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上海市浦东新区2020-2021学年九年级上期末学业质量监测数学试卷(含答案详解)

1、2020-2021 学年上海市浦东新区九年级(上)期末数学试卷(一模)学年上海市浦东新区九年级(上)期末数学试卷(一模) 一、选择题: (本大题共一、选择题: (本大题共 6 题,每题题,每题 4 分,满分分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确 的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1A、B 两地的实际距离 AB250 米,如果画在地图上的距离 AB5 厘米,那么地图上的距离与实际 距离的比为( ) A1:500 B1:5000 C500:1 D5000

2、:1 2已知在 RtABC 中,C90,B,AC2,那么 AB 的长等于( ) A B2sin C D2cos 3下列 y 关于 x 的函数中,一定是二次函数的是( ) Ay(k1)x2+3 By+1 Cy(x+1) (x2)x2 Dy2x27x 4已知一个单位向量 ,设 、 是非零向量,那么下列等式中正确的是( ) A| | B| | C D 5如图,在ABC 中,点 D、F 是边 AB 上的点,点 E 是边 AC 上的点,如果ACDB,DEBC,EF CD,下列结论不成立的是( ) AAE2AFAD BAC2ADAB CAF2AEAC DAD2AFAB 6已知点 A(1,2) 、B(2,3

3、) 、C(2,1) ,那么抛物线 yax2+bx+1 可以经过的点是( ) A点 A、B、C B点 A、B C点 A、C D点 B、C 二、填空题: (本大题共二、填空题: (本大题共 12 题,每题题,每题 4 分,满分分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7如果线段 a、b 满足,那么的值等于 8已知线段 MN 的长为 4,点 P 是线段 MN 的黄金分割点,那么较长线段 MP 的长是 9计算:2sin30tan45 10如果从某一高处甲看低处乙的俯角为 36 度,那么从低处乙看高处甲的仰角是 度 11已知 AD、BE 是AB

4、C 的中线,AD、BE 相交于点 F,如果 AD3,那么 AF 12 如图, 已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 设 , , 那么向量关于 、 的分解式为 13如果抛物线 y(m+4)x2+m 经过原点,那么该抛物线的开口方向 (填“向上”或“向下” ) 14如果(2,y1) (3,y2)是抛物线 y(x+1)2上两点,那么 y1 y2 (填“”或“” ) 15如图,矩形 DEFG 的边 EF 在ABC 的边 BC 上,顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上,已知ABC 的边 BC 长 60 厘米,高 AH 为 40 厘米,如果 DE2DG,那么 DG 厘米 1

5、6秦九韶的数书九章中有一个“峻积验雪”的例子,其原理为:如图,在 RtABC 中,C90, AC12,BC5,ADAB,AD0.4,过点 D 作 DEAB 交 CB 的延长线于点 E,过点 B 作 BFCE 交 DE 于点 F,那么 BF 17如果将二次函数的图象平移,有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上,那么称这 个点为“平衡点” 现将抛物线 C1:y(x1)21 向右平移得到新抛物线 C2,如果“平衡点”为(3,3) ,那么新抛物 线 C2的表达式为 18如图,ABC 中,AB10,BC12,AC8,点 D 是边 BC 上一点,且 BD:CD2:1,联结 AD, 过 AD

6、中点 M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分,这条直线分别与边 BC、AC 相交于点 E、F,那 么线段 BE 的长为 三、解答题: (本大题共三、解答题: (本大题共 7 题,满分题,满分 78 分)分) 19 (10 分)已知向量关系式(),试用向量 、 表示向量 20 (10 分)已知抛物线 yx2+2x+m3 的顶点在第二象限,求 m 的取值范围 21 (10 分)如图,已知 ADBECF,它们依次交直线 l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、F,且 AB6, BC8 (1)求的值; (2)当 AD5,CF19 时,求 BE 的长 22 (10 分)如图,燕尾槽的横断面是等腰梯形

7、 ABCD,现将一根木棒 MN 放置在该燕尾槽中,木棒与横断 面在同一平面内,厚度等不计,它的底端 N 与点 C 重合,且经过点 A已知燕尾角B54.5,外口宽 AD180 毫米, 木棒与外口的夹角MAE26.5, 求燕尾槽的里口宽 BC (精确到 1 毫米) (参考数据: sin54.50.81, cos54.50.58, tan54.51.40, sin26.50.45, cos26.50.89, tan26.50.50) 23 (12 分)RtABC 中,ACB90,点 D、E 分别为边 AB、BC 上的点,且 CDCA,DEAB (1)求证:CA2CECB; (2)联结 AE,取 AE

8、 的中点 M,联结 CM 并延长与 AB 交于点 H,求证:CHAB 24 (12 分)二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象经过点 A(2,4) 、B(5,0)和 O(0,0) (1)求二次函数的解析式; (2)联结 AO,过点 B 作 BCAO 于点 C,与该二次函数图象的对称轴交于点 P,联结 AP,求BAP 的余切值; (3)在(2)的条件下,点 M 在经过点 A 且与 x 轴垂直的直线上,当AMO 与ABP 相似时,求点 M 的坐标 25 (14 分)四边形 ABCD 是菱形,B90,点 E 为边 BC 上一点,联结 AE,过点 E 作 EFAE,EF 与边 CD 交于点 F,且

9、 EC3CF (1)如图 1,当B90时,求 SABE与 SECF的比值; (2)如图 2,当点 E 是边 BC 的中点时,求 cosB 的值; (3)如图 3,联结 AF,当AFEB 且 CF2 时,求菱形的边长 2020-2021 学年上海市浦东新区九年级(上)期末数学试卷(一模)学年上海市浦东新区九年级(上)期末数学试卷(一模) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共一、选择题: (本大题共 6 题,每题题,每题 4 分,满分分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确 的,选择正确项的代

10、号并填涂在答题纸的相应位置上】的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1A、B 两地的实际距离 AB250 米,如果画在地图上的距离 AB5 厘米,那么地图上的距离与实际 距离的比为( ) A1:500 B1:5000 C500:1 D5000:1 【分析】地图上的距离与实际距离的比就是在地图上的距离 AB与实际距离 250 米的比值 【解答】解:取米作为共同的长度单位,那么 AB250 米,AB5 厘米0.05 米, 所以, 所以地图上的距离与实际距离的比为 1:5000 故选:B 2已知在 RtABC 中,C90,B,AC2,那么 AB 的长等于( ) A B2sin C D2c

11、os 【分析】根据锐角三角函数的意义即可得出答案 【解答】解:sinBsin,AC2, AB, 故选:A 3下列 y 关于 x 的函数中,一定是二次函数的是( ) Ay(k1)x2+3 By+1 Cy(x+1) (x2)x2 Dy2x27x 【分析】利用二次函数定义进行分析即可 【解答】解:A、当 k1 时,不是二次函数,故此选项不合题意; B、含有分式,不是二次函数,故此选项不合题意; C、化简后 yx2,不是二次函数,故此选项不合题意; D、是二次函数,故此选项符合题意; 故选:D 4已知一个单位向量 ,设 、 是非零向量,那么下列等式中正确的是( ) A| | B| | C D 【分析】

12、根据平面向量的性质一一判断即可 【解答】解:A、| | 计算正确,故本选项符合题意 B、| | 与 的模相等,方向不一定相同,故本选项不符合题意 C、与 的模相等,方向不一定相同,故本选项不符合题意 D、与的模相等,方向不一定相同,故错误 故选:A 5如图,在ABC 中,点 D、F 是边 AB 上的点,点 E 是边 AC 上的点,如果ACDB,DEBC,EF CD,下列结论不成立的是( ) AAE2AFAD BAC2ADAB CAF2AEAC DAD2AFAB 【分析】由相似三角形的判定和性质依次判断可求解 【解答】解:DEBC,EFCD, AEFACD,ADEB, 又ACDB, AEFADE

13、, AEFADE, , AE2AFAD,故选项 A 不合题意; ACDB,DACBAC, ACDABC, , AC2ABAD,故选项 B 不合题意; DEBC,EFCD, , , AD2ABAF,故选项 D 不合题意; 由题意无法证明 AF2AEAC,故选项 C 符合题意, 故选:C 6已知点 A(1,2) 、B(2,3) 、C(2,1) ,那么抛物线 yax2+bx+1 可以经过的点是( ) A点 A、B、C B点 A、B C点 A、C D点 B、C 【分析】根据图象上点的坐标特征进行判断 【解答】解:B、C 两点的横坐标相同, 抛物线 yax2+bx+1 只能经过 A,C 两点或 A、B

14、两点, 把 A(1,2) ,C(2,1) ,代入 yax2+bx+1 得 解得,; 把 A(1,2) ,B(2,3) ,代入 yax2+bx+1 得 解得,(不合题意) ; 抛物线 yax2+bx+1 可以经过的 A,C 两点, 故选:C 二、填空题: (本大题共二、填空题: (本大题共 12 题,每题题,每题 4 分,满分分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7如果线段 a、b 满足,那么的值等于 【分析】由,可设 a5k,则 b2k,代入,计算即可 【解答】解:, 可设 a5k,则 b2k, 故答案为: 8已知线段 MN 的长

15、为 4,点 P 是线段 MN 的黄金分割点,那么较长线段 MP 的长是 22 【分析】根据黄金分割的概念得到 MPMN,把 MN4 代入计算即可 【解答】解:线段 MN 的长为 4,点 P 是线段 MN 的黄金分割点,MPNP, MPMN422, 故答案为:22 9计算:2sin30tan45 0 【分析】根据特殊角的三角函数值计算 【解答】解:原式210 10如果从某一高处甲看低处乙的俯角为 36 度,那么从低处乙看高处甲的仰角是 36 度 【分析】根据仰角以及俯角的定义,画出图形进而求出即可 【解答】解:如图所示: 甲处看乙处为俯角 36, 乙处看甲处为:仰角为 36, 故答案为:36 1

16、1已知 AD、BE 是ABC 的中线,AD、BE 相交于点 F,如果 AD3,那么 AF 2 【分析】连接 DE,根据三角形中位线定理得到 DEAB,DEAB,证明AFBDFE,根据相似 三角形的性质解答即可 【解答】解:连接 DE, AD、BE 是ABC 的中线, DE 是ABC 的中位线, DEAB,DEAB, AFBDFE, 2, AF2FD, AD3, AF2, 故答案为:2 12 如图, 已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 设 , , 那么向量关于 、 的分解式为 【分析】由三角形法则可求得向量关于 、 的分解式 【解答】解:如图所示, , ,则 故答

17、案是: 13如果抛物线 y(m+4)x2+m 经过原点,那么该抛物线的开口方向 向上 (填“向上”或“向下” ) 【分析】根据抛物线 y(m+4)x2+m 经过原点,可得 m0,进而可得结论 【解答】解:抛物线 y(m+4)x2+m 经过原点, m0, a40, 该抛物线的开口方向向上 故答案为:向上 14如果(2,y1) (3,y2)是抛物线 y(x+1)2上两点,那么 y1 y2 (填“”或“” ) 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 y(x+1)2的开口向上,对称轴为直线 x1,则在对称轴 右侧,y 随 x 的增大而增大 【解答】解:y(x+1)2, a10, 抛物线开口向上, 抛物线

18、 y(x+1)2对称轴为直线 x1, 123, y1y2 故答案为 15如图,矩形 DEFG 的边 EF 在ABC 的边 BC 上,顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上,已知ABC 的边 BC 长 60 厘米,高 AH 为 40 厘米,如果 DE2DG,那么 DG 15 厘米 【分析】设 DGEFx,则 GFDE2x,根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出 DG 的长 【解答】解:四边形 DEFG 是矩形, DGBC,AHBC,DGEF, APDG 设 DGEFx,则 GFDE2x, DGBC, ADGABC, , AH40 厘米,BC60 厘米, , 解得 x15 DG15 厘米, 故

19、答案为:15 16秦九韶的数书九章中有一个“峻积验雪”的例子,其原理为:如图,在 RtABC 中,C90, AC12,BC5,ADAB,AD0.4,过点 D 作 DEAB 交 CB 的延长线于点 E,过点 B 作 BFCE 交 DE 于点 F,那么 BF 【分析】作 CHAB,BGDE 于点 H,G,根据已知条件证明四边形 ADGB 是矩形,再根据等面积法 求出 CH,证明FBEACB,利用对应高的比等于相似比即可求出 BF 的长 【解答】解:如图,作 CHAB,BGDE 于点 H,G, DEAB, BGAB, ADAB, DABABGBGD90, 四边形 ADGB 是矩形, BGAD0.4,

20、 在 RtABC 中,C90,AC12,BC5, AB13, SABCBCACABCH, CH, DEAB, EABC, FBEACB90, FBEACB, CHAB,BGDE, , , BF 故答案为: 17如果将二次函数的图象平移,有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上,那么称这 个点为“平衡点” 现将抛物线 C1:y(x1)21 向右平移得到新抛物线 C2,如果“平衡点”为(3,3) ,那么新抛物 线 C2的表达式为 y(x3)21 或 y(x7)21 【分析】设将抛物线 C1:y(x1)21 向右平移 m 个单位,则平移后的抛物线解析式是 y(x1 m)21,然后将(3,

21、3)代入得到关于 m 的方程,通过解方程求得 m 的值即可 【解答】解:设将抛物线 C1:y(x1)21 向右平移 m 个单位,则平移后的抛物线解析式是 y(x 1m)21, 将(3,3)代入,得(31m)213 整理,得 4m2 解得 m12,m26 故新抛物线 C2的表达式为 y(x3)21 或 y(x7)21 故答案是:y(x3)21 或 y(x7)21 18如图,ABC 中,AB10,BC12,AC8,点 D 是边 BC 上一点,且 BD:CD2:1,联结 AD, 过 AD 中点 M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分,这条直线分别与边 BC、AC 相交于点 E、F,那 么线段 BE

22、 的长为 2 【分析】先求出 BD8,CD4,再求出 MH4,DH2,设 BEx,得出 CE12x,CF3+x,EH 10 x,再判断出EHMECF,得出比例式,建立方程求解,即可得出结论 【解答】解:如图,点 D 是 BC 的中点,BC12, BD:CD2:1, BD8,CD4, 过点 M 作 MHAC 交 CD 于 H, DHMDAC, , 点 M 是 AD 的中点, AD2DM, AC8, , MH4,DH2, 过点 M 作 MGAB 交 BD 于 G, 同理得,BGDE4, AB10,BC12,AC8, ABC 的周长为 10+12+830, 过 AD 中点 M 的直线将ABC 分成周

23、长相等的两部分, CE+CF15, 设 BEx,则 CE12x, CF15(12x)3+x,EHCECHCE(CDDH)12x210 x, MHAC, EHMECF, , , x2 或 x9, 当 x9 时,CF12AC,点 F 不在边 AC 上,此种情况不符合题意, 即 BDx2, 故答案为:2 三、解答题: (本大题共三、解答题: (本大题共 7 题,满分题,满分 78 分)分) 19 (10 分)已知向量关系式(),试用向量 、 表示向量 【分析】在已知关系式中,求出 x 即可解决问题 【解答】解:由(),得2, 所以 7 2 所以 ( 2 ) 20 (10 分)已知抛物线 yx2+2x

24、+m3 的顶点在第二象限,求 m 的取值范围 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(1,m4) ,再利用第二象限点的坐标特征得到 m 40,然后解不等式即可 【解答】解:yx2+2x+m3(x+1)2+m4, 抛物线的顶点坐标为(1,m4) , 抛物线 yx2+2x+m3 顶点在第二象限, m40, m4 故 m 的取值范围为 m4 21 (10 分)如图,已知 ADBECF,它们依次交直线 l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、F,且 AB6, BC8 (1)求的值; (2)当 AD5,CF19 时,求 BE 的长 【分析】 (1)直接根据平行线分线段成比例定理求解; (2)过 D

25、 点作 DMAC 交 CF 于 M,交 BE 于 N,如图,易得四边形 ABND 和四边形 ACMD 都是平行 四边形,所以 BNCMAD5,则 MF14,再利用 NFMF,所以,然后利用比例的性 质计算出 NE,最后计算 BN+NE 即可 【解答】解: (1)ADBECF, ; (2)过 D 点作 DMAC 交 CF 于 M,交 BE 于 N,如图, ADBNCM,ACDM, 四边形 ABND 和四边形 ACMD 都是平行四边形, BNAD5,CMAD5, MFCFCM19514, NFMF, , NEMF146, BEBN+NE5+611 22 (10 分)如图,燕尾槽的横断面是等腰梯形

26、ABCD,现将一根木棒 MN 放置在该燕尾槽中,木棒与横断 面在同一平面内,厚度等不计,它的底端 N 与点 C 重合,且经过点 A已知燕尾角B54.5,外口宽 AD180 毫米, 木棒与外口的夹角MAE26.5, 求燕尾槽的里口宽 BC (精确到 1 毫米) (参考数据: sin54.50.81, cos54.50.58, tan54.51.40, sin26.50.45, cos26.50.89, tan26.50.50) 【分析】如图,过点 B 作 BGDE 于 G,过点 C 作 CHAD 于 H证明BGACHD(AAS) ,推出 AGDH,设 AGDHx 毫米,CHy 毫米,构建方程组求

27、解即可 【解答】解:如图,过点 B 作 BGDE 于 G,过点 C 作 CHAD 于 H 四边形 ABCD 是等腰梯形, ABDC,BADCDA, BAGCDH, BGACHD90, BGACHD(AAS) , AGDH, 设 AGDHx 毫米,CHy 毫米, 则有, 解得, BCGHAG+AD+DH100+180+100380(毫米) 23 (12 分)RtABC 中,ACB90,点 D、E 分别为边 AB、BC 上的点,且 CDCA,DEAB (1)求证:CA2CECB; (2)联结 AE,取 AE 的中点 M,联结 CM 并延长与 AB 交于点 H,求证:CHAB 【分析】 (1)通过证

28、明DCEBCD,可得,可得结论; (2)由直角三角形的性质可得 AMMECM,进而可得MCEMEC,通过证明点 A,点 C,点 E, 点 D 四点共圆,可得AECADC,由余角的性质可得结论 【解答】证明: (1)DEAB, EDBACB90, A+B90B+DEB, ADEB, CACD, ACDA, CDADEB, CDBCED, 又DCEDCB, DCEBCD, , CD2CECB, CA2CECB; (2)如图, ACE 是直角三角形,点 M 是 AE 中点, AMMECM, MCEMEC, ACBADE90, 点 A,点 C,点 E,点 D 四点共圆, AECADC, AECMCEA

29、DCCAD, 又MCE+ACH90, CAD+ACH90, CHAB 24 (12 分)二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象经过点 A(2,4) 、B(5,0)和 O(0,0) (1)求二次函数的解析式; (2)联结 AO,过点 B 作 BCAO 于点 C,与该二次函数图象的对称轴交于点 P,联结 AP,求BAP 的余切值; (3)在(2)的条件下,点 M 在经过点 A 且与 x 轴垂直的直线上,当AMO 与ABP 相似时,求点 M 的坐标 【分析】 (1)利用待定系数法,即可得出结论; (2) 先判断出 OBAB, 进而判断出OBPABP, 进而判断出OBPABP, 得出BOPBAP,

30、 再求出直线 BC 的解析式,求出点 P 的坐标,构造直角三角形,即可得出结论; (3)先判断出点 M 在点 A 的下方,再判断出AOMABP,再分两种情况,利用相似比建立方程求 解,即可得出结论 【解答】解: (1)二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象经过点 B(5,0)和 O(0,0) , 设二次函数的解析式为 yax(x5) , 将点 A(2,4)代入 yax(x5)中,得 4a2(25) , a, 二次函数的解析式为 yx(x5)x2+x; (2)如图 1,连接 OP,过点 P 作 PDx 轴于 D, ODP90, A(2,4) 、B(5,0)和 O(0,0) , OB5,AB5

31、, OBAB, BCOA, ACOC,OBCABC, BPBP, OBPABP(SAS) , BOPBAP, ACOC,A(2,4) , 点 C(1,2) , 直线 BC 的解析式为 yx+, 由(1)知,二次函数的解析式为 yx2+x, 联立解得,或, P(,) , OD,PD, cotBAPcotBOP; (3)设 M(2,m) , A(2,4) ,B(5,0) ,P(,) , AM|m4|OA2,AB5,BP, BCOA, ACPBCP90, ABP90,APC90, BOP90, BAP90, ABP 是锐角三角形, AMO 与ABP 相似, AMO 为锐角三角形, 点 M 在点 A

32、的下方, AM4m, 如图 2,AM 与 x 轴的交点记作点 E,与 BC 的交点记作点 F, AMx 轴, AEB90, OBP+BFE90, AFPBFE, OBP+AFP90, BCOA, AFP+OAE90, OAEOBP, 由(2)知,OBPABP, OAEABP, AMO 与ABP 相似, 当OAMABP 时, , , m, M(2,) , 当MAOABP 时, , , m, M(2,) , 即满足条件的点 M 的坐标为(2,)或(2,) 25 (14 分)四边形 ABCD 是菱形,B90,点 E 为边 BC 上一点,联结 AE,过点 E 作 EFAE,EF 与边 CD 交于点 F

33、,且 EC3CF (1)如图 1,当B90时,求 SABE与 SECF的比值; (2)如图 2,当点 E 是边 BC 的中点时,求 cosB 的值; (3)如图 3,联结 AF,当AFEB 且 CF2 时,求菱形的边长 【分析】 (1)证明四边形 ABCD 是正方形,再证明ABECEF,设 CFx,ABa,运用相似三角形 的相似比求得 a 与 x 的关系,进而根据相似三角形的性质求得面积比; (2)过点 A 作 AMBC 于点 M,过点 F 用 FNBC 于点 H,证明AMEENF,设 CFx,用 x 与 B 的正、余弦值表示 AM、ME、EN、NF,进而根据相似三角形的性质列出比例式,整理比

34、例式便可得 出结果; (3) 过点 A 作 AMBC 于点 M, 过点 F 用 FNBC 于点 H, 由BAFE, 得, 再证明AME ENF,得出 BMEN,设菱形 ABCD 的边长为 a,由 BMEN,得到用 cosB 的代数式表示 a,再结 合AMEENF 的比例线段求得 a 的值便可 【解答】解: (1)四边形 ABCD 是菱形,B90, 四边形 ABCD 是正方形, BC90, EFAE, AEB+CEFAEB+BAE90, BAECEF, ABECEF, , EC3CF, 设 CFx,ABa,则 EC3x,BEa3x, , 解得,a4.5x, ; (2)过点 A 作 AMBC 于点

35、 M,过点 F 用 FNBC 于点 H,如图 2, 则AMECNF90, 四边形 ABCD 是菱形, ABBC,ABCD, BFCN, 设 CFx,则 CE3x, E 是 BC 的中点, BECE3x,ABBC2CE6x, BMABcosB6xcosB,AMABsinB6xsinB,CNCFcosFCNxcosB,FNCFsinFCN xsinB, MEBEBM3x6xcosB,ENEC+CN3x+xcosB, AEF90, AEM+NEFAEM+MAE90, MAENEF, AMEENF, , 即,即, 整理得,2sin2B35cosB2cos2B, 235cosB, cosB; (3)过点

36、 A 作 AMBC 于点 M,过点 F 用 FNBC 于点 H,如图 3, 则AMECNF90, 四边形 ABCD 是菱形, ABBC,ABCD, BFCN, AEF90, AEM+NEFAEM+MAE90, MAENEF, AMEENF, , AFEB, tanB,tanAFE, , , BMEN, 设菱形 ABCD 的边长为 a,则 ABBCa, BMacosB,CNCFcosFCNCFcosB, acosBEC+CFcosB, CF2,EC3CF, EC6, acosB6+2cosB, cosB, , AMABsinBasinB,EN6+2cosB,MEaacosB6,NFCFsinFCN2sinB, , 化简得,2a(sin2B+cos2B)6a4acosB12cosB36, 2a6a4acosB12cosB36, aacosB3cosB90, cosB, a90, 解得,a17,或 a0(舍) , 菱形的边长为 17