1、 广东省深圳市罗湖区广东省深圳市罗湖区 20202020- -20212021 学年九年级上期末考数学试卷学年九年级上期末考数学试卷 一选择题（每题 3 分，共 30 分） 1一元二次方程 x 22x0 的解是（ ） Ax1x22 Bx12，x20 Cx12，x20 Dx12，x22 2下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（ ） A长方体 B圆柱 C圆锥 D正四棱锥 3在同一副扑克牌中抽取 2 张“方块”，3 张“梅花”，1 张“红桃”，将这 6 张牌背面朝上，从中任意 抽取 1 张，是“梅花”的概率为（ ） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 4若反比例函数
2、 y2 的图象分布在第二、四象限，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 Ck2 Dk2 5国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区 2017 年底有贫困人口 10 万人，通过社会各界的努力，2019 年底贫困人口减少至 1 万人设 2017 年底至 2019 年底该地区贫困人 口的年平均下降率为 x，根据题意列方程得（ ） A10(12x)1 B10(1x) 21 C10(12x)D10(1x)21 6下列命题中，真命题是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C平行四边形的对角线平分且相等 D顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 7
3、如图，已知AOB 与A1OB1是以点 O 为位似中心的位似图形，且相似比 为 12，点 B 的坐标为(2，4)，则点 B1的坐标为（ ） A （4，8） B （2，4） C （1，8） D （8，4） 8若关于 x 的一元二次方程(k1)x 2x10 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak 5 4 Bk 5 4 Ck 5 4 且 k1 Dk 5 4 且 k1 9如图，菱形 ABCD菱形 AEFG，菱形 AEFG 的顶点 G 在菱形 ABCD 的 BC 边上运动，GF 与 AB 相交于点 H，E60，若 CG3，AH7，则菱形 ABCD 的边长为（ ） A8 B9 C8 3 D9 3 1
4、0二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ） abc0；b 24ac0；2ab；(ac)2b2；a2b4c0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（每题 3 分，共 15 分） 11如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度已知标杆 BE 高为 1.5m，测得 AB3m，AC10m，则建筑物 CD 的高是_m 12将抛物线 y2x 25 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为_ 13已知 a，b 为有理数，如果规定一种新的运算“”，规定：ab3b5a，例如：12325 1651，计算：(23)5_ 14如图，
5、在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，OA5，tanCOA3 4若反比例函数 y k x (k0，x0)经过点 C，则 k 的值等于_ 15如图，矩形 ABCD 中，AE1 3AD，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CFFD 3，则 BC 的长为_ 三解答题（共 7 小题，共 55 分） 16 （5 分）计算： 1 1 ( ) 2 2tan454sin602 12 17 （6 分）化简分式：( 2 2 3 69 aa aa 2 3a ) 2 2 9 a a ，并在 2，3，4，5 这四个数中取一个合适的数作为 a 的值代入求值
6、18 （8 分）在刚刚结束的“东门 68 小时不打烊”活动中，某商场为了扩大销售额，举办抽奖活动，规则 如下：在不透明的袋子中有 2 个红球和 2 个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸 到红球，则获得 1 份奖品，若摸到黑球，则没有奖品 （1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为_； （2）如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回)，求小芳获得 2 份奖品的概率 （请用“画树状图”或“列 表”等方法写出分析过程） 19 （8 分）如图，一次函数 yx3 的图象与反比例函数 yk x (k0)在第一象限的图象交于 A(1，a) 和 B 两点，与 x 轴交于点 C （1
7、）求反比例函数的解析式； （2）求AB BC的值 20 （8 分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 2 米的测角仪测得 古树顶端 H 的仰角HDE 为 45，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上，再向前走 6 米到达 B 处，又 测得教学楼顶端 G 的仰角GEF 为 60，点 A、B、C 三点在同一水平线上 （1）计算古树 BH 的高； G F E D C B A （2）计算教学楼 CG 的高 （结果保留根号） 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 中，OA8，OC6，点 D 是对角线 AC 的中点，过点 D 的直线分别
8、交 OA、BC 边于点 E、F （1）求证：四边形 EAFC 是平行四边形； （2）当 CECF 时，求 EF 的长； （3）在条件（2）的情况下，点 P 为 x 轴上一点，当以 E、F、P 为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出点 P 的坐标 22 （10 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bxc 经过点 A、B、C，已知 A（1，0） ，B（6，0） ， C（0，6） （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若点 D 为第四象限内抛物线上一动点，当BCD 面积最大时，求BCD 面积最大值； （3）在 x 轴上是否存在点 M，使OCMACO45，若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请
9、说明理 由 答案详解答案详解 1. 解析：解一元二次方程可得 x=0 或-2,选 C 2. 解析：圆锥的三视图分别是圆和三角形，故选 C 3. 解析：依概率公式可解答。故选 C 4. 解析：反比例函数位于第二、四象限时，2-k2，故选 D 5. 解析：依元二次方程增长率应用题公式解答，故选 B 6. 解析：选项 A:可能是筝形;选项 B:可能是筝形;选项 C:平行四边形对角线只平分;故选 D 7.解析：当位似中心是原点时，位似图形的对应点的对应坐标之比就是相似比，注意符号。故选 A D C B A o y x y xO B A D C E F 8. 解析：由题可得0 且 k-10,故选 D 9
10、.解析：中等难度题，菱形典型题型：含特殊角的菱形计算题型：盯特殊三角形. 连接 AC，由题易知ABC 是等边三角形，则 AB=BC=AC，找含有 CG、AH、与菱形边长联系最紧密的三角 形相似，不难找到BGH 与CAG，由外角定理可得BHG=AGC=60+HAG，B=ACG=60， 由BGHCAG，可得BG AC = BH CG，即 BC3 BC = BC7 3 ,解得 BC=9，故选 B 10. 解析：由开口方向可知 a0，由对称轴“左同右异”可知 b0 （1）则 abc0,正确； （2）图像与 x 轴有两个交点，则b2 4ac 0，错误； （3）对称轴y = b 2a 1可得 b 2a 2
11、a，错误； （4） 原式可变形为(a + c)2 b2 0， 即(a+b+c)(a-b+c)0； 由图可知当x=1时a+b+c0, (a+b+c)(a-b+c)0, -a 0, 2c0,2(a-b+c)-a+2c0，正确 综上所述，正确结论是，选 C 11. 解析：由相似的“A 字模型”可得：BE AB = DC AC，得 DC=5m 12. 解析：依平移规律可得y = 2(x + 1)2+5-2=y = 2(x + 1)2+ 3 13. 解析：定义新运算题型。分步算：233352-1，-15355（-1）20 14. 解析：有三角函数，必构造 Rt,故作 CDx 轴于点 D，由 OC=OA=
12、5, tanCOA3 4易得 OD=4,CD=3，则 C（4，3）,则 k=12 15.解析：数学典型题型：折叠问题. （一）代数方法（解方程） ：折叠性质+方程思路+勾股定理或相似. 由折叠性质及方程思路可表示出如图各边，在 RtBCF 中，由勾股定理得：32+ (3a)2= (6 + 9 + 3a2)2. 方程看似复杂，其实很好解，过程如下： 去平方得：9+9a2=36+129 + 3a2+9+3a2，化简得29 + 3a2=a2 6 两边平方得：36+12a2=a4 12a2+ 36,得a2=24，得 a=26，则 BC=6 6 （二）几何方法（相似）题目条件中出现“AE1 3AD”,即
13、 AE:AD=1:3,相似典型题型： “线段比问题” ，构 造三角形相似，利用相似性质解题. D 作 ENBC 于点 N，交 BF 于点 M，由 MN/CF 可得BM BF = MN FC = BN BC = AE AD = 1 3,CF=3,MN=1，由 BN=AE=EG， BMN=EMG,BNM=EGM 可得BNMEGM，则 MG=MN=1，则 BM=BG-MG=AB-MG=6-1=5，由BM BF = 1 3可得 FB=15，在 RtBCF 中由勾股定理可得 BC=6 6. 16. 解析：原式=2-21+4 3 2 -22 3=-23 17. 解析：原式= (a2)(a3) (a3)(a
14、3) (a+3)(a3) a2 = a + 3,a3,a2,当 a=4 时，原式=7；或当 a=5 时原式=8 18. 解析： （1）由概率公式可解答：小芳获得奖品的概率为1 2 （2） ）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为 2，所以两次摸到红球的概率1 6 19. 解析： （1）将 A 点坐标代入一次函数中可得 a=2，则 k=12=2,反比例函数解析式为 y=2 x （2）联立方程 y = 2 x yx3 ，可得 B 点坐标为（2，1）.由一次函数可得 C 点坐标为（3，0） ， 由两点间的距离公式可得 AB= 2,BC=2, AB BC = 1 20.
15、 解析： （1）由题可知 AD=BE=2 米，DE=6 米，EDH 是等腰直角三角形，则 EH=DE=6 米，BH=8 米； （2）设 GF=x 米，在 RtEFG 中，由 tan60= x EF可得 EF= 3 3 x，由 EH/CG 可得DE DF = EH GF，即 6 6+ 3 3 x = 6 x，解得： x=9+33,CG=9+33+2=11+3 3 9+3a2 9+4a2 a 3a 2a a 6 6 3 3 G F E D C B A N M G F E D C B A 21.解析： （1）CDFADE（ASA）可得 DE=DF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形 EA
16、FC 是平行四边形。 （2）当 CE=CF 时，平行四边形 EAFC 是菱形。设 OE=a，则 AE=CE=8-a，在 RtOCE 中，由勾股定理可得 62+ a2= (8 a)2，解得 a=7 4,则 AE=CF=8- 7 4= 25 4 ，可得 E(7 4,0),F( 25 4 ,6)，由两点之间的公式可得 EF=15 2 （3）初二的“两圆一线”即可求解 当 EF=EP=15 2 时， （以点 E 为圆心，EF 为半径画圆，交 x 轴于点P1、P2）则 OP1=EP1-OE=15 2 -7 4= 23 4 , OP2=EP2+OE=15 2 +7 4= 37 4 ,P1( 23 4 ,0
17、)、P2(37 4 ,0) 当 FE=FP 时， （以点 F 为圆心，EF 为半径画圆，交 x 轴于点P3）作 FMx 轴于点 M，则 EM=MP3=4,则 OP3=OE+EP3=7 4+8= 39 4 , P3(39 4 ,0) 当 PE=PF 时，四边形 AECF 是菱形，AE=AF，则 P 与 A 重合，P4(8,0) 综上所述，P 的坐标为P1( 23 4 ,0)、P2(37 4 ,0)、(39 4 ,0)或（8，0） 22.解析： （1）设交点式，代入点 B 坐标即可得抛物线解析式：y = x2 5x 6 （2） “铅垂法”+配方法解题。 如图 1 作 DE/y 轴交 BC 于点 E
18、，设 D(a, a2 5a 6)，由 B,C 可得直线 BC 的解析式为 y=x-6，则 E （a,a-6） ，则 DE=a-6-(a2 5a 6)= a2+ 6a, 则SBCD= 1 2OB DE = 1 2 6( a2+ 6a) = 3a2+ 18a = 3(a 3)2+ +27，当 a=3 时，SBCD有最 大值，最大值为 27. （3）二次函数典型题型：点角存在性问题。先把角的和差问题转化成一个角的问题，再按点角存在性问 题的典型思路解题。 由 B,C 两点坐标可知，OCB=45, P1P2 P3 当点 M 在 y 轴右侧时，OCMACO45，OCM+BCM=45,ACO=BCM，则
19、tanACO=tan BCM=OA OC = 1 6，作 BFBC 交 CM 于点 F，过 B 作 GPx 轴，作 FGGP 于点 G，作 CPGP 于点 P，则由“一 线三垂直模型” 易得FGBBPC， 则FG BP = GB CP = FB BC = tanBCM = 1 6,CP=BP=6， FG=GB=1,F(5,1), 直线 CF 的表达式为 y=7 5x 6,M( 30 7 ，0) 作 M 关于点 O 的对称点 M，连接 CM，则OCM=OCM，由OCMACO45可得OCMACO 45，点 M符合题目要求，则 M( 30 7 ，0) 综上所述，点 M 的坐标为(30 7 ，0)或(-30 7 ，0) 图1 D C B A o y x E M GF 图2 D C B A o y x P