1、20202021 学年第一学期高三年级期末考试学年第一学期高三年级期末考试 数学试卷（理科）数学试卷（理科） （考试时间：上午（考试时间：上午 7:309:30） 说明：本试卷分第说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答题时间卷（非选择题）两部分答题时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分. 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相
2、应位置）项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置） 1. 已知全集 1,2,3,4,5U ，3,4,5A，1,2,5B ，则1,2 （ ） A. AB B. UA B C. U AB D. UU AB痧 【答案】B 2. 已知复数z满足(1 )2zii ，则复数z （ ） A. 1 i B. 1i C. 1i D. 1i 【答案】D 3. 已知 0.2 a， log 2b ，cos2c，则（ ） A. cba B. bca C. cab D. acb 【答案】A 4. 在边长为 4的正方形 ABCD 内部任取一点 P，则满足APB为钝角的概率为（ ） A. 4 B. 1 4 C. 8
3、 D. 1 8 【答案】C 5. 函数 2 ( )1 sin 1 x f xx e 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6. 一种药在病人血液中量保持 1500mg 以上才有疗效，而低于 500mg病人就有危险.现给某病人静脉注射 了这种药 2500mg，如果药在血液中以每小时 20%的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人 注射这种药的最长时间为（ ） （附：lg20.3010，lg30.4771，精确到 0.1h） A. 42 B. 2.3 C. 8.8 D. 7.2 【答案】B 7. 已知数列 n a中， 1 2a ， * ,N n mnm aaan m ，
4、 若 1234 480 kkkk aaaa ， 则k （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 8. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即在ABC中，角 A，B，C所对的边 分别为 a，b，c，则ABC的面积 2 222 2 1 () 22 abc Sab .根据此公式，若 cos(2 )cos0aBbcA ，且 222 4bca+-=，则ABC的面积为（ ） A. 6 B. 2 3 C. 3 D. 3 2 【答案】C 9. 函数 ( )2cos|cos2f xxx 在, x 上的单调增区间为（ ） A. , 3 和0, 3 B. ,0 3 和, 3 C.
5、 ,0 6 和, 6 D. , 6 和0 6 , 【答案】A 10. 意大利数学家列昂纳多 斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 233，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列 n a满足 12 1aa， * 21 N nnn aaan .若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列 n b， 则 n b的前2021项和为 （ ） A. 2014 B. 2022 C. 2265 D. 2274 【答案】D 11. 如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ） A. 该四面体外接球的体积为48 B. 该四面体内切球的体积为
6、2 3 C. 该四面体外接球的表面积为32 3 D. 该四面体内切球的表面积为2 【答案】D 12. 已知 1 x， 2 x， 3 x， 4 x是关于x方程 22 661xxt 四个不同实数根，且 1234 xxxx，则 4132 3 xxxx的取值范围是（ ） A. (6 2,4 6 B. 2 24 3,4 6 C. (6 2,2 24 3 D. (6 2,22 15 【答案】A 说眀：本卷包括必考题和选考题两部分，第说眀：本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题题第第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做题为必考题，每个试题考生都必须做 答答.第第 22 题题第第 23 题为选考题，考
7、生根据要求做答题为选考题，考生根据要求做答. 注意事项：注意事项： 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2.答卷前将弥封线内项目填写清楚答卷前将弥封线内项目填写清楚. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13. 5 (1 2 ) x展开式中 3 x的系数为_. 【答案】-80 14. 设实数 x，y 满足约束条件 0 2 360 xy xy xy ，则2zxy的最大值为_. 【答案】9 15. 已知ABC的重心为G， 过G点的直线与边AB和AC的交点分别为M和N， 若A M M B ， 且A
8、M N 与ABC的面积之比为 25 54 ，则实数_. 【答案】5 或 5 4 16. 已知函数 | ( )ln x a f xxex 在1,)上的最小值为 1，若对于任意2,1x ，不等式 2 1 cos 2 xax 0m恒成立，则实数m的最小值为_. 【答案】2cos2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17. 已知数列 n a的前 n 项和 2* N n Snn ， n b是递增等比数列，且 11 ba ， 35 ba. （1）求数列 n
9、 a和 n b的通项公式； （2）若 * N nnn cabn ，求数列 n c的前 n项和 n T. 【答案】 （1） * 21 n annN ， 1* 3n n bnN ； （2） * (1) 31 n n TnnN. 18. 已知ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C的对边， 222 0abcab， sin()sin2coscosABCAB. （1）求 A，B，C； （2）若2a，求ABC面积. 【答案】 （1）答案见解析； （2）答案见解析. 19. 2020年 1 月，我国各地出现了以武汉为中心的新冠肺炎疫情，在全国人民的共同努力下，3月疫情得到 初步控制.下表是某地疫情监控机构
10、从 3月 1 日到 3月 5日每天新增病例的统计数据. 日期x 1 2 3 4 5 新增病例人数 y 32 25 27 20 16 （1）若 3 月 4 日新增病例中有 12名男性，现要从这天新增病例中按性别分层抽取 5 人，再从所抽取的 5 人 中随机抽取 2人作流行病学分析，求这 2 人中至少有 1名女性的概率； （2）该疫情监控机构对 3月 1日和 5日这五天的 120 位新增病例的洽疗过程，进行了跟踪监测，其中病症 轻微的只经过一个疗程治愈出院，病症严重的最多经过三个疗程的治疗痊愈出院，统计整理出他们被洽愈 的疗程数及相应的人数如下表： 疗程数 1 2 3 相应的人数 60 40 20
11、 已知该地疫情未出现死亡病例，现用上述疗程数的频率作为相应事件的概率，该机构要从被治疔痊愈的病 例中随机抽取 2 位进行病毒学分析，记表示所抽取的 2位病例被治愈的疗程数之和，求的分布列及期 望. 【答案】 （1）0.7； （2）分布列见解析，10 3 . 20. 如图， 在三棱锥PABC中， 2PAPB ，5ACBCPC，2AB ， 点D，E分别为AB， PC的中点. （1）证明：平面PAB 平面ABC； （2）设点F在线段BC上，且BF FC ，若二面角CAEF的大小为 45 ，求实数的值. 【答案】 （1）证明见解析； （2）2. 21. 已知函数 2 ( )4(1)(0) x f xx
12、xaexa， ( )ln1(R)g xxmxmm. （1）讨论 f x的单调性； （2）若对于任意(0,1x，存在( 1,1)m 使得不等式( )( )g xf m成立，求实数 a的取值范围. 【答案】 （1）答案见解析； （2） 2 (,0)0, e . （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23两题中任选一题做答两题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分. 【选修【选修 4-4】坐标系与参数方程】坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1 C的参数方程为 2 2 1 2 1 xt t yt t （t为参数） ，以坐标原点O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为cos2 4 . （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设点 P是曲线 1 C与 2 C的公共点，求圆心在极轴上，且经过极点和点 P 的圆的极坐标方程. 【答案】 （1） 2 yx，20 xy； （2）答案见解析. 【选修【选修 4-5】不等式选讲】不等式选讲 23. 已知 a，b，c是三个不全相等的实数. （1）证明： 222 abcabbcca ； （2）若 222 1abc，证明：3abc . 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析