1、2020-2021 学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的要求的.） 1下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A赵爽弦图 B笛卡尔心形线 C科克曲线 D斐波那契螺旋线 2要使分式有意义，x 应满足的条件是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 3下列运算正确的是（ ） Aa4a2a8 Ba6a2a3 C
2、（2ab2）24a2b D （a3）2a5 4如果把中的 x 和 y 都扩大到 5 倍，那么分式的值（ ） A扩大 5 倍 B不变 C缩小 5 倍 D扩大 4 倍 5长度为 2cm、3cm、4cm、5cm 的 4 条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角 形共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6如果将一副三角板按如图方式叠放，那么1 等于（ ） A120 B105 C60 D45 7若 2x+m 与 x+3 的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为（ ） A6 B0 C2 D3 8如图，已知ACB60，PC12，点 M，N 在边 CB 上，PMPN若 MN
3、3，则 CM 的长为（ ） A3 B3.5 C4 D4.5 9如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长为 2，G，H 分别是 AF 和 CD 的中点，P 是 GH 上的动点，连接 AP，BP，则 AP+BP 的值最小时，BP 与 HG 的夹角（锐角）度数为（ ） A30 B45 C60 D75 10如图，在AOB 和COD 中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD36连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM下列结论： AMB36， ACBD， OM 平分AOD， MO 平分AMD 其中正确的结论个数有 （ ） 个 A4 B3 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题
4、，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 18 分）分） 11点 P（3，4）关于 y 轴对称点的坐标是 12若 x2+mx+9 是一个完全平方式，则 m 的值是 13若一个多边形的内角和是其外角和的 1.5 倍，则这个多边形的边数是 14如图，在ABC 中，BD 平分ABC，与 AC 交于点 D，DEAB 于点 E，若 BC5，BCD 的面积为 5，则 ED 的长为 15关于 x 的分式方程+1 有增根，则 m 的值为 16如图，在ABC 中，AF 平分BAC，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，B60，FAE21，则 C 度 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 题，共题，共 72
5、 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （4 分）计算： （x+1） （x1）（x+2）2 18 （4 分）分解因式：a2（ab）+25（ba） 19 （6 分）计算： （1）； （2） （+a） 20 （6 分）解方程：1 21 （8 分）已知：如图，锐角ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O，且 OBOC （1）求证：BECD； （2）判断点 O 是否在BAC 的角平分线上，并说明理由 22 （10 分）如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1） 、B（4，2） 、C（3，5） （1）若ABC与ABC 关于 x 轴成轴对称
6、，作出ABC； （2）若 P 为 y 轴上一点，使得APC 周长最小，在图中作出点 P，并写出 P 点的坐标为 ； （3）计算ABC 的面积 23 （10 分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的 2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本 （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且用于购买甲、乙两种图书 的总经费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？ 24 （12 分）已知ABC 中，ACBC，点 D 是边 AB 上一点
7、，点 P 为 BC 边上一点 （1）如图 1，若ACB90，连接 CD，以 CD 为一边作等腰直角DCE，DCE90，连接 BE， 求证：BEAD （2）如图 2，若ACB90，以 PD 为一边作等腰直角PDE，DPE90，连接 BE，求EBD 的 度数 （3）如图 3，若把（1）中的条件改为：ACB60，以 PD 为一边作等边PDE，连接 BE求EBD 的度数 25 （12 分）如图，ABC 为等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 所在直线上的动点，若点 D、E 以相 同的速度，同时从点 A、点 B 出发，分别延 AB、BC 方向运动，直线 AE、CD 交于点 O （1）如图 1，求
8、证：ABECAD； （2）在点 D、点 E 运动过程中，COE ； （3）如图 2，点 P 为边 AC 中点，连接 BO，PO，当点 D、E 分别在线段 AB、BC 上运动时，判断 BO 与 PO 的数量关系，并证明你的结论 2020-2021 学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的要求的.） 1下面的图形
9、是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A赵爽弦图 B笛卡尔心形线 C科克曲线 D斐波那契螺旋线 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图 形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选
10、：C 2要使分式有意义，x 应满足的条件是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【分析】直接利用分式有意义的条件，即分母不等于 0，进而得出答案 【解答】解：要使分式有意义，x 应满足的条件是：x30， 解得：x3 故选：D 3下列运算正确的是（ ） Aa4a2a8 Ba6a2a3 C （2ab2）24a2b D （a3）2a5 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法 则逐一判断即可 【解答】解：Aa4a2a6，故本选项不合题意； Ba6a2a4，故本选项不合题意； C （2ab2）24a2b2，正确； D （a3）2a6，故本选项不合题意
11、； 故选：C 4如果把中的 x 和 y 都扩大到 5 倍，那么分式的值（ ） A扩大 5 倍 B不变 C缩小 5 倍 D扩大 4 倍 【分析】把中的 x 和 y 都扩大到 5 倍，就是用 5x 代替 x，用 5y 代替 y，代入后看所得到的式子与 原式有什么关系 【解答】解：， 即分式的值不变 故选：B 5长度为 2cm、3cm、4cm、5cm 的 4 条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角 形共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，进行判断 【解答】解：2cm，3cm，4cm 可以构成三角形； 2cm，4
12、cm，5cm 可以构成三角形； 3cm，4cm，5cm 可以构成三角形； 所以可以构成 3 个不同的三角形 故选：C 6如果将一副三角板按如图方式叠放，那么1 等于（ ） A120 B105 C60 D45 【分析】先求出2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 【解答】解：如图，2904545， 由三角形的外角性质得，12+60， 45+60， 105 故选：B 7若 2x+m 与 x+3 的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为（ ） A6 B0 C2 D3 【分析】首先根据多项式乘多项式的方法，求出 2x+m 与 x+3 的乘积；然后根据 2x+m 与 x
13、+3 的乘积中不 含 x 的一次项，可得：x 的一次项的系数等于 0，据此求出 m 的值为多少即可 【解答】解： （2x+m） （x+3）2x2+（m+6）x+3m， 2x+m 与 x+3 的乘积中不含 x 的一次项， m+60， 解得：m6 故选：A 8如图，已知ACB60，PC12，点 M，N 在边 CB 上，PMPN若 MN3，则 CM 的长为（ ） A3 B3.5 C4 D4.5 【分析】首先过点 P 作 PDCB 于点 D，利用直角三角形中 30所对边等于斜边的一半得出 CD 的长， 再利用等腰三角形的性质求出 CM 的长 【解答】解：过点 P 作 PDCB 于点 D， ACB60，
14、PDCB，PC12， DC6， PMPN，MN3，PDOB， MDND1.5， CM61.54.5 故选：D 9如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长为 2，G，H 分别是 AF 和 CD 的中点，P 是 GH 上的动点，连接 AP，BP，则 AP+BP 的值最小时，BP 与 HG 的夹角（锐角）度数为（ ） A30 B45 C60 D75 【分析】如图，连接 PF，BF，BF 交 GH 于点 P，连接 AP首先证明当点 P 与点 P重合时，PA+PB 的值最小，利用等腰三角形的性质求出AFB30即可解决问题 【解答】解：如图，连接 PF，BF，BF 交 GH 于点 P，连接 AP 正六边形
15、 ABCDEF 中，G，H 分别是 AF 和 CD 的中点， GH 是正六边形的对称轴， PAPF， PA+PBPB+PF， PB+PFBF， 当点 P 与点 P重合时，PA+PB 的值最小， BAF120，ABAF， ABFAFB30， FGP90， FPG60， 故选：C 10如图，在AOB 和COD 中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD36连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM下列结论： AMB36， ACBD， OM 平分AOD， MO 平分AMD 其中正确的结论个数有 （ ） 个 A4 B3 C2 D1 【分析】由 SAS 证明AOCBOD 得出OCAODB，ACBD，正
16、确； 由全等三角形的性质得出OACOBD，由三角形的外角性质得：AMB+OBDOAC+AOB， 得出AMBAOB36，正确； 作 OGAM 于 G，OHDM 于 H，如图所示：则OGAOHB90，利用全等三角形对应边上的 高相等，得出 OGOH，由角平分线的判定方法得出 MO 平分AMD，正确； 假设 MO 平分AOD，则DOMAOM，由全等三角形的判定定理可得AMODMO，得 AO OD，而 OCOD，所以 OAOC，而 OAOC，故错误；即可得出结论 【解答】解：AOBCOD36， AOB+BOCCOD+BOC， 即AOCBOD， 在AOC 和BOD 中， AOCBOD（SAS） ， OC
17、AODB，ACBD，故正确； OACOBD， 由三角形的外角性质得： AMB+OBDOAC+AOB， AMBAOB36，故正确； 作 OGAM 于 G，OHDM 于 H，如图所示， 则OGAOHB90， AOCBOD， OGOH， MO 平分AMD，故正确； 假设 MO 平分AOD，则DOMAOM， 在AMO 与DMO 中， ， AMODMO（ASA） ， AOOD， OCOD， OAOC， 而 OAOC，故错误； 正确的个数有 3 个； 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 18 分）分） 11点 P（3，4）关于 y 轴对称点的
18、坐标是 （3，4） 【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于 y 轴对 称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 【解答】解：首先可知点 P（3，4） ，再由平面直角坐标系中关于 y 轴对称的点的坐标特点：横坐标 相反数，纵坐标不变，可得：点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是（3，4） 12若 x2+mx+9 是一个完全平方式，则 m 的值是 6 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 m 的值 【解答】解：x2+mx+9 是一个完全平方式， m6， 故答案为：6 13若一个多边形的内角和是其外角和的 1.5 倍，则这个多边形的边数是 5 【分
19、析】根据多边形的内角和与外角和即可求出答案 【解答】解：设该多边形的边数为 n， 由题意可知： （n2） 1801.5360 解得：n5 故答案为：5 14如图，在ABC 中，BD 平分ABC，与 AC 交于点 D，DEAB 于点 E，若 BC5，BCD 的面积为 5，则 ED 的长为 2 【分析】过 D 点作 DFBC 于 F，如图，利用三角形面积公式得到 DF2，然后根据角平分线的性质得 到 DEDF 【解答】解：过 D 点作 DFBC 于 F，如图， BCD 的面积为 5， DFBC5， 而 BC5， DF2， BD 平分ABC，DEAB，DFBC， DEDF2 故答案为 2 15关于
20、x 的分式方程+1 有增根，则 m 的值为 3 【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为 0，确定出 m 的值即可 【解答】解：分式方程去分母得：m+3x2， 由分式方程有增根，得到 x20，即 x2， 把 x2 代入整式方程得：m+30， 解得：m3 故答案为：3 16如图，在ABC 中，AF 平分BAC，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，B60，FAE21，则 C 26 度 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 EAEC，得到EACC，根据角平分线的定义、三角形内 角和定理列出方程，解方程得到答案 【解答】解：设Cx， DE 是线段 AC 的垂直平分线， EAEC， EACCx， F
21、ACx+21， AF 平分BAC， BAFFACx+21， x+x+21+x+21+60180， 解得，x26，即Cx26， 故答案为：26 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 题，共题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （4 分）计算： （x+1） （x1）（x+2）2 【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再把所得的结果合并即可 【解答】解： （x+1） （x1）（x+2）2 x21x24x4 4x5 18 （4 分）分解因式：a2（ab）+25（ba） 【分析】首先变形原式，再提取公因式 ab，利用
22、平方差公式因式分解，即可得出答案 【解答】解：a2（ab）+25（ba） a2（ab）25（ab） （ab） （a252） （ab） （a+5） （a5） 19 （6 分）计算： （1）； （2） （+a） 【分析】 （1）原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可求出值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结 果 【解答】解： （1）原式+ ； （2）原式 20 （6 分）解方程：1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：去分母得：x（x+2）2（x1）（x1）
23、 （x+2） ， 去括号得：x2+2x2x+2x2+x2， 解得：x4， 经检验 x4 是分式方程的解 21 （8 分）已知：如图，锐角ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O，且 OBOC （1）求证：BECD； （2）判断点 O 是否在BAC 的角平分线上，并说明理由 【分析】 （1）由“AAS”可证BOECOD，可得结论； （2）由“SSS”可证AOBAOC，可得BAOCAO，可得结论 【解答】证明： （1）BDAC，CEAB， BDCBEC90， 在BOE 和COD 中， ， BOECOD（AAS） ， BECD； （2）点 O 在BAC 的角平分线上 理由：连接 AO， OBOC，
24、 OBCOCB， 又BECCDB90， ABCACB， ABAC， 在AOB 和AOC 中， ， AOBAOC（SSS） BAOCAO， 点 O 在BAC 的角平分线上 22 （10 分）如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1） 、B（4，2） 、C（3，5） （1）若ABC与ABC 关于 x 轴成轴对称，作出ABC； （2）若 P 为 y 轴上一点，使得APC 周长最小，在图中作出点 P，并写出 P 点的坐标为 （0，2） ； （3）计算ABC 的面积 【分析】 （1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到ABC； （2）作点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 AC，交 y 轴于点 P
25、，则可解答； （3）依据割补法进行计算，即可得到ABC 的面积 【解答】解： （1）如图所示，ABC即为所求： （2）点 P 即为所求，P（0，2） ； 故答案为： （0，2） ； （3）ABC 的面积为： 23 （10 分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的 2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本 （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且用于购买甲、乙两种图书 的总经费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？ 【分
26、析】 （1）利用用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本得出等式求出答案； （2）根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案 【解答】解： （1）设乙图书每本价格为 x 元，则甲图书每本价格是 2.5x 元， 根据题意可得：24， 解得：x20， 经检验得：x20 是原方程的根， 则 2.5x50， 答：乙图书每本价格为 20 元，则甲图书每本价格是 50 元； （2）设购买甲图书本数为 a，则购买乙图书的本数为：2a+8， 故 50a+20（2a+8）1060， 解得：a10， 故 2a+828， 答：该图书馆最多可以购买 28 本乙图书
27、24 （12 分）已知ABC 中，ACBC，点 D 是边 AB 上一点，点 P 为 BC 边上一点 （1）如图 1，若ACB90，连接 CD，以 CD 为一边作等腰直角DCE，DCE90，连接 BE， 求证：BEAD （2）如图 2，若ACB90，以 PD 为一边作等腰直角PDE，DPE90，连接 BE，求EBD 的 度数 （3）如图 3，若把（1）中的条件改为：ACB60，以 PD 为一边作等边PDE，连接 BE求EBD 的度数 【分析】 （1）先判断出ACDBCE，进而判断出ACDCBE，即可得出结论； （2） 过点 P 作 PFAC 交 AB 于 F， 同 （1） 的方法判断出DPFEP
28、B， 对称EBPDFP45， 即可得出结论； （3） 过点 P 作 PGAC 交 AB 于 G， 同 （1） 的方法判断出DPGEPB， 对称EBPDFP60， 即可得出结论 【解答】解： （1）ACBDCE90， ACBBCDDCEBCD， ACDBCE， ACBC，CDCE， ACDBCE（SAS） ， BEAD； （2）如图 2， 在 RtABC 中，ACB90，ACBC， ABCA45， 过点 P 作 PFAC 交 AB 于 F， BFPA45，BPFACB90， PBF45， PFPB， DPE90BPF， BPFBPDDPEBPD， DPFEPB， DPEP， DPFEPB（SAS
29、） ， EBPDFP45， EBDEBP+ABC90； （3）如图 3， 在 RtABC 中，ACB60，ACBC， ABCA60， 过点 P 作 PGAC 交 AB 于 G， BGPA45，BPGACB60， PBG45， PGPB， DPE90BPG， BPGBPDDPEBPD， DPGEPB， DPEP， DPGEPB（SAS） ， EBPDGP45， EBDEBP+ABC120 25 （12 分）如图，ABC 为等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 所在直线上的动点，若点 D、E 以相 同的速度，同时从点 A、点 B 出发，分别延 AB、BC 方向运动，直线 AE、CD 交于点
30、 O （1）如图 1，求证：ABECAD； （2）在点 D、点 E 运动过程中，COE 60 ； （3）如图 2，点 P 为边 AC 中点，连接 BO，PO，当点 D、E 分别在线段 AB、BC 上运动时，判断 BO 与 PO 的数量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）由 SAS 证明ABECAD 即可； （2）先由全等三角形的性质得BAEACD，再由三角形的外角性质即可得出答案； （3）延长 OP 到 F，使 PFOP，连接 CF，以 OC 为边作等边COG，连接 BG，先证APOCPF （SAS） ， 得 AOCF， AOPF， 则 CFAO， 再证ACOBCG （SAS） ， 得BGC
31、AOC120， AOBG，然后证FCOBGO（SAS） ，得 BOOF，进而得出结论 【解答】 （1）证明：ABC 为等边三角形， ABCA，ABECAD60， 点 D、E 以相同的速度，同时从点 A、点 B 出发，分别延 AB、BC 方向运动， BEAD， 在ABE 和CAD 中， ， ABECAD（SAS） ； （2）解：ABC 为等边三角形， BAC60， ABECAD， BAEACD， COE 是ACO 的外角， COEACD+EACBAE+EACBAC60， 故答案为 60； （3）解：BO 与 PO 的数量关系为 BO2PO，理由如下： 延长 OP 到 F，使 PFOP，连接 CF
32、，以 OC 为边作等边COG，连接 BG，如图 2 所示： COE60， O、E、G 三点共线， 点 P 为边 AC 中点， APCP， 在APO 和CPF 中， ， APOCPF（SAS） ， AOCF，AOPF， CFAO， FCOCOE60， COG 是等边三角形， COOGCG，COGGCOCGO60， AOC18060120， ACBOCG60， ACOBCG， 在ACO 和BCG 中， ， ACOBCG（SAS） ， BGCAOC120，AOBG， CFBG，BGOBGCCGO1206060， FCOBGO， 在FCO 和BGO 中， ， FCOBGO（SAS） ， BOOF， PFOP， BO2PO