1、第第 3 讲讲 质数与合数质数与合数 内容概述：内容概述： 掌握质数与合数的概念；熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方法解决相关 的整数问题；学会计算末尾零的个数。 典型问题： 兴趣篇兴趣篇 1. （1）如果两个质数相加等于 16，这两个质数有可能等于多少？ （2）如果两个质数相加等于 25，这两个质数有可能等于多少？ （3）如果两个质数相加等于 29，这样的两个质数存在吗？ （第 1 届华罗庚金杯数学邀请赛决赛二试试题） 2. 有个人说：“任何 7 个连续数中一定有质数”。请你举一个例子，说明这句话是错的。 3. 请写出 5 个质数，使得它们正好构成一个公差为 12的
2、等差数列。 4. 请把下面的数分解质因数： （1）160； （2）598； （3）211。 5. .三个自然数的乘积为 84，其中两个数的和正好等于第三个数。请求出这三个数。 6. 用一个两位数除 330，结果正好能整除。请写出所有可能的两位数。 7. 三个连续自然数的乘积等于 39270。这三个连续自然数的和等于多少？ 8. 请问：算式1 2 3 4 515 的计算结果的末尾有几个连续的 0？ 9. 请问：连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的 0？ 拓展篇拓展篇 1. 一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数。 2. 9个连续的自然数中，最多有多少个质数？
3、3. 两个质数的和是 39，这两个质数的差是多少？ （2）三个互不相同的质数相加，和为 40，这三个质数分别是多少？ 4. 请把下面的数分解质因数： （1）360； （2）539； （3）373； （4）12660。 5. 有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于 140。把所有这样的分数从小到大排列，其中第 三个分数是多少？ 6. 冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字 5 看成了 8，由此得乘积为 1104。正确的乘积是多少？ 7. 甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪。三人各自中靶的环数之积都是 60，且环数是不超过 10 的自然数。 把三个人按个人总环数由高到低
4、排列，依次是甲、乙、丙。请问：靶子上 4环的那一枪是谁打的？ 8. 975 935 972，要使这个连续乘积的最后 4 个数字都是 0，方框内最小应填什么数？ 9. 算式 1 2 329 30 的计算结果的末尾有几个连续的 0？ （2）算式31 32 33150的计算结果的末尾有几个连续的 0？ 10. 把从 1 开始的若干个连续的自然数 1,2，3，乘到一起。已知这个乘积的末尾 13 位恰好都是 0。请 问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？ 11. （1）60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数。这个三位数至少是多少？ （2）72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数。这样的三位数一共
5、有多少个？ 超越篇超越篇 1. 如图 3-1，三张卡片上各印有一个数字。从这三张卡片中选取一张或多张（每张最多选 1 次）拼成质 数，一共可以拼成多少个不同的质数？ 2. 用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个数字组成若干质数，要求每个数字恰好使用一次。请问：最多 能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法。 3. 三个质数的乘积恰好等于它们和的 5倍，这三个质数分别是多少？ 4. 在射箭运动中，每射一箭得到的环数都是不超过 10的自然数。甲、乙两名运动员各射了 5箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环。求甲、乙各自的总环数。 5. 两名运动员进
6、行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制。每局先得 11 分者为胜，如果打到 10 平，则先多 得 2 分者为胜。结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过 20 分，把每人每局得分乘在一起恰为 480480。请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出） 6. 如图 3-2，把 13、12、15、25、20 这 5 个数依次排列，它们每相邻的两个数相乘得 4 个数，这 4 个数 每相邻的两个数相乘得 3 个数，这 3 个数每相邻的两个数相乘得 2 个数，这 2 个数相乘得 1 个数。请 问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个 0？ 7. 从 1！ ，2！ ，3！ ，100！这 100 个数
7、中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数。请问： 被去掉的那个数是什么？ 8. 已知对任意正整数 n，都有公式： 2222 (1)(21) 123 6 nnn n ， 求分数 222222222 1(12 )(123 )(12100 ) 100 ！ 化成最简分数后的分母。 第第 3 讲讲 质数与合数质数与合数 内容概述：内容概述： 掌握质数与合数的概念；熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方法解决相关 的整数问题；学会计算末尾零的个数。 典型问题： 兴趣篇兴趣篇 10. （1）如果两个质数相加等于如果两个质数相加等于 16，这两个质数有可能等于多少？，这两个质数有
8、可能等于多少？ （2）如果两个质数相加等于）如果两个质数相加等于 25，这两个质数有可能等于多少？，这两个质数有可能等于多少？ （3）如果两个质数相加等于）如果两个质数相加等于 29，这样的两个质数存在吗？，这样的两个质数存在吗？ 【分析】【分析】 （1）因为 16 是个偶数，偶等于偶+偶或是奇+奇，但是质数中只有 2 是偶数，所以只能是奇+奇，所以是 3+13或是 5+11 （2）因为 25是个奇数，奇等于偶+奇，但是质数中只有 2是偶数，所以另一个是 25-2=23 （3）因为 29 是个奇数，奇等于偶+奇，但是质数中只有 2 是偶数，所以另一个只能是 29-2=27，但是 27 不是质数
9、，所以不存在！ （第（第 1 1 届华罗庚金杯数学邀请赛决赛二试试题）届华罗庚金杯数学邀请赛决赛二试试题） 11. 有个有个人人说：说：“任何任何 7 个连续数中一定有质数个连续数中一定有质数”。请你举一个例子，说明这句话是错的。请你举一个例子，说明这句话是错的。 【分析】【分析】 方法一：方法一：例 100以内：90-96，100以上很多，例 114-126。 方法二：又例如连续的 7 个整数：842、843、844、845、846、847、848 分别能被 2、3、4、5、6、7、8 整除，也就是说它们都不是质数 评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是，我们注意到(n+1)!
10、+2，(n+1)!+3， (n+1)!+4，(n+1)!+(n+1)这 n个数分别能被 2、3、4、(n+1)整除，它们是连续的 n个合数 其中 n!表示从 1一直乘到 n的积，即 123n 12. 请写出请写出 5 个质数，使得它们正好构成一个公差为个质数，使得它们正好构成一个公差为 12 的等差数列。的等差数列。 【分析】10 以上质数的末位只能是 1,3,7,9.，一个数的末位+2 只能出现 1,3,7,9，那么这个数最小不能是偶 数，不能是 3，所以可以试验 5，5+12=17，17+12=29，29+12=41，41+12=53，即可满足要求。 13. 请把下面的数分解质因数： （请
11、把下面的数分解质因数： （1）160； （； （2）598； （； （3）211。 【分析】【分析】 （1） 5 16025， （2）5982 13 23 （3）211是质数 14. .三个自然数的乘积为三个自然数的乘积为 84，其中两个数的，其中两个数的和和正好等于第三个数。请求出这三个数。正好等于第三个数。请求出这三个数。 【分析】【分析】 2 8423 7 ，因为 3+4=7 所以只能是 3,4,7 15. 用一个两位数除用一个两位数除 330，结果正好能整除。请写出所有可能的两位数。，结果正好能整除。请写出所有可能的两位数。 【分析】【分析】3302 3 5 11 ，所以能整除的是 3
12、30 的约数。330 的两位约数有：10，11，15,22,33,55,30,66 16. 三个连续自然数的乘积等于三个连续自然数的乘积等于 39270。这三个连续自然数的和等于多少？。这三个连续自然数的和等于多少？ 【分析】【分析】392702 3 5 7 11 17 ，按大数配小数的原则，17 234 ,11 333 ,7 535 ,所以这 三个连续自然数的和是 33+34+35=102 17. 请问：算式请问：算式1 2 3 4 515 的计算结果的末尾有几个连续的的计算结果的末尾有几个连续的 0？ 【分析】【分析】末位 0 的个数取决于乘积中质因数 2 和 5 的个数，2 有：1527
13、，15 43，一共有 7+3=10 个，5的个数有15 53，0 的个数和质因数少的那个一样，所以结果有 3个连续的 0 18. 请问：连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的请问：连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的 0？ 【分析】【分析】乘积末位连续的 0 的个数是由质因数 2 和 5 决定的，由于连位中因数 5 的乘积最多只能有 2 个， 此时能构造相应的 2个 2的乘积，如 25与 24；75与 76； 所以最多会有 2个 0。 拓展篇拓展篇 12. 一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数。一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有
14、这样的质数。 【分析】【分析】10 以上质数的个位只能是 1，3，7，9。那么只能是这些组合，所以只能是 11,13,17,31,37,71,73， 79,97 13. 9 个连续的自然数中，最多有多少个质数？个连续的自然数中，最多有多少个质数？ 【分析】【分析】4 个，如 1到 9,11到 19等 14. 两个质数的和是两个质数的和是 39，这两个质数的差是多少？，这两个质数的差是多少？ （2）三个互不相同的质数相加，和为）三个互不相同的质数相加，和为 40，这三个质数分别是多少？，这三个质数分别是多少？ 【分析】【分析】 （1）因为 39是奇数，奇数等于奇+偶，所以有 2，那么剩下一个是
15、39-2=37 （2）因为 40 是偶数，等于偶+奇+奇或是偶+偶+偶，但是只有 2 是偶质数，所以只能是偶+奇+奇，所以 40=2+7+31 15. 请把下面的数分解质因数： （请把下面的数分解质因数： （1）360； （； （2）539； （； （3）373； （； （4）12660。 【分析】【分析】 32 360235 ， 2 539711 373是质数， 2 1266023 5 211 16. 有一些有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于 140。把所有这样的分数从小到大排列，其中第。把所有这样的分数从小到大排列，其中第 三个分数是多少
16、？三个分数是多少？ 【分析】【分析】有 140=2257，因为这些分数的分子与分母的乘积均为 140，当分母越大时，分子越小，所以 对应的分数也越小 有分母从大到小依次为 140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 对应分子从小到大依次为 1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 对应分数从小到大依次为而 1 140 、 2 70 、 4 35 、 5 28 、 7 20 、10 14 、14 10 、 其中第三个最简真分数为 5 28 17. 冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时
17、，把一个乘数中的数字 5 看成了看成了 8，由此得乘积为，由此得乘积为 1104。正确的乘积是多少？。正确的乘积是多少？ 【分析】【分析】 4 110423 23 ，其中只有 4 2348 含数字 8，所以 110448 23，正确结果是 45 23=1035 18. 甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪。三人各自中靶的环数之积都是甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪。三人各自中靶的环数之积都是 60，且环数是不超过，且环数是不超过 10 的自然数。的自然数。 把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙。请问：靶子上把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙。请问：靶子上 4 环的那一枪是
18、谁打的？环的那一枪是谁打的？ 【分析】【分析】 2 6023 5 ， 60 1 6 10 4 3 52 5 6 ，和分别是 12,17,13，那么 4环是丙打得。 19. 975 935 972，要使这个连续乘积的最后，要使这个连续乘积的最后 4 个数字都是个数字都是 0，方框内最小应填什么数？，方框内最小应填什么数？ 【分析】975内有 2个质因数 5,935内有 1个质因数 5,972内有 2个质因数 2，要是末位有 4个连续的 0，至 少需要 2 个 2和 1个 5，所以方格最小是2 2 520 20. 算式算式 1 2 329 30 的计算结果的末尾有几个连续的的计算结果的末尾有几个连
19、续的 0？ （2）算式）算式31 32 33150的计算结果的末尾有几个连续的的计算结果的末尾有几个连续的 0？ 【分析】【分析】 （1）5的倍数有30 56 ， 30 251 ，所以乘积的末位有 6+1=7 个连续的 0. （2）从150 530，而150256，150 1251，所以1 2 3149 150 共有 37 个 5 相 乘；而算式 1 2 329 30 的计算结果的末尾有 7个连续的 0。 所以算式31 32 33150的计算结果的末尾有 37-7=30个。 21. 把从把从 1 开始的若干个连续的自然数开始的若干个连续的自然数 1,2，3，乘到一起。已知这个乘积的末尾，乘到一
20、起。已知这个乘积的末尾 13 位恰好都是位恰好都是 0。请。请 问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？ 【分析】【分析】估算：10052013 50 51013 ， 50252 ，10 2 12 13 ，所以最后一 个还含有 1 个质因数 5，所以是 55 22. 168 乘乘以一个大于以一个大于 0 的整数后正好是一个平方数。乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多少的平的整数后正好是一个平方数。乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多少的平 方？方？ 【分析】 3 16823 7 ，因为完全平方数的质因数指数是偶数，所以此数至少是2 3 7 4
21、2 ，乘积是 84 的平方。 23. （1）60 乘以一个三位数后，正好得到一个平方数。这个三位数至少是多少？乘以一个三位数后，正好得到一个平方数。这个三位数至少是多少？ （2）72 乘以一个三位数后，正好得到一个立方数。这样的三位数一共有多少个？乘以一个三位数后，正好得到一个立方数。这样的三位数一共有多少个？ 【分析】 （1） 2 6023 5 ，此三位数是 3 5=15 的倍数，15 的 9 倍即可满足要求。 （2） 32 7223 ，需要至少一个 3，可以配 1， 18，27，所以有 3个。 超越篇超越篇 9. 如图如图 3-1，三张卡片上各印有一个数字。从这三张卡片中选取一张或多张（每
22、张最多选，三张卡片上各印有一个数字。从这三张卡片中选取一张或多张（每张最多选 1 次）拼成质次）拼成质 数，一共可以拼成多少个不同的质数？数，一共可以拼成多少个不同的质数？ 【分析】5个，分别是 7，67,79,89,97 10. 用用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这这 9 个数字组成若干质数，要求每个数字恰好使用一次。请问：最多个数字组成若干质数，要求每个数字恰好使用一次。请问：最多 能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法。能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法。 【分析】【分析】最多 5 个，可以从各位分析，各位只可能是 1,3,7,9，所以 4,6,8 只能在十位或是更高
23、位。其中一 组是 2,3,5,41,67,89 11. 三个质数的乘积恰好等于它们和的三个质数的乘积恰好等于它们和的 5 倍，这三个质数分别是多少？倍，这三个质数分别是多少？ 【分析】设这个三个质数为：a,b,c满足：5()a b cabc ，只有 a,b,c 分别等于 2，5，7 时满足。 12. 在射箭运动中，每射一箭得到在射箭运动中，每射一箭得到的环数都是不超过的环数都是不超过 10 的自然数。甲、乙两名运动员各射了的自然数。甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人箭，每人 5 箭得到的环数的积都是箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少，但是甲的总环数比乙少 4 环。求甲、乙各
24、自的总环数。环。求甲、乙各自的总环数。 【分析】 222 1764237。现在 1764 要拆成 5 个不超过 10 的数的乘积，其中必有 2 个 7，而 36 拆成 3个不超过 10的乘积的方法有：1 6 62 3 63 3 41 4 9 共计 4 种。 每一种对应的总环数分别是: 77 1 6 627 ; 772 3 625 77 3 3 424 ; 774 9 128 . 现在甲的总数比乙少 4 环，则甲得 24环，乙得 28环。 13. 两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制。每局先得两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制。每局先得 11 分者为胜，如果打到分者为胜，如果打
25、到 10 平，则先多平，则先多 得得 2 分者为胜。结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过分者为胜。结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过 20 分，把每人每局得分乘在一起恰为分，把每人每局得分乘在一起恰为 480480。请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）。请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出） 【分析】【分析】 5 480480480 100123 5 7 11 13 因为最高得分不超过 20 分，13只能单独，13 超过了 11 分，所以另一得分是 11或是 15,3 5=15分， （1）当另一得分为 15 分时，则 7 可以配 2 的 14 分，刚好剩余了 4
26、 个 2，等于 16 分，所以三场比赛是 16:14，15:13，11:1。 （2）当另一得分为 11分时，则超过 11 分的可以有 12 分、14 分与 15 分；无法构成。 所以各局比分是：16:14；15:13；11:1。 14. 如图如图 3-2，把，把 13、12、15、25、20 这这 5 个数依次排列，它们每相邻的两个数相乘得个数依次排列，它们每相邻的两个数相乘得 4 个数，这个数，这 4 个数个数 每相邻的两个数相乘得每相邻的两个数相乘得 3 个数，这个数，这 3 个数每相邻的两个数相乘得个数每相邻的两个数相乘得 2 个数，这个数，这 2 个数相乘得个数相乘得 1 个数。请个数
27、。请 问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个 0？ 【分析】【分析】由于题目中最后要求的是十的位数上有多少 0？我们只需要求出 2 和 5 的个数写出来即可。如下 图括号内左边表示 2 的个数，右边表示 5 的个数。则最后有 10 个 2 相乘，15 个 5 相乘，所以答案为 10 个 0。 （学而思田芳宇） 15. 从从 1！ ，！ ，2！ ，！ ，3！ ，！ ，100！这！这 100 个数中去掉一个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数。请问：个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数。请问： 被去掉的那个数是什么？被去掉
28、的那个数是什么？ （4，10） （6，5） （2，6） （2，4）（4，1） 202515 1213 （2，3） （0，3） （2，1）（2，0） 【分析】【分析】 2 100! 99!99!100， 2 98! 97!97!98， 2 2! 1!1!2，则从 1！ ，2！ ，3！一 直到 100！的乘积可转化为： 22 50 1! 2!100!2 41001! 2!100!21 250 ， 则被去掉的那个数为50!。 16. 已知对任意正整数已知对任意正整数 n，都有公式：，都有公式： 2222 (1)(21) 123 6 nnn n ， 求分数求分数 222222222 1(12 )(12
29、3 )(12100 ) 100 ！ 化成最简分数后的分母。化成最简分数后的分母。 【分析】【分析】 222222222 1(12 )(123 )(12100 ) 100 ！ = 100 100100 1 2 32 3 53 4 7100 101 201 6666 100! (1 2100)2 31013 5201 6100! 2 31013 5201 23 （1）先看质因数 2， 观察可知，分子中只有 23101会有质因数 2产生，共会有： 101 250, 101 425, 101 812, 101 166, 101 323, 101 641 所以共会有： 5025 1263 1972 个 相乘 。 （2）再看质因数 3， 23101 也会有质因数 3产生，由于： 101 333, 101 911, 101 273, 101 811 所以，共会有 33 11 3 148 个3相乘 而 123201共有：67+22+7+2+2=99个 3 相乘。 201 367, 201 922, 201 277, 201 812, 201 1621 则 1到 204共有 100个 3相乘，则从 1到 201的所有的奇数相乘共有 50个 3相乘。 则分母中质因数 3 应有 2个。 则分母应为 89=72。