1、第第 1 讲讲 分数数列计算分数数列计算 兴趣篇兴趣篇 1、 计算： （1）121 328； （2）)48； （3）25 83 32 125。 2、 计算： （1）56 2256 3356 44； （2）22288966。 3、 计算： （1）3747+3653； （2）12376-12475 4、 计算：100-99+98-97+96-95+12-11+10。 5、 计算：50+49-48-47+46+45-44-43+-4-3+2+1。 6、计算： （1+3+5+7+201）-（2+4+6+8+198+200） 。 7、计算：1+2+3+4+48+49+50+49+48+4+3+2+1。
2、8、下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个 7 和 8 组成的 口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8” 是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是 1995，口令是“87” ， 在第一个口令“8”发出后变成 995，在第二个口令“7”发出后变成 9995。 如果给出数“6595”以及口令“878788” ，问：变换后依次得到的 6 个数的和是多少？ 9、规定运算“”为：()()a bab11V，请计算： （1）810； （2）108 10、规定运算“”为：()aba bab
3、 e，请计算： （1）58； （2）85； （3） （65）4； （4）6（54） 。 拓展篇拓展篇 1、计算： （1）722788（91112） ； （2）31121-88125（1000121） 。 2、计算： （1）555445-556444； （2）42137-8015+58138-7015。 3、计算：200920092009-200920082008-20092008。 4、计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99 5、计算： 10099-9998+9897-9796+9695-9594+43-32+21。 6、 在不大于 1000 的自然数中，A为所有个位数字为
4、 8 的数之和，B为所有个位数字为 3 的数之和。A与B 的差是多少？ 7、求图中所有数字的和。 1 3 4 7 9 11 13 15 17 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 5 7 9 11 13 15 17 19 4 6 8 10 12 14 16 18 20 5 7 9 11 13 15 17 19 21 8、已知平方差公式：() ()ababab 22 ，计算： 22222222 2019181716521L。 9、计算： 。951949-5248 10、规定运算“”为：a bab 22，计算： （1）() 8 76； （2）() 87 6。 11、规定运算“o”为()
5、()abab12o。如果() 6591o Wo，那么方格内应该填入什么数？ 12、规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算， “”为选择两数中较小的数的运算，例如：35=5,3 5=3。请计算：1234567100。 （运算的顺序是从左至右） 超越篇超越篇 1、观察下面算式的规律： 2000+1994-1988-1982+1976+1970-1964-1958+1952+1946-1940-1934+，一直这样写下去，那么最后 4 个自然数分别是哪 4 个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？ 2、从 1,2，9,10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积。把所有
6、这样的乘 积全部加起来，总和是多少？ 3、计算：1-3+6-10+15-21+28-+4950。 4、已知平方差公式：() ()ababab 22 ，计算： 222222222222 100999897969594934321L 5、 a b表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和， 例如： 4 345615， 5 4567826， 请计算： （1）4 15； （2）在算式() 7111056W中，方框里的数应该是多少？ 6、定义两种新运算：a bab 1，a bab 1。用“” 、 “”和括号填入下面的式子，使得等式 成立（不能用别的计算符号） ： 7 3 4 5 = 2。 7、计算： 现定
7、义四种操作的规则如下： “一分为二” ：如果一个自然数是偶数，就把它除以 2；如果是奇数，就先加上 1，然后除以 2。例如从 16 可以得到 8，从 27 可以得到 14。 “丢三落四” ：如果一个自然数中包含数字“3”或“4” ，就将其划掉。例如从 5304 可以得到 50，从 408 可以得到 8。 （不含数字 3 和 4 的自然数不能进行“丢三落四”操作） “七上八下” ：如果一个自然数中包含数字“7” ，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数 字“8” ，就将所有“8”移到最右边。例如从 98707 可以得到 77908，从 802 可以得到 28。 （不含数字 7 和 8
8、的自然数不能进行“七上八下”操作） “十全十美” ：将一个自然数的个位数字换成 0。例如从 111 可以得到 110，从 905 可以得到 900。 （个位 是 0 的自然数不能进行“十全十美”操作） （1） 请写出对 4176 依次进行、操作后的结果； （2） 从 655687 开始，最少经过几次操作以后可以得到 0？ （3） 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是 8，求有多少个这样 的三位数。 8、图是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有的乘积的总和是多少？ 第第 1 讲讲 分数数列计算分数数列计算 兴趣篇兴趣篇 6、 计算： （1）121 328； （
9、2）)48； （3）25 83 32 125。 【答案】 （1）484； （2）125； （3）8300000。 【分析】 （1）原式=121（328） =1214 =484 （2）原式=42508 =10008 =125 （3）原式=258348125 =（254）（8125）83 =100100083 =8300000 7、 计算： （1）56 2256 3356 44； （2）22288966。 【答案】 （1）5544； （2）66000。 【分析】 （1）原式=56（22+33+44） =5699 =56（100-1） =5600-56 =5544 （2）原式=11166+88966
10、 =66（111+889） =661000 =66000 8、 计算： （1）3747+3653； （2）12376-12475。 【答案】 （1）3647； （2）48 【分析】 （1）原式=（36+1）47+3653 =3647+47+3653 =36（47+53）+47 =36100+47 =3647 （2）原式=（124-1）76-12475 =12476-76-12475 =124（76-75）-76 =124-76 =48 9、 计算：100-99+98-97+96-95+12-11+10。 【答案】55 【分析】原式=（100-99）+（98-97）+（96-95）+（12-11
11、）+10 =1+1+1+1+10 =55 10、 计算：50+49-48-47+46+45-44-43+-4-3+2+1。 【答案】51 【分析】原式=（50+49-48-47）+（46+45-44-43）+（6+5-4-3）+2+1 =4+4+4+（2+1） =48+3 =51 6、计算： （1+3+5+7+201）-（2+4+6+8+198+200） 。 【答案】101 【分析】原式=1+3+5+7+199+201-2-4-6-8-198-200 =1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（199-198）+（201-200） =1+1+1+1+1+1 =101 7、计算：1+2+3+4+
12、48+49+50+49+48+4+3+2+1。 【答案】2500 【分析】原式=502=2500 8、 下面是一个叫做 “七上八下” 的数字游戏。 游戏规则是： 对一个给定的数， 按照由若干个 7 和 8 组 成的口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令 “8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是 1995，口令是“8 7” ，在第一个口令“8”发出后变成 995，在第二个口令“7”发出后变成 9995。 如果给出数“6595”以及口令“878788” ，问：变换后依次得到的 6 个数的和是多少？ 【答案】2247
13、8 【分析】6695：口令“8”后变为“695” ，口令“7”后变为“9695” ，口令“8”后为“969” ，又口令“7” 后为“9969” ，再口令“8”为“999” ，再次口令“8”变为“99” 。 那么这 6 个数的和为：695+9695+969+9969+999+99 =6952+9000+9692+9000+1000-1+100-1 =22426 9、规定运算“”为：()()a bab11V，请计算： （1）810； （2）108 【答案】 （1）81； （2）77 【分析】 （1）810=（8+1）（10-1）=99=81 （2）108=（10+1）（8-1）=117=77 10
14、、规定运算“”为：()aba bab e，请计算： （1）58； （2）85； （3） （65）4； （4）6（54） 。 【答案】 （1）27； （2）27； （3）53； （4）49 【分析】 （1）58=58-（5+8）=40-13=27 （2）85=85-（8+5）=40-13=27 （3） （65）4=65-（6+5） 4=194-（19+4）=53 （4）6（54）=654-（5+4）=611=611-（6+11）=49 拓展篇拓展篇 1、计算： （1）722788（91112） ； （2）31121-88125（1000121） 。 【答案】 （1）144； （2）2420 【分
15、析】 （1）原式=（7212）（279）（8811） =638 =144 （2）原式=31121-881251000121 =31121-11（8125）1000121 =31121-11121 =（31-11）121 =20121 =2420 2、计算： （1）555445-556444； （2）42137-8015+58138-7015。 【答案】 （1）111； （2）13748 【分析】 （1）原式=（556-1）445-556444 =556445-445-556444 =556（445-444）-445 =556-445 =111 （2）原式=42137+58138-（80+70）
16、15 =42137+58（137+1）-15015 =42137+58137+58-10 =（42+58）137+48 =100137+48 =13748 3、计算：200920092009-200920082008-20092008。 【答案】2009 【分析】原式=200920092009-20092008（2008+1） =200920092009-200920082009 =2009（20092009-20092008） =20091 =2009 4、计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99 【答案】1584 【分析】原式=（1+2-3）+（4+5-6）+（7+8-9
17、）+（97+98-99） =0+3+6+96 =（3+96）322 =9916 =（100-1）16 =1600-16 =1584 5、计算： 10099-9998+9897-9796+9695-9594+43-32+21。 【答案】5000 【分析】原式=99（100-98）+97（98-96）+95（96-94）+3（4-2）+21 =992+972+952+32+12 =（99+97+95+3+1）2 =（99+1）5022 =5000 6、 在不大于 1000 的自然数中，A为所有个位数字为 8 的数之和，B为所有个位数字为 3 的数之和。A与B 的差是多少？ 【答案】500 【分析】
18、个位为 8 的数的高位与个位为 3 的数的高位相同， A 与 B 的差实质是求有多少个个位为 8 的数或个位为 3 的数。 用个数（8-3） 末位为 8 的数有 8 10101=100 个 100（8-3）=500 7、求图中所有数字的和。 1 3 4 7 9 11 13 15 17 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 5 7 9 11 13 15 17 19 4 6 8 10 12 14 16 18 20 5 7 9 11 13 15 17 19 21 【答案】495 【分析】方法一： 和为： （1+3+5+17）+（2+4+6+18）+（3+5+19）+（4+6+20）+（5
19、+7+21） =（1+17）92+（2+18）92+（3+19）92+（4+20）92+（5+21）92 =9（9+10+11+12+13）=955=495 方法二： （1+2+5）+（3+4+7）+（15+16+19）+（17+18+21） =35+55+75+195=5（3+5+7+19） =495 方法三：利用中项定理：横行： （9+10+11+12+13）9=495 竖列： （3+5+7+9+19）5=495 8、已知平方差公式：() ()ababab 22 ，计算： 22222222 2019181716521L。 【答案】210 【分析】原式=（20+19）（20-19）+（18+
20、17）（18-17）+（2+1）（2-1） =20+19+18+17+2+1 =210 9、计算： 。951949-5248 【答案】900003 【分析】原式=（950+1）（950-1）-（50+2）（50-2） =9502-12-（502-22） =9502-12-502+22 =（950+50）（950-50）+（2+1）（2-1） =1000900+3 =900003 10、规定运算“”为：a bab 22，计算： （1）() 8 76； （2）() 87 6。 【答案】 （1）30； （2）40 【分析】 （1）原式=（8+27-2）6 =206 =20+26-2 =30 （2）原
21、式=8（7+26-2） =817 =8+217-2 =40 11、规定运算“o”为()()abab12o。如果() 6591o Wo，那么方格内应该填入什么数？ 【答案】4 【分析】设内填入 x， 原式变为 60（x05）=（6+1）（x05-2）=91 7（x05-2）=91 x05-2=13 x05=15 x05=（x+1）（5-2）=15=53 x+1=5 x=4 12、规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算， “”为选择两数中较小的数的运算，例如：35=5,3 5=3。请计算：1234567100。 （运算的顺序是从左至右） 【答案】99 【分析】1234567100 =234567
22、100 =34567100 =3567100 =567100 =67100 =6100 从中发现最后剩下一个数为 3 的倍数 结果为 99 超越篇超越篇 1、观察下面算式的规律： 2000+1994-1988-1982+1976+1970-1964-1958+1952+1946-1940-1934+，一直这样写下去，那么最后 4 个自然数分别是哪 4 个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？ 【答案】-20，-14，+8，+2,2002 【分析】发现此串算式的规律为两加两减，4 个数一个周期。 （2000-）6+1 为整数，最小为 2 一共有（2000-2）6+1=334 个，3344=
23、832 最后 4 个自然数为 20，14，8，2，符号分别为-，-，+，+。 结果是： 原式= （2000+1994-1988-1982） + （1976+1970-7964-1958） + （32+26-20-14） +8+2=2483+10=2002 2、从 1,2，9,10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积。把所有这样的乘 积全部加起来，总和是多少？ 【答案】750 【分析】奇数有：1，3，5，7，9 偶数有：2，4，6，8，10 乘积之和为： （1+3+5+7+9）（2+4+6+8+10） =2530 =750 3、计算：1-3+6-10+15-21+28-
24、+4950。 【答案】2500 【分析】此串数列出现的规律为： 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 方法一：原式=1+（6-3）+（15-10）+（28-21）+（4950-4851） =1+3+5+7+99 =（1+99）502=2500 方法二：4950-（3-1）+（10-6）+（21-15）+（4851-4753） =4950-（2+4+6+98） =4950-（2+98）492 =2500 4、已知平方差公式：() ()ababab 22 ，计算： 222222222222 100999897969594934321L 【答案】10100 【分析】原式=（100
25、2-982）+（992-972）+（962-942）+（952-932）+（42-22）+（32-12） =（100+98）（100-98）+（99+97）（99-97）+（96+94）（96-94）+（4+2）（4-2） +（3+1）（3-1） =2（100+98+99+97+96+94+4+2+3+1） =2（1+2+98+99+100） =25050 =10100 5、 a b表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和， 例如： 4 345615， 5 4567826， 请计算： （1）4 15； （2）在算式() 7111056W中，方框里的数应该是多少？ 【答案】 （1）165； （2
26、）10 【分析】 （1）415=4+5+6+7+18=（4+18）152=165 （2）方法一：设为 x。 （x7）11=（x7）+（x7）+1+（x7）+2+（x7）+10 =11（x7） （1+2+10） =11x7+55=1056 11（x7）=1001 x7=91 x7=x+（x+1）+（x+2）+（x+6） =7x+（1+2+6）=7x+21=91 7x=91-21 x=10 方法二：打包法：设7=A 原式=A11=A+（A+1）+（A+10）=11A+55=1056 11A=1001 A=91 A=7=91 7=+（+1）+（+6）=7+21=91 =10 6、定义两种新运算：a
27、bab 1，a bab 1。用“” 、 “”和括号填入下面的式子，使得等式 成立（不能用别的计算符号） ： 7 3 4 5 = 2。 【答案】()()7 34 52 【分析】无 7、计算： 现定义四种操作的规则如下： “一分为二” ：如果一个自然数是偶数，就把它除以 2；如果是奇数，就先加上 1，然后除以 2。例如从 16 可以得到 8，从 27 可以得到 14。 “丢三落四” ：如果一个自然数中包含数字“3”或“4” ，就将其划掉。例如从 5304 可以得到 50，从 408 可以得到 8。 （不含数字 3 和 4 的自然数不能进行“丢三落四”操作） “七上八下” ：如果一个自然数中包含数字
28、“7” ，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数 字“8” ，就将所有“8”移到最右边。例如从 98707 可以得到 77908，从 802 可以得到 28。 （不含数字 7 和 8 的自然数不能进行“七上八下”操作） “十全十美” ：将一个自然数的个位数字换成 0。例如从 111 可以得到 110，从 905 可以得到 900。 （个位 是 0 的自然数不能进行“十全十美”操作） （4） 请写出对 4176 依次进行、操作后的结果； （5） 从 655687 开始，最少经过几次操作以后可以得到 0？ （6） 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是 8，
29、求有多少个这样 的三位数。 【答案】 （1）700； （2）6 次； （3）18 个 【分析】 （1）4176 进行操作后是 7416， 7416 再进行操作后是 3708， 3708 再进行操作后是 7308， 7308 再进行操作后是 708， 708 再进行操作后是 700。 结果为 700。 （2）无 （3）无 8、图是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有的乘积的总和是多少？ 【答案】1155 【分析】方法一：1（1+2+3+9）+2（2+3+9）+3（3+4+9）+4（4+5+9）+5（5+6+ +9）+6（6+7+9）+7（7+8+9）+8（8+9）+99 =145+244+342+439+535+629+724+817+99 =45+88+126+156+175+174+168+136+81 =1155 方法二：11+2（1+2）+3（1+2+3）+4（1+2+3+4）+5（1+2+5）+6（1+2+6） +7(1+2+7)+8（1+2+8）+9（1+2+9） =1+23+36+410+515+621+728+836+945 =1+6+18+40+75+126+196+288+405 =1155