1、赤峰市高三模拟考试赤峰市高三模拟考试理科数学理科数学试题试题 2021.1 本试卷共本试卷共 23 题，共题，共 150 分，共分，共 8 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1若复数z满足(1)2i zi，i是虚数单位，则z z（ ） A2 B2 C 1 2 D 2 2 2已知集合 (2)(5)0Ax xx，31,Bx xkkZ，则AB（ ） A
2、1,2 B 1,2,5 C 4, 1 D 5, 4,2 3设等差数列 n a的前n项和为 n S，则“ 12 0S， 13 0S”是“ n S的最大值为 6 S”的（ ） A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4已知, a bR，且0ab，则下列结论正确的是（ ） A 11 ab Bsinsinab C22 ab D 22 lnlnba 5下图是某统计部门网站发布的某市 202 年国民经济和社会发展统计公报中居民消费价格指数（CPI） 月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计 周期之比） 2020 年居
3、民消费价格月度涨跌幅度 下列说法错误的是（ ） 2020年6月 CPI 环比下降0.1%，同比上涨2.0% 2020年6月 CPI 环比上升0.1%，同比无变化 2020年3月 CPI 环比下降1.1%，同比上涨0.2% 2020年3月 CPI 环比下降0.2%，同比上涨1.7% A B C D 6设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，离心率为2，若经过F和(0,2)M两点的直线垂直 于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为（ ） A 22 1 22 xy B 22 1 44 xy C 22 1 24 xy D 22 1 42 xy 7一只昆虫在边长为6的等边三角
4、形区域内随机爬行，则其到三角形任意一个顶点的距离不小于1的概率 为（ ） A 3 27 B 3 54 C 543 27 D 543 54 8设数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 1a ， 1 2n nn aa ，则 2020 S（ ） A 2020 21 B 1010 323 C 1010 3 21 D 1010 322 9已知函数( )sin()f xx，具有以下性质： （1）对任意的xR，都有 12 ( )f xf xf x，且 12 xx的最小值为 2 ； （2） 6 fx 为奇函数； （3）任取 12 ,0, 4 x x ，当 12 xx时，都有 11222112 x f x
5、x f xx f xx f x 同时满足上述性质的一个函数可以是（ ） A 4 sin 2 3 yx Bsin 2 3 yx C 2 sin 2 3 yx Dsin 2 6 yx 10 设函数( )f x满足对x R， 都有(1)(3)fxfx， 且在(2,)上单调递增，(4)0f， 2 ( )g xx， 则函数(2) ( )yf xg x的大致图象是（ ） A B C D 11 （chuhong） ，中国古代算术中的一种几何形体， 九章算术中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无 广刍，草也甍，屋盖也 ”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思 为茅草屋顶” ，如图为
6、一“刍甍”的五面体，其中ABCD为矩形，ADE和BCF都是等腰三角形， 2AEEDBFCFAD，EF/AB，若3ABEF，且2ADEF，则异面直线AE与CF所成 角的大小为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 12已知函数( )22sin x m f xex 在 3 0, 4 上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ） A 3 , 44 B 3 , 44 C, 4 2 D, 24 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13边长为1的等边ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则AB EB 14 已知椭圆C的两个焦点分
7、别为 1( 2,0) F ， 2(2,0) F， 离心率为 1 e 2 ， 点P在椭圆C上， 且 12 30FPF， 则 12 FPF的面积为 15如图是为了提高小朋友智力的游戏画板，现提供5种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域 只涂一种颜色，相邻区域不同色，则使B、E区域同色的涂法有 种 16在如图棱长为2的正方体中，点M、N在棱AB、BC上，且1AMBN，P在棱 1 AA上，为 过M、N、P三点的平面，则下列说法正确的是 存在无数个点P，使面与正方体的截面为五边形； 当 1 1AP 时，面与正方体的截面面积为3 3； 只有一个点P，使面与正方体的截面为四边形； 当面交棱 1 CC
8、于点H，则PM、HN、 1 BB三条直线交于一点 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 2223 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17 锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且满足 222 sinsinsinsinsinABCBC （1）求角A； （2）求coscoscosABC的取值范围 18 如图， 四棱锥EABCD中， 底面ABCD为直角
9、梯形， 其中ABBC，CD/AB， 面ABE 面ABCD， 且224ABAEBEBCCD，点M在棱AE上 （1）证明：当2MAEM时，直线CE/平面BDM； （2）当AE 平面MBC时，求二面角EBDM的余弦值 19疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动 结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别 是30，33，35，38，38；而产生的10个高分成绩分别是90，91，91，92，92，93，95，98，100， 100 （1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若
10、该校学生的测试得分近似满足 正态分布 2 ,N （和 2 分别为样本平均数和方差） ，则认为防控有效，否则视为效果不佳经过计算 得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由 （参考数据：21014.5） 规定：若(22 )0.9544PX，(33 )0.9974PX，则称变量X“近似满 足正态分布 2 ,N 的概率分布” （2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于 94分的同学只有一次抽奖机会， 不低于94分的同学有两次抽奖机会 每次抽奖获得50元奖金的概率是 3 4 ， 获得100元的概率是 1 4 现在从这10个高分学
11、生中随机选一名，记其获奖金额为Y，求Y的分布列和数学 期望 20已知函数 2 1 ( )ln 2 x f xxx （1）求( )f x的单调区间； （2） 设 * ln 1,1,2, k k ankn n N， 在 （1） 的条件下， 求证：1 23 21 4 n n aaaa * nN 21已知点M是圆 222 :(2)(2)Cxyr r与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦MN，并使弦 MN的中点恰好落在y轴上 （1）求点N的轨迹方程； （2）设点N的轨迹为曲线E，延长NO交直线2x 于点A，延长NC交曲线E于点B，曲线E在点B 处的切线交y轴于点D，求证：ADBD （二二）选考题：共选考题
12、：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题计分做答时，用第一题计分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 1 2 1 2 xt yt （t为参数） ，以O为极点，x轴的正半轴 为极轴，建立坐标系，曲线C极坐标方程为2 cos (0)aa，且曲线C与直线l有且只有一个交点 （1）求a； （2）过点O且倾斜角为的直线交直线l于点A，交曲线C异于原点的一点B，, 4
13、 3 ，求 | | OB OA 的取值范围 23选修 4-5：不等式选讲 设函数( ) |1|f xx （1）求(2 )(1)fxf x的最小值m； （2）在（1）的件下，证明 22 1 cossin 2 ffm 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B D D A D B B A C A 二、填空题二、填空题 13 5 8 1424 12 3 15180 16 三、解答题三、解答题 17解： （1）由题设及正弦定理得 222 abcbc 由余弦定理得， 222 1 cos 22 bca A bc 0, 2 A ， 3
14、 A （2） 2 coscoscoscoscoscos 33 ABCBB 122 coscoscossinsin 233 BBB 1311 sincossin 22226 BBB ABC为锐角三角形，0 2 B ，0 2 C 2 32 CB ， 62 B ， 2 363 B 3 sin1 26 B ， 1313 sin 2262 B coscoscosABC的取值范围为 13 3 , 22 18 （1）证明：连结BD与AC交于点N，连结MN，AB/CD，24ABCD CNDANB， 1 2 CDCN ABAN 1 2 EM MA ， EMCN MAAN ，MN/EC 又MN 面BDM，CE 面
15、BDM，CE/平面BDM （2）解：AE 平面MBC，AEBM，M是AE的中点，取AB的中点为O， OE平面ABCD 以OD，OA，OE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则 (0, 2,0)B，(0,0,2 3)E，(2,0,0)D，(0,2,0)A，(0,1, 3)M 设平面EBD的法向量为 1111 ,nx y z，则 11 1 11 1 220 0 22 300 xy n BD yzn BE 令 1 1z ，则 1 3y ， 1 3x ， 1 ( 3,3,1)n 设平面BDM的法向量为 2222 ,nx y z，则 22 2 22 2 220 0 3300 xy nBD
16、 yznBM 令 2 3z ，则 2 1y ， 2 1x ， 1 (1, 1, 3)n 12 12 12 3333 105 cos, 3575 | n n n n nn 二面角EBDM的余弦值为 3 105 35 19解： （1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下： 21014.5，2652 14.536，2652 14.594， 3653 14.521.5 ，3653 14.5108.5 ， 得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个 7 (22 )10.9650.9544 200 PX ， 学生的得分都在30,100间，(33 )10.9974PX 学生得分近似满足正态分布(65,
17、210)N的概率分布， 因此该校的疫情防控是有效的 （2）设这名同学获得的奖金为Y，则Y的可能值为50，100，150，200 639 (50) 10420 P Y ， 2 61433 (100) 1041048 P Y ， 1 2 4313 (150) 104420 P YC， 2 411 (200) 10440 P Y 故Y的分布列为： Y 50 100 150 200 P 9 20 3 8 3 20 1 40 9331 ( )5010015020087.5 2082040 E Y 20 （1）解：函数( )f x的定义域为(0,) 由 2 1 ( )ln 2 x f xxx ，得( )l
18、n1fxxx 令 1 ( )ln1( )1g xxxg x x ( )0(1,)( )0(0,1)g xxg xx 即( )g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 故( )(1)0fxf ，于是( )f x单调递增区间为(0,)，无递减区 （2）证明：由（1）可知( )f x在(0,)上单调递增函数，又(1)0f， 当1x 时，( )0f x ， 11 ln 2 xx x 1 ln 11 2 k kknkk a nnnk 1 (1,2,) 2 kk kn nnk 123 1 1212 2111 n nn aaaa nnnnnn 1 1212 21 nn nn (1)(1) 121
19、 22 214 n nn n n nn 于是 * 123 21 4 n n aaaan N得证 21 （1）解法一：由题意知(2,0)C，(2,0)Mr 设( , )N x y是 222 :(2)(2)Cxyr r上的任意点， 弦MN的中点 2 , 22 rx y 恰好落在y轴上， 2 0 2 rx ，2rx ， 222 (2)(2)xyx 整理得 2 8yx，2r ，0 x ， 点N的轨迹方程为 2 8 (0)yx x 解法二：设( , )N x y，弦MN的中点为0, 2 y Q ，(,0)Mx， 由垂径定理得CQMN 2 02,(2 , )08 (0) 2 y CQ MNx yyx x
20、（2）证法一：设直线NB的方程为2xmy，则 由 2 8 2 yx xmy ，消去x，整理得 2 8160ymy， 2 64640m 设 11 ,N x y， 22 ,B x y，则 12 8yym， 12 16y y 1 1 ON y k x ，直线ON的方程为 1 1 y yx x 令2x，则 1 1 2y y x ， 1 1 2 2, y A x 设点B的处的切线方程为 22 yyk xx，与 2 8yx相切 由 22 2 8 yyk xx yx ，消去x，整理得 2 22 880kyyykx， 2 22 20k xky 2 2 2 2 22 2040 8 y kkyy k， 2 4 B
21、D k y 直线 22 2 4 :BD yyxx y ，令0 x，则 2 222 2 22 44xxy yy yy 222 22 484xxx yy ， 2 2 4 0, x D y 21212 21211 1 4228 24 AD xyxyy k yxyxy 12 11 324 4 y y yy 1212 4416 1 ADBD kk yyy y ，ADBD 证法二：设 000 ,0N x yx ，则直线ON的方程为 0 0 y yx x ， 0 0 2 2, y A x ， 设直线NB的方程为2xmy，则 由 2 8 2 yx xmy ，消去x，整理得 2 8160ymy， 2 64640
22、m 设 11 ,B x y，则 101 2 000 163216 16,y yyB yyy 由曲线 2 8yx，得 12 2 22 2 2 yxy xx 切线的斜率为 0 2 0 22 432 y k x y 切线方程为 0 2 00 1632 4 y yx yy ，则 0 8 0,D y 0 2 0000 2832 8 2, y AD BD xyyy 22 000000 641664641664 0 88 ADBD yxyxxx 22解： （1）直线l的普通方程为310 xy ， 曲线C的普通方程为 222 ()xaya 因为曲线C与直线l有且只有一个交点，所以直线l与曲线C相切， 所以圆心
23、( ,0)C a到直线l的距离为a到直线，所以 22 |30 1| 1(3) a a ，解得1a 或 1 3 a 解得（舍去） （2）直线l的极坐标方程为cos3 sin10 曲线C极坐标方程为2 cos (0)aa 则设点A的极坐标为 1, ，点B的极坐标为 2, ， 1 |OA， 2 |OB 1 1 3sincos ， 2 2cos 2 | ( 3sincos) 2cos23sincoscos | OB OA 31cos2 2sin23sin2cos212sin 21 226 , 4 3 ，2, 63 2 ， 2sin 21 31,1) 6 ， | 31,1) | OB OA 23 （1）解： 1 31, 2 1 (2 )(1) |21|1,0 2 1 3 ,0 xx fxf xxxxx x x 当 1 2 x 时，(2 )(1)fxf x的最小值为 1 2 m （2）证明： 22 1 cossin 2 ff 22 1 sinsin 2 22 1 sinsin 2 当 2 1 sin0 2 时，原式 222 111 sinsin2sin 222 当 2 1 sin 2 时，原式 22 11 sinsin 22 1 2 m ， 22 1 cossin 2 ffm 或用如下方法： 22 1 cossin 2 ff 2222 111 sinsinsinsin 222