1、 第第 12 讲讲 枚举法二枚举法二 兴趣篇兴趣篇 1. 有一些三位数的各位数字都不是 0，且各位数字之和为 6，这样的三位数共有多少个？ 2. 汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。医生发现他们一共有 8 颗蛀牙，他们三人可 能分别有几颗蛀牙？ 3. 老师让小明写出了 3 个非零的自然数，且 3 个数的和是 9，如果数相同、顺序不同算同一种写法，例如 126、216 还有612 都算是同一种写法。请问：小明一共有多少种不同的写法？ 4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了 12 只黑蚂蚁，这 12 只蚂蚁恰好凑 成了 3 堆，每堆至少有 2 只。请问：
2、这 3 堆蚂蚁可能各有几只？ 5. 一个三位数，每一位上的数字都是 1、2、3 中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满 足条件的三位数？ 6. 如图， 一只蚂蚁要从一个正四面体的顶点A出发， 沿着这个正四面体的棱依次走遍 4 个顶点再回到顶点A。 请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？ 7. 5 块六边形的地毯拼成了图中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在 1 号地毯上，他想要走到 5 号地毯上。如果阿奇每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻） ，并且 只能向右边走，例如1235就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？ 8. 在图
3、中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？ 9. 如果只能用 1 元、 2 元、 5 元的纸币付款， 那么要买价格是 13 元的东西， 一共有多少种不同的付款办法？ （不考虑找钱的情况） 10. 有一类小于 1000 的自然数，每个数都由若干个 1 和若干个 2 组成，并且在每个数中，1 的个数比 2 的 个数多，这样的数一共有多少个？ 拓展篇拓展篇 1. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了 5 件宝物，这三个人可能分别找到了 几件宝物？ 2. 小悦、 冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条， 这盘薯条总共有 20 根， 并且每个人吃的薯条都比 5 根多。 请问：每个人可能
4、吃了几根薯条？ 3. 老师要求每个同学写出 3 个自然数， 并且要求这 3 个数的和是 8。 如果两个同学写出的 3 个自然数相同， 只能顺序不一样，就算是同一种写法。试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？ 4. 刘老师准备去打羽毛球，他拿了 3 个一模一样的球桶，每个球桶最多能装 8 个羽毛球。他数了一下，发 现 3 个球桶里面一共有 16 个羽毛球。请问：3 个球桶里面可能分别有几个羽毛球？ 5. 商店里有 12 种不同的签字笔，价格分别是 1，2，3，4，11，12 元。小悦准备买 3 支不同价格的签 字笔，并且希望恰好花掉 15 元。请问：小悦一共有多少种不同的买法？ 6. 刘老师提
5、着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。这个三位数的个位 数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比 5 大的数字。试问：刘老师最多只需要试多少 次就肯定能打开这个公文包？ 8. 从图中的左下角的A点走向右上角的B点。如果要求只能向上或者向右走，一共有多少种不同的走法？ 如果要求只能不走重复的路线就可以，那么从A点走到B点一共有多少种不同的走法？ 9. 妈妈买来 7 个鸡蛋，每天至少吃 2 个，吃完为止。如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？ 10. 老师拿来三块木板，上面分别写着数字 1、2、3。小悦可以用这些木板拼成多少个不同的数？ 11. 午餐的时候，食
6、堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个。冬冬想要挑 3 个水 果吃。请问：冬冬一共有多少种选择？ 12.（1）如图（a） ，方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，方格纸上每一 段的长度都是 1 厘米。 试问： 小蚂蚁爬了 2 厘米之后， 可能在哪些位置？把可能的位置在图上标出来。 （2）如图（b） ，方格纸上每一小段的长度也是 1 厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了 3 厘米 之后，恰好在黑线上。请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？ 超越篇超越篇 1. 小悦买了一些大福娃和小福娃，一共不到 10 个，且两种福娃的个数不一样多。
7、请问：两种福娃的个数可 能有多少种不同的情况？ 2. 三条边的边长均为整数，且最长边的边数是 8 厘米，这样的三角形共有多少种？ 3. 有 19 本书，分成 5 份。如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？ 4. 在NBA总决赛中， 由洛杉矶湖人队对底特律活塞队。 比赛采用 7 场 4 胜制， 每胜一场会获得 1 分的积分。 最终湖人队获得了胜利，双方的积分是 4:2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。 问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？ 5. 甲、乙、丙三个人传球。第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙经过 4 次传球后，球正好回到甲 手中。那么一共
8、有多少种不同的传球方式？ 6. 如图，现在要从图中的A点走到B点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少种不同的走法？ 7. （1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图所示。一段时间后，他们觉得每天做同样的 位置太无聊，每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？ （2）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到与 原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？ 8. 如图所示，一只蚂蚁从A点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种 不同的走法？ 第第 12 讲讲 枚举法二枚举法二 兴趣篇
9、兴趣篇 1. 有一些三位数的各位数字都不是有一些三位数的各位数字都不是 0，且各位数字之和为，且各位数字之和为 6，这样的三位数共有多少个？，这样的三位数共有多少个？ 【分析】共有：114；123；132；141；213；222；231；312；321；411 共计 10 个； 2. 汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。医生发现他们一共有汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。医生发现他们一共有 8 颗蛀牙，他们三人可颗蛀牙，他们三人可 能分别有几颗蛀牙？能分别有几颗蛀牙？ 【分析】 6 1 13 52 16 843 16 4223 3323 共 种； 共 种； 共
10、 种； 共 种； 共 种； 所以情况共有 21 种。 3. 老师让小明写出了老师让小明写出了 3 个非零的自然数，且个非零的自然数，且 3 个数的和是个数的和是 9，如果数相同、顺序不同算同一种写法，例如，如果数相同、顺序不同算同一种写法，例如 126、216 还有还有612 都算是同一种写法。请问：小明一共有多少种不同的写法？都算是同一种写法。请问：小明一共有多少种不同的写法？ 【分析】971 162153 152244143+23+3+3 共计 7 种； 4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了 12 只
11、黑蚂蚁，这只黑蚂蚁，这 12 只蚂蚁恰好凑只蚂蚁恰好凑 成了成了 3 堆，每堆至少有堆，每堆至少有 2 只。请问：这只。请问：这 3 堆蚂蚁可能各有堆蚂蚁可能各有几只？几只？ 【分析】分堆是无序分拆： 12228237246255336345 333 所以这 3 堆蚂蚁的情况共有 7 种。 5. 一个三位数，每一位上的数字都是一个三位数，每一位上的数字都是 1、2、3 中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满 足条件的三位数？足条件的三位数？ 【分析】根据乘法原理，知：3 2212 ，所以有 8 个满足条件的三位数。 6. 如图，
12、一只蚂蚁要从一个正四面体的顶点如图，一只蚂蚁要从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍 4 个顶点再回到顶点个顶点再回到顶点 A。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？ 【分析】【分析】 画树状图有 6 种： 7. 5 块六边形的地毯拼成了图中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在块六边形的地毯拼成了图中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在 1 号地毯上，他想要走号地毯上，他想要走 到到 5 号地毯上。如果阿奇每次都只能走到号地毯上。如果阿奇每次都只能走到和和他相邻的地毯上（两个六边形如
13、果有公共边就称为相邻） ，他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻） ， 并且只能向右边走，例如并且只能向右边走，例如1235就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？ 【分析【分析】标数法，如下图：】标数法，如下图： A A A A A A C B D B D C D C B A 5 3 2 1 1 8. 在图中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？在图中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？ 【分析】如上图，1 1的有 9 个；2 1的有 8 个； 3 1的有 6 个；4 1的还有 4 个；5 1的有 2 个；
14、所以，一共可以找出 29 个长方形。 9. 如果只能用如果只能用 1 元、元、 2 元、元、 5 元的纸币付款， 那么要买价格是元的纸币付款， 那么要买价格是 13 元的东西， 一共有多少种不同的付款办法？元的东西， 一共有多少种不同的付款办法？ （不考虑找钱的情况）（不考虑找钱的情况） 【分析】设 1 元、2 元、5 元的分别为 x 张、y 张、z 张，则有： 2313xyz。 当0z 时，有：213xy，有以下组解： 135791113 , 6543210 xxxxxxx yyyyyyy ； 当1z 时，有：28xy，有以下组解： 02468 , 43210 xxxxx yyyyy 当2z
15、 时，有：23xy，有以下组解： 13 , 10 xx yy 所以共有：75214（种） 。 10. 有一类小于有一类小于 1000 的自然数，每个数都由若干个的自然数，每个数都由若干个 1 和若干个和若干个 2 组成，并且在每个数组成，并且在每个数中中，1 的个数比的个数比 2 的的 个数多，这样的数一共有多少个？个数多，这样的数一共有多少个？ 【分析】根据题意，这类数只能有个，个组成，这样的数只有个。如下： 112、121、211 拓展篇拓展篇 1. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了 5 件宝物，这三个人可
16、能分别找到了件宝物，这三个人可能分别找到了 几件宝物？几件宝物？ 【分析】 5003 4 106 53206 3 1 13 22 13 共 种； 共 种； 共 种； 共 种； 共 种； 所以共有 21 种情况。 2. 小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有 20 根，并且每个人吃的薯条都比根，并且每个人吃的薯条都比 5 根根 多。请问：每个人可能吃了几根薯条？多。请问：每个人可能吃了几根薯条？ 【分析】 668 20 6773 共3种； 共 种； 所以共有 6 种情况。 3. 老师要求每个同学写出老师要求每个同学写出 3
17、 个自然数， 并且要求这个自然数， 并且要求这 3 个数的和是个数的和是 8。 如果两个同学写出的。 如果两个同学写出的 3 个自然数相同，个自然数相同， 只能顺序不一样，就算是同一种写法。试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？只能顺序不一样，就算是同一种写法。试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？ 【分析】根据题意，共有如下 10 种情况： 80080170260350441 16 125134224233 4. 刘老师刘老师准备去打羽毛球，他拿了准备去打羽毛球，他拿了 3 个一模一样的球桶，每个球桶最多能装个一模一样的球桶，每个球桶最多能装 8 个羽毛球。他数了一下，发个羽毛球。他数了
18、一下，发 现现 3 个球桶里面一共有个球桶里面一共有 16 个羽毛球。请问：个羽毛球。请问：3 个球桶里面可能分别有几个羽毛球？个球桶里面可能分别有几个羽毛球？ 【分析】由于球桶一样，则在计算时不计顺序，所以有： 16088178277268358367 448457556664 共 10 种情况。 5. 商店里有商店里有 12 种不同的签字笔，价格分别是种不同的签字笔，价格分别是 1，2，3，4，11，12 元。小悦准备买元。小悦准备买 3 支不同价格的签支不同价格的签 字笔，并且希望恰好花掉字笔，并且希望恰好花掉 15 元。请问：小悦一共有多少种不同的买法？元。请问：小悦一共有多少种不同的
19、买法？ 【分析】根据题意，有： 151221 113 1 1041 103295 1942 861852843762753654 共计 12 种。 6. 刘老师刘老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。这个三位数的个位提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。这个三位数的个位 数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比 5 大的数字。试问：大的数字。试问：刘老师刘老师最多只需要试多少最多只需要试多少 次就肯定能打开这个公文包？次就肯定能打开这个公文包？ 【分析】设这个密码为：ab
20、c，且有：5abc，从百位开始枚举有： 541、542、543；531、532；521；431、432；421；321 共 10 次。 7. 常昊和古力两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。如果最后常昊获胜了，那么比赛的进常昊和古力两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。如果最后常昊获胜了，那么比赛的进 程有多少种可能？程有多少种可能？ 【分析】令常昊为 a，古力为 b，则进行分类枚举有： 如果第一场常昊胜，共有 6 种： 如果第一场古力胜，有 4 种： 所以共有 10 种。 8. 从图中的左下角的从图中的左下角的A点走向右上角的点走向右上角的B点。如果要求只能向上或者向右走
21、，一共有多少种不同的走法？点。如果要求只能向上或者向右走，一共有多少种不同的走法？ 如果要求只能不走重复的路线就可以，那么从如果要求只能不走重复的路线就可以，那么从A点走到点走到B点一共有多少种不同的走法？点一共有多少种不同的走法？ 【分析】 （1） 如果是只能向上或者向右走 ，使用标数法,可知有： b b a b b a a b a b b a b a b a a a a a b a b a b a b b a b a b a b a b a b （2） 不走重复路线共有 9 种方法； 9. 妈妈买来妈妈买来 7 个鸡蛋，每天至少吃个鸡蛋，每天至少吃 2 个，吃完为止。如果天数不限，可能的吃
22、法一共有多少种？个，吃完为止。如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？ 【分析】共有： 2233 34 7 522 71 共 种； 共2种； 共 种； 共 种； 所以共有 8 种。 10. 老师拿来三块木板，上面分别写着数字老师拿来三块木板，上面分别写着数字 1、2、3。小悦可以用这些木板拼成多少个不同的数？。小悦可以用这些木板拼成多少个不同的数？ 【分析】按照位数进行分类，有： 2 3 3 3 3 6 6 A A 一位： 个； 二位：个； 三位：个； 则共有：15 个。 11. 午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子
23、这三种水果，每种都有很多个个。冬冬想要挑。冬冬想要挑 3 个水个水 果吃。请问：冬冬一共有多少种选择？果吃。请问：冬冬一共有多少种选择？ 【分析】根据题意，3 个水果来自： （1） 一种水果：3 种； （2） 两种水果：3 2=6种； 1 5 2 2 1 1 B A G F E D C B A B E B B B F E B F BH B H F C H F G G G D C A （3） 三种水果：1 种。 所以冬冬一共有 10 种。 12.（1）如图（）如图（a） ，方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，方格纸上每） ，方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸
24、上的横线和竖线爬行，方格纸上每 一段的长度都是一段的长度都是 1 厘米。试问：小蚂蚁爬了厘米。试问：小蚂蚁爬了 2 厘米之后，可能在厘米之后，可能在哪哪些位置？把可能的位置在图上标出些位置？把可能的位置在图上标出 来。来。 （2）如图（）如图（b） ，方格纸上每一小段的长度也是，方格纸上每一小段的长度也是 1 厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了 3 厘米厘米 之后，恰好在黑线上。请问：这只小蚂蚁之后，恰好在黑线上。请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？爬行的路线一共有多少种不同的可能？ 【分析】 （1）有 8 个可能的位置，分别是：
25、 （2）观察一边，共有 10 种； 2 种； 1 种； 2 种； 2 种； 1 种； 2 种； 超越篇超越篇 1. 小悦买了一些大福娃和小福娃，一共不到小悦买了一些大福娃和小福娃，一共不到 10 个，且两种福娃的个数不一样多。请问：两种福娃的个数个，且两种福娃的个数不一样多。请问：两种福娃的个数 可能有多少种不同的情况？可能有多少种不同的情况？ 【分析】有序分拆有： 3=1+2共种； 共种； 共种； 共种； 共种； 共种； 共种； 所以共有 32 种。 2. 三条边的边长均为整数，且最长边的边数是三条边的边长均为整数，且最长边的边数是 8 厘米，这样的三角形共有多少种？厘米，这样的三角形共有多
26、少种？ 【分析】令另外两条边的边长为 a 与 b，且ab， 则有： 18 18 9 7 a b ab ab ab 根据不等式有： ,1,82,72,8 3,6 3,73,84,54,64,74,8 5,5 5,6 5,75,8 6,6 6,76,8 7,77,8 8,8 a b 所以共有 20 个解。 3. 有有 19 本书，分成本书，分成 5 份份。如果每份至少有一本书，且每份的本数。如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？都不相同，一共有多少种分法？ 【分析】在1234515的基础上进行调整，则有： 1,2,3,4,9 1,2,3,5,8 1,2,4,5,7 1,2,
27、3,6,7 1,3,4,5,6共 5 种解。 4. 在在NBA总决赛中， 由洛杉矶湖人队对底特律活塞队。 比赛采用总决赛中， 由洛杉矶湖人队对底特律活塞队。 比赛采用 7 场场 4 胜制， 每胜一场会获得胜制， 每胜一场会获得 1 分的积分分的积分。 最终湖人队获得了胜利，双方的积分是最终湖人队获得了胜利，双方的积分是 4:2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。 问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？ 【分析】如下图，横线段表示湖人队得分，树线段表示活塞队得分，由于一开始是湖人队先得分
28、，而且湖 人队的得分时钟要不低于活塞队，而且湖人队不能领先 4 活塞队 4 分，则标数法，如下图所示： 5. 甲、乙、丙三个人传球。第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙甲、乙、丙三个人传球。第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙经过经过 4 次传球后，球正好回到甲次传球后，球正好回到甲 手中。那么一共有多少种不同的传球方式？手中。那么一共有多少种不同的传球方式？ 【分析】【分析】 树状图法，共有 6 种： 6. 如图，现在要从图中的如图，现在要从图中的A点走到点走到B点点，如果每个点，如果每个点最最多只能经过一次，那么一共有多少种不同的走法？多只能经过一次，那么一共有多少种不同的走法？ 【分析】
29、从 A 出发，第一条路线有 3 种选择； 若从 A 第一步去往 C 地 ；则有 6 种； 55 3 11 1 2 2 1 2分 1分 4分 3分2分 1分0分 甲 甲 甲 甲 甲 甲 丙 甲 丙 乙 乙 甲 丙 乙 乙 甲 丙 甲 丙 乙 甲 同理，若从 A 第一步去往 D 地；则有 6 种； 若从 A 第一步去往 E 地；则有 4 种； 所以共有 16 种方法。 7. （1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图所示。一段时间后，他们觉得每天做同样）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图所示。一段时间后，他们觉得每天做同样 的位置太无聊，每人都要换到与原来座位不相邻的位置
30、上，那么有多少种换座位的方法？的位置太无聊，每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？ （2）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到与）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到与 原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？ 【分析】 （1）将五人分别编号为 1、2、3、4、5；则有： （4，5，1，2，3） ； （5，4，1，2，3） ； （3，4，5，1，2） ； （3，4，5，2，1）所以共有 4 种； （2）每人都要换座位，
31、而且要换到与原来位置不相邻的情况，则也给甲、乙、丙、丁、戊、己六人编号为 1、2、3、4、5、6，他们共能组成以下 8 种方法： 8. 如图所示，一只蚂蚁从如图所示，一只蚂蚁从A点出发点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种 不同的走法？不同的走法？ B GD B G E B BF BG BGD F E CA 132 456 213 465 213 456 213 456 21 345 621 3 4 56 2 1 3 45 6 65 43 1 2 【分析】第一站到如果是到 B 有 10 种（如下图） ；到 D、到 E、到 F 类似，所以共有 40 种； D C E ED C E E C D C F FC D D F FD C E D FD F E F E C BA