1、2020-2021 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知 ab0，则下列结论正确的是（ ） A 1 Bac2bc2 Ca2b2 Dacbc 22020 是数列 2，4，6，8，的第（ ）项 A1008 B1009 C1010 D2020 3在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2ac+c2b2，则角 B 为（ ） A B C D 4已知命题 p：x0（0，+），sinx0+x00，则p 为（ ） Ax（0，+），sinx+x0 Bx（0，+），sinx+x
2、0 Cx0（0，+），sinx0+x00 Dx0（0，+），sinx0+x00 5“x2”是“2x23x20”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 6设实数 x，y 满足约束条件，则目标函数 zx+3y 的最小值为（ ） A5 B6 C7 D10 7已知数列an是等比数列，满足 a5a114a8，数列bn是等差数列，且 b8a8，则 b7+b9等于（ ） A24 B16 C8 D4 8设 F1，F2分别是椭圆 C：1 的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在椭圆 C 上且满足|OP|4， 则PF1F2的面积为（ ） A3 B3 C6 D9 9在ABC 中，sin
3、2，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则ABC 的形状为（ ） A等边三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D直角三角形 10已知 M 是抛物线 C：x2y 上一点，记点 M 到抛物线 C 的准线的距离为 d1，到直线 l：3x+4y+90 的 距离为 d2，则 d1+d2的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2n1，bnnan，若对任意 nN*，不等式（n+5）bn+1bn恒成立， 则满足条件的实数 的取值范围是（ ） A B20 C21 D 12已知 m，n 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在的
4、直线与 m，n 都垂 直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： （1）直线 AB 与 m 所成的角不可能为 30； （2）直线 AB 与 m 所成角的最大值为 90； （3）直线 AB 与 m 所成的角为 60时，AB 与 n 所成的角为 30 其中正确的是（ ） A（1）（2） B（2）（3） C（1）（3） D（1）（2）（3） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知向量 （1，3，2）， （1，1，0），则向量 2 +3 14已知正实数 x，y 满足 4x+y8，则+的最小值为 15设 F1，F2为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，过 F2的直
5、线 l 交双曲线 C 的右支于 A、B 两点，且0，则双曲线 C 的离心率为 16在ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，AM，BC2，则 2AC+AB 的最大值为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题）小题）. 17已知命题 p：x，2时，ax+恒成立；命题 q：关于 x 的方程 x2ax+a0 无实根若命题 pq 是真命题，求实数 a 的取值范围 18设数列an是各项为正数的等比数列，a1是 a2和 6a3的等差中项 （）求数列an的公比； （）若 a1，令 bn（n+1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，且 ADPD3
6、，PC3，平面 PCD平面 ABCD，点 E 为线段 PC 的中点 （）求证：DE面 PBC； （）若点 F 在线段 AB 上，且，求二面角 CDEF 的平面角的正弦值 20由于 2020 年 1 月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响3 月份复工复产工作 逐步推进，居民生活逐步恢复正常李克强总理在 6 月 1 日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经 济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机某商场经营 者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中 APB120，且在该区域内点 R 处有一个路灯
7、，经测量点 R 到区域边界 PA，PB 的距离分别为 RS 4m，RT6m，（m 为长度单位）陈某准备过点 R 修建一条长椅 MN（点 M，N 分别落在 PA，PB 上， 长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息 （）求点 P 到点 R 的距离； （）为优化经营面积，当 PM 等于多少时，该三角形 PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值 21已知椭圆 C：1（ab0），点 P（2，0）是椭圆 C 上一点，离心率为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）已知点 Q（0，3m），直线 l：xy+m0 与椭圆 C 相交于 A，B 两点当ABQ 面积最大时，求 m 的值 22已知二次函数
8、f（x）ax2+bx+c （）若 f（x）0 的解集为x|1x2，关于 x 的不等式 bx2+4ax（c+3b）0 （）若不等式 f（x）2ax+b 对 xR 恒成立，求的最大值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知 ab0，则下列结论正确的是（ ） A 1 Bac2bc2 Ca2b2 Dacbc 解：由 ab0，可得1，故 A 正确； 当 c0 时，ac2bc2，故 B 错误； 由 ab0，可得 a2b2，故 C 错误； 由 ab，可得 acbc，故 D 错误 故选：A 22020 是数列 2，4，6，8，的第（ ）项 A1008 B1009 C101
9、0 D2020 解：数列 2，4，6，8，是 等差数列，首项为 2，公差422 设 2020 是数列 2，4，6，8，的第 n 项， 则 20202+2（n1），解得 n1010 故选：C 3在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2ac+c2b2，则角 B 为（ ） A B C D 解：在ABC 中，由余弦定理得： b2a2+c22accosB， 又 b2a2ac+c2， 所以 2cosB1，即 cosB，又 B（0，）， 所以 B， 故选：B 4已知命题 p：x0（0，+），sinx0+x00，则p 为（ ） Ax（0，+），sinx+x0 Bx（0，+），sinx+
10、x0 Cx0（0，+），sinx0+x00 Dx0（0，+），sinx0+x00 解：命题是特称命题，则其否定是全称命题， 即x（0，+），sinx+x0， 故选：A 5“x2”是“2x23x20”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 解：由 2x23x20，解得 x2， 而（，2）（，2）， 故“x2”是“2x23x20”的必要不充分条件， 故选：B 6设实数 x，y 满足约束条件，则目标函数 zx+3y 的最小值为（ ） A5 B6 C7 D10 解：画出约束条件表示的平面区域， 如阴影部分所示： 目标函数 zx+3y 可化为 yx+z， 平移目标函数知，当
11、直线 yx+z 经过点 A 时，直线 yx+z 的截距最小， 此时 z 最小 由，解得 A（3，1）， 代入目标函数得 z3+316 即 zx+3y 的最小值为 6 故选：B 7已知数列an是等比数列，满足 a5a114a8，数列bn是等差数列，且 b8a8，则 b7+b9等于（ ） A24 B16 C8 D4 解：等比数列an中， a5a11a824a8， a84， a8b8，b84， 等差数列bn中， b7+b92b88 故选：C 8设 F1，F2分别是椭圆 C：1 的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在椭圆 C 上且满足|OP|4， 则PF1F2的面积为（ ） A3 B3 C6 D9
12、解：由椭圆的方程可得：a225，b29，所以 a5，1|+|PF2|2a10c ， 则|F1F2|2c8，又|OP|4，所以|OP| ， 由直角三角形的性质可得三角形 PF1F2是以 P 为直角顶点的直角三角形， 所以|PF ， 又|PF1|+|PF2|2a10，则|PF1|PF2|18， 所以三角形 PF1F2的面积为 S ， 故选：D 9在ABC 中，sin2，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则ABC 的形状为（ ） A等边三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D直角三角形 解：在ABC 中，sin2，整理得， 化简得：acosCb， 由余弦定理得：， 整理得 b2+c2a2，
13、 故ABC 为直角三角形， 故选：D 10已知 M 是抛物线 C：x2y 上一点，记点 M 到抛物线 C 的准线的距离为 d1，到直线 l：3x+4y+90 的 距离为 d2，则 d1+d2的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 解：由抛物线的方程可得点 F（0，）， 由抛物线的定义可知|PF|d1， 所以 d1+d2|PF|+d2，其最小值为点 F 到直线 3x+4y+90 的距离， 点 F 到直线 3x+4y+90d 的距离为 d， 所以 d1+d2d2，即 d1+d2的最小值为 2， 故选：B 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2n1，bnnan，若对任意 nN*，不等式（n
14、+5）bn+1bn恒成立， 则满足条件的实数 的取值范围是（ ） A B20 C21 D 解：因为 Sn2n1， 当 n1 时， 当 n2 时， 当 n1 时也适合上式， 所以， 故 bnnann2n1， 所以不等式（n+5）bn+1bn对任意 nN*恒成立， 即（n+5）（n+1）2nn2n1对任意 nN*恒成立， 等价于对任意 nN*恒成立， 令，则， 令 f（x）0，解得， 所以 f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增， 因为 23， 又 f（2），f（3）， 所以的最小值为， 故 故选：C 12已知 m，n 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC
15、 所在的直线与 m，n 都垂 直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： （1）直线 AB 与 m 所成的角不可能为 30； （2）直线 AB 与 m 所成角的最大值为 90； （3）直线 AB 与 m 所成的角为 60时，AB 与 n 所成的角为 30 其中正确的是（ ） A（1）（2） B（2）（3） C（1）（3） D（1）（2）（3） 解：把直线 m 和直线 n 都平移到过 A 点，建立空间直角坐标系如图，直线 m 即 x 轴，直线 n 即 y 轴， AC 所在直线即 z 轴，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，B 点轨迹为圆，设 ACBCa，AP 与 x 轴正向 成
16、角为 ， 与 y 轴正向成角为 ，与 z 轴正向成角为 45，斜边 AB 在 xoy 平投影与 x 轴正向成角为 ， 则有，cos2+cos2+cos21cos2+cos2+cos2451cos2+cos2 x 轴正向单位向量（1，0，0），y 轴正向单位向量（0，1，0），z 轴正向单位向量（0，0，1），AP （acos，asin，a）， cos ，同理，cos，所以有 对于（1），假设直线 AB 与 m 所成角为 30，即 30，cos2，与 cos2+cos2矛盾，所以 （1）对； 对于（2），当 cos0 时，即时，直线 AB 与 m 所成角的最大值为 90，所以（2） 对； 对于（
17、3），假设直线 AB 与 m 所成的角为 60时，AB 与 n 所成的角为 30，即 60，30， cos2+cos21，与 cos2+cos2矛盾，所以（3）错； 故选：A 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知向量 （1，3，2）， （1，1，0），则向量 2 +3 （5，3，4） 解：因为向量 （1，3，2）， （1，1，0）， 所以 2 +3 2（1，3，2）+3（1，1，0）（5，3，4） 故答案为：（5，3，4） 14已知正实数 x，y 满足 4x+y8，则+的最小值为 解：已知正实数 x，y 满足
18、4x+y8，则， 则+（+）（+）+2+ 当且仅当，即 x，y时取等号； 所以+的最小值为 故答案为： 15设 F1，F2为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，过 F2的直线 l 交双曲线 C 的右支于 A、B 两点，且0，则双曲线 C 的离心率为 解：由题意，设|AF2|m，则|BF2|2m， |AF1|2a+m，|BF1|2a+2m， AF2AF1， （2a+2m）2（2a+m）2+（3m）2， ma， （2c）2（2a+m）2+（m）2， e 故答案为： 16在ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，AM，BC2，则 2AC+AB 的最大值为 2 解：ABC 中，点 M 是边 BC
19、 的中点，AM，BC2，如图所示 1； 设AMB，ABx，ACy，则AMC， 所以 x23+121 cos42cos； y23+121cos（）4+2cos； 所以 x2+y28 设目标函数 zx+2y， 由，消去 x，整理得 5y24yz+z280； 由（4z）220（z28）0， 解得 z240， 即2z2 ， 所以 2AC+AB 的最大值为 2 故答案为：2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答题应写文字说明证明过程或演算步骤解答题应写文字说明证明过程或演算步骤. 17已知命题 p：x，2时，ax+恒成立；命题 q：关于 x 的方程 x2a
20、x+a0 无实根若命题 pq 是真命题，求实数 a 的取值范围 解：命题 p：命题 p：x，2时，ax+恒成立； 若 p 真，则 a（x+）max 因为 x，2，所以 x+ ， 当且仅当 x2 或时等号成立，所以 a； 命题 q：关于 x 的方程 x2ax+a0 无实根 若 q 真，则a24a0，即 0a4 因为命题 pq 是真命题，所以 p，q 都是真命题， 所以a4 实数 a 的取值范围为a|a4 18设数列an是各项为正数的等比数列，a1是 a2和 6a3的等差中项 （）求数列an的公比； （）若 a1，令 bn（n+1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 解：（）由题意，设正项等比数
21、列数列an的公比为 q（q0）， 则 a2a1q，a3a1q2， a1是 a2和 6a3的等差中项， 2a1a2+6a3，即 2a1a1q+6a1q2， 化简整理，得 a1（6q2+q2）0， a10，6q2+q20， 解得 q（舍去），或 q， q （）由题意及（），可得 an（）n1（）n， bn（n+1）an（n+1）（ ）n， Tnb1+b2+b3+bn2（）1+3（）2+4（）3+（n+1）（）n， Tn2（）2+3（）3+n（）n+（n+1）（）n+1， 两式相减，可得： Tn2（）1+（）2+（）3+（）n（n+1）（）n+1 1+ （n+1）（）n+1 ， Tn3 19如图，在
22、四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，且 ADPD3，PC3，平面 PCD平面 ABCD，点 E 为线段 PC 的中点 （）求证：DE面 PBC； （）若点 F 在线段 AB 上，且，求二面角 CDEF 的平面角的正弦值 解：（）证明：PDADDC，E 为 PC 中点， DEPC， 平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD，BCCD， BC平面 PCD， DE平面 PCD， BCDE， PCBCC，PC平面 PBC，BC平面 PBC， DE面 PBC； （）由于平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD，在平面 PCD 内，过点 D 作 DC 的垂
23、 线 DZ， 则 DZ平面 ABCD，如图，以 DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DZ 为 z 轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面 DCE 的法向量为，则，则可取， 同理可得平面 DEF 的法向量为， ， 设二面角 CDEF 的平面角为 ，则 20由于 2020 年 1 月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响3 月份复工复产工作 逐步推进，居民生活逐步恢复正常李克强总理在 6 月 1 日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经 济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机某商场经营 者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意已知该商场
24、门前是一块角形区域，如图所示，其中 APB120，且在该区域内点 R 处有一个路灯，经测量点 R 到区域边界 PA，PB 的距离分别为 RS 4m，RT6m，（m 为长度单位）陈某准备过点 R 修建一条长椅 MN（点 M，N 分别落在 PA，PB 上， 长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息 （）求点 P 到点 R 的距离； （）为优化经营面积，当 PM 等于多少时，该三角形 PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值 解：（1）连接 ST， 在RST 中，SRT180APB60， 由余弦定理知，ST2RS2+RT22RSRTcosSRT42+62246cos6028， ST2，
25、 cosSTR， sinPTScosSTR， 在PST 中，由正弦定理知，即， SP， 连接 RP，在 RtSPR 中，PR2RS2+SP242+（）2， PR， 故点 P 到点 R 的距离为m （2）由正弦面积公式知，SPMN|PM|PN|sin120|PM|PN|， SPMNSPRM+SPRN |PM|RS|+|PN|RT|PM|4+|PN|62|PM|+3|PN|， |PM|PN|2|PM|+3|PN|2， |PM|PN|128，当且仅当 2|PM|3|PN|，即|PM|8，|PN|时，等号成立， 此时 SPMN|PM|PN| 12832， 故当 PM 等于 8m 时，该三角形 PMN
26、区域面积最小，面积的最小值为 32 m2 21已知椭圆 C：1（ab0），点 P（2，0）是椭圆 C 上一点，离心率为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）已知点 Q（0，3m），直线 l：xy+m0 与椭圆 C 相交于 A，B 两点当ABQ 面积最大时，求 m 的值 解：（）根据题意可得 a2， 因为 e，所以 c， 所以 b2a2c22， 所以椭圆的方程为+1 （）联立，得 3x2+4mx+2m240， （4m）212（2m24）0， 解得m， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由韦达定理可得 x1+x2，x1x2， |AB| ， Q（0，3m）到直线 l：xy+m0 的距离 d，
27、所以 SABQ|AB|d 2， 当且仅当 6m2m2，即 m时，取等号， 所以当ABQ 面积最大时，m 的值为 22已知二次函数 f（x）ax2+bx+c （）若 f（x）0 的解集为x|1x2，关于 x 的不等式 bx2+4ax（c+3b）0 （）若不等式 f（x）2ax+b 对 xR 恒成立，求的最大值 解：（）由题意可得：，即 所以 bx2+4ax（c+3b）0 等价于 ， 即 x24x50，解得：1x5， 所以不等式 bx2+4ax（c+3b）0 的解集为x|1x5； （）不等式 f（x）2ax+b 对 xR 恒成立，即 ax2+（b2a）x+cb0 恒成立， 所以，即， 所以， 令，则， 因为 b24ac4a2，所以 aca20，即 ， 令 y，当且仅当 t2，即时取最大值， 所以的最大值为