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2021年中考数学几何教学重难点专题:轴对称之线段最短问题(五)含答案

1、2021 年中考数学几何教学重难点专题:轴对称之线段最短问题(年中考数学几何教学重难点专题:轴对称之线段最短问题(五五) 1在平面直角坐标系中,P 点坐标为(2,6) ,Q 点坐标为(2,2) ,点 M 为 y 轴上的动点 (1)在平面直角坐标系内画出当PMQ 的周长取最小值时点 M 的位置 (保留作图痕迹) (2)写出点 M 的坐标 2如图,在锐角三角形 ABC 中,BC4,ABC45,BD 平分ABC,M、N 分别是 BD、BC 上的 动点,试求 CM+MN 的最小值 3已知:矩形 ABCD 中,AD2AB,AB6,E 为 AD 中点,M 为 CD 上一点,PEEM 交 CB 于点 P,E

2、N 平分PEM 交 BC 于点 N (1)求证:PEEM; (2)用等式表示 BP2、PN2、NC2三者的数量关系,并加以证明; (3)过点 P 作 PGEN 于点 G,K 为 EM 中点,连接 DK、KG,求 DK+KG+PG 的最小值 4如图,在ABC 中,ABAC,AB 的垂直平分线交 AB 于 N,交 AC 于 M (1)若B80,则NMA 的度数是 (2)连接 MB,若 AB9cm,MBC 的周长是 16cm 求 BC 的长; 在直线 MN 上是否存在点 P,使由 P,B,C 构成的PBC 的周长值最小?若存在,标出点 P 的位置 并证明;若不存在,说明理由 5在平面直角坐标系中有一

3、点 A,其坐标为 A(3,2)回答下列问题: (1)点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标点为 点 A 关于 y 轴的对称点 C 的坐标点为 (2)若在 x 轴上找一点 D,使 DA+DC 之和最短,则点 D 的坐标为 (3)若在 x 轴上找一点 E,使OAE 为等腰三角形,则有 个这样的 E 点 6如图,AOB30,点 P 是AOB 内一点,PO8,在AOB 的两边分别有点 R、Q(均不同于 O) , 求PQR 周长的最小值 7如图,BD 是ABC 的角平分线,它的垂直平分线分别交 AB,BD,BC 于点 E,F,G,连接 ED,DG (1)请判断四边形 EBGD 的形状,并说明理由 (2

4、)若ABC30,C45,ED,点 H 是 BD 上的一个动点,求 HG+HC 的最小值 8如图,在ABC 中,ABAC,AB 的垂直平分线交 AB 于 N,交 AC 于 M (1)若B70,则NMA 的度数是 (2)连接 MB,若 AB8cm,MBC 的周长是 14cm 求 BC 的长; 在直线 MN 上是否存在点 P,使由 P,B,C 构成的PBC 的周长值最小?若存在,标出点 P 的位置 并求PBC 的周长最小值;若不存在,说明理由 9如图,草地边缘 OM 与小河河岸 ON 在点 O 处形成 30的夹角,牧马人从 A 地出发,先让马到草地吃 草,然后再去河边饮水,最后回到 A 地已知 OA

5、2km,请在图中设计一条路线,使所走的路径最短, 并求出整个过程所行的路程 10将军在 B 处放马,晚上回营,需要将马赶到河 CD 去饮水一次,再回到营地 A,已知 A 到河岸的距离 AE2 公里,B 到河岸的距离 BF3 公里,EF12 公里,求将军最短需要走多远 参考答案参考答案 1解: (1)如图所示: (2)设直线 QP 的解析式为 ykx+b,将点 Q、点 P 的坐标代入得: 解得:b4 故点 M 的坐标为(0,4) 2解:过点 C 作 CEAB 于点 E,交 BD 于点 M,过点 M作 MNBC 于 N,则 CE 即为 CM+MN 的最小值, BC4,ABC45,BD 平分ABC,

6、 BCE 是等腰直角三角形, CEBCcos4544 故 CM+MN 的最小值为 4 3 (1)证明:过 P 作 PQAD 于 Q, 则 PQAB, AD2AB,E 为 AD 中点, AD2DE, PQDE, PEEM, PQEDPEM90, QPE+PEQPEQ+DEM90, QPEDEM, PQEEDM(ASA) , PEEM; (2)解:三者的数量关系是:BP2+NC2PN2 点 N 与点 C 重合时,P 为 BC 的中点,显然 BP2+NC2PN2成立; 点 P 与点 B 重合时,N 为 BC 的中点,显然 BP2+NC2PN2成立; 证明:如图 2,连接 BE、CE, 四边形 ABC

7、D 为矩形,AD2AB,E 为 AD 中点, AABC90,ABCDAEDE, AEB45,DEC45, 在ABE 和DCE 中, ABEDCE(SAS) ,BEC90, BECE, EBCECB45, EBCECD, 又BECPEM90, BEPMEC, 在BEP 和CEM 中, BEPCEM(ASA) , BPMC,PEME, EN 平分PEM, PENMEN45, 在EPN 和EMN 中, EPNEMN(SAS) , PNMN, 在 RtMNC 中有:MC2+NC2MN2, BP2+NC2PN2; (3)解:如图 3,连接 PM, 由(2) ,可得 PNMN,PEME, EN 垂直平分

8、PM,PGEN, P、G、M 三点共线,且 G 为 PM 的中点, K 为 EM 中点, GKME, 又D90, DKME, 由(2) ,可得 PEM 为等腰直角三角形, 根据勾股定理,可得 PGGMME, DK+GK+PG(1+)ME, 当 ME 取得最小值时,DK+GK+PG 取得最小值, 即当 MEDE6 时,DK+GK+PG 有最小值, 最小值为: (1+)66+3 4解: (1)ABAC, BC, A1802B, 又MN 垂直平分 AB, NMA90A90(1802B)2B9070, 故答案为:70; (2)如图: MN 垂直平分 AB MBMA, 又MBC 的周长是 16cm, A

9、C+BC16cm, BC7cm 当点 P 与点 M 重合时,PB+CP 的值最小,最小值是 9cm 5解: (1)点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标点为(3,2) 点 A 关于 y 轴的对称点 C 的坐标(3,2) 故答案为(3,2) , (3,2) ; (2)如图 1 中,作点 A 关于 x 轴的对称点 A,连接 AC 与 x 轴交于点 D(与 O 重合) ,此时 AD+CD 最小 D(0,0) , 故答案为(0,0) (3)如图 2 中,满足条件的点 E 有 4 个, 故答案为 4 6解:分别作 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N 连接 MN 交 OA、OB 交于 Q、R,则PQ

10、R 符合条件 连接 OM、ON, 由轴对称的性质可知,OMONOP8, MONMOP+NOP2AOB23060, 则MON 为等边三角形, MN8, QPQM,RNRP, PQR 周长MN8, 7解:四边形 EBGD 是菱形 理由:EG 垂直平分 BD, EBED,GBGD, EBDEDB, EBDDBC, EDFGBF, 在EFD 和GFB 中, , EFDGFB, EDBG, BEEDDGGB, 四边形 EBGD 是菱形; (2)作 EMBC 于 M,DNBC 于 N,连接 EC 交 BD 于点 H,此时 HG+HC 最小, 在 RtEBM 中,EMB90,EBM30,EBED4, EMB

11、E2, DEBC,EMBC,DNBC, EMDN,EMDN2,MNDE4, 在 RtDNC 中,DNC90,DCN45, NDCNCD45, DNNC2, MC4+26, 在 RtEMC 中,EMC90,EM2MC6, EC4 HG+HCEH+HCEC, HG+HC 的最小值为 4 8解: (1)若B70,则NMA 的度数是 50, 故答案为:50; (2)如图: MN 垂直平分 AB MBMA, 又MBC 的周长是 14cm, AC+BC14cm, BC6cm 当点 P 与点 M 重合时,PB+CP 的值最小,最小值是 8+614cm 9解:分别画出点 A 关于 OM、ON 的对称点 B、C,连接 BC 交 OM、ON 于点 D、E,连接 AD、AE,则 线段 AD、DE、EA 即为所示路径; 由题意得,OBOA2, 三角形 OBC 为等边三角形, BC2,故其总路程为 2km 10解:作 A 点关于河岸的对称点 A,连接 BA交河岸与 P,连接 AB,则 BB2+35, 则 PB+PAPB+PABA最短,故将军应将马赶到河边的 P 地点 作 FBEA,且 FBCD, FBEA,FBCD,BBAA, 四边形 ABBA 是矩形, BAEF, 在 RtBBA中, BA13, 答:将军最短需要走 13 公里