1、第第 15 讲讲 加法原理与乘法原理加法原理与乘法原理 兴趣篇兴趣篇 1、 铮铮去吃午饭，发现附近的中餐厅有 9 个，西餐厅有 3 个，日式餐厅有 2 个。他准备找一家餐厅吃饭， 一共有多少种不同的选择？ 2、 铮铮进入一家中餐厅后，发现主食有 3 种，热菜有 20 种。他打算主食和热菜各买 1 种，一共有多少种 不同的买法？ 3、 老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多 少种不同的写法？ 4、 传说地球上有 7 颗不同的龙珠，如果找齐这 7 颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现。邪 恶的沙鲁找到了这 7 颗龙珠，但是他不知道排列的
2、特定顺序。请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能 遇见神龙？ 5、 用红、 黄、 蓝三种颜色给图的三个圆圈染色， 一个圆圈只能染一种颜色， 并且相连的两个圆圈不能同色， 一共有多少种不同的染色方法？ 6、在图中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”。那么一共有多少种不同 的读法？ 7、运动会种有四个跑步比赛项目，分别为 50 米、100 米、200 米、400 米，规定每个参赛者只能参加其中 的一项。甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问： （1）如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法？ （2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报
3、名方法？ 8、冬冬的书包里有 5 本不同的语文书、6 本不同的数学书、3 本不同的英语书。请问： （1）如果从中任取 1 本书，共有多少种不同的取法？ （2）如果从中取出语文书、数学书、英语书各 1 本，共有多少种不同的取法？ 9、如图，甲、乙两地之间有 4 条路，乙、丙两地之间有 2 条路，甲、丙两地之间有 3 条路，那么从甲地去 丙地一共有多少条不同的路线？ 10、图中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A到B，可以选择的最短路线一共有多少条？ 拓展篇拓展篇 1、铮铮一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。经过网上查询，出发的那一天种火 车有 4 班，汽车有 3 班，飞机有
4、 2 班。他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择？ 2、“IMO”是“国际数学奥利匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种 颜色。现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”？ 3、书架上有三层书，第一层放了 15 本小说，第二层放了 10 本漫画，第三层放了 5 本科普 书，并且这些书各不相同。请问： （1）如果从所有的书中任取 1 本，共有多少种不同的取法？ （2）如果从每一层种各取 1 本，共有多少种不同的取法？ （3）如果从中取出 2 本不同类别的书，共有多少种不同的取法？ 4、如图，从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有
5、 3 条路，从甲地到丁地有 2 条路，从丁 地到丙地有 4 条路。如果要求所走线路不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的 路线？ 5、如图，四张卡片上写有数字 2、4、7、8。从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数。请问： 一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位奇数？ 6、奥运场馆实行垃圾分类处理。每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉 罐、不可再造，如图。现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这 3 种颜色之一，要求相邻两个垃圾桶颜 色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？ （1996 年第 12 届迎春杯决赛试题）
6、7、如图，把ABCDE、 、 、 、这五部分用 4 种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相 邻的部分可以使用同一种颜色。请问：这幅画共有多少种不同的染色方法？ 8、如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色。请问： （1）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法？ （1） 如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？ 9、甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶ABCDE、 、 、 、这五辆不同型号的汽车。会驾驶汽车A的只有甲和乙， 汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案？ 10、如图，4 枚相同的棋子放入
7、4 4 的方格内，每个方格只能放 1 枚，且要求每行每列最多只能放 1 枚，一 共有多少种不同的放法？ 11、图是一个阶梯形方格表，在方格中放入 5 枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有 1 枚棋子，这样的 放法共有多少种？ 12、如图 1 和图 2，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问： （1）按图 1 所示，从A点走到B点的不同路线有多少条？ （2）按图 2 所示，从A点走到B点的不同路线有多少条？ 超越篇超越篇 1、爸爸、妈妈带铮铮去吃西餐。餐厅里有米饭和面条 2 种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排 3 种主菜，奶油 蘑菇汤 1 种汤，以及蛋糕和布丁 2 种甜点。如果铮铮想要点 1
8、 种主食和 1 种主菜，汤和甜点可点可不 点，而且种类不限。请问：铮铮一共有多少种点菜方法？ 2、如图，在一个 3 4 的方格表内放入 4 枚相同的棋子，要求每列至多有 1 枚棋子，一共有多少种不同的放 法？如果放入 4 枚互不相同的棋子，要求每列至多有 1 枚棋子，一共有多少种不同的放法？ 3、如图，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这 4 种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一宗颜 色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？ 4、 用 4 种不同的颜色给图中的圆圈染色， 有线段相连的两个圆圈不能同色， 一共有多少种不同的染色方法？ 5、 已知甲虫沿着图中
9、的方格线从A爬到B， 每次只能向右爬一格或向上爬一格。 图中画着黑点的不能通过。 请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线？ 5、 王老师家装修新房，需要 2 个木匠和 2 个电工。现有木匠 3 人、电工 3 人，另有 1 人既能做木匠也能做 电工。要从这 7 个人中挑选出 4 人完成这项工作，共有多少种不同的选法？ 7、如图所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，不能重复经过任何点。试问：这只甲虫有多少 种不同的走法？ B A 8、如图所示，国际象棋种的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多 格，一共有多少种不同的走法？ 第第 15 讲讲 加法原理与乘法原
10、理加法原理与乘法原理 兴趣篇兴趣篇 6、 铮铮铮铮去吃午饭，发现附近的中餐厅有去吃午饭，发现附近的中餐厅有 9 个，西餐厅有个，西餐厅有 3 个，日式餐厅有个，日式餐厅有 2 个。他准备找一家餐厅吃饭，个。他准备找一家餐厅吃饭， 一共有多少种不同的选择？一共有多少种不同的选择？ 【分析】【分析】铮铮无论去哪甲吃饭都可以完成任务，所以共有9 3 214 种方法。 7、 铮铮铮铮进入一家中餐厅后，发现主食有进入一家中餐厅后，发现主食有 3 种，热菜有种，热菜有 20 种。他打算主食和热菜各买种。他打算主食和热菜各买 1 种，一共有多少种种，一共有多少种 不同的买法？不同的买法？ 【分析】【分析】分
11、步原理，共有：3 2060（种）方法； 8、 老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多必须是一位数，冬冬共有多 少种不同的写法？少种不同的写法？ 【分析】【分析】被减数有 90 种选择，减数有 10 种选择，所以冬冬共有：90 10900（种）选择； 9、 传说地球上有传说地球上有 7 颗不同的龙珠，如果找齐这颗不同的龙珠，如果找齐这 7 颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现。邪颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现。邪 恶的沙鲁找到了这恶的沙鲁找到了这 7 颗
12、龙珠，但是他不知道排列的特定顺序。请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序。请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能 遇遇见见神龙？神龙？ 【分析】【分析】分步原理，共有：7 6 5 4 3 2 1 5040 （次） 5、 用红、 黄、 蓝三种颜色给图的三个圆圈染色， 一个圆圈只能染一种颜色， 并且相连的两个圆圈不能同色，、 用红、 黄、 蓝三种颜色给图的三个圆圈染色， 一个圆圈只能染一种颜色， 并且相连的两个圆圈不能同色， 一共有多少种不同的染色方法？一共有多少种不同的染色方法？ 【分析】【分析】由于相邻的不能同色，分步原理，共有：3 2 16 （种）涂色方法。 6
13、、在图中，从、在图中，从“北北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会北京奥运会”。那么一共有多少种不同。那么一共有多少种不同 的读法？的读法？ 【分析】【分析】使用标数法，如下图，共有：1 4 6 4 1 16 （种） 。 7、运动会种有四个跑步比赛项目，分别为、运动会种有四个跑步比赛项目，分别为 50 米、米、100 米、米、200 米、米、400 米，规定每个参赛者只能参加其中米，规定每个参赛者只能参加其中 的一项。甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：的一项。甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问： （1）如果
14、每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法？）如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法？ （2）如果这四名）如果这四名同同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？ 【分析】【分析】 （1）每个人每次都有 4 种选法，所以共有：4 4 4 4256 （种）方法； （2）由于每个人所报的项目各不相同，甲有 4 种选法，乙有 3 种选法，丙有 2 种选法，丁有 1 种选法，所 以共有：4 3 2 124 （种）方法。 8、冬冬的书包里有、冬冬的书包里有 5 本不同的语文书、本不同的语文书、6 本不同的数学书、本不同的数学书、3
15、 本不同的英语书。请问：本不同的英语书。请问： （1）如果从中任取）如果从中任取 1 本书，共有多少种不同的取法？本书，共有多少种不同的取法？ （2）如果从中取出语文书、数学书、英语书各）如果从中取出语文书、数学书、英语书各 1 本，共有多少种不同的取法？本，共有多少种不同的取法？ 【分析】 （1）根据题意，任取一本书共有：5 6 3 14 （种）方法； （2）如果各项取一本，共有：5 6 3=90 （种）方法。 9、如图，甲、乙两地之间有、如图，甲、乙两地之间有 4 条路，乙、丙两地之间有条路，乙、丙两地之间有 2 条路，甲、丙两地之间有条路，甲、丙两地之间有 3 条路，那么从甲地去条路，那
16、么从甲地去 丙地一共有多少条不同的路线？丙地一共有多少条不同的路线？ 【分析】从甲去丙分为两类： （2） 直接从甲去丙的有：3种方法； （3） 从甲经乙去丙的方法共有：4 2=8（种） 所以，从甲地去往丙地共有 11 种方法。 1 1 1 1 64 4 33 2 1 1 1 1 1 10、图中有一个从、图中有一个从A到到B的公路的公路网络网络，一辆汽车从，一辆汽车从A到到B，可以选择的最短路线一共有多少条？，可以选择的最短路线一共有多少条？ 【分析】【分析】 （1）使用标数法，如下图： （2）排列组合，相当于从 8 条路线里选择 3 条竖着走，共有： 3 38 8 3 3 A C =56 A
17、（种）方法； 拓展篇拓展篇 1、铮铮铮铮一家人外出旅游，可以乘火车，一家人外出旅游，可以乘火车，也也可以乘汽车，还可以坐飞机。经过网上查询，出可以乘汽车，还可以坐飞机。经过网上查询，出 发的那一天种火车有发的那一天种火车有 4 班，汽车有班，汽车有 3 班，飞机有班，飞机有 2 班。他们乘坐这些交通工具，一共可班。他们乘坐这些交通工具，一共可 以有多少种不同的选择？以有多少种不同的选择？ 【分析】共有：4+3+2=9（种）方法。 2、“IMO”是是“国际数学奥利匹克国际数学奥利匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每
18、个字母只能涂一种 颜色。现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的颜色。现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”？ 【分析】考察“I”有 5 种选法；“M”有 4 种颜色可以选；“O 有 3 种颜色可以选，所以按照上诉要求一共可以 有：5 4 360 (种)选法。 3、书架上有三层书，第一层放了书架上有三层书，第一层放了 15 本小说，第二层放了本小说，第二层放了 10 本漫画，第三层放了本漫画，第三层放了 5 本科普本科普 书，并且这些书各不相同。请问：书，并且这些书各不相同。请问： （1）如果如果从所有的书中任取从所有的书中任取 1 本，共有多少种不
19、同的取法？本，共有多少种不同的取法？ （2）如果从每一层种各取）如果从每一层种各取 1 本，共有多少种不同的取法？本，共有多少种不同的取法？ （3）如果从中取出）如果从中取出 2 本不同类别的书，共有多少种不同的取法？本不同类别的书，共有多少种不同的取法？ 【分析】 （1）从所有书中任取一本，共有： 15 10 530 （种）选法； （2） 每一层各取 1 本，共有：15 10 5750 （种） ； (3)选出两种不同类的书，共会有 3 种组合情况； 若两种书是小说与漫画，共有：15 10150（种）选法； 563520104 21151063 6543 2 1 1 1 1 11 11 B A
20、 若两种书是小说与科普书，共有：15 575 种选法； 若两种数是漫画与科普书，共有；10 550 种选法； 所以共有：150 75 50275（种） 。 4、如图，从甲地到乙地、如图，从甲地到乙地有有 3 条路，从乙地到丙地有条路，从乙地到丙地有 3 条路，从甲地到丁地有条路，从甲地到丁地有 2 条路，从丁条路，从丁 地到丙地有地到丙地有 4 条路。如果要求所走线路不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的条路。如果要求所走线路不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的 路线？路线？ 【分析】【分析】从甲地去往丙地，有两种方法： 第一种是从甲地经丁地到丙地，此方法共有：2 48 （种） 第二
21、种是从甲地经乙地到丙地，此方法共有：3 39 （种） 所以，从甲地去往丙地共有：8 917 （种）方法。 5、如图，四张卡片上写有数字、如图，四张卡片上写有数字 2、4、7、8。从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数。请。从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数。请 问：一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位奇数？问：一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位奇数？ 【分析】【分析】 （1） 考虑这个三位数的百位有 4 种选法， 选完之后还有 3 种选法放在十位， 最后还有 2 种选法放在个位， 所以，一共可以组成：4 3 224 个互不相同的三位
22、数； （2） 由于是三位奇数，则个位必然是 1，所以一共有：1 3 26 （种）选法。 6、奥运场馆实行垃圾分类处理。每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉、奥运场馆实行垃圾分类处理。每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉 罐、不可再造，如图。现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这罐、不可再造，如图。现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这 3 种颜色之一，要求相邻两个垃圾桶颜种颜色之一，要求相邻两个垃圾桶颜 色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？色，一共有多少种染色方法？ 【分析】从限制
23、条件最多的废纸开始考虑，废纸共有 2 种选法，则塑料有两种选法，易拉罐也有两种选法， 电池与不可再造均各自有两种选法，所以共有： 5 232（种）方法。 （1996 年第年第 12 届迎春杯决赛试题）届迎春杯决赛试题） 7、如图，把、如图，把ABCDE、 、 、 、这五部分用这五部分用 4 种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相 邻的部分可以使用同一种颜色。请问：这幅画共有多少种不同的染色方法？邻的部分可以使用同一种颜色。请问：这幅画共有多少种不同的染色方法？ 【分析】本题考查组合计数能力 A有 4 种着色方法；B有 3 种
24、着色方法；C有 2 种着色方法；D有 2 种着色方法；E有 2 种着色方法 共 有4322296 （种）着色方法 8、如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色。请问：、如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色。请问： （1）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法？染法？ （4） 如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？ 【分析】【分析】（1） 先考虑中间的数， 有两种选择， 其他对应的每一个圆圈里的数都有
25、两种选择， 所以共有： 9 2512 （种）方法； （2）由于要关于中间竖线对称，则竖线的每一项都无要求，有： 5 232种选法；左侧的有2 24种选 法，此时右侧的也已固定，共有：32 4128 （种）选法； 9、甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶、甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶ABCDE、 、 、 、这五辆不同型号的汽车。会驾驶汽车这五辆不同型号的汽车。会驾驶汽车A的只有甲和乙，的只有甲和乙， 汽车汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案？必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案？ 【分析】【分析】从限制条件最多的开始讨论，汽车 A 的驾驶员选
26、择有两种选择，此时轮到汽车 B,还余下两种 选择。余下 3 辆车与三个人，共有：2 2 2 2 1 16 2 2 3 2 124 （种）选法。 10、如图，、如图，4 枚相同的棋子放入枚相同的棋子放入 4 4 的方格内，每个方格只能放的方格内，每个方格只能放 1 枚，且要求枚，且要求每行每列最多只能放每行每列最多只能放 1 枚，枚， 一共有多少种不同的放法？一共有多少种不同的放法？ 【分析】【分析】由于每行每列都只有种选法，考虑第一枚棋子，有种选择额；第枚棋子，有种选择；第 枚棋子，有种选法；第枚棋子有种选法，所以共有： 4 3 2 124 （选法） 。 11、图是一个阶梯形方格表、图是一个阶
27、梯形方格表，在方格中放入，在方格中放入 5 枚相同的棋子，使得枚相同的棋子，使得每行、每列每行、每列中都中都只有只有 1 枚棋子，这样的枚棋子，这样的 放法共有多少种？放法共有多少种？ 【分析】【分析】由于每行每列都只有 1 枚棋子，则放在第一行的棋子有两种选法，此时放在第行的棋子也只剩 下两种选法；此时放在第 3 行的棋子也只剩下两种选法；此时放在第行的棋子也只剩下两种选法； 此时放在第 5 行的棋子只剩下一种选法。所以这样的做法共有： 2 2 2 2 1 16 （种）选法。 12、如图、如图 1 和图和图 2，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头
28、的方向行走，请问： （1）按图）按图 1 所示，所示，从从A点走到点走到B点的不同路线有多少条？点的不同路线有多少条？ （2）按图）按图 2 所示，从所示，从A点走到点走到B点的不同路线有多少条？点的不同路线有多少条？ 【分析【分析】 （1）如下，从 A 点到 B 点的不同路线共有 5 条 ； （2）按照题意，使用标数法：从 A 到 B 的不同的路线共有：108条。 超越篇超越篇 1、爸爸、爸爸、妈妈带、妈妈带铮铮铮铮去吃西餐。餐厅里有米饭和面条去吃西餐。餐厅里有米饭和面条 2 种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排 3 种主菜，奶油蘑菇汤种主菜，奶油蘑菇汤 1 种汤，以
29、及蛋糕种汤，以及蛋糕和和布丁布丁 2 种甜点。如果种甜点。如果铮铮铮铮想要点想要点 1 种主食和种主食和 1 种主菜，种主菜，汤和汤和 甜点可点可不点，而且种类不限。请问：甜点可点可不点，而且种类不限。请问：铮铮铮铮一共有多少种点菜方法？一共有多少种点菜方法？ 【分析】 根据题意， 由于汤和甜点可点可不点， 种类也不限， 则对应的每一样， 都有 2 种选法， 共有：2228 种选法，所以共有：23 848 （种） 。 2、如图，在一个、如图，在一个 3 4 的方格表内放入的方格表内放入 4 枚相同的棋子，要求每列至多有枚相同的棋子，要求每列至多有 1 枚棋子，一共有枚棋子，一共有 多少种不同的
30、放法？多少种不同的放法？如果放入如果放入 4 枚互不相同的棋子，要求每列至多有枚互不相同的棋子，要求每列至多有 1 枚棋子，一共有枚棋子，一共有 多少种不同的放法？多少种不同的放法？ 【分析】 （1）对于第一种，由于每一个棋子，在每一列都有 3 种选法，所以共有：3 3 3 381 （种）选 法； （2） 首先 4 枚棋子的摆放顺序共有：4 3 2 124 4 3 2 124 （种）选法；选好后的放置方法 如上，有：3 3 3 381 种。所以一共有：24 81 1944（种） 3、如图，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这、如图，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这 4 种不同的种不同的颜色染色
31、，而且相邻的部分不能使用同一宗颜颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一宗颜 色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？ 54 32 1 1111 JI H G FEDC B A 108 54 36 18 12 6 4 1 2 J I H G F E D CB A 【分析】【分析】考虑 A，A 有 4 种选法，此时 B 有 3 种；D 有 2 种；E 有 2 种；C 有 2 种；G 有 2 种；F 有 2 种； H 有 2 种，所以这幅图共有：4 3 2 2 2 2 2 2768 （种） 。
32、4、 用、 用 4 种不同的颜色给图中的圆圈染色， 有线段相连的两个圆圈不能同色， 一共有多少种不同的染色方法？种不同的颜色给图中的圆圈染色， 有线段相连的两个圆圈不能同色， 一共有多少种不同的染色方法？ 【分析】 （）若A、D同色，则共有：4 3 336 种选法； （） 、若A、D异色，则共有：4 3 2 248 种选法。 所以共有；84 种选法。 5、 已知甲虫沿着图中的方格线从、 已知甲虫沿着图中的方格线从A爬到爬到B， 每次只能向右爬一格或向上爬一格。 图中画着黑点的不能通过。， 每次只能向右爬一格或向上爬一格。 图中画着黑点的不能通过。 请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线？请问：
33、这只甲虫可以选择多少条不同的路线？ 【分析】【分析】使用标数法，共有 66 种选法。 10、 王老师家装修新房，需要王老师家装修新房，需要 2 个木匠和个木匠和 2 个电工。现有木匠个电工。现有木匠 3 人、电工人、电工 3 人，另有人，另有 1 人既能人既能做木匠做木匠 也能做电工。要从这也能做电工。要从这 7 个人中挑选出个人中挑选出 4 人完成这项工作，共有多少种不同的选法？人完成这项工作，共有多少种不同的选法？ 【分析】【分析】分类讨论，若没有选择既做电工又能做木匠的人，则共有： 22 33 9CC种方法； 若选择了此人，但是让此人做电工，有： 12 33 9CC种方法； 若选择了此人
34、，但是让此人做木匠，有： 12 33 9CC种方法。 所以共有 27 种方法，使得从 7 个人里选出 4 个人完成此项工作。 7、如图所示，一只小甲虫要从、如图所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到点出发沿着线段爬到B点，不能重复经过任何点。试问：这只甲虫有多少点，不能重复经过任何点。试问：这只甲虫有多少 种不同的走法？种不同的走法？ 【分析】给其标上字母如下图： 从 A 出发有 3 条路，但是 C、F 必须经过其中的一个点，所以可以根据经过 C、F 的情况分为以下三类： （1） 过 C 不过 F 点的有：3 412 （种） ； （2） 经过 F 点但是不经过 C 的也有：3 412 （种）
35、 ； （3） 先经过 C 后经过 F 的有：3 3 2 2 3 2 221 （种） ； （4） 先经过 F 后经过 C 的有：3 4 3 2 4 124 （种） 所以共有：69 种方法。 664025 261510 115 1551 104 63 6543 2 1 1 1 1 11 11 B A B A HG F E D C B A 8、如图所示、如图所示，国际象棋种的棋子，国际象棋种的棋子“皇后皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多 格，一共有多少种不同的走法？格，一共有多少种不同的走法？ 【分析】使用标数法
36、，由于每步既能向右，也能向上，还能向右上。 考虑到 C 点的有 1 种；到 D 点上一步可能从 A 来，也可能从 C 来，共有 2 种；到 E 点上一步可能从 A,也可 能从 C，也可能从 D，共有：1 124 种； 到 F 有 1 种，到 G 点可能从 C 点，也可能从 F 点，也可能从 A 点，共有 3 种；到 H 点，上一步可能从 F， 也可能从 G，也可能从 D，也可能从 C，共有：1 3 2 17 （种）选法。 到I点有 17 种选法。 同理依次类推，每次考察它的上一步，所以最后到 B 点上一步可能从 N、O、P、M、J、E、A、G、L，共 有：24 17602223 1 188 （种）方法。 PON ML KJ I HGF EDC 60 60 22 17 7 4 2 17 7 42 B A 31 1