1、张家界市 2020 年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 1 页（共 4 页） 张家界市张家界市 2020 年普通高中二年级上期末联考数学试题年普通高中二年级上期末联考数学试题 注意注意事项事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，考试内容为必修三与 选修 2-1，2-2 全部内容，共 4 页。考试时量 120 分钟，满分 150 分。 2答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡相应的位置。 3考生必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效。 第第 I I 卷卷 一一、单项、单项选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 4
2、0 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的只有一项是符合要求的 1双曲线 22 1 54 xy 的焦距为 A3 B4 C5 D6 2已知复数 3 12 i z i ，则z A1 B2 C3 D2 3设xR，则“1x ”是“ 1 1 x ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4张家界市为创建文明城市，试进行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可 回收垃圾和其他垃圾三类，分别记为, ,a b c设置了厨余垃圾箱、可回收垃圾箱和其 他垃圾箱，分别为, ,A B C为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类
3、垃圾箱中共计 500kg 生活垃圾，数据统计如下表，则估计生活垃圾投放错误的概率为 A B C a 200kg 10kg 40kg b 15kg 120kg 20kg c 15kg 50kg 30kg A 23 50 B 1 6 C 9 50 D 3 10 5体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A8 B12 C16 D 32 3 6曲线 4 2yxx在点(1,1)P处的切线方程为 A210 xy B20 xy C230 xy D10 xy 7 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F， 上顶点为A， 右顶点为B， 若FAB 为直角三角形，则椭圆C
4、的离心率为 A 2 2 B 31 2 C 51 2 D 3 2 8函数()lnfxxx与()ln x g xxexx的最小值分别为, a b，则 张家界市 2020 年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 2 页（共 4 页） Aab Bab Cab D, a b的大小不能确定 二、多项二、多项选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求多项符合题目要求全部选对得全部选对得 5 分分，部分选对得，部分选对得 3 分分，有错选的得，有错选的得 0 分分 9下列命题中，为真命题的是
5、 A 1 ,20 x xR B,xR 使 2 12xx C0,xy有2xyxy D,x yR使sin()sinsinxyxy 10某教师退休前后各类支出情况如下图，已知退休前工资收入为 8000元/月，退休后 每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则下面结论中正确的是 退休前各类支出占比 退休后各类支出占比 A该教师退休前每月储蓄支出 2400元 B该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3倍 C该教师退休工资收入为 6000元/月 D该教师退休后的其它支出比退休前的其它支出少 11过抛物线 2 4yx的焦点F作直线交抛物线于,A B两点，M为AB的中点，则 A以线段BM为直
6、径的圆与y轴相切 B当2AFFB时， 9 2 AB C以线段AB为直径的圆与直线 3 2 x 相离 DAB的最小值为3 12已知函数 3 ()sinf xxxax，则下列结论正确的是 A()f x是奇函数 B 当3a 时， 函数()f x恰有两个零点 C若()f x为增函数，则1a D当3a 时， 函数()f x恰有两个极值点 第第 II 卷卷 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分把答案填在答题卷中对应题号后把答案填在答题卷中对应题号后 的横线上的横线上. 13已知某产品的销售额y（万元）与广告费用x（万元）之间的关系如下表： x(单位：
7、万元) 0 1 2 3 4 y(单位：万元) 10 15 20 30 35 若销售额与广告费用之间的线性回归方程为axy5 . 6，预计当广告费用为 6 万 元时的销售额约为 （万元）. 14若抛物线 2 2(0)ypxp的焦点是椭圆 22 1 3 xy pp 的一个焦点，则p . 张家界市 2020 年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 3 页（共 4 页） 15在三棱锥OABC中，G是ABC的重心设,OAa OBb OCc，以,a b c为 基向量表示OG，则OG 16函数 ln( 2 ) () x fx x ，关于x的不等式()0fxk 只有两个整数解，则实数k的取 值范围是
8、. 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 在(1)4,(1)0f f ； (1) 0,f(0) 1 f ； ()f x在( 1,( 1)f处的 切线方程为84yx， 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解 已知函数 32 ()f xxaxbx，且 （1）求ba ,的值； （2）求函数)( xf的极小值 18（本小题满分 12 分） 某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克 25 元，成本为每千克 15 元，其销售宗 旨是当天进货当天销售，若当天未销售完，
9、未售出的全部降价以每千克 10 元处理 完据以往销售情况， 按0,100),100,200),200,300),300,400),400,500)进行分组， 得到如图所示的频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量的平均数x（同组数据用区间中点值代表）； （2） 该经销商某天购进了250千克蔬果， 假设当天的日需求量为x千克 （5000 x） ， 利润为y元 求y关于x的函数表达式； 根据频率分布直方图估计利润y不小于 1750 元的概率 19（本小题满分 12 分） 张家界市 2020 年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 4 页（共 4 页） 命题p： 曲线 22
10、31mxm y为双曲线， 命题q：0,2x ， 不等式0 x emx 恒成立. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若 pq为真，pq为假；求实数m的取值范围 20（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为直角梯形，,ABAD ADBC，侧 棱SA 平面ABCD，且2,1SAABBCAD，M为棱SB的中点 （1）求证：AM 平面SCD； （2）求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ， 直线6yx与圆 222 xyb 相切. （1）求椭圆C的方程；
11、 （2） 若直线l：ykxm与椭圆C交于, A B两点（, A B不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点，证明：直线l过定点，并求出该定点坐标 22（本小题满分 12 分） 已知函数()lnfxxax. （1）讨论()fx的单调性； （2）若函数()fx有两个零点 12 ,x x（ 12 xx） 求a的取值范围； 证明： 2 12 xxe 张家界市 2020 年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 5 页（共 4 页） 数学参考答案数学参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分共分共 4040 分分. . 题号 1 2
12、3 4 5 6 7 8 答案 D B A D B C C A 二、多项选择题：本题共小题，每小题二、多项选择题：本题共小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13. 48 14.8 15.cba 3 1 3 1 3 1 16.)2ln, 3 6ln 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. . 17解：(1) 方案一：方案一：选择 , 4) 1(f0) 1 ( f baxxxf23)( 2 2 分 由, 4) 1(f0
13、) 1 ( f 可得： 41 023 ba ba 3 分 解之得：1,2ba 5 分 方案二方案二：选择 0) 1 (f，1)0( f baxxxf23)( 2 2 分 由0) 1 (f，1)0( f 可得： 1 01 b ba 3 分 解之得：1,2ba 5 分 方案二方案二： 选择 )(xf在)1(, 1(f处的切线方程为y8x+4 baxxxf23)( 2 2 分 由)(xf在)1(, 1(f处的切线方程为y8x+4 得： 823 41 ba ba 3 分 解之得：1,2ba 5 分 (2)由(1)得: ,2)( 23 xxxxf, 143)( 2 xxxf 6 分 题号 9 10 11
14、 12 答案 AD ACD BC ACD 张家界市 2020 年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 6 页（共 4 页） 由0)( x f得： 3 1 1 x，1 2 x 7 分 1 , 3 1 x当时，0)( x f；0)(,), 1 (xfx时当 8 分 所以，0) 1 ()( min fxf 10 分 18解：(1) x500.001100+1500.002100+2500.003100+3500.0025 100+4500.0015100=265 故该蔬果日需求量的平均数为 265 千克.4 分 (2) 当日需求量低于 250 千克时， 利润5)250()1525(xxy=1
15、25015 x（元） 5 分 当日需求量不低于 250 千克时， 利润2500250)1525(y（元） 6 分 所以 500250,2500 2500 ,125015 x xx y 8 分 由1750y，解得500200 x 9 分 所以)1750(yP=)500200( xP=100003. 0+1000025. 0+ 1000015. 0=0.7 11 分 故根据频率分布直方图估计利润y不小于 1750 元的概率为0.7 12 分 19解：（1）p为真命题时，满足30, 0)3(mmm解得： 6 分 （2）2 , 0 x，0mxex恒成立，即 x e m x 恒成立 7 分 则令,)(
16、x e xf x 2 ) 1( )( x ex xf x ，可得 .,1 min emefxf故8 分 qp为真，qp 为假，qp,一真一假 9 分 当假真qp时，得3 me 10 分 . 0mqp，得真时假当 11 分 实数m的取值范围为0m或3me 12 分 20（1）证明：记SC的中点为Q，连DQMQ,，则BCMQ/且BCQ 2 1 M.2 分 DQAMMQDAADMQADMQ/.,/为平行四边形从而四边形且 又.,SCDDQSCDAM面面/AM平面SCD； 6 分 （2）以A为原点，分别以 AB，AD，AS 所在直线为轴轴轴zyx,，建立空间直 角坐标系. 7 分 2 , 0 , 0,
17、0 , 1 , 0,0 , 2 , 2,0 , 0 , 2SDCB则 2, 1 , 0,2, 2 , 2SDSC， 9 分 设面SCD的法向量为zyxn, 1 张家界市 2020 年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 7 页（共 4 页） 由.1 , 2 , 1 02 , 0222 1 n zy zyx 取 10 分 平面SAB的法向量为. , 0 , 1 , 0 2 n 11 分 记平面SCD与平面SAB所成锐二面角为， 则. 3 6 6 2 cos 21 21 nn nn 12 分 21（1）由已知得,3 2 6 b 又. 1, 2, 2 1 222 cacba a c 故所求椭
18、圆C的方程为. 1 34 22 yx 6 分 （2）. 00124843 , 1 34 222 22 ，得由mkmxxk mkxy yx 8 分 设. 43 124 , 43 8 ., 2 2 21 2 212211 k m xx k km xxyxByxA 则 9 分 由题意：, 022 2121 yyxx 代入化简得04167 22 kkmm 10 分 .2, 7 2 舍去kmkm 11 分 故.0 7 2 . 7 2 ，恒过定点的方程为直线kkxyl 12 分 22(1) xf的定义域为，0， , 1 a x xf 2 分 （）当0a时 0 x f， xf在，0上单调递增； 3 分 （）
19、当0a时，若, 1 , 0 a x 则 0 x f， xf在) 1 , 0( a 上单调递增； 若, 1 a x 则 0 x f， xf在区间 , 1 a 上单调递减 5 分 (2) 由（1）知，0a时， xf单调递增， xf至多一个零点，不合题意 6 分 当0a时， 若函数 xf有两个零点 21,x x（ 21 xx ） ， 由于yx，时0， yx，时，所以01 1 ln 1 aa f 得. 1 e a 张家界市 2020 年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 8 页（共 4 页） 故所求a的取值范围为; 1 0 e a 8 分 由题意：. lnln .ln,ln 12 12 2211 xx xx aaxxaxx 9 分 要证 2 21 exx，只要证. 2, 2lnln 2121 xxaxx即 只要证 2112 12 2lnln xxxx xx 即证 1 1 12 ln 1 2 x x t t t t其中 10 分 令 1 1 12 ln t t t ttg， 单调递增，在 , 10 1 1 2 2 tg tt t tg11 分 即01 gtg 1 1 12 ln 1 2 x x t t t t其中成 立 ， 故 原 不 等 式 2 21 exx成 立. 12分 注：如有其它解法，请酌情给分注：如有其它解法，请酌情给分. .