1、2019-2020 学年四川省绵阳市高二第二学期期末数学试卷（理科）学年四川省绵阳市高二第二学期期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1若复数 z 满足（1i）z1+i，则 z（ ） Ai Bi C2+i D2i 2命题“xR，x2+x+10”的否定为（ ） AxR，x2+x+10 BxR，x2+x+10 Cx0R，x02+x0+10 Dx0R，x02+x0+10 3类比推理是一种重要的推理方法已知 l1，l2，l3是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于 l1，l2， l3正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ） 若 l1l3，l2l3，则 l1l2； 若 l1l3，l2l3
2、，则 l1l2； 若 l1与 l2相交，则 l3必与其中一条相交； 若 l1l2，则 l3与 l1，l2相交所成的同位角相等 A B C D 4在空间直角坐标系中，若 A（1，1，0），（3，0，1），则点 B 的坐标为（ ） A（5，1，2） B（7，1，2） C（3，0，1） D（7，1，2） 5如图，直线 l 是曲线 yf（x）在 x2 处的切线，则 f（2）（ ） A1 B2 C3 D4 6设（1+2x）5a0+a1x+a2x2+a5x5，则 a1+a3+a5（ ） A61 B121 C122 D224 7设随机变量 B（2，p），B（3，p），若 P（1），则 P（2）的值为（ ）
3、A B C D 8人民医院承担高考体检任务，计划在一周内（周一至周日）安排甲乙丙 3 所学校的学生进行体检若每 天最多只安排一所学校， 甲学校体检需要连续两天， 其余两所学校均只需一天， 则不同的安排方法有 （ ） A50 种 B60 种 C120 种 D210 种 9现订制一个容积为 V 的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作已知单位面积铝合 金板的价格是铁皮的 3 倍，当总造价最少时（不计接头部分），桶高应为（ ） A B C2 D 10“关于 x 的方程的 ax22x+10 至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 DaR 11 在三棱锥 P
4、ABC 中， 面 PAC面 ABC， PACABC90， PABC， PBAC， E 是 AB 的中点 设 ，若 2，3，则二面角 BPCE 的余弦值的范围为（ ） A B C D 12偶函数 f（x）的定义域为 R，周期为 4，导函数为 f（x），若 f（x）f（x），且 f（2019）2，则不 等式 f（x）2ex1的解集为（ ） A（1，+） B（e，+） C（，0） D（，） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分 13已知质点运动方程为 St22t+1（S 的单位：m，t 的单位：s），则该质点在 t2s 时刻的瞬时速度为 m/s 14在（x+）6的展开式中，常数
5、项为 （用数字作答） 15某学校甲、乙、丙、丁 4 位同学住在同一个小区已知从学校到小区有 A、B、C 三条线路的公共汽车， 若他们放学后每位同学乘坐其中任何一条线路的公共汽车回家是等可能性的，则这 4 位同学中恰有 2 人 乘坐 A 线路公共汽车的概率为 16已知函数 f（x）x2+mlnx（mR），若 x1x20，都有 f（x1）f（x2）x1x2成立，则 m 的取值范 围是 三、解答题：共 40 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1719 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 20、21 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 30 分 172020 年新冠肺炎疫情期间
6、，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从 6 道备选 题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过，已 知应聘者小王在 6 道备选题中有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成 （1）求小王能通过面试的概率； （2）求小王正确完成面试题数的分布列及数学期望 18如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，AA1平面 ABC，ABAC，ABAC2，AA14，点 D 是 BC 的中 点 （1）求证：ADC1D； （2）求平面 ADC1与平面 ABB1A1所成二面角的正弦值 19已知函数 f（x）exax（x0），其中 aR，e 为自然对数
7、的底数 （1）试讨论 f（x）的单调性； （2）是否存在正整数 a，使得 f（x）x2lnx 对一切 x0 恒成立？若存在，求出 a 的最大值；若不存在， 请说明理由 （二）选考题：共 10 分请考生在第 20、21 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选 修 4-4：坐标系与参数方程. 20在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线 C 的极 坐标方程为 cos+sin （1）求曲线 C 的平面直角坐标方程； （2）若直线 l 的参数方程为（t 为参数），设直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|AB| 选修 4-5：不等式选讲
8、 21已知函数 f（x）|2x1|+|x+m| （1）若 m3，解关于 x 的不等式 f（x）x+6； （2）证明：对任意 xR，2f（x）|m+1|m| 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1若复数 z 满足（1i）z1+i，则 z（ ） Ai Bi C2+i D2i 解：由（1i）z1+i，得 z 故选：B 2命题“xR，x2+x+10”的否定为（ ） AxR，x2+x+10 BxR，x2+x+10 Cx0R，x02+x0+10 Dx0R，x02+x0+10 解：命题为全称命题，则命题的否定是：
9、x0R，x02+x0+10， 故选：D 3类比推理是一种重要的推理方法已知 l1，l2，l3是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于 l1，l2， l3正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ） 若 l1l3，l2l3，则 l1l2； 若 l1l3，l2l3，则 l1l2； 若 l1与 l2相交，则 l3必与其中一条相交； 若 l1l2，则 l3与 l1，l2相交所成的同位角相等 A B C D 解：由平行线的传递性可知，正确； 如图所示，在正方体的顶点 A 处，AA1AB、AA1AD，且 ABAD，所以错误； 由于 l1与 l2相交， 所以 l1与 l2可以确定一个平面， 若 l3不在该平面内
10、， 则 l3与这两条直线都可以不相交， 即错误； 由于 l3与 l1，l2相交，所以这三条直线在同一个平面内，又 l1l2，根据平行线的性质可知正确 所以成立的有 故选：A 4在空间直角坐标系中，若 A（1，1，0），（3，0，1），则点 B 的坐标为（ ） A（5，1，2） B（7，1，2） C（3，0，1） D（7，1，2） 解：在空间直角坐标系中，A（1，1，0），（3，0，1）， 设点 B 的坐标为 B（x，y，z）， 则（x1，y1，z0）（3，0，1）， 解得 x7，y1，z2 点 B 的坐标为（7，1，2） 故选：D 5如图，直线 l 是曲线 yf（x）在 x2 处的切线，则 f
11、（2）（ ） A1 B2 C3 D4 解：由图象可得直线 l 与曲线 yf（x）相切的切点为（2，3）， 直线 l 经过点（0，1）， 可得直线 l 的斜率为 k1， 由导数的几何意义可得 f（2）k1 故选：A 6设（1+2x）5a0+a1x+a2x2+a5x5，则 a1+a3+a5（ ） A61 B121 C122 D224 解：（1+2x）5a0+a1x+a4x4+a5x5， 令 x1，得（1+21）5a0+a1+a2+a3+a4+a5243； 令 x1，得1+2（1）5a0a1+a2a3+a4a51 a1+a3+a5 （2431）121 故选：B 7设随机变量 B（2，p），B（3，p
12、），若 P（1），则 P（2）的值为（ ） A B C D 解：变量 B（2，p），且 P（1）， P（1）1P（1）1C20 （1p）2， p， P（2）1P（0）P（1）1C30（ ）0（ ）31 ， 故选：C 8人民医院承担高考体检任务，计划在一周内（周一至周日）安排甲乙丙 3 所学校的学生进行体检若每 天最多只安排一所学校， 甲学校体检需要连续两天， 其余两所学校均只需一天， 则不同的安排方法有 （ ） A50 种 B60 种 C120 种 D210 种 解：根据题意，分两步分析： 先安排甲学校体检，由于甲学校体检需要连续两天，从 7 天中找连续的两天，可以是周一周二，可以 是周二周三
13、，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日，有 A61种方法 安排另两所学校，从剩下的 5 天中任选 2 天，有 A52种方法 则有 A61A52120 种不同的安排方法； 故选：C 9现订制一个容积为 V 的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作已知单位面积铝合 金板的价格是铁皮的 3 倍，当总造价最少时（不计接头部分），桶高应为（ ） A B C2 D 解：设圆柱的底面半径 r，则高 h， 设单位面积铁皮的价格为 a， 则总造价为 ya（2r+r2）+3ar2a（）， ， 当 0r时，y0，函数单调递减，当 r时，y0，函数单调递增， 故当 r时，函数取
14、得最小值 2 故选：D 10“关于 x 的方程的 ax22x+10 至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 DaR 解：关于 x 的方程的 ax22x+10 至少有一个负数根， 或， 解得 a0 “关于 x 的方程的 ax22x+10 至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是 a1 故选：A 11 在三棱锥 PABC 中， 面 PAC面 ABC， PACABC90， PABC， PBAC， E 是 AB 的中点 设 ，若 2，3，则二面角 BPCE 的余弦值的范围为（ ） A B C D 解：如图， 由面 PAC面 ABC，面 PAC面 ABCAC，PAC90，
15、 得 PA平面 ABC，又ABC90， 以 A 为坐标原点，过 A 作平行于 BC 的直线为 x 轴，AC，AP 所在直线分别为 y，z 轴建立空间直角坐标 系 设 PABC1，由，得 AC，则 PB C（1，0），B（0，0），P（0，0，1），E（0，0） （0，1），（1，1），（0，1）， 设平面 PEC 的一个法向量为， 由，取 y12，得，； 设平面 PBC 的一个法向量为， 由，取 y21，得 由图可知，二面角 BPCE 的平面角为锐角， 则二面角 BPCE 的余弦值为|cos| 2，3， 则二面角 BPCE 的余弦值范围为， 故选：D 12偶函数 f（x）的定义域为 R，周期为
16、 4，导函数为 f（x），若 f（x）f（x），且 f（2019）2，则不 等式 f（x）2ex1的解集为（ ） A（1，+） B（e，+） C（，0） D（，） 解：f（x）f（x）， 令 g（x），则0， 则 g（x）单调递减， 偶函数 f（x）的定义域为 R，周期为 4， 则 f（2019）f（3）f（1）f（1）2， 因为 g（1）， 由 f（x）2ex1可得，即 g（x）g（1）， 解可得 x1 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分 13已知质点运动方程为 St22t+1（S 的单位：m，t 的单位：s），则该质点在 t2s 时刻的瞬时速度为 2m/s
17、 m/s 解：根据题意，v（t）S2t2， t2s 时刻的瞬时速度为 v2222（m/s） 故答案为：2m/s 14在（x+）6的展开式中，常数项为 15 （用数字作答） 解：（x+）6的展开式的通项公式为 Tr+1 x63r， 令 63r0，求得 r2，可得常数项为15， 故答案为：15 15某学校甲、乙、丙、丁 4 位同学住在同一个小区已知从学校到小区有 A、B、C 三条线路的公共汽车， 若他们放学后每位同学乘坐其中任何一条线路的公共汽车回家是等可能性的，则这 4 位同学中恰有 2 人 乘坐 A 线路公共汽车的概率为 解：某学校甲、乙、丙、丁 4 位同学住在同一个小区从学校到小区有 A、B
18、、C 三条线路的公共汽车， 他们放学后每位同学乘坐其中任何一条线路的公共汽车回家是等可能性的， 基本事件总数 n3481， 这 4 位同学中恰有 2 人乘坐 A 线路公共汽车包含的基本事件个数 m24， 则这 4 位同学中恰有 2 人乘坐 A 线路公共汽车的概率 p 故答案为： 16已知函数 f（x）x2+mlnx（mR），若 x1x20，都有 f（x1）f（x2）x1x2成立，则 m 的取值范 围是 解：对任意正数 x1，x2，当 x1x2时都有 f（x1）f（x2）x1x2成立， 即为 f（x1）x1f（x2）x2成立， 可得 g（x）f（x）xx2+mlnxx 在（0，+）为增函数， 于
19、是当 x0 时，g（x）2x+10， 即 2x2xm 恒成立，记 h（x）2x2x，x0，函数是二次函数，最小值为 h（ ）， 则m，可得 m， 则实数 m 的取值范围是（，+）， 故答案为：（，+） 三、解答题：共 40 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1719 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 20、21 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 30 分 172020 年新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从 6 道备选 题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过，已 知应聘者小王
20、在 6 道备选题中有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成 （1）求小王能通过面试的概率； （2）求小王正确完成面试题数的分布列及数学期望 解：（1）应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成 规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过， 基本事件总数 n20， 应聘者小王在 6 道备选题中有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成 小王能通过面试包含的基本事件总数 m16 小王能通过面试的概率 p （2）小王正确完成面试题数 X 的可能取值为 1，2，3， P（X1）， P（X2）， P（X3）， X 的分布列为： X 1 2 3 P 数学期望 E（X）2 18如图
21、，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，AA1平面 ABC，ABAC，ABAC2，AA14，点 D 是 BC 的中 点 （1）求证：ADC1D； （2）求平面 ADC1与平面 ABB1A1所成二面角的正弦值 【解答】（1）证明：在三棱柱 A1B1C1ABC 中，AA1平面 ABC，ABAC， 以 A 为坐标原点，分别以 AB，AC，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则 A（0，0，0），B（2，0，0），D（1，1，0），C1（0，2，4）， （1，1，0），（1，1，4）， ， 即 ADC1D； （2）解：由（1）知，（1，1，0），（0，2，4）， 设平面 ADC1的法向量为
22、 ， 由，取 z1，得 y2，x2， 平面 ADC1的法向量为 （2，2，1）， 平面 ABA1的一个法向量 （0，1，0）， 设平面 ADC1与 ABB1A1所成二面角为 ， cos|cos|， sin 平面 ADC1与 ABB1A1所成二面角的正弦值为 19已知函数 f（x）exax（x0），其中 aR，e 为自然对数的底数 （1）试讨论 f（x）的单调性； （2）是否存在正整数 a，使得 f（x）x2lnx 对一切 x0 恒成立？若存在，求出 a 的最大值；若不存在， 请说明理由 解：（1）f（x）exa（x0） 若 a1，则 f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增； 若 a
23、1，令 f（x）0，则 xlna， 当 0 xlna 时，f（x）0，f（x）单调递减；当 xlna 时，f（x）0，f（x）单调递增 综上所述， 当 a1 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a1 时，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增 （2）要使 f（x）exaxx2lnx 在（0，+）上恒成立，则 在（0，+）上恒成立， 令， 则 当 a2 时， 由 exx 知，h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增 ， a2 满足题意 当 a2 时，当 2xa 时，函数 h（x）的取值情况， 2xa，x20，xa0 又 exx，（x2）ex（xa）x，
24、即 h（x）0， 当 a2 时，h（x）在（2，a）上单调递增 不妨取 a3，则函数 h（x）在（2，3）上单调递增， 2e3，且， h（x）0 不能恒成立 综上所述，正整数 a 的最大值为 2 （二）选考题：共 10 分请考生在第 20、21 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选 修 4-4：坐标系与参数方程. 20在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线 C 的极 坐标方程为 cos+sin （1）求曲线 C 的平面直角坐标方程； （2）若直线 l 的参数方程为（t 为参数），设直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|AB
25、| 解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 cos+sin， 2cos+sin， xcos，ysin， x2+y2x+y， 即 （2）将直线 l 的参数方程，代入曲线 C 的直角坐标方程， 得到， 整理得， 解得 t10 或 选修 4-5：不等式选讲 21已知函数 f（x）|2x1|+|x+m| （1）若 m3，解关于 x 的不等式 f（x）x+6； （2）证明：对任意 xR，2f（x）|m+1|m| 解：（1）当 m3 时，f（x）|2x1|+|x+3| 当 x3 时，f（x）x+6 化为3x2x+6，解得 x2，综合得 x3； 当时，f（x）x+6 化为 3x+2x+6，解得 x2，综合得 x2； 当3x时，f（x）x+6 化为x+4x+6，解得 x1，综合得3x1 综上所述，不等式 f（x）x+6 的解集为（，12，+）； （2）证明：f（x）|2x1|+|x+m|， 2f（x）2|2x1|+2|x+m| |2x1|+|2x1|+2|x+m|， |2x1|0， 2f（x）|2x1|+|2x+2m| |（2x1）（2x+2m）|2m+1|m+m+1|m+1|m|， 对任意 x一、选择题，2f（x）|m+1|m|