1、2021 年中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题（年中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题（五五） 1在平面直角坐标系中，P 点坐标为（2，6） ，Q 点坐标为（2，2） ，点 M 为 y 轴上的动点 （1）在平面直角坐标系内画出当PMQ 的周长取最小值时点 M 的位置 （保留作图痕迹） （2）写出点 M 的坐标 2如图，在锐角三角形 ABC 中，BC4，ABC45，BD 平分ABC，M、N 分别是 BD、BC 上的 动点，试求 CM+MN 的最小值 3已知：矩形 ABCD 中，AD2AB，AB6，E 为 AD 中点，M 为 CD 上一点，PEEM 交 CB 于点 P，E
2、N 平分PEM 交 BC 于点 N （1）求证：PEEM； （2）用等式表示 BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明； （3）过点 P 作 PGEN 于点 G，K 为 EM 中点，连接 DK、KG，求 DK+KG+PG 的最小值 4如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 AC 于 M （1）若B80，则NMA 的度数是 （2）连接 MB，若 AB9cm，MBC 的周长是 16cm 求 BC 的长； 在直线 MN 上是否存在点 P，使由 P，B，C 构成的PBC 的周长值最小？若存在，标出点 P 的位置 并证明；若不存在，说明理由 5在平面直角坐标系中有一
3、点 A，其坐标为 A（3，2）回答下列问题： （1）点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标点为 点 A 关于 y 轴的对称点 C 的坐标点为 （2）若在 x 轴上找一点 D，使 DA+DC 之和最短，则点 D 的坐标为 （3）若在 x 轴上找一点 E，使OAE 为等腰三角形，则有 个这样的 E 点 6如图，AOB30，点 P 是AOB 内一点，PO8，在AOB 的两边分别有点 R、Q（均不同于 O） ， 求PQR 周长的最小值 7如图，BD 是ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交 AB，BD，BC 于点 E，F，G，连接 ED，DG （1）请判断四边形 EBGD 的形状，并说明理由 （2
4、）若ABC30，C45，ED，点 H 是 BD 上的一个动点，求 HG+HC 的最小值 8如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 AC 于 M （1）若B70，则NMA 的度数是 （2）连接 MB，若 AB8cm，MBC 的周长是 14cm 求 BC 的长； 在直线 MN 上是否存在点 P，使由 P，B，C 构成的PBC 的周长值最小？若存在，标出点 P 的位置 并求PBC 的周长最小值；若不存在，说明理由 9如图，草地边缘 OM 与小河河岸 ON 在点 O 处形成 30的夹角，牧马人从 A 地出发，先让马到草地吃 草，然后再去河边饮水，最后回到 A 地已知 OA
5、2km，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短， 并求出整个过程所行的路程 10将军在 B 处放马，晚上回营，需要将马赶到河 CD 去饮水一次，再回到营地 A，已知 A 到河岸的距离 AE2 公里，B 到河岸的距离 BF3 公里，EF12 公里，求将军最短需要走多远 参考答案参考答案 1解： （1）如图所示： （2）设直线 QP 的解析式为 ykx+b，将点 Q、点 P 的坐标代入得： 解得：b4 故点 M 的坐标为（0，4） 2解：过点 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M作 MNBC 于 N，则 CE 即为 CM+MN 的最小值， BC4，ABC45，BD 平分ABC，
6、 BCE 是等腰直角三角形， CEBCcos4544 故 CM+MN 的最小值为 4 3 （1）证明：过 P 作 PQAD 于 Q， 则 PQAB， AD2AB，E 为 AD 中点， AD2DE， PQDE， PEEM， PQEDPEM90， QPE+PEQPEQ+DEM90， QPEDEM， PQEEDM（ASA） ， PEEM； （2）解：三者的数量关系是：BP2+NC2PN2 点 N 与点 C 重合时，P 为 BC 的中点，显然 BP2+NC2PN2成立； 点 P 与点 B 重合时，N 为 BC 的中点，显然 BP2+NC2PN2成立； 证明：如图 2，连接 BE、CE， 四边形 ABC
7、D 为矩形，AD2AB，E 为 AD 中点， AABC90，ABCDAEDE， AEB45，DEC45， 在ABE 和DCE 中， ABEDCE（SAS） ，BEC90， BECE， EBCECB45， EBCECD， 又BECPEM90， BEPMEC， 在BEP 和CEM 中， BEPCEM（ASA） ， BPMC，PEME， EN 平分PEM， PENMEN45， 在EPN 和EMN 中， EPNEMN（SAS） ， PNMN， 在 RtMNC 中有：MC2+NC2MN2， BP2+NC2PN2； （3）解：如图 3，连接 PM， 由（2） ，可得 PNMN，PEME， EN 垂直平分
8、PM，PGEN， P、G、M 三点共线，且 G 为 PM 的中点， K 为 EM 中点， GKME， 又D90， DKME， 由（2） ，可得 PEM 为等腰直角三角形， 根据勾股定理，可得 PGGMME， DK+GK+PG（1+）ME， 当 ME 取得最小值时，DK+GK+PG 取得最小值， 即当 MEDE6 时，DK+GK+PG 有最小值， 最小值为： （1+）66+3 4解： （1）ABAC， BC， A1802B， 又MN 垂直平分 AB， NMA90A90（1802B）2B9070， 故答案为：70； （2）如图： MN 垂直平分 AB MBMA， 又MBC 的周长是 16cm， A
9、C+BC16cm， BC7cm 当点 P 与点 M 重合时，PB+CP 的值最小，最小值是 9cm 5解： （1）点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标点为（3，2） 点 A 关于 y 轴的对称点 C 的坐标（3，2） 故答案为（3，2） ， （3，2） ； （2）如图 1 中，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AC 与 x 轴交于点 D（与 O 重合） ，此时 AD+CD 最小 D（0，0） ， 故答案为（0，0） （3）如图 2 中，满足条件的点 E 有 4 个， 故答案为 4 6解：分别作 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N 连接 MN 交 OA、OB 交于 Q、R，则PQ
10、R 符合条件 连接 OM、ON， 由轴对称的性质可知，OMONOP8， MONMOP+NOP2AOB23060， 则MON 为等边三角形， MN8， QPQM，RNRP， PQR 周长MN8， 7解：四边形 EBGD 是菱形 理由：EG 垂直平分 BD， EBED，GBGD， EBDEDB， EBDDBC， EDFGBF， 在EFD 和GFB 中， ， EFDGFB， EDBG， BEEDDGGB， 四边形 EBGD 是菱形； （2）作 EMBC 于 M，DNBC 于 N，连接 EC 交 BD 于点 H，此时 HG+HC 最小， 在 RtEBM 中，EMB90，EBM30，EBED4， EMB
11、E2， DEBC，EMBC，DNBC， EMDN，EMDN2，MNDE4， 在 RtDNC 中，DNC90，DCN45， NDCNCD45， DNNC2， MC4+26， 在 RtEMC 中，EMC90，EM2MC6， EC4 HG+HCEH+HCEC， HG+HC 的最小值为 4 8解： （1）若B70，则NMA 的度数是 50， 故答案为：50； （2）如图： MN 垂直平分 AB MBMA， 又MBC 的周长是 14cm， AC+BC14cm， BC6cm 当点 P 与点 M 重合时，PB+CP 的值最小，最小值是 8+614cm 9解：分别画出点 A 关于 OM、ON 的对称点 B、C，连接 BC 交 OM、ON 于点 D、E，连接 AD、AE，则 线段 AD、DE、EA 即为所示路径； 由题意得，OBOA2， 三角形 OBC 为等边三角形， BC2，故其总路程为 2km 10解：作 A 点关于河岸的对称点 A，连接 BA交河岸与 P，连接 AB，则 BB2+35， 则 PB+PAPB+PABA最短，故将军应将马赶到河边的 P 地点 作 FBEA，且 FBCD， FBEA，FBCD，BBAA， 四边形 ABBA 是矩形， BAEF， 在 RtBBA中， BA13， 答：将军最短需要走 13 公里