1、 1 华师大版九年级下册数学知识点总结华师大版九年级下册数学知识点总结 第第二十六二十六章章 二次函数二次函数 一、二次函数概念：一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如 2 yaxbxc（abc， ，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ，而bc，可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数 2 yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2。 abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：
2、 2 yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc的性质： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0 0， y轴 0 x 时，y随x的增大而增大； 0 x 时，y随x的增大而减小； 0 x 时，y有最小值0。 0a 向下 0 0， y轴 0 x 时，y随x的增大而减小； 0 x 时，y随x的增大而增大； 0 x 时，y有最大值0。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0 c， y轴 0 x 时，y随x的增大而增大； 0 x 时，y随x的增大而减小； 0 x 时，y有最小值c。 0a 向下 0 c， y轴 0 x 时，y随x的增大而
3、减小； 0 x 时，y随x的增大而增大； 0 x 时，y有最大值c。 2 3. 2 ya xh的性质： 4. 2 ya xhk的性质： 三、三、二次函数图象的平移二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线 2 yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： cbxaxy 2 沿y轴平移:向上（下）平移m个单位， cbxaxy 2 变成mcbxaxy 2 （或mcbxax
4、y 2 ） a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大； xh时，y随x的增大而减小； xh时，y有最小值0。 0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小； xh时，y随x的增大而增大； xh时，y有最大值0。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值k。 0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值k。 3 cbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移m个单位，
5、 cbxaxy 2 变成cmxbmxay)()( 2 （或cmxbmxay)()( 2 ） 四、二次函数四、二次函数 2 ya xhk与与 2 yaxbxc的比较的比较 从解析式上看， 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 2 2 4 24 bacb ya x aa ，其中 2 4 24 bacb hk aa ，。 五、二次函数五、二次函数 2 yaxbxc图象的画法图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开口方向、对称轴 及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我
6、们选取的五点为： 顶点、 与y轴的交点0 c，、 以及0 c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点 1 0 x ， 2 0 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关 于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数六、二次函数 2 yaxbxc的性质的性质 1. 当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ，。 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y随x的增大而增大；当 2 b x a 时，y有最小值 2 4 4 acb a 。 2. 当0a 时
7、，抛物线开口向下，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ，。当 2 b x a 时，y随x的 增大而增大；当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y有最大值 2 4 4 acb a 。 七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc（a，b，c为常数，0a ）； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk（a，h，k为常数，0a ）； 3. 两根式： 12 ()()ya xxxx（0a ， 1 x， 2 x是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非
8、所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛 物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种 形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 。 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 4 当0a 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。 2. 一次项系数b 在二次项系数a确
9、定的前提下，b决定了抛物线的对称轴。 在0a 的前提下， 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的右侧。 在0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的左侧。 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。 ab的符号的判定：对称轴 a b x 2 在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概
10、括的说就是“左 同右异” 总结：总结： 3. 常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负。 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置。 总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。 二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题 目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。一般来说，有如下几种情况：
11、1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 九、二次函数图象的对称九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 5 2 ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk ； 2. 关于y轴对称 2 yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于y
12、轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 3. 关于原点对称 2 yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180） 2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ； 2 ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk 。 5. 关于点m n，对称 2 ya xhk关于点m n，对称后，得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不
13、变。求抛物 线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或 表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对 称抛物线的表达式。 十、二次函数与一元二次方程：十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程 2 0axbxc是二次函数 2 yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 当 2 40bac 时，图象与x轴交于两点 12 00A xB x， ， 12 ()xx，其中的 12 xx，是一元二次方程 2 00a
14、xbxca的两根。这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a . 当0 时，图象与x轴只有一个交点； 当0 时，图象与x轴没有交点. 1 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y ； 2 当 0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 。 2. 抛物线 2 yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 6 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 2 yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中
15、a，b，c的符号判断 图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交 点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 2 (0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面 以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 二次函数图像参考：二次函数图像参考： 0 抛物线与x轴有 两个交点 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无 交点
16、 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. y=2(x-4)2-3 y=2(x-4)2y=2x2 y= x2 2 y=2x2 y=x2 y=-2x2 y= -x2 y= - x2 2 y=2x2-4 y=2x2+2 y=2x2 y=3(x+4)2 y=3(x-2)2 y=3x2 y=-2(x+3)2 y=-2(x-3)2 y=-2x2 7 十一、函数的应用十一、函数的应用 二次函数应用 刹车距离 何时获得最大利润 最大面积是多少 第第二十七二十七章章：圆圆 一一、知识回顾、知识回顾 圆的周长圆的周长： C=2r 或 C=d、圆的面积、圆的面积：S=r 圆环面积计算方法：圆环面积计算方法：S
17、=R-r或 S=（R-r）(R 是大圆半径，r 是小圆半径） 二、知识要点二、知识要点 一、圆的概念一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做 圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两
18、边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点C在圆内； 2、点在圆上 dr 点B在圆上； 3、点在圆外 dr 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点； 2、直线与圆相切 dr 有一个交点； 3、直线与圆相交 dr 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系 d r d=r r d r d d C
19、 B A O 8 外离（图 1） 无交点 dRr； 外切（图 2） 有一个交点 dRr； 相交（图 3） 有两个交点 RrdRr ； 内切（图 4） 有一个交点 dRr； 内含（图 5） 无交点 dRr； 五、垂径定理五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理， 简称 2 推 3 定理： 此定理中共 5 个结论中， 只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个
20、结论， 即： AB是直径 ABCD CEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD 弧AC弧BD 六、圆心角定理六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论， 即：AOBDOE；ABDE； OCOF； 弧BA弧BD 七、圆周角定理七、圆周角定理 图1 r R d 图3 rR d 图2 r R
21、d 图4 r R d 图5 r R d O E DC B A O C D A B F E D C B A O 9 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是 等弧； 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦 是直径。 即：在O中，AB是直径 或9
22、0C 90C AB是直径 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在ABC中，OCOAOB ABC是直角三角形或90C 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的 一半的逆定理。 八、圆内接四边形八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在O中， 四边形ABCD是内接四边形 180CBAD 180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MN
23、OA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理十、切线长定理 C B A O D C B A O C BA O C BA O E D C B A NM A O 10 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连 线平分两条切线的夹角。 即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 十一、圆幂定理十一、圆
24、幂定理 （1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在O中，弦AB、CD相交于点P， PA PBPC PD （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项。 即：在O中，直径ABCD， 2 CEAE BE （3）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在O中，PA是切线，PB是割线 2 PAPC PB （4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的 交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在O中，PB、PE是割线 PC PBPD
25、PE 十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图： 12 OO垂直平分AB。 即： 1 O、 2 O相交于A、B两点 12 OO垂直平分AB 十三、圆的公切线十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长： 12 Rt OO C中， 2222 1122 ABCOOOCO； （2）外公切线长： 2 CO是半径之差； 内公切线长： 2 CO是半径之和 。 P B A O P O D C B A OE D C B A D E C B P A O B A O1 O2 C O2 O1 B A 11 十四、圆内正多边形的计算十四
26、、圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行： :1:3 :2OD BD OB； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1: 2OE AE OA： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1: 3:2AB OB OA. . 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式： 180 n R l ； （2）扇形面积公式： 2 1 3602 n R SlR n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱： （1）A 圆柱侧面展
27、开图 2SSS 侧表底= 2 22rhr B 圆柱的体积： 2 Vr h （2）A 圆锥侧面展开图 SSS 侧表底= 2 Rrr B 圆锥的体积： 2 1 3 Vr h D C B A O E CB AD O B A O Sl B A O 母线长 底面圆周长 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O 12 第第二十八二十八章章 样本与总体样本与总体 二. 重点、难点： 1. 重点： 了解普查与抽样调查的概念，并能根据实际情况确定收集数据的方式； 了解总体、个体、样本等概念，能够指出研究对象的总体、个体与样本； 学会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行抽样调查，用样本估计总
28、体； 通过整理和分析数据，准确地作出决策。 2. 难点： 正确识别问题中的总体、个体、样本、样本容量等，并能选择合适的样本看总体； 能够对数据的来源，处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的分析。 三. 知识梳理： 知识点 内容关注 注意事项 总体、个体、 样本、样本容量 总体是考察对象的主体，个体是组成 总体的每一个对象，样本是总体中的一部 分个体，样本容量是样本包含的个体数量 样本容量是一个样本中个体的数 量 普查与抽样 调查 普查是对所有对象进行调查，抽样调 查是对部分对象进行调查 普查与抽样调查的范围不同 简单的 随机抽样 使样本具有代表性，不偏向总体中的 某些个体，对每个个体都公
29、平的方法，就 是用抽签的方法决定个体进入样本 简单的随机抽样对总体中每个个 体来说，被抽到的机会是均等的 随机性 在抽样前，不能预测哪些个体会被抽 中，这种不能事先预测结果的特性称为随 机性 随机性是抽取样本具有代表性的 重要保障 抽样调查 的可靠性 用随机抽样的方法获取样本，且样本 容量合适时，由样本得出的特性会更接近 总体的特性 样本在总体中需有代表性； 样本容量应该足够大； 样本要避免遗漏某一个群体 借助调查作 决策 通过媒体收集信息，将信息进行全 面、科学地分析 分析角度不同， 得到的结论也会不 同 容易误导决 策 的统计图 媒体中数据很多，有许多有用的信 息，但信息不一定可靠，要全面分析 考虑信息的时效性、 可靠性和代表 性