1、 1 / 19 第第 16 讲讲 统筹与对策统筹与对策 兴趣篇兴趣篇 1、 妈妈让冬冬给客人烧水沏茶。洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟，洗茶壶要用 1 分钟，洗茶杯 要用 1 分钟， 拿茶叶要用 2 分钟。 冬冬估算了一下， 完成这些工作要花 20 分钟。 为了尽快给客人沏茶， 你认为最合理的安排，最少需要多少分钟？ 2、 理发店里同时来了ABC、 、三个顾客，A理板寸需要 7 分钟，B理光头需要 10 分钟，C烫卷发需要 40 分钟。请问：如果安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间是 多少？ 3、 西点店里卖的面包都是 5 个一袋或 3 个一袋
2、的，不拆开零售。已知 5 个一袋的售价 8 元，3 个一袋的售 价是 5 元，要给 47 位同学每人发 1 个面包最少要花多少钱？ 4、如图的方格屏幕上，每个小方格的边长是 1 厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想 吃掉图中的 3 个“”，最少要爬多远？请画出路线。 5、如图所示，一条环形公路上有ABCD、 、 、四个仓库。A仓库存盐 40 吨，B仓库存盐 5 吨，C仓库存 盐 35 吨，D仓库没有盐。现在要调整存放数量，计划ABCD、 、 、每个仓库各存盐 20 吨。已知每吨盐 运 1 千米需要运费 2 元。试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费？（图中公路旁的数字表示
3、 相邻仓库间的里程数，单位为千米） 2 / 19 6、2008 个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚。规定如下：每个 空格至多放一枚棋子； 当甲放好一枚棋子后， 乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放； 而当乙放好棋子后， 甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输。如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必 胜策略？ 7、 有 9 根火柴， 甲、 乙两人轮流取， 规定每次可以取 1 根或者 2 根火柴， 以取走最后一根火柴的人为胜者。 试问：如果甲先取，谁有必胜的策略？ 8、有 100 根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取 1 根、2 根、3 根或 4 根
4、火柴，谁取到最后 1 根火 柴谁输。甲先取，问：谁有必胜的策略？ 9、黑板上写有 1,2,3,4,5，2009 这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数。如果最后剩下的两 个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜。请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的？ 10、两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完 最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜。问：先放者如何取胜？ 拓展篇拓展篇 1、 小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐 2 分钟，切肉片 2 分钟，准备葱姜 蒜 3 分钟，准备佐料 1 分钟，烧热锅 2 分钟，烧热
5、油 2 分钟，炒菜 4 分钟。那么小悦烧好这道菜最短需 要多少分钟？ 3 / 19 2、 小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了ABCDE、 、 、 、五个顾客。A买糖果需要 2 分钟；B买大米 需要 6 分钟；C买香烟和啤酒需要 4 分钟；D买水果需要 3 分钟；E买蔬菜需要 5 分钟。问：售货员 应该如果安排五个人的顺序，使得五个人排队等候的时间总和最短？这个最短时间是多少？（只计算每 个人排队的时间，不计算买东西的时间。 ） 3、 有 47 位小朋友，老师要给每人发 1 支红笔和 1 支蓝笔。商店中每种笔都是 5 支一包或 3 支一包，不能 打开零售。5 支一包的红笔 61 元，蓝笔 70
6、 元，3 支一包的红笔 40 元，蓝笔 47 元。老师买所需要的笔 最少要花多少元？ 4、图是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数。问：小悦从A出发走到B最快 需要多少分钟？ 5、如图，一条路上从西向东有ABCDE、 、 、 、五所学校，分别有 200 人、300 人、400 人、500 人、600 人。任意相邻的两所学校之间的距离都是 100 米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使 所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方？距离的总和最少是多少？ 【分析】 6、北京和上海分别制成同样型号的车床 19 台和 6 台，这些车床准备分配给武汉 11 台、
7、西安 5 台，每台车 床的运费如图所示，单位为百元。那么总运费最少是多少元？ 4 / 19 7、甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图所示的 3 3 的方格中放棋子，每次放 1 枚，谁 的棋子中有 3 枚连成一条线（横、竖、斜均可） ，谁就获胜。如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败， 第 1 枚棋子应该放在哪里？ 8、有 12 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取 1 枚，最多取 3 枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。 如果甲先取，那么谁有必胜策略？如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜 策略？ 9、现有 2008 根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴。每次
8、最少从中取出 2 根，最多取出 4 根。谁无法 再次取出火柴谁就赢。如果甲先取，请问谁有必胜的策略？ 10、甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为 零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球。 （1）如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略？请说明理由； （2）如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略？请说明理由； （3）如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略？请说明理由。 11、如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿 45 角走 1 步，最终将棋子走到方格B的
9、人获胜。请问：谁有必胜策略，策略是什么？如果每次允许往同一方向 （上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？ 5 / 19 12、桌上有一块巧克力，它被直线划分成 3 行 7 列的 21 个小方块，如图所示。现在让你和对手进行一种两 人轮流切巧克力的游戏，规则如下： 每次只许沿一条直线把巧克力切成两块； 拿走其中一块，把另一块留给对手再切； 谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜。 如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？ 超越篇超越篇 1、 甲、 乙、 丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件， 加工各零件所需要的时间分别为 4、 5、 6、6、8、9
10、、9 分钟。三人同时开始工作，问：经过合理分工，最少经过多少分钟可以车完全部零件？ 2、图是某县的道路分布图。小唐要驾车从县城出发，经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次， 并且最后回到县城。已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数，那么小唐完成计划的行 程最少需要多少分钟？ 3、如图，有 10 个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米。现 在要安装水管，从县城送自来水供给各村。可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只 能供一个村用水。 粗管每千米要 8000 元， 细管每千米要用 2000 元。 把粗管和细管适当搭配， 互相连接
11、， 可以降低工程的总费用。按你认为最节约的办法，费用应是多少元？ 6 / 19 4、 甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数 字，并用所得的差替换原数。两人轮流走。谁所得到的数是零，就算谁赢。如果开始在黑板上写着数 1994，并且甲先走，问谁有必胜策略？ 5、如图，五角星上共有 10 个交点和 15 条小线段。甲首先将一些棋子放在A点上，并由此出发沿某条小线 段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再 走，如此下去。如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那 么甲是否有
12、必胜策略？ 6、把一枚棋子放在图中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向 右或者向右上方沿 45 角移动， 一次可以移动任意多格。 谁把棋子移到了右上角的方格中即为输， 试问： 如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么？ 7、冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水。用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜 4 分钟，准备佐 料 4 分钟，烧热锅 2 分钟，烧热油 2 分钟，炒菜 4 分钟。用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶 2 分钟，用火烧水 15 分钟，把开水灌到热水瓶中需要 2 分钟。用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米 4 分钟，煮饭 18 分钟。冬冬家的煤
13、气炉只有一个煤气灶。请问：冬冬做完这三件事最短需要多少分钟？ 8、甲、乙两人轮流报数，每人只能报 2、3、5、7 中的 1 个，把两人报的数累加。如果某个人报完数后， 累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜。请问：谁有必胜策略？ 7 / 19 第第 16 讲讲 统筹与对策统筹与对策 兴趣篇兴趣篇 4、 妈妈让冬冬给客人烧水沏茶。洗开水壶要用妈妈让冬冬给客人烧水沏茶。洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用分钟，烧开水要用 15 分钟，洗茶壶要用分钟，洗茶壶要用 1 分钟，洗茶杯分钟，洗茶杯 要用要用 1 分钟， 拿茶叶要用分钟， 拿茶叶要用 2 分钟。 冬冬估算了一下， 完成这些工作要花分钟。 冬
14、冬估算了一下， 完成这些工作要花 20 分钟。 为了尽快给客人沏茶，分钟。 为了尽快给客人沏茶， 你认为最合理的安排，最少需要多少分钟？你认为最合理的安排，最少需要多少分钟？ 【分析】【分析】 5、 理发店里同时来了理发店里同时来了ABC、 、三个顾客，三个顾客，A理板寸需要理板寸需要 7 分钟，分钟，B理光头需要理光头需要 10 分钟，分钟，C烫卷发需要烫卷发需要 40 分钟。 请问： 如果安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间是分钟。 请问： 如果安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间是 多少？多少？ 【分析】【分析】 6
15、、 西点店里卖的面包都是西点店里卖的面包都是 5 个一袋或个一袋或 3 个一袋的，不拆开零售。已知个一袋的，不拆开零售。已知 5 个一袋的售价个一袋的售价 8 元，元，3 个一袋的售个一袋的售 价是价是 5 元，要给元，要给 47 位同学每人发位同学每人发 1 个面包最少要花多少钱？个面包最少要花多少钱？ 8 / 19 【答案】【答案】76 元元 4、如图的方格屏幕上，每个小方格的边长是、如图的方格屏幕上，每个小方格的边长是 1 厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想 吃掉图中的吃掉图中的 3 个个“”，最少要爬多远？请画出路线
16、。，最少要爬多远？请画出路线。 【分析】【分析】 5、如图所示，一条环形公路上有、如图所示，一条环形公路上有ABCD、 、 、四个仓库。四个仓库。A仓库存盐仓库存盐 40 吨，吨，B仓库存盐仓库存盐 5 吨，吨，C仓库存仓库存 盐盐 35 吨，吨，D仓库没有盐。现在要调整存放数量，计划仓库没有盐。现在要调整存放数量，计划ABCD、 、 、每个仓库各存盐每个仓库各存盐 20 吨。已知每吨盐吨。已知每吨盐 运运 1 千米需要运费千米需要运费 2 元。试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费？（图中公路旁的数字表示元。试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费？（图中公路旁的数字表示 相邻相邻
17、仓库间的里程数，单位为千米）仓库间的里程数，单位为千米） 9 / 19 【分析】【分析】 6、2008 个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚。规定如下：每个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚。规定如下：每 个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子 后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输。如果乙一开始后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输。如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将
18、在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将 有必胜策略？有必胜策略？ 【分析】【分析】 10 / 19 7、 有、 有 9 根火柴， 甲、 乙两人轮流取， 规定每次可以取根火柴， 甲、 乙两人轮流取， 规定每次可以取 1 根或者根或者 2 根火柴， 以取走最后一根火柴的人为胜者。根火柴， 以取走最后一根火柴的人为胜者。 试问：如果甲先取试问：如果甲先取，谁有必胜的策略？，谁有必胜的策略？ 【分析】【分析】无论甲拿 1 还是 2，后拿的 2 总能和其凑 3，现在拿到最后一根火柴棍的人为胜，所以乙有必胜策 略。 8、有、有 100 根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每
19、次可以取 1 根、根、2 根、根、3 根或根或 4 根火柴，谁取到最后根火柴，谁取到最后 1 根火根火 柴谁输。甲先取，问：谁有必胜的策略？柴谁输。甲先取，问：谁有必胜的策略？ 【分析】【分析】 甲先拿四根， 无论乙拿 1 根还是 2 根还是 3 根还是 4 根， 甲总能和其凑 5， 这样最后一根必为乙拿， 所以甲有必胜策略。 9、黑板上写有、黑板上写有 1,2,3,4,5，2009 这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数。如果最后剩下的两这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数。如果最后剩下的两 个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜。请问：谁个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则
20、乙胜。请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的？有必胜的策略，具体的策略是怎样的？ 【分析】【分析】一共有 1005 个奇数，1004 个偶数，这样甲先擦掉一奇数，还余下 1004 个奇数与 1004 个偶数，这 样无论乙怎么选，甲都擦掉一个与之奇偶性相反的数。所以甲又必胜策略。 10、两人轮流往一个圆桌面上放同样两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完 最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜。问：先放者如何取胜？最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜。问：先放者如何取胜？ 【分
21、析】现在桌面中心放一枚，无论后放者放在哪里，先放者放在与之关于中心对称的位置上。 拓展篇拓展篇 5、 小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐 2 分钟，切肉片分钟，切肉片 2 分钟，准备葱姜分钟，准备葱姜 蒜蒜 3 分钟，准备佐料分钟，准备佐料 1 分钟分钟，烧热锅烧热锅 2 分钟，烧热油分钟，烧热油 2 分钟，炒菜分钟，炒菜 4 分钟。那么小悦烧好这道菜最短需分钟。那么小悦烧好这道菜最短需 要多少分钟？要多少分钟？ 【分析】【分析】 6、 小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了
22、ABCDE、 、 、 、五个顾客。五个顾客。A买糖果需要买糖果需要 2 分钟；分钟；B买大米买大米 需要需要 6 分钟；分钟；C买香烟买香烟和和啤酒需要啤酒需要 4 分钟；分钟；D买水果需要买水果需要 3 分钟；分钟；E买蔬菜需要买蔬菜需要 5 分钟。问分钟。问：售货员售货员 应该如果安排五个人的顺序， 使得五个人排队等候的时间总和最短？这个最短时间是多少？ （只计算每应该如果安排五个人的顺序， 使得五个人排队等候的时间总和最短？这个最短时间是多少？ （只计算每 11 / 19 个人排队的时间，不计算买东西的时间个人排队的时间，不计算买东西的时间。 ） 【分析】【分析】需要使用时间短的人排在前
23、民，这样会使得综合所用时间减少，最优的策略是：按照ADCEB的顺 序；共需要排队： 22 32 3 42 3 4 52 5 9 1430 （分钟） 。 7、 有有 47 位小朋友，老师要给每人发位小朋友，老师要给每人发 1 支红笔和支红笔和 1 支蓝笔。商店中每种笔都是支蓝笔。商店中每种笔都是 5 支一包或支一包或 3 支一包支一包，不能，不能 打开零售。打开零售。5 支一包的红笔支一包的红笔 61 元，蓝笔元，蓝笔 70 元，元，3 支支一包的红笔一包的红笔 40 元，蓝笔元，蓝笔 47 元。老师买所需要的笔元。老师买所需要的笔 最少要花多少元最少要花多少元？ 【分析】【分析】 4、图是一张
24、道路图图是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数。问：小悦从每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数。问：小悦从A出发走到出发走到B最快最快 需要多少分钟？需要多少分钟？ 【分析】【分析】 5、如图，一条路上从西向东有如图，一条路上从西向东有ABCDE、 、 、 、五所学校，分别有五所学校，分别有 200 人、人、300 人、人、400 人、人、500 人、人、600 人人。任意相邻的两所学校。任意相邻的两所学校之间的距离都是之间的距离都是 100 米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使 12 / 19 所
25、有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方？距离的总和最少是多少？所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方？距离的总和最少是多少？ 【分析】【分析】 6、北京和上海分别制成同样型号的车床北京和上海分别制成同样型号的车床 19 台和台和 6 台，这些车床台，这些车床准备准备分配给武汉分配给武汉 11 台、西安台、西安 5 台，每台车台，每台车 床的运费如图所示，单位为百元。那么总运费最少是多少元？床的运费如图所示，单位为百元。那么总运费最少是多少元？ 【分析】【分析】 13 / 19 7、甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图所示的、甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子
26、，他们轮流向如图所示的 3 3 的方格的方格中中放放棋子棋子，每次放，每次放 1 枚，谁枚，谁 的棋子中的棋子中有有 3 枚连成一条线（横、竖、斜均可） ，枚连成一条线（横、竖、斜均可） ，谁就获胜。如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败，谁就获胜。如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败， 第第 1 枚棋子应该放在哪里？枚棋子应该放在哪里？ 【分析】【分析】 14 / 19 【答案】【答案】左上角、右左上角、右上上角、左下角或者右下角角、左下角或者右下角 8、有有 12 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取 1 枚枚，最多取，最多取 3 枚枚，以取走最，
27、以取走最后后一枚棋子者为胜者。一枚棋子者为胜者。 如果甲先取，那么谁有必胜策略？如果甲先取，那么谁有必胜策略？如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜 策略？策略？ 【分析】【分析】 【答案】【答案】乙；甲乙；甲 9、现有现有 2008 根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴。每次最少从中取出根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴。每次最少从中取出 2 根，最多取出根，最多取出 4 根。谁无法根。谁无法 再次取出火柴谁就赢。如果甲先取，请问谁有必胜的策略？再次取出火柴谁就赢。如果甲先取，请问谁有必胜的策略？ 【分析】【
28、分析】 【答案】【答案】甲甲 10、甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中中取，个数不为取，个数不为 零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球。零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球。 （1）如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略？请说明理由；）如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略？请说明理由； （2）如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略？请说明理由；）如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略？请说明理由； （3
29、）如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略？请说明理由）如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略？请说明理由。 【分析】【分析】 【答案】【答案】 （1）乙有必胜策略，乙每次都取和甲相同的数目；）乙有必胜策略，乙每次都取和甲相同的数目； 15 / 19 （2）甲油必胜策略，甲先从甲油必胜策略，甲先从 3 个的那堆种取出个的那堆种取出 1 个，个，接着乙取几个甲就取几个；接着乙取几个甲就取几个； （3）甲油必胜策略，甲先从甲油必胜策略，甲先从 8 个的那堆种取出个的那堆种取出 3 个，接着乙取几个甲就取几个。个，接着乙取几个甲就取几个。 11、如图，方格、如图，方格A中放
30、有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿 45 角走角走 1 步，最终将棋子走到方格步，最终将棋子走到方格B的人获胜。请问：谁有必胜策略，策略是什么？如果每次允许往同一方向的人获胜。请问：谁有必胜策略，策略是什么？如果每次允许往同一方向 （上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？ 【分析】【分析】 16 / 19 【答案】【答案】甲有必胜策略，标有甲有必胜策略，标有“”的方格的方格是是制胜点制胜点 甲有必胜策略，标有甲有必胜策略，标有“”的方格的方格是是制胜点制
31、胜点 12、桌上有一块巧克力，它被直线划分成、桌上有一块巧克力，它被直线划分成 3 行行 7 列的列的 21 个小方块，如图所示。现在让你和对手进行一种两个小方块，如图所示。现在让你和对手进行一种两 人轮流切巧克力的游戏，规则如下：人轮流切巧克力的游戏，规则如下： 每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；每次只许沿一条直线把巧克力切成两块； 拿走其中一块，把另一块留给对手再切；拿走其中一块，把另一块留给对手再切； 谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜。谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜。 如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？如果请你首先切巧克力，那么你第
32、一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？ 【分析】【分析】 【答案】【答案】切走切走 12 块，给对手留下一个块，给对手留下一个 3 3 的正方形，接着每次都给对手留下一个正方形。的正方形，接着每次都给对手留下一个正方形。 17 / 19 超越篇超越篇 1、甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件，加工各零件所需要的、甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件，加工各零件所需要的 时间分别为时间分别为 4、5、6、6、8、9、9 分钟。三人同时开始工作，问：经过合理分工，最少分钟。三人同时开始工作，问：经过合理分工，最少 经过多少分钟可以车完全部零件？经过多少
33、分钟可以车完全部零件？ 【分析】【分析】由于4+5+6+6+8+9+9=47（分钟） ，而45 3 152 ，由于无法构造 16 分，所以最少需要 17 分钟，一种构造方法。 甲加工需要：6 分钟、9 分钟； 乙加工需要：6 分钟、9 分钟； 丙加工需要：4 分钟、5 分钟与 8 分钟。 2、图是某县的道路分布图。小唐要驾车从县城出发，经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次，、图是某县的道路分布图。小唐要驾车从县城出发，经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次， 并且最后回到县城。已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数，那么小唐完成计划的行并且最后回到县城。已知道路旁
34、边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数，那么小唐完成计划的行 程最少需要多少分钟？程最少需要多少分钟？ 【分析】【分析】所选择的路线是从县城到乙再到丙再回到县城再去丁再去戊再去甲最后回到县城，所用的时间和 为：20 60 504020 60 50300（分钟） 。 3、如图，有、如图，有 10 个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米。现个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米。现 在要安装水管，从县城送自来水供给各村。可以用粗细两种水管，粗管足够供应在要安装水管，从县城送自来水供给各村。可以用粗细两种水管，粗管足够供应所所
35、有各村用水，细管只有各村用水，细管只 能供一个村用水。 粗管每千米要能供一个村用水。 粗管每千米要 8000 元， 细管每千米要用元， 细管每千米要用 2000 元。 把粗管和细管适当搭配， 互相连接，元。 把粗管和细管适当搭配， 互相连接， 可以降低工程的总费用。按你认为最节约的办法，费用应是多少元？可以降低工程的总费用。按你认为最节约的办法，费用应是多少元？ 【分析】【分析】粗管的费用是细管费用8000 20004倍。所以村庄数 4 个以上的用粗管比较合适。 粗管需要30 5 242 3 248 千米。 细管需要 2 3 2 2 5 15 千米 费用共计：8000 48 2000 1541
36、4000（元） 。 8、 甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去减去它的某个非零数它的某个非零数 字，并用所得的差替换原数。两人轮流走。谁所得到的数是零，字，并用所得的差替换原数。两人轮流走。谁所得到的数是零，就算谁赢。如果开始在黑板上写着数就算谁赢。如果开始在黑板上写着数 18 / 19 1994，并且甲先走，问谁有必胜策略？，并且甲先走，问谁有必胜策略？ 【分析】甲先把 4 拿走剩的为十的倍数，无论乙拿什么，甲对应都拿个位上的数。甲必胜。 5、如图，五角星上共有、如图，五角星上共有
37、 10 个交点和个交点和 15 条小线段。甲首先将一些棋子放在条小线段。甲首先将一些棋子放在A点上，并由此出发沿某条小线点上，并由此出发沿某条小线 段将棋子移段将棋子移到到相邻的一个交点上，之后相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移乙再将棋子沿某条小线段移到到下一个相邻的交点上，之后甲再下一个相邻的交点上，之后甲再 走，走，如此下去。如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那，如此下去。如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那 么甲是否有必胜策略？么甲是否有必胜策略？ 【分析【分析】甲没有必胜策略，且乙必胜，甲只能由角上的点走到
38、中间，乙再走回角上的 5 个点。 6、把一枚棋子放在图中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向把一枚棋子放在图中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向 右或者向右上方沿右或者向右上方沿 45 角移动， 一次可以移动任意角移动， 一次可以移动任意多多格。 谁把棋子移到了右上角的方格中即为输， 试问：格。 谁把棋子移到了右上角的方格中即为输， 试问： 如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么？如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么？ 【分析】乙必胜。从右上角开始分析哪些位置必胜的，哪些位置是必败的，结果如图所示。因此甲第一步 必然走到“
39、”上，而乙必然可以每一步都给甲留下“”。 19 / 19 7、冬冬中午冬冬中午要炒一个菜，要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水。用煤气炉炒菜每煮一锅饭，烧一壶水。用煤气炉炒菜每道道工序的时间如下：切菜工序的时间如下：切菜 4 分钟，准备佐分钟，准备佐 料料 4 分钟，烧热锅分钟，烧热锅 2 分钟，烧热油分钟，烧热油 2 分钟，炒菜分钟，炒菜 4 分钟。用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶分钟。用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶 2 分钟，用火烧水分钟，用火烧水 15 分钟，把开水灌分钟，把开水灌到到热水瓶热水瓶中中需要需要 2 分钟。用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米分钟。用电饭锅煮饭每道工
40、序的时间如下：淘米 4 分钟，煮饭分钟，煮饭 18 分钟。冬冬分钟。冬冬家家的煤气炉只有一个煤气灶。请问：冬冬做完这三件事最短需要多少分钟？的煤气炉只有一个煤气灶。请问：冬冬做完这三件事最短需要多少分钟？ 【分析】【分析】 据分析， 烧热锅， 烧热油， 炒菜以及用火烧水都是必须要用到煤气炉的， 所以至少需要用 23 分钟， 由于烧水与烧菜之前都要进行准备工作，而烧水的准备时间较短。所以先烧水，具体完成过程如下； 洗水壶 2 分钟用火烧水 15 分钟（在此过程中先淘米 4 分钟，并随之开始煮饭；再切菜 4 分钟，准备佐料 4 分钟）烧热锅 2 分钟烧热油 2 分钟炒菜 4 分钟（在此过程中将开水
41、灌到热水瓶中） 。所以冬冬做 完这三件事至少需要用去：2 15 2 2 425 （分钟） 。 8、甲、乙两人轮流报数，每人只能报甲、乙两人轮流报数，每人只能报 2、3、5、7 中的中的 1 个，把两人报的数累加。如果某个人报完数后，个，把两人报的数累加。如果某个人报完数后， 累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜。请问：谁有必胜策略？累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜。请问：谁有必胜策略？ 【分析】【分析】 大于等于 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谁有必胜策略 甲 乙 乙 甲 甲 甲 甲 甲 甲 甲 大于等于 17 18 19 20 21 22 23 24 25
42、 谁有必胜策略 乙 乙 甲 甲 甲 甲 甲 甲 甲 大于等于 26 27 28 谁有必胜策略 乙 乙 甲 如果累加和第一次超过或等于 7，显然甲必胜。8,9 显然乙必胜。 若第一次超过或等于 10 获胜，则甲第一次报 2，转化成超过或等于 8，后手必胜的问题，则甲胜； 若第一次超过或等于 11，则甲第一次报 3，转化为超过或等于 9，后手必胜的问题，则甲胜； 同理，一直到 16，甲第一次可报 7，转化为超过或等于 9，后手必胜的问题，则甲胜； 若第一次超过或等于 17， 无论甲第一次报什么， 都会落到 1116 这个先手必胜的区间， 则乙必胜。 易得，从 8 开始 9 个数一循环，928=114，则甲必胜。