1、第第 20 讲讲 幻方与数阵图扩展幻方与数阵图扩展 兴趣篇兴趣篇 1、把 1，2，9 填入图中 9 个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上 3 个数之和都相等。 2、 （1）如图 1，在 33 的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和 都相等。 （2）如图 2，在 44 的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和 都相等。 3、在图所示的 34 方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数 之和也相等。现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？ 4、如图，请在空格中填入适当的数，组成一个
2、三阶幻方。 5、请将图所示的 55 方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中 每行，每列和每条对角线的 5 个方格内所填的 5 个数中，1、2、3、4、5 恰好各出现一次。请问：标有符号 “” ， “”和“”的方格中所填的数分别是什么？ 6、请将 1 至 9 这 9 个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立。所有满足要求的填法共有多少种？ 7、请在图所示的 8 个小圆圈内，分别填入 1 至 8 这 8 个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的 数的差（大减小）恰好是 1、2、3、4、5、6、7。 8、将 1 至 5 这 5 个数字填入图中的圆圈内，使得横
3、线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。 9、请在图中的六块区域内填入 1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和 都相等。 10、将 0 至 9 填入图的 10 块区域中（阴影区域除外） ，使得每个圆内的三个数之和都是相等的。请问：这 个和最小是多少？最大是多少？ 拓展篇拓展篇 1、将 1，2，3，24，25 分别填入图的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等。现 在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？ 2、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中的各数之和都相 等。 3、（1） 在图的每个空
4、格内填入一个数， 使得每行、 每列及两条对角线上的 3 个方格中的各数之和都等于 19.95。 那么，标有“*”的方格内所填的数是多少？ （2）请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个空格中的各数之和 都相等。 4、如图，大正方形的 4 个角上已填入 4 个数，4 个数之和是 264。奇妙的是，把这个图倒过来看，大正方 形 4 个角上的数之和仍然是 264。请你在中间的小正方形的 4 个角的圆圈里，填入另外 4 个数，使得每条对 角线上的 4 个数正看和倒看时， 其和都是 264； 而且小正方形角上的 4 个数正看和倒看时， 其和也都是 264。 5、将 1、
5、2、3、5、6、7、9、10、11 填入图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等。 6、请将 1 至 10 填入图中的 10 个圆圈中（9 已经填好） ，使得除了第一行外每个圆圈内的数 都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差。 7、在图的 7 个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的 3 个数，居中的数是旁边两个数的平均数。现 在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好。 8、请将 1 个 1，2 个 2，3 个 3，8 个 8，9 个 9 填入图中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连 的两个方格必须有公共边） ；现在已经给出了其中 8 个方格中的数，并且知道 A、B、C、D、E、F、
6、G 各不 相同；那么，七位数ABCDEFG是多少？ 9、将数字 1、2、3、4、5、6、7 填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的 3 个数之和与每条直线上的 3 个 数之和都相等。 10、将 1 至 9 填入图中的 9 个圆圈内，使 4 个大圆圈上的 4 个数之和都等于 16。 11、图中一共有 10 个方格，现在把 2 至 11 这 10 个自然数填到里面，每个方格各填一个。 如果要求图中的 3 个 22 的正方形中的 4 个数之和都相等，那么这个和最小可能是多 少？请给出一种填法。 12、如图，大三角形被分成了 9 个小三角形。试将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入这 9 个小
7、三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每 5 个数相加 的和相等。这 5 个数的和最大可能是多少？请给出一种填法。 超越篇超越篇 1、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中的各数之和都相 等。 2、图是有名的“六角幻方” ：将 1 至 19 这 19 个自然数填入图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各 数之和相等。美国的数学爱好者阿当斯从 1910 年开始，到 1962 年，用了 52 年的时间才找到了解答。我们 给大家填入了 6 个自然数，请你完成这个“六角幻方” 。 3、在图中有 6 个正方形，请你将 1 至 9 填入图中，使
8、得每个正方形的 4 个顶点上的数字之和都相等。 4、在图的七个圆圈中填入一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是 1，并且相邻两个圆圈内的数 字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字。 5、将 1 至 9 分别填入图中的 9 个圆圈内，使图中每条直线（图中有 7 条直线）上的圆圈内所填数之和都相 等，那么这个和是多少？ 6、将 0，1，2，9 这 10 个数分别填入图中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的 3 个顶点上的数之和相 等。这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的填法。 7、在图中有 11 个空的圆圈，要求把 1 至 13 这些数填入各圈内（其中 3、4
9、 已经填好） ，使得上面 2 个圆圈 内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面 2 个圈中的数相加，它们的和应等于 相连的下面 1 个圈中的数） ，并且最下面空着的 4 个圆圈中的数之和等于 43。 8、图中共有 10 个圆圈，6 条直线。请问： （1）能否将 1 至 10 填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？ （2）能否将 0 至 9 填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？ （3）请从 1 至 11 中去掉一个数后，将剩下的数填入图中使得每条直线上各数之和都相等。 第第 20 讲讲 幻方与数阵图扩展幻方与数阵图扩展 兴趣篇兴趣篇 1、把 1，2，9 填入图中 9 个
10、空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上 3 个数之和都相 等。 【答案】 2、 （1）如图 1，在 33 的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角 线上所填数之和都相等。 （2）如图 2，在 44 的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角 线上所填数之和都相等。 【答案】 （1）（2） 3、在图所示的、在图所示的 34 方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等， 各列所填的数之和也相等。现在一些数已经填出，标有符号“各列所填的数之和也相等。现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格
11、内所填的数是多少？”的方格内所填的数是多少？ 【答案】1 4、如图，请在空格中填入适当的数，组成一个三阶幻方。 【答案】答案不唯一，例如 5、请将图所示的 55 方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性 质：方格表中每行，每列和每条对角线的 5 个方格内所填的 5 个数中，1、2、3、4、5 恰好各出现一次。请问：标有符号“” ， “”和“”的方格中所填的数分别是什 么？ 【答案】=5，=5， =4 6、请将 1 至 9 这 9 个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立。所有满足要求的填法 共有多少种？ 【答案】2 种 7、请在图所示的 8 个小圆圈内，分别填入 1 至
12、8 这 8 个数字，使得图中用线段连接的两个 小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是 1、2、3、4、5、6、7。 【答案】 8、将 1 至 5 这 5 个数字填入图中的圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。 【答案】中间的小圆圈填 5，和是 10 9、请在图中的六块区域内填入 1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的 区域内的数之和都相等。 【答案】 10、将 0 至 9 填入图的 10 块区域中（阴影区域除外） ，使得每个圆内的三个数之和都是相等 的。请问：这个和最小是多少？最大是多少？ 【答案】最小是 11，最大是 16 拓展篇拓展篇 1、将 1，2，3，24
13、，25 分别填入图的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的 数的和相等。现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？ 【答案】4 2、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中 的各数之和都相等。 【答案】 3、 （1）在图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中的各 数之和都等于 19.95。那么，标有“*”的方格内所填的数是多少？ （2）请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个空 格中的各数之和都相等。 【答案】 （1）11.12； （2） 4、如图，大正方形的 4 个角
14、上已填入 4 个数，4 个数之和是 264。奇妙的是，把这个图倒过 来看，大正方形 4 个角上的数之和仍然是 264。请你在中间的小正方形的 4 个角的圆圈 里，填入另外 4 个数，使得每条对角线上的 4 个数正看和倒看时，其和都是 264；而且 小正方形角上的 4 个数正看和倒看时，其和也都是 264。 【答案】 5、将 1、2、3、5、6、7、9、10、11 填入图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相 等。 【答案】 6、请将 1 至 10 填入图中的 10 个圆圈中（9 已经填好） ，使得除了第一行外每个圆圈内的数 都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差。 【答案】 7、在图的 7
15、 个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的 3 个数，居中的数是旁边两个 数的平均数。现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好。 【答案】 8、请将 1 个 1，2 个 2，3 个 3，8 个 8，9 个 9 填入图中，使得相同的数所在的方格都 连在一起（相连的两个方格必须有公共边） ；现在已经给出了其中 8 个方格中的数，并且 知道 A、B、C、D、E、F、G 各不相同；那么，七位数ABCDEFG是多少？ 【详解详解】首先可以判断首先可以判断A、B、C、D、E、F、G当中不可能出现当中不可能出现1和和5，3C ，2D ，通过尝试可，通过尝试可 得到得到8F ，9G ，4E ，A、B分别为分
16、别为 6 和和 7，所以，所以6732489ABCDEFG 9、将数字 1、2、3、4、5、6、7 填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的 3 个数之和与每 条直线上的 3 个数之和都相等。 分析分析 设中心数为a，各条直线和各个圆周上的三数之和均为k因为a属于三条直线公有，其余数各属 于一条直线和一个圆周，于是得到21275ak（），化简为565ak因为17a， 56a 又是 5 的倍数，所以4a ，12k 填数方法见右上图 10、将 1 至 9 填入图中的 9 个圆圈内，使 4 个大圆圈上的 4 个数之和都等于 16。 【答案】 11、图中一共有 10 个方格，现在把 2 至 11 这 10
17、 个自然数填到里面，每个方格各填一个。 如果要求图中的 3 个 22 的正方形中的 4 个数之和都相等，那么这个和最小可能是多 少？请给出一种填法。 分析分析 由题意，9 是其中第三大的数，所以这 10 个连续自然数是 2、3、4、5、9、10、11，计算三 个正方形中四个数的和，这个和能被 3 整除，但是其中 a 和 b 被重复计算了一次，所以有： 2311653ababs，当1ab，4，7，时，65ab可以被 3 整除，因为要 取最小值， 所以ab的值越小越好， 但是不可能取 1 与 4， 所以，7ab时， 这个和取得最小值， 每个正方形中的和也取得最小值：657324（） 12、如图，大
18、三角形被分成了 9 个小三角形。试将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入这 9 个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每 5 个数相加 的和相等。这 5 个数的和最大可能是多少？请给出一种填法。 分析分析 12345678945， 用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和 因为有三个小三角 形所填的数在求和时只用了一次(用a，b，c来表示这三个数)，其余均用了两次于是， 45 23 abcs（）要使s尽可能大，只要abc尽可能小所以1236abc ， 于是9063 s，28s 剩下的六个数分成三组， 并且每组中两数的和是三个连续自然数， 那么： 4812；671
19、3；5914经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一 ba c b a3 1 2 5 4 6 8 79 超越篇超越篇 1、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中个方格中 的各数之和都相等。的各数之和都相等。 【答案】 2、图是有名的“六角幻方” ：将 1 至 19 这 19 个自然数填入图中的圆圈中，使得每一条直线 上圆圈中的各数之和相等。美国的数学爱好者阿当斯从 1910 年开始，到 1962 年，用了 52 年的时间才找到了解答。我们给大家填入了 6 个自然数，请你完成这个“六角幻
20、方” 。 【答案】 3、在图中有 6 个正方形，请你将 1 至 9 填入图中，使得每个正方形的 4 个顶点上的数字之 和都相等。 【答案】 4、在图的七个圆圈中填入一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是 1，并且相邻 两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字。 【答案】 5、将 1 至 9 分别填入图中的 9 个圆圈内，使图中每条直线（图中有 7 条直线）上的圆圈内 所填数之和都相等，那么这个和是多少？ 【答案】14， 6、将 0，1，2，9 这 10 个数分别填入图中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的 3 个顶 点上的数之和相等。这个和最大是多少？最小是多少？请
21、分别给出使得和最大、最小的 填法。 【分析】【分析】 0945，45中心数3个阴影三角形的 3 个顶点上的数字之和，所以中心数必须是 3 的倍 数，只能是 0，3，6，9枚举法试验，中心数只能是 3，6，则最大的和是 14，最小的和是 13。 7、在图中有 11 个空的圆圈，要求把 1 至 13 这些数填入各圈内（其中 3、4 已经填好） ，使 得上面 2 个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面 2 个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面 1 个圈中的数） ，并且最下面空着的 4 个圆 圈中的数之和等于 43。 【答案】 8、图中共有 10 个圆圈，6 条直线。请问： （1）能否将 1 至 10 填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？ （2）能否将 0 至 9 填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？ （3）请从 1 至 11 中去掉一个数后，将剩下的数填入图中使得每条直线上各数之和都相等。 【答案】 （1）不能； （2）不能； （3）和事 19，20 或 21。答案不唯一，例如：