决定 对象棋的前 9 名、围棋的前 10 名和军棋的前 11 名发放奖品
5、。请问：最少有几人获得奖品？ 拓展篇拓展篇 1.在一个办公室中，有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡。如果每个人都至少爱 喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？ 2.五年级二班有 40 名同学。 其中有 25 人没参加数学小组， 有 18 人参加航模小组， 有 10 人两个小组都参加。 那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？ 3.在 1 至 100 这 100 个自然数中，既不能被 2 整除也不能被 3 整除的数有多少个？ 4.渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共 305 人参加。参加长跑比赛的有 150 名男生和 90 名女生，参加游泳比 赛的有 12
6、0 名男生和 70 名女生，有 110 名男生两项比赛都参加了。请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑 比赛的女生有多少人？ 5.森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种。爱吃萝卜的小白兔中有 12 只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有 23 只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有 34 只不爱吃萝卜。如 果三种食物都爱吃的小白兔有 5 只，那么这群小白兔一共有多少只？ 6.三位基金经理投资若干只股票。张经理买过其中 66 只，王经理买过其中 40 只，李经理买过其中 23 只。 张经理和王经理都买过的有 17 只，王经理和李经理都买过的有 13 只，李经理和张经理都买过的
7、有 9 只， 三个人都买过的有 6 只。请问：这三位经理一共买过多少只股票？ 7.唐僧西天取经共经历了 81 难，其中单独渡过了 3 难，与孙悟空一起渡过了 77 难，与猪八戒一起渡过了 65 难，与沙和尚一起渡过了 62 难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了 64 难，同时与孙悟空和沙和尚一起 渡过了 61 难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了 60 难。请问：师徒四人共同渡过的有多少难？ 8.培英学校有学生 1000 人，其中有 500 人订阅了中国少年报 ，有 350 人订阅了少年文艺 ，有 250 人 订阅了数学报 ，至少订阅两种报刊的有 400 人，订阅了三种报刊的有 100 人。请问：
8、培英学校有多少人 没有订报？ 9.五年级一班有 46 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。其中有 24 人参加了数学小组，20 人参加 了语文小组，既参加数学小组又参加语言语文小组的有 10 人。参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参 加文艺小组人数的 3.5 倍，还是三项小组都参加的人数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于 三项小组都参加的人数的 2 倍，求参加文艺小组的人数。 10.图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名。已知这 100 本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有 33 本、44 本和 55 本，其中同时有甲、乙签名的图书为 29 本，同时有甲、丙签名的
9、图书为 25 本，同时有乙、 丙签名的图书为 36 本。问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？ 11.五年级三班有 50 名学生， 参加语文竞赛的有 28 人， 参加数学竞赛的有 22 人， 参加英语竞赛的有 20 人。 如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？ 12.甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有 100 个故事。已知甲读了 85 个故事，乙读了 70 个故事， 丙读了 62 个故事。请问： （1）甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？ （2）如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最少
10、有 多少个？ 超越篇超越篇 1.森林里住着 100 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜 的小白兔数量的 2 倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 3 倍。它们当中有多少只 小白兔既爱吃又爱吃白菜？ 2. 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、六年级 共展出 25 幅画。其他年级的画共有多少幅？ 3.学而思学校有 105 名男生和 75 名女生参加数学竞赛，有 95 名女生和 85 名男生参加作文竞赛。已知该校 一共有 280 名学生参加了竞赛， 其中只参加数学竞赛的男生人数与只
11、参加作文竞赛的女生人数相同。 请问： 只参加数学竞赛的女生有多少人？ 3. 冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片。回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相 册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里。爸爸认为 应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了 37 张照片放到 了自己的相册。妈妈不同意，又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的 45 张照片都拿出来放到了 自己的相册。请问：究竟是妈妈和冬冬的合影多，还是爸爸和冬冬的合影多？多几张？ 5.一次测验共有 5 道试题。测试后统计如下：有 81%的同学做对第
12、1 题，有 85%的同学做对第 2 题，有 91% 的同学做对第 3 题，有 74%的同学做对第 4 题，有 79%的同学做对第 5 题。如果做对 3 道或 3 道以上试题 的同学为考试合格。请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？ 6.五年级一班有 22 人参加语文竞赛， ，32 人参加数学竞赛，27 人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和 数学竞赛有 12 人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有 14 人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有 15 人。请 问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？ 7.在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水。已知甲浇了 30 盆
13、，乙浇了 75 盆，丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，请问： （1）恰好被 3 个人浇过的花最少有多少盆？ （2）恰好被 1 个人浇过的花最多有多少盆？ 8.一根 1.8 长的木棍， 从左端开始每隔 2 厘米划一个刻度， 每隔 3 厘米划一个刻度， 每隔 5 厘米划一个刻度， 每隔 7 厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？ 第第 4 讲讲 包含与排除包含与排除 内容概念：内容概念： 有重叠部分的若干对象的计数问题，能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合有重叠部分的若干对象的计数问题，能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合 文氏图
14、理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重 复计数问题。复计数问题。 典型问题：典型问题： 兴趣篇：兴趣篇： 4. 暑假里，小悦和冬冬一起讨论暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景金陵十八景”。他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两。他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两 人都去过的。如果小悦去过其中的十二人都去过的。如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？景，那么冬冬去过其中的几景？ 【分析】【分析】“十八景”剩余了18 1
15、26景，所以冬冬去过其中的 6+5=11 景。 2.在一群小朋友中，有在一群小朋友中，有 12 人看过动画片黑猫警长 ，有人看过动画片黑猫警长 ，有 21 人看过动画片大闹天宫 ，并且有人看过动画片大闹天宫 ，并且有 8 人两部人两部 动画片都看过。请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？动画片都看过。请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？ 【分析】【分析】至少看过一部的小朋友有：12 21 825 （人） 4、 五年级一班五年级一班 45 个学生参加期末考试。成绩公布后，数学得满分的有个学生参加期末考试。成绩公布后，数学得满分的有 10 人，数学及语文均得满分的有人，数学及语文均得满分的有
16、 3 人，这两科都没有得满分的有人，这两科都没有得满分的有 29 人。请问：语文成绩得满分的有多少人？人。请问：语文成绩得满分的有多少人？ 【分析】两科至少有一科得满分的有：45 29 16（人） ，只有数学得满分的有：10 37 人，语文得 满分的有：16 79 （人） 。 4.某餐馆有某餐馆有 27 道招牌菜。小悦吃过其中的道招牌菜。小悦吃过其中的 13 道，冬冬吃过其中的道，冬冬吃过其中的 7 道，而且有道，而且有 2 道菜是两人都吃过的。道菜是两人都吃过的。 请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？ 【分析】两人都吃过的菜有：13 7 2 18
17、道理，两人都没有吃过的有：27 189（道） 。 5.如图如图 4-1，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 30，甲与乙、乙与丙、甲与，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为丙重合部分的面积分别为 6、8、 5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为 2。请问：。请问： （1）只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？）只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？ （2）只被这）只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？ 【分析】 （1）根据题意，有：6DG，则2G,624D ;
18、 8FG,则有：8 26F ; 5EG,则有：5 23E ; 所以：306 321A;308 319B 所以只被甲或者乙覆盖，却不被丙覆盖的是：21 19 343 ； （2）306618C 所以只被这 3 个圆中的某一个圆覆盖的部分的面积是：21 19 1858。 6.在一个由在一个由 30 人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有 10 个人爱个人爱 喝红茶，喝红茶，12 人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问：只爱喝花茶的有多少人？人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问：只爱喝花茶的有多少人？ 【分析】只爱喝花
19、茶的有：3010 128（人） 。 7.光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是 54 人、人、46 人、人、36 人。同时人。同时 参加体育小组和音乐小组的有参加体育小组和音乐小组的有 4 人，同时参加体育小组和书法小组的有人，同时参加体育小组和书法小组的有 7 人，同时参加音乐小组和书法小人，同时参加音乐小组和书法小 组的有组的有 10 人，三组都参加的有人，三组都参加的有 2 人。光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？人。光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？ 【分析】根据容斥原理，参加课
20、外活动的共有： 54+46+36- 4+7+10 +2=117（人） 。 8.卫生部对卫生部对 120 种食物是否含有维生素种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查，结果发现：含维生素进行调查，结果发现：含维生素 A 的有的有 62 种，含维生素种，含维生素 C 的有的有 90 种，含维生素种，含维生素 E 的有的有 68 种，同时含维生素种，同时含维生素 A 和和 C 的有的有 48 种，同时含维生素种，同时含维生素 A 和和 E 的有的有 36 种，种， 同时含维生素同时含维生素 C 和和 E 的有的有 50 种，同时含这三种维生素的有种，同时含这三种维生素的有 25 种。请问：种。请问
21、： （1）这三种维生素都不含的食物有多少种？）这三种维生素都不含的食物有多少种？ （2）仅含维生素）仅含维生素 A 的食物有多少种？的食物有多少种？ 【分析】至少含一种的有： 62+90+68- 48 36 5025220 13425111； 都不含的食物有：120 111 9（种） ； 仅含有维生素 A 的有：6248 36253（种） 。 9.操场上有操场上有 50 名同这在跑步或跳绳。其中女生有名同这在跑步或跳绳。其中女生有 18 名，跳绳的同学有名，跳绳的同学有 31 名，跑步的男生有名，跑步的男生有 14 名。跳绳名。跳绳 的女生有多少名？的女生有多少名？ 【分析】根据题意，跑步的学
22、生有：50 31 19（人） ； 跑步的女生有：19 145（人） ； 跳绳的学生有：18 5 13 （人） ； 10.学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项。根据报名的人数，学校决定学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项。根据报名的人数，学校决定 对象棋的前对象棋的前 9 名、围棋的前名、围棋的前 10 名和军棋的前名和军棋的前 11 名发放奖品。请问：最少有几人获得奖品？名发放奖品。请问：最少有几人获得奖品？ 【分析】要使获奖人数最少，最好每位同学都获得两个奖项。则最少有：910 11 9215（人） ； 拓展篇拓展篇 1.在一个办公室中
23、，有在一个办公室中，有 7 个人爱喝茶，个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，个人爱喝咖啡，3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡。如果每个人都至少个人既爱喝茶又爱喝咖啡。如果每个人都至少 爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？ 【分析】这个办公室共有：7 10 3 14 （人） ； 丙 乙 甲 G F E D C B A 2.五年级二班有五年级二班有 40 名同学。其中有名同学。其中有 25 人没参加数学小组，有人没参加数学小组，有 18 人参加航模小组，有人参加航模小组，有 10 人两个小组都参人两个小组都参 加。那么只参加了这两个小组之一的学生
24、共有多少人？加。那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？ 【分析】两个小组都没有参加的有：25 8 17 （人） ； 至少参加一个小组的有：40 1723（人） ； 只参加数学小组的有：23 185（人） ； 只参加这两个小组其中之一的有：5 813 （人） ； 3.在在 1 至至 100 这这 100 个自然数中，既不能被个自然数中，既不能被 2 整除也不能被整除也不能被 3 整除的数有多少个？整除的数有多少个？ 【分析】能被 2 整除的数有： 100 50 2 个；能被 3 整除的数有： 100 33 3 个； 既能被 2 整除又能被 3 整除的数有： 100 16 6 个。 所以既不
25、能被 2 整除也不能被 3 整除的有：10050 131633 （个） ； 4.渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共 305 人参加。参加长跑比赛的有人参加。参加长跑比赛的有 150 名男生和名男生和 90 名女生，参加游泳比名女生，参加游泳比 赛的有赛的有 120 名男生和名男生和 70 名女生，有名女生，有 110 名男生两项比赛都参加了。请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑名男生两项比赛都参加了。请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑 比赛的女生有多少人？比赛的女生有多少人？ 【分析】长跑的人有：150 90240人； 游泳的人有：12070190人； 两样都参加的有：
26、240 190 305 125（人） ； 两样都参加的女生有：125 110 15（人） ； 只参加游泳但是没有参加长跑的女生有：70 1555（人） ； 5.森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种。爱吃萝卜的小白兔中森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种。爱吃萝卜的小白兔中 有有 12 只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有 23 只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有 34 只不爱吃萝卜。只不爱吃萝卜。 如果三种食物都爱吃的小白兔有如果三种食物都爱吃的小白兔有 5 只
27、，那么这群小白兔一共有多少只？只，那么这群小白兔一共有多少只？ 【分析】根据题意，将各部分分别用字母表示，则有： 根据题目描述，则有： 12 23 34 5 ad bc gf e ，所以有：74abcdefg ，则这群小白兔一共有 74 只。 6.三位基金经理投资若干只股票。张经理买过其中三位基金经理投资若干只股票。张经理买过其中 66 只，王经理买过其中只，王经理买过其中 40 只，李经理买过其中只，李经理买过其中 23 只。只。 张经理和王经理都买过的有张经理和王经理都买过的有 17 只，王经理和李经理都买过的有只，王经理和李经理都买过的有 13 只，李经理和张经理都买过的有只，李经理和张
28、经理都买过的有 9 只，只， 三个人都买过的有三个人都买过的有 6 只。请问：这三位经理一共买过多少只股票？只。请问：这三位经理一共买过多少只股票？ 【分析】根据题意，三位同学一共买过股票： 66402317 13 9696（只） ； 青菜 白菜 萝卜 g f e d c b a 7.唐僧西天取经共经历了唐僧西天取经共经历了 81 难，其中单独渡过了难，其中单独渡过了 3 难，与孙悟空一起渡过了难，与孙悟空一起渡过了 77 难，与猪八戒一起渡过了难，与猪八戒一起渡过了 65 难，与沙和尚一起渡过了难，与沙和尚一起渡过了 62 难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了
29、 64 难，同时与孙悟空和沙和尚一起难，同时与孙悟空和沙和尚一起 渡过了渡过了 61 难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了 60 难。请问：师徒四人共同渡过的有多少难？难。请问：师徒四人共同渡过的有多少难？ 【分析】【分析】 唐僧与徒弟共同渡过了81378难，设师徒四人共同渡过了x难，根据容斥原理有 77656264616078x 解得 59x 因此师徒四人共同渡过了59难 8.培英学校有学生培英学校有学生 1000 人，其中有人，其中有 500 人订阅了中国少年报 ，有人订阅了中国少年报 ，有 350 人订阅了少年文艺 ，有人订阅了少年文艺 ，有 250 人人
30、 订阅了数学报 ，至少订阅两种报刊的有订阅了数学报 ，至少订阅两种报刊的有 400 人，订阅了三种报刊的有人，订阅了三种报刊的有 100 人。请问：培英学校有多少人人。请问：培英学校有多少人 没有订报？没有订报？ 【分析】订阅报纸的有： 500 350250 400 100 100 100600（人） ； 没有订报纸的有： 1000 600400（人） ； 9.五年级一班有五年级一班有 46 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。其中有名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。其中有 24 人参加了数学小组，人参加了数学小组，20 人参加人参加 了语文小组，既参加数学小组又参加语言语文小组的有
31、了语文小组，既参加数学小组又参加语言语文小组的有 10 人。参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参人。参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参 加文艺小组人数的加文艺小组人数的 3.5 倍，还是三项小组都参加的人数的倍，还是三项小组都参加的人数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等 于三项小组都参加的人数的于三项小组都参加的人数的 2 倍，求参加文艺小组的人数。倍，求参加文艺小组的人数。 【分析】设三项都参加的有 a 人，则： 参加文艺小组的有：7a人； 只参加文艺和数学小组的有：73.5aaa； 只参加文艺和语文小组的有：2aaa ； 全班共有
32、：2420 10734446aaaaa 解之得：3a . 所以文艺小组共有：7 321 人； 10.图书室有图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名。已知这本书，借阅图书者需在图书上签名。已知这 100 本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有 33 本、本、44 本和本和 55 本，其中同时有甲、乙签名的图书为本，其中同时有甲、乙签名的图书为 29 本，同时有甲、丙签名的图书为本，同时有甲、丙签名的图书为 25 本，同时有乙、本，同时有乙、 丙签名的图书为丙签名的图书为 36 本。问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？本。问：这批图
33、书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？ 【分析】 设有a本书三人都签名了， 至少被一人借阅过的书有：3344552925 3642aa， 要使没有被借阅的书较少，那么42a尽量大，而a最大为 25。 所以至少有100422533（人） ； 11.五年级三班有五年级三班有 50 名学生， 参加语文竞赛的有名学生， 参加语文竞赛的有 28 人， 参加数学竞赛的有人， 参加数学竞赛的有 22 人， 参加英语竞赛的有人， 参加英语竞赛的有 20 人。人。 如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？
34、【分析】由于总共参加竞赛的有：28+22+20=70（人次） ； 现在要未参加竞赛人数尽可能的多，则参加竞赛的人数要尽可能的少。最少为：70 235 (人)，所以该 班未参加竞赛人数最多可能有：50 35 15（人） ； 12.甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有 100 个故事。已知甲读了个故事。已知甲读了 85 个故事，乙读了个故事，乙读了 70 个故事，个故事， 丙读了丙读了 62 个故事。请问：个故事。请问： （1）甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？）甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？ （2）如果每个人都是从某一个故事开始，按
35、顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有）如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有 多少个？多少个？ 【分析】 （1）现在要求三人共同度过的故事尽可能的少，则两人两人读过的故事应该尽可能的多，当每一 个故事都被两人读过时，共被读过 200 次，所以被三人读过的故事还有： 85 70 62 2 10017 （人） ； （2） 若从某一个故事开始， 按照顺序从前往后读， 三人读过的故事最少， 总共应有：70 62 10032（个） ； 超越篇超越篇 1.森林里住着森林里住着 100 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。其中爱吃萝
36、卜的小白兔数量是爱吃白只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白 菜的小白兔数量的菜的小白兔数量的 2 倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 3 倍。它们当中有多少倍。它们当中有多少 只小白兔既爱吃又爱吃白菜？只小白兔既爱吃又爱吃白菜？ 【分析】假设只爱吃白菜的为 1 份，则只爱吃萝卜的为 3 份，他们的差=爱吃萝卜和爱吃白菜的小白兔的差 =爱吃白菜的小白兔=2 份，因此，既爱吃白菜又爱吃萝卜的小白兔为 1 份，一次你 100 只小白兔对应的是： 3 1 15 份，1 份为 20 只。所以
37、有 20 只消白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜。 5. 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、六年级幅画不是五年级的，五、六年级 共展出共展出 25 幅画。其他年级的画共有多少幅？幅画。其他年级的画共有多少幅？ 【分析】【分析】 通过 16 幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是 16，通过 15 幅画 不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是 15，那也就是说五年级的画比六年级多 1 幅，我们还知道五、六年级共展出 25 幅画，进而可以求出五年级画作有 13
38、 幅，六年级画作有 12 幅， 那么久可以求出其他年级的画作共有 3 幅 3.学而思学而思学校有学校有 105 名男生和名男生和 75 名女生参加数学竞赛，有名女生参加数学竞赛，有 95 名女生和名女生和 85 名男生参加作文竞赛。已知该校名男生参加作文竞赛。已知该校 一共有一共有 280 名学生参加了竞赛， 其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同。 请问：名学生参加了竞赛， 其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同。 请问： 只参加数学竞赛的女生有多少人？只参加数学竞赛的女生有多少人？ 【分析】【分析】参加数学竞赛的人数有：105 75180； 参加作文
39、竞赛的人有：95 85 180 同时参加数学竞赛与作文竞赛的共有：180 180 28080（人） ； 只参加两种竞赛之一的学生有：280 80200（人） ； 只参加数学竞赛的学生有：200 2100 （人） ； 参加语文竞赛的女生比参加数学竞赛的女生多：95 7520（人） ； 只参加数学竞赛的女生有：10020240（人） ； 6. 冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片。回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片。回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相 册里，再把剩下的册里，再把剩下的有有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下
40、的照片放到爸爸的相册里。爸爸认为妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里。爸爸认为 应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了 37 张照片放到张照片放到 了自己的相册。妈妈不同意，又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的了自己的相册。妈妈不同意，又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的 45 张照片都拿出来放到了张照片都拿出来放到了 自己的相册。请问：究竟是妈妈和冬冬的合影多，还是爸爸和冬冬的合影自己的相册。请问：究竟是妈妈和冬冬的合影多，还是爸爸和冬冬的合影多
41、？多几张？多？多几张？ 1份 3份 萝卜白菜各1份 白菜 萝卜 【分析】根据题意表述，有：37b ed （人） ；45bef 。所以8fd 则冬冬和妈妈的合影多，多出45 378（张） ； 5.一次测验共有一次测验共有 5 道试题。 测试后统计如下： 有道试题。 测试后统计如下： 有 81%的同学做对第的同学做对第 1 题， 有题， 有 85%的同学做对第的同学做对第 2 题， 有题， 有 91% 的同学做对第的同学做对第 3 题，有题，有 74%的同学做对第的同学做对第 4 题，有题，有 79%的同学做对第的同学做对第 5 题。如果做对题。如果做对 3 道或道或 3 道以上试题道以上试题 的
42、同学为考试合格。请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？的同学为考试合格。请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？ 【分析】【分析】 假设有100人参加考试，那么做错 15 题的人数分别有19，15，9，26，21人，共错了 19159262190道 显然可以做到每人最多只错1道题例如，1 19到号只错第一题，2034到号只错第2题，3543到号 只错第3题，4469到号只错第4题，7090到号只错第5题， 这样所有同学都及格， 及格率为100% 如果有错误的人都恰好错了3道题，那么不及格的有90330（人） ，这种情况下不及格的人数 最多，及格的人数最少，有70人
43、，例如1 19到号错第1题，2030到及14号错第2题，530到号错 第4题，1 9到号错第3题，1030到号错第5题这样，1 30到号每人错3题，不及格，31 100到号都 是满分，所以及格率最少为70% 6.五年级一班有五年级一班有 22 人参加语文竞赛， ，人参加语文竞赛， ，32 人参加数学竞赛，人参加数学竞赛，27 人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和 数学竞赛有数学竞赛有 12 人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有 14 人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有 15 人。请人。请
44、问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？ 【分析】设三样都参加的学生有a人，则五年级共有： 22322712 14 1581 4140aaa， 要使得参加的总人数最少，则a最小。 同时参加语文、数学、英语的至少有：12 14224人。 所以五年级一班参加竞赛的总人数最少是：40444（人） 。 7.在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水。已知甲浇了盆花浇水。已知甲浇了 30 盆，乙浇了盆，乙浇了 75 盆，丙浇盆，丙浇 了了 80 盆，丁浇了盆，丁浇了 90 盆，请问：盆，请问： （1）
45、恰好被）恰好被 3 个人浇过的花最少有多少盆？个人浇过的花最少有多少盆？ （2）恰好被）恰好被 1 个人浇过的花最多有多少盆？个人浇过的花最多有多少盆？ 【分析】【分析】 （1）为了恰好被 3 个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人 浇过的花数量都要尽量多. 那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是 30 盆，即被甲浇过的花，被所有人浇过.那么接 下来就变成乙浇了 45 盆，丙浇了 50 盆，丁浇 60 盆了，这时共有1003070盆花，我们要让这 70 盆 铮铮 妈妈 爸爸 g f e d c b a 中恰好被 3 个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了.我
46、们令 70 盆花，每盆都被浇过 2 次，那么还 有 15 次没有浇.也就是说，恰好被 3 个人浇过的花最少有45506014015盆. （2） 法一：首先，应该让尽量多的花被浇了 4 次.那么有 30 盆花被浇了 4 次.这时还剩下 70 盆花，乙还 要浇 45 盆、丙还要浇 50 盆，丁还要浇 60 盆. 然后，要让尽量多的花被浇 3 次，那么，有 45 盆花被浇了 3 次.这时还剩下 25 盆花没浇，丙还要 浇 5 盆，丁还要浇 15 盆. 如果丙、丁浇的都不是一盆花，那么有 20 盆花被浇了 1 次，还有 5 盆花没有浇.拿出 3 盆被浇了 3 次的花，和这 5 盆没被浇过的花放在一起，
47、那么，可以让其中 7 盆花浇一次，.1 盆浇两次.那么最多有 27 盆花恰好被浇了 1 次. 法二：100 盆花共被浇水 275 次，平均每盆被浇2.75次，为了让被浇 1 次的花多，我们也需要被浇 4 次的花尽量多，为 30 盆，那么余下 70 盆共被浇 155 次，平均每盆被浇2.21次，说明需要一些花被浇 3 次才可以我们假设 70 盆都被浇 3 次，那么多出 55 次，每盆花少浇 2 次变为被浇 1 次最多可以变 27 次，所以本题答案为 27 盆 法三：设被浇过 1 次，2 次，3 次，4 次的花盆数量分别为啊，a，b，c，d.那么： 100,2343075 809027523175
48、abcdabcdbcd .100bcda， 所以要 让 a 尽可能大，那么bcd尽量小.23175bcd，于是 d 尽可能大.30,30285ddbc .那 么要让bc尽量小，c 要尽量大.于是42,1cb.1423073bcd ，27a .即恰好被 1 人浇过 的花最多有 27 盆. 8.一根一根 1.8 长的木棍， 从左端开始每隔长的木棍， 从左端开始每隔 2 厘米划一个刻度， 每隔厘米划一个刻度， 每隔 3 厘米划一个刻度， 每隔厘米划一个刻度， 每隔 5 厘米划一个刻度，厘米划一个刻度， 每隔每隔 7 厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？ 【分析】【分析】 2 厘米的刻度线有： 180 189 2 个；每隔 3 厘米的刻度线共有： 180 159 3 个；每隔 5 厘米的刻度 线共有： 180 135 5 个； 每隔 7 厘米的刻度线共有：18025 7 个； 每隔 6 厘米的刻度有：180129 6 ； 每隔 10 厘米的刻度有： 180 117 10 个； 每隔 14 厘米的刻度有： 180 12 14 个；每隔 15 厘米的刻度有： 1