1、2020-2021 学年天津市滨海新区七校联考高三（上）期末数学试卷学年天津市滨海新区七校联考高三（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 9 小题）小题）. 1已知全集 U1，2，3，4，5，集合 A3，5，B1，2，5，则 B（UA）（ ） A2 B1，2 C2，4 D1，2，4 2设 xR，则“|x1|2”是“x21”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 我国著名数学家华罗庚说过： “数缺形时少直观， 形少数时难入微， 数形结合百般好， 隔离分家万事休 ” 函数的部分图象大致为（ ） A B C D 4中国女排，曾经十度成为世界冠军
2、，铸就了响彻中华的女排精神、看过电影“夺冠”后，某大学掀起“学 习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，现随机抽取 800 个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分成六组40，50），50，60）90，100， 则成绩落在70，80）上的人数为（ ） A12 B120 C24 D240 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，三棱锥 AB1CD1的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ） A B C D 6 已知函数 f （x） e|x|， 则下述关系式正确的是 （ ） Abac Bbca Ccab Dabc 7已知抛物线 y22px（p0）上一
3、点 M（1，m）到其焦点的距离为 5，双曲线 的左顶点为 A 且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直，则双曲线的方程为（ ） A B Cx22y21 Dx24y21 8设函数，给出下列结论： f（x）的最小正周期为 ； yf（x）的图象关于直线对称； f（x）在单调递减； 把函数 y2cos2x 的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数 yf（x）的图象 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 9已知函数 f（x）（a0，且 a1）在区间（，+）上为单调函数，若 函数 g（x）|f（x）|x2|有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二二.填空
4、题（共填空题（共 6 小题）小题）. 10若复数 z，则|z| 11在二项式的展开式中，含 x6的项的系数为 12已知直线 l：yx+m 被圆 C：x2+y24x2y10 截得的弦长等于该圆的半径，则实数 m 13为了抗击新冠肺炎疫情，现从 A 医院 150 人和 B 医院 100 人中，按分层抽样的方法，选出 5 人加入“援 鄂医疗队”，现拟再从此 5 人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中 B 医院至少有一人的概率 是 .设两名联络人中 B 医院的人数为 X，则 X 的期望为 14已知正实数 a，b 满足，则的最小值为 15已知平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，DAB60，
5、其中点 P 在 线段 MD 上且满足， ，若点 N 是线段 AB 上的动点，则的最小值 为 三三.解答题（本大题解答题（本大题 5 小题，共小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 bc1， （）求边 a 及 sinB 的值； （）求的值 17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，BCAD1 且 CD，E 为 AD 的中点，F 是棱 PA 的中点，PA2，PE底面 ABCD，ADCD （）证明：BF平面 PCD； （）求二面角 PBD
6、F 的正弦值； （）在线段 PC（不含端点）上是否存在一点 M，使得直线 BM 和平面 BDF 所成角的正弦值为？ 若存在，求出此时 PM 的长；若不存在，说明理由 18已知椭圆的离心率为 ，F1、F2分别为椭圆 E 的左、右焦点，M 为 E 上 任意一点，的最大值为 1，椭圆右顶点为 A （）求椭圆 E 的方程； （）若过 A 的直线 l 交椭圆于另一点 B，过 B 作 x 轴的垂线交椭圆于 C（C 异于 B 点），连接 AC 交 y 轴于点 P如果时，求直线 l 的方程 19设an是等比数列，公比大于 0，bn是等差数列，（nN*）已知 a11，a3a2+2，a4b3+b5，a5 b4+2
7、b6 （）求an和bn的通项公式； （）设数列cn满足 c1c21，cn ，其中 kN* （）求数列的通项公式； （）若的前 n 项和 Tn，求 T3n+ 20（16 分）已知函数 f（x）x2ln2xalnx（aR） （）令 g（x）xf（x），讨论 g（x）的单调性并求极值； （）令 h（x）f（x）+2+ln2x，若 h（x）有两个零点； （）求 a 的取值范围； （）若方程 xexa（lnx+x）0 有两个实根 x1，x2，且 x1x2，证明： 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 9 小题）小题）. 1已知全集 U1，2，3，4，5，集合 A3，5，B1，2，5，则 B（U
8、A）（ ） A2 B1，2 C2，4 D1，2，4 解：U1，2，3，4，5，A3，5，B1，2，5， UA1，2，4，B（UA）1，2 故选：B 2设 xR，则“|x1|2”是“x21”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：由|x1|2 得 x1 或 x3， 由 x21 得 x1 或 x1， 而x|x1 或 x3x|x1 或 x1， 所以“|x1|2”是“x21”的充分不必要条件 故选：A 3 我国著名数学家华罗庚说过： “数缺形时少直观， 形少数时难入微， 数形结合百般好， 隔离分家万事休 ” 函数的部分图象大致为（ ） A B C D 解：
9、f（x）f（x），则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A，B， 当 x0 时，f（x）0，排除 D， 故选：C 4中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神、看过电影“夺冠”后，某大学掀起“学 习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，现随机抽取 800 个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分成六组40，50），50，60）90，100， 则成绩落在70，80）上的人数为（ ） A12 B120 C24 D240 解：由频率分布直方图得： 成绩落在70，80）上的频率为： 1（0.010+0.015+0.015+0.
10、025+0.005）100.3， 成绩落在70，80）上的人数为 8000.3240 故选：D 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，三棱锥 AB1CD1的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ） A B C D 解：设正方体的棱长为 a，则 BDa， 由于三棱锥 AB1CD1的表面积为， 则 4（a）24， 解得 a， 所以球的半径 R 为 1， 又 2Ra， 即 R， 所以正方体的外接球的体积为R3 故选：B 6 已知函数 f （x） e|x|， 则下述关系式正确的是 （ ） Abac Bbca Ccab Dabc 解：函数 f（x）e|x|， 函数 f（x）是偶函数，且当 x0 时，f（
11、x）单调递减， f（loge3）f（loge3）， f（log3e）f（log3e）， f（loge9）f（2loge3）， 1loge32，0log3e1，2loge32， f（2loge3）f（loge3）f（log3e），即 cab， 故选：A 7已知抛物线 y22px（p0）上一点 M（1，m）到其焦点的距离为 5，双曲线 的左顶点为 A 且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直，则双曲线的方程为（ ） A B Cx22y21 Dx24y21 解：设抛物线的焦点为 F， 由抛物线的定义知，|MF|1+5，解得 p8， 抛物线的方程为 y216x， 不妨取 M 在第一象限，则其
12、坐标为（1，4）， 由题意知，A（a，0），双曲线的渐近线方程为 yx， 双曲线的离心率为， ，ba， 双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直， 1， 由，解得 a1，b， 双曲线的方程为1，即 x24y21 故选：D 8设函数，给出下列结论： f（x）的最小正周期为 ； yf（x）的图象关于直线对称； f（x）在单调递减； 把函数 y2cos2x 的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数 yf（x）的图象 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 解：f（x）cos2x+2sinxcosxcos2x+sin2x2（cos2x+sin2x）2cos（2x）， 对于，f（x）最小正周期为
13、，T，所以对； 对于，f（）2cos（2）2cos（0）2，所以对； 对于，求 f（x）的递减区间：0+2k2x+2k+kx+k，所以错； 对于，把函数 y2cos2x 的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如下函数： y2cos2（x）2cos（2x），所以对； 故选：C 9已知函数 f（x）（a0，且 a1）在区间（，+）上为单调函数，若 函数 g（x）|f（x）|x2|有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 解：因为函数 f（x）（a0，且 a1） 当 x1 时，f（x）（x+1）2+4a， 所以 f（x）再（，1）上单调递减， 又因为 f（x）在区间（，+）上
14、为单调函数， 所以 0a1 且（1+1）2+4a1+loga（1+2）， 解得， 令 g（x）|f（x）|x2|0，即|f（x）|x2|， 令 y1|f（x）|，y2|x2|， 则函数 g（x）|f（x）|x2|有三个不同的零点， 等价于 y1|f（x）|和 y2|x2|有三个不同的交点， 分别画出 y1|f（x）|和 y2|x2|的图象如图所示， 由图可知，当 x1 时，y1|f（x）|和 y2|x2|有 2 个不同的交点， 故只需满足：当 x1 时，y1|f（x）|和 y2|x2|有 1 个不同的交点， 即当 x1 时，（x+1）2+4ax+2，化简 x2+3x+4a10， 即 14ax2
15、+3x（x1）， 令 h（x）x2+3x（x1），即 yh（x）与 y14a 有一个交点， 画出函数 yh（x）的图象如下图所示， 易知， h（1）（1）2+3（1）2， 所以或 14a2， 解得或， 又因为， 所以 a 的取值范围为 故选：D 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.） 10若复数 z，则|z| 解：z1+2i， |z|， 故答案为： 11在二项式的展开式中，含 x6的项的系数为 112 解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1 2 r ， 令 96，求得 r2，可得展开式中含 x6的项的系数为22112， 故答案为
16、：112 12 已知直线 l： yx+m 被圆 C： x2+y24x2y10 截得的弦长等于该圆的半径， 则实数 m 2 或4 解：由 x2+y24x2y10，得（x2）2+（y1）26， 则圆心 C（2，1），半径为， C 到直线 yx+m 的距离 d， 直线 yx+m 被圆 C 截得的写出为， 整理得（m+1）29，解得 m2 或4 故答案为：2 或4 13为了抗击新冠肺炎疫情，现从 A 医院 150 人和 B 医院 100 人中，按分层抽样的方法，选出 5 人加入“援 鄂医疗队”，现拟再从此 5 人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中 B 医院至少有一人的概率是 .设两名联络人中 B
17、医院的人数为 X，则 X 的期望为 解：按分层抽样的方法，这 5 人中， A 医院有 53 人，B 医院有 5 2 人， 故从这 5 人中选 2 人，B 医院至少有 1 人的概率为：+， 由题意知 X 取 0，1，2， 当 X0 时，P， 当 X1 时，P， 当 X2 时，P， 故 X 的数学期望 E（X）0+1+2， 故答案为：， 14已知正实数 a，b 满足，则的最小值为 解：因为， 则有 a+b2， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 故答案为： 15已知平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，DAB60，其中点 P 在 线段 MD 上且满足， ，若点 N 是线段
18、AB 上的动点，则的最小值 为 解：在ABD 中，DAB60， 所以 BD2AD2+AB22ADABcosDAB ， 所以 BD， 则有 AD2+BD2AB2， 所以ADB90，则ABC120， 在ABC 中，AC2AB2+BC22ABBCcosABC ， 因为 ， 解得， 所以 DPDMPM， 取 PD 的中点为 R， 故同理可得， 又 BRBDRD， 设点 R 到 AB 的距离为 d， 则有 NRdBRsin30， 所以， 所以的最小值为 故答案为：； 三三.解答题（本大题解答题（本大题 5 小题，共小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）分。解答应写出文字说明，证明
19、过程或演算步骤。） 16ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 bc1， （）求边 a 及 sinB 的值； （）求的值 解：（）因为，A（0，），可得， 由，可得 bc6， 由 bc1，得 b3，c2， 由余弦定理，可得， 由正弦定理，可得 sinB1 （）在ABC 中，B（0，），由（）可知：， 由于， 所以， 所以 17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，BCAD1 且 CD，E 为 AD 的中点，F 是棱 PA 的中点，PA2，PE底面 ABCD，ADCD （）证明：BF平面 PCD； （）求二面角 PBDF 的正弦值； （）在线段
20、PC（不含端点）上是否存在一点 M，使得直线 BM 和平面 BDF 所成角的正弦值为？ 若存在，求出此时 PM 的长；若不存在，说明理由 解：（）法一：取 PD 的中点为 H， 连接 FH，HC因为 F 为 PA 的中点，所以， 又因为，所以，所以四边形 BCHF 为平行四边形， 所以 BFHC， 又因为 HC平面 PCD，BF平面 PCD，所以 BF平面 PCD （）法二：由题意得：，ADC90， 所以四边形 BCDE 为矩形， 又 PE面 ABCD， 如图建立空间直角坐标系 Exyz， 则 E（0，0，0），A（1，0，0），D（1，0，0）， 设平面 PCD 的法向量为， 则， 则 y0
21、，不妨设，则 z1， 可得 又，可得， 又因为直线 BF平面 BCD，所以 BF平面 BCD （）设平面 PBD 的法向量为， 则，即，不妨设，可得， 设平面 BDF 的法向量为， 则，即，不妨设，可得， 因此有， （注：结果正负取决于法向量方向） 于是， 所以二面角 PBDF 的正弦值为 （注：前面设角后面不写答话不扣分） （ ） 设， （ 0 ， 1 ） ， 由（）可知平面BDF的法向量为， ， 有 324+10，解得 1（舍）或， 可得， 所以 18已知椭圆的离心率为 ，F1、F2分别为椭圆 E 的左、右焦点，M 为 E 上 任意一点，的最大值为 1，椭圆右顶点为 A （）求椭圆 E 的
22、方程； （）若过 A 的直线 l 交椭圆于另一点 B，过 B 作 x 轴的垂线交椭圆于 C（C 异于 B 点），连接 AC 交 y 轴于点 P如果时，求直线 l 的方程 解：（）当 M 为椭圆的短轴端点时，取得最大值， 即， 又因为，a2b2+c2， 解得：，b1，c1， 所以椭圆方程为 （），根据题意，直线 l 斜率存在且不为 0， 设直线，B（x0，y0）， 联立， 得， 即， 由题意得：， 所以直线，令 x0，则， ， 即 8k4+18k250， 解得：（舍）， 所以：， 直线或 19设an是等比数列，公比大于 0，bn是等差数列，（nN*）已知 a11，a3a2+2，a4b3+b5，a
23、5 b4+2b6 （）求an和bn的通项公式； （）设数列cn满足 c1c21，cn ，其中 kN* （）求数列的通项公式； （）若的前 n 项和 Tn，求 T3n+ 解：（）由题意，设等比数列an的公比为 q（q0），则 a2q，a3q2， 则 q2q20， 解得 q1（舍去），或 q2， ，nN*， 设等差数列bn的公差为 d，则 由 a4b3+bs，可得 b1+3d4， 由 a5b4+2b6，可得 3b1+13d16， 联立， 解得， bnn，nN*， （）（i）由（），可知 cn， 3n（2n 11）36n13n， （ii）由题意，可得 ， 则 Tn +， ， + ， + 20（16
24、分）已知函数 f（x）x2ln2xalnx（aR） （）令 g（x）xf（x），讨论 g（x）的单调性并求极值； （）令 h（x）f（x）+2+ln2x，若 h（x）有两个零点； （）求 a 的取值范围； （）若方程 xexa（lnx+x）0 有两个实根 x1，x2，且 x1x2，证明： 解：（）因为， 所以 g（x）xf（x）x2lnxa，x（0，+）， x，g（x），g（x）的变化如下： x （0，2） 2 （2，+） g（x） 负 0 正 g（x） 单调递减 极小值 单调递增 所以 g（x）单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+）， 极小值为 g（2）22ln2a，无极大值；
25、（）（i）h（x）xalnx， ， 当 a0 时，h（x）0，h（x）单调递增，不可能有两个零点， 当 a0 时，令 h（x）0，得 0 xa，h（x）单调递减， 令 h（x）0，得 xa，h（x）单调递增， 所以 h（x）minh（a）aalna， 要使 h（x）有两个零点，即使 h（a）0，得 ae， 又因为 h（1）10，所以 h（x）在（1，e）存在唯一一个零点， 且 ae，h（ea）eaa20， 所以 h（x）在（e，ea）上存在唯一一个零点，符合题意； 综上，当 ae 时，函数 h（x）有两个零点； 法二：h（x）xalnx 有两个零点， 等价于 x1 时，有两个实根（1）， 令，
26、则， 当 x（0，1）时，F（x）0，F（x）单调递减，且 F（x）0， 当 x（1，e）时，F（x）0，F（x）单调递减， 当 x（e，+）时，F（x）0，F（x）单调递增， F（e）e，x1+，F（x）+，x+，F（x）+， 要使（1）有两个实数根，即使 aF（e）e， 综上，当 ae 时，函数 h（x）有两个零点 （ii）证明：xexa（lnx+x）xexaln（xex）（x0）有两个实根， 令 txex，g（t）talnt 有两个零点 t1，t2， ， 所以 所以 a（lnt2lnt1）t2t1（1）， a（lnt2+lnt1）t2+t1（2） 要证，只需证， 即证，所以只需证 lnt1+lnt22 由（1）（2）可得， 只需证，设 0t1t2，令，则 t1， 所以只需证，即证， 令，t1，则， ，h（t）h（1）0即当 t1 时，成立， 所以 lnt1+lnt22，即 ， 即