1、惠州市惠州市 2020-2021 学年度学年度高一高一第一学期期末质量检测数学试题第一学期期末质量检测数学试题 一、单选题： 1设集合 1 3 2 Axx ，集合(1)(2)0Bx xx，则AB（ ） A 1 2 2 xx B13xx C 1 1 2 xx |D12xx 2函数( )lg2f xxx的定义域为（ ） A0,2 B(0,2 C0,) D(,2 3已知是第二象限角， 5 cos 213 ，则tan（ ） A 5 12 B 5 13 C 5 12 D 12 5 4已知log(0,1) a yx aa的图象经过点(3,1)P，则 a yx的图象大致为（ ） A B C D 5已知 0.
2、2 3a ， 3 0.2b ， 0.2 log3c ，则a，b，c的大小关系是（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 6酒驾是严重危害交通安全的违法行为!为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml血液中酒精含量 达到20 79mg的驾驶员即为酒后驾车，达到80mg及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的 酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ ml，如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小 时 20%的速度减少，那么他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车 （参考数据：lg20.30，lg30.48） A3 B4 C5 D6 7已知( )sincos2f xxx，
3、( )3sing xxm ，若对任意的 xR，( )( )f xg x恒成立，则实数m 的最小值为（ ） A5 B5 C 9 4 D-1 8 已知函数 2(0) ( ) 1 ln(0) x x f x x x ，( )( )2ag xf xx 若( )g x有2个零点， 则实数a的取值范围是 （ ） A(, 1 B1,) C 1,) D0,) 二、多选题： 9已知0ab，0cd，则下列不等式成立的有（ ） Aacbd B ab dc C()() cd abab D a ba b cd 10下面选项中正确的有（ ） A命题“2x ， 2 4x ”的否定是“2x ， 2 4x ” B命题“xR ，
4、 2 10 xx ”的否定是“xR ， 2 10 xx ” C “1a ”是“ 1 1 a ”的充要条件 D设a，bR，则“0a”是“0ab”的必要不充分条件 11设函数( )cos2sin2f xxx，则下列选项正确的有（ ） A( )f x的最小正周期是 B( )f x满足 44 fxfx C( )f x在 , a b上单调递减，那么ba的最大值是 2 D( )yf x的图象可以由2cos2yx的图象向右平移 4 个单位得到 12已知函数 f x是定义在(,0)(0,)上的偶函数，当0 x时， 1 21,(02) ( ) 1 (2),(2) 2 x x f x f xx ， 以下说法正确的
5、有（ ） A当24x时， |3| 1 1 ( )2 2 x f x B 1 (21)() 2 n fnn N C存在 1 (21)() 2 n fnn N，使得 0 2f x D函数( )4 ( ) 1g xf x的零点个数为 10 三、填空题： 13计算 4 2 log 32 3 8lg 104 _ 14若正实数x，y满足21xy，则2xy的最大值为_ 15若扇形圆心角的弧度数是 2，且该扇形弧长是4cm，则这个扇形的面积为_ 2 cm 16某同学为研究函数 22 ( )11 (1) (01)f xxxx的性质，构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个
6、动点，设CPx，则( )APPFf x请你参考这 些信息，推知函数( )f x的图象的对称轴是_；函数 49g xf x的零点的个数是_ 四、解答题： 17如图，点A、B在单位圆O上，点A的坐标为 3 4 , 5 5 ，点B在第二象限，AOB为正三角形，点C 是单位圆与x轴正半轴的交点 （1）求sinCOA的值； （2）求cosCOB的值 18已知函数 2 ( )2 3sin cos2cos1f xxxx （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）用“五点法”画出( )f x在一个周期内的图象 19已知集合 2 4120Axxx，集合 2 39Bx mxm 现有三个条件：条件ABB，条件
7、 R BA，条件ABB 请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题： （1）若4m，求 RA B； （2）若_，求m的取值范围 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分 20已知函数 2 ( )1(0) 2x f xa a ，且 (0)0f （1）判断 f x的奇偶性，并证明你的结论； （2）若( ) 2x m f x 恒成立，求m的最大值 21汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路 状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从 而减轻疲劳，促进安全，节省燃料某汽车公
8、司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段 长度为240km的平坦高速路段进行测试经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v （单位：km/h）(0120)v的下列数据： v 0 40 60 80 120 F 0 20 3 65 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： 32 ( )F vavbvcv， 1 ( ) 2 v F va ，( )logaF vkvb （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少? 22对于函数 f x，若在其定义域内存在
9、实数 0 x，使得 00 1(1)f xf xf成立，则称 f x有“漂 移点” 0 x （1）判断函数 2 ( )2xf xx在0,1上是否有“漂移点” ，并说明理由； （2）若函数 2 ( )lg 1 a f x x 在(0,)上有“漂移点” ，求正实数a的取值范围 高一数学试题参考答案与评分细则高一数学试题参考答案与评分细则 一、单项选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A B A C B D 1 【解析】集合 1 3 2 Axx ， (1)(2)012Bx xxxx ， 13ABxx ，故选 B 2 【解析】 0 20 x x ，解得02x故选：B 3 【解析】
10、 5 cossin 213 ， 5 sin 13 ， 是第二象限角， 12 cos 13 ， 5 tan 12 选 A 4 【解析】因为logayx经过(3,1)P，所以log 31 a ，所以3a ， 所以幂函数为 3 yx，显然 3 yx为奇函数，排除 A、C： 又因为 3 yx在(1,)x时，增长趋势比yx快速，所以排除 D，故选：B 5 【解析】 0.2003 0.20.2 3310.20.20log1log3 ， abc ，故选：A 6 【解析】某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ ml， 则100ml血液中酒精含量达到60ml，在停止喝酒以后， 他血液中
11、酒精含量会以每小时 20%的速度减少， 他至少要经过 1 小时后才可以驾驶机动车则60(1 20%)20 t ， 1 0.8 3 t ， 0.84 5 1lg3lg30.48 loglog 34.8 3lg4lg51 3lg21 3 0.3 t 整数t的值为 5故选 C 7 【解析】由题意知sincos23sinxxxm， 2 2sin4sin1mxx令 22 ( )2sin4sin12(sin1)3g xxxx ， 当sin1x时， max ( )5g x，5m， 实数m的最小值为 5故选 B 8 【解析】令( )0g x ，可得( )2af xx，作出函数( )yf x与函数2ayx的图象
12、如下图所示， 由图可知，当21 a 时，即0a时，函数( )yf x与函数2ayx的图象有 2 个交点， 此时，函数( )yg x有 2 个零点，因此，实数a的取值范围是0,) 故选：D 二、多项选择题： 题号 9 10 11 12 全部正确选项 ABD BD AC AD 9 【解析】对于选项 A，由0ab，0cd， 根据不等式的性质，可得acbd ，故 A 正确： 对于选项 B，由0ab，0cd，可得0cd ，acbd， 则0 abacbd dccd ，可得 ab dc ，所以 B 正确： 对于选 C，取 1 4 a ， 1 2 b ，则 3 (0,1) 4 ab，从而 33 44 cd ，
13、所以 C 错误； 对于选项 D，由幂函数 a b yx ，在(0,)上是增函数， 则由0cd，即得 a ba b cd ，则 D 正确 故选：ABD 10 【解析】对于选项 A，特称命题的否定是全称命题， “2x ， 2 4x ”的否定是“2x ， 2 4x ” ，故 A 错误； 对于选项 B，全称命题的否定是特称命题， “任意xR，则 2 10 xx ”的否定是“存在xR，则 2 10 xx ” ，故 B 正确： 对于选项 C， 11 10(1)00 a a aa aa 或1a ， 则“1a ”是“ 1 1 a ”的充分不必要条件，故 C 错误： 对于选项 D，00aba且0b， 则“0a“
14、是“0ab“的必要不充分条件，故 D 正确： 故选：BD 11 【解析】 22 ( )cos2sin22cos2sin22sin 2 224 f xxxxxx 对于选项 2 : 2 TA ，即 A 正确： 对于选项 3 :2sin 22sin 22sin2 44444 B fxxxx 3 2sin 22sin22cos2 44444 fxxxx ， 即 4 x 不是( )yf x的对称轴，故 B 错误： 对于选项 3 :222 242 Ckxk 时，( )yf x单调递碱， 故减区间为 5 , 88 kk ，kZ，ba的最大值是 5 882 ，故 C 正确； 对于:2cos2D yx的图象向右
15、平移 4 个单位得到 2cos 22cos 22sin22sin 2 424 yxxxx ，故 D 错误 故选：AC 12 【解析】对于选项 A，当24x时，022x ，所以 |3| (2)21 x f x ， 所以 3 1 11 ( )(2)2 22 x f xf x ，故 A 正确： 对于选项 B，当0n时， 0 1 (1)1 2 f 与 1 1 (1)210f 矛盾，故 B 错误； 对于选项 C，由 f x为偶函数，可作出正半轴的图象， 观察图象， f x的值域为0,1，故 C 错误： 对于选项 D，由( )g x的零点个数即为 1 ( ) 4 f x 根的个数， 即( )f x与 1
16、4 y 的的交点个数，观察图象，在0 x时，有 5 个交点， 根据对称性可得0 x时，也有 5 个交点，共计 10 个交点，故 D 正确。故选：AD 三、填空题： 135 14 1 4 154 16 1 2 x ，2 【注：16 题一个空写成数值 1 2 不给分】 13 【解析】原式 2 32 3 2lg1034235 ，故答案为：5 14 【解析】因为正数x，y满足21xy，所以212 2xyxy ，所以 1 2 2 xy ， 解得 1 2 4 xy ，当且仅当 1 4 x ， 1 2 y 时取等号故答案为： 1 4 15 【解析】由题意得扇形的半径为 4 2 2 ，又由扇形面积公式得该扇形
17、的面积为： 1 4 24 2 16 【解析】由题意可得函数 f xAPPF， 从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中， 在运动到BC的中点之前，PAPF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大， 当点P在BC的中点上时，即C、B、P三点共线时， 即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PAPF取得最小值为5； 当P在点B或点C时，PAPF取得最大值， 函数 f x的图象的对称轴是 1 2 x ；( )4 ( )90g xf x，即 9 ( ) 4 f x 故函数( )4 ( )9g xf x的零点的个数就是 9 ( ) 4 f x 的解的个数，因为 9 5 4 ， 所以 9 ( ) 4 f x
18、 的解有 2 个，故答案 1 2 x ；2 四、解答题： 17 【解析】 （1）因为 A 点的坐标为 3 4 , 5 5 ，根据三角函数定义 可知 4 sin 5 COA （2）根据三角函数定义知 3 cos 5 COA 因为三角形AOB为正三角形，所以60AOB， 所以coscos60coscos60sinsin60COBCOACOACOA 3 14334 3 5 25210 18 【解析】 （1） 2 ( )2 3sin cos2cos13sin2cos2f xxxxxx 2sin 2 6 x 令222() 262 kxkkZ ， 得() 36 kxkkZ 因此，函数( )yf x的单调递
19、增区间为,() 36 kkkZ ； （2）列表如下： 2 6 x 0 2 3 2 2 x 12 6 5 12 2 3 11 12 ( )f x 0 2 0 -2 0 ( )f x在一个周期内的图象如图所示： 【注】正确列表可得 3 分；无列表，则不给这 3 分。 正确标示出坐标轴的五个关键点可得 1 分：无标出，则不给这 1 分。 用光滑曲线连接各关键点可得 1 分；用折线连接，则不给这 1 分。 列表数据及作图结果（关键点位置、形状）与上述标准答案不同，则属于错误解答。 请注意学生可能把纵坐标“1”修改为“2” ，这种情况不扣分。 19 【解析】集合 2 412026Axxxxx ， 26
20、RA x xx 或 （1）若4m，17Bxx， 则67 RA Bxx （2） 【选】ABB，则BA， 若B，则 2 39mm， 解得23m 若B，则 2 2 39 32 96 mm m m ， 解得315m； 综上得215m ； （2） 【选】 R BA 若B，则 2 39mm， 解得23m 若B，则 2 2 39 92 mm m 或 2 39 36 mm m 解得72m 或9m； 综上得73m或9m 【选】ABB，则AB 则 2 2 39 32 96 mm m m 解得 23 1 1515 mm m mm 或 或 所以15m 【注：解答结果数字正确的前提下，不等式是否严格的错误，统一扣 1
21、分，不重复扣分】 20 【解析】由 2 (0)10 1 f a ，解得1a ， 故 2 ( )1 21 x f x （1）( )f x为定义域在R上的奇函数，证明如下： 22 ( )()11 2121 xx f xfx 22 21 2 2220 212121 xx xxx 即 fxf x 所以( )f x为奇函数 （2）由条件得 2 21 21 x x m ，即 2 213 21 x x m 恒成立， 设21 x t ，则(1,)t， 2 ( )32 23g tt t （当且仅当2t 时，等号成立） 所以( )g t的最小值是2 23，- 所以(,2 23m ， 即m的最大值是2 23 21
22、【解析】 （1）由题可知，符合本题函数模型定义域为0,120， 且在0,120上为增函数： 函数 1 ( ) 2 v F va 在0,120是减函数，所以不符合题意： 而函数( )logaF vkvb的0v ，即定义域不可能为0,120，也不符合题意： 所以选择函数 32 ( )F vavbvcv 选择三组数据代入得 2 2 2 20 40 4040 3 80 808010 120 12012020 abc abc abc 解得 5 1 2.6 10 38400 1 ( 0.0042) 240 7 ( 0.2917) 24 a b c 【注：正确求出任意一个可得 1 分，全部正确得 2 分】
23、所以， 32 117 ( )(0120) 3840024024 F vvvvv 【备注】1、四组数据任选三组都可以解得相同的a，b，c的值。 2、为减少运算量，可分析对比方程组 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4040 20 40 40406 3 13 6060 65 60 606096 8 1 8080 80 808010 8 1 120 12012020 120120 6 abc abc abc abc abc abc abc abc 选联立可得160ba，再选数字稍小的联立可解得a的值。 故方程组最优选择应该是。 （2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得： 3
24、222 11724011 70(80)30 3840024024160160 yF tvvvvvv v 因为0120v ，所以，当80v 时，y有最小值 30 所以，这辆车以80km/h的速度行驶时总耗油量最少为 30L 22 【解析】 （1）存在，理由如下 ( )(1)( )(1)222 x g xf xf xfx， (0)1g ，(1)2g，所以(0) (1)0gg 由零点存在定理可知，( )g x在0,1上至少有 1 个零点，并设零点为 0 x， 即 11f xf xf至少有 1 个实根 0 x， 所以函数 2 ( )2xf xx在0,1上有“漂移点” （2）若函数 2 ( )lg 1
25、a f x x 在(0,)上有“漂移点” ， 则存在实数 0 (0,)x ，使得 00 1(1)f xf xf成立， 即 22 0 0 lglglg 12 11 aaa x x 整理得 2 00 (2)2220a xaxa， 0 0 x 当2a时， 0 1 0 2 x ，不合题意 当2a时，令 2 ( )(2)222g xa xaxa，则( )g x在(0,)上有零点 当2a时，开口向下，对称轴0 2 a x a ， ( )g x在(0,)上单调递减，(0)220ga， 所以( )g x在(0,)上恒小于零，不合题意， 当02a时，开口向上，对称轴0 2 a x a ， 由题意只要 2 44(2)(22 )0aaa ，即 2 640aa， 解得3535a 因为02a，所以352a 综上所述：35,2)a