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2021年中考数学一轮复习专项突破训练:二次函数的实际应用(含答案)

1、2021 中考数学一轮专题突破:二次函数的实际应用中考数学一轮专题突破:二次函数的实际应用 一、选择题一、选择题 1. 某商品进货单价为 90 元/个,按 100 元/个出售时,能售出 500 个,如果这种商品每个每涨价 1 元,那么其销售量就减少 10 个,为了获得最大利润,其单价应定为( ) A130 元/个 B120 元/个 C110 元/个 D100 元/个 2. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥, 它由五个高度不同, 跨径也不同的抛物线型钢拱通 过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象抛物线) 在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于 A,B 两

2、点,拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米),跨径为 90 米(即 AB=90 米),以最高点 O 为坐标原点,以平行于 AB 的直线 为 x 轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为 ( ) A.y= 26 675x 2 B.y=- 26 675x 2 C.y= 13 1350 x 2 D.y=- 13 1350 x 2 3. 如图,铅球运动员掷铅球的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数解析式是 y 1 12x 22 3x 5 3,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A6 m B12 m C8 m D10 m 4. 如图,将一个小球从斜坡的点 O 处

3、抛出,小球的抛出路线可以用二次函数 y=4x-1 2x 2 刻画, 斜坡可以用一次函数 y=1 2x 刻画,下列结论错误的是 ( ) A.当小球抛出高度达到 7.5 m 时,小球距 O 点水平距离为 3 m B.小球距 O 点水平距离超过 4 m 时呈下降趋势 C.小球落地点距 O 点水平距离为 7 m D.斜坡的坡度为 12 5. 如图,在 ABC 中,C90 ,AB10 cm,BC8 cm,点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1 cm/s 的速度运动, 同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2 cm/s 的速度运动(点 Q 运动到点 B 时, 两点同 时停止运动),在运动过程

4、中,四边形 PABQ 的面积的最小值为 ( ) A19 cm2 B16 cm2 C15 cm2 D12 cm2 6. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线形 钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连最高的钢拱如图所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象 抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于 A,B 两点,拱高为 78 米(即最高 点 O 到 AB 的距离为 78 米),跨径为 90 米(即 AB90 米),以最高点 O 为坐标原点,以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系则此抛物线形钢拱的函数解析式为( ) Ay 26 675x 2 By 26

5、 675x 2 Cy 13 1350 x 2 Dy 13 1350 x 2 7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮, 球沿一条抛物线运动, 当球运动 的水平距离为 2.5 m 时,达到最大高度 3.5 m,然后准确落入篮筐内已知篮圈中心距离地面 高度为 3.05 m,在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是( ) A此抛物线的解析式是 y1 5x 23.5 B篮圈中心的坐标是(4,3.05) C此抛物线的顶点坐标是(3.5,0) D篮球出手时离地面的高度是 2 m 8. 如图,将一个小球从斜坡上的点 O 处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数 y4x1

6、2x 2 刻 画,斜坡可以用一次函数 y1 2x 刻画,下列结论错误的是( ) A当小球抛出高度达到 7.5 m 时,小球距点 O 的水平距离为 3 m B小球距点 O 的水平距离超过 4 m 后呈下降趋势 C小球落地点距点 O 的水平距离为 7 m D小球距点 O 的水平距离为 2.5 m 和 5.5 m 时的高度相同 二、填空题二、填空题 9. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长 50 m),中间用两道墙隔开(如 图)已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面 积的最大值为_ m2. 10. 如图,一块矩形土地 ABCD 由篱笆围

7、着,并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开已知 篱笆的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计),当 AB_m 时,矩形 ABCD 的面积最大 11. 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品的售价 为 a 元,则可卖出(35010a)件但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的 40%,若商店 想获得最大利润,则每件商品的价格应定为_元 12. 如图,一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着,并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开.已知篱 笆的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计), 当 AB= m 时, 矩形土地 ABCD 的面积最大. 13. 竖

8、直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个 小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后 1.1 秒时达到相同的最大离地高度, 第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则 t= . 14. 某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所 示的三处各留 1 m 宽的门已知计划中的材料可建墙体总长为 27 m,则能建成的饲养室总占 地面积最大为_m2. 三、解答题三、解答题 15. 把一个足球垂直于水平地面向上踢, 时间为 t(秒)时该足球距离地面的高度 h(米), 适用公式 h20t5t2(0t4)

9、 (1)当 t3 时,求足球距离地面的高度; (2)当足球距离地面的高度为 10 米时,求 t 的值; (3)若存在实数 t1和 t2(t1t2),当 tt1或 t2时,足球距离地面的高度都为 m(米),求 m 的取值 范围 16. (2019绍兴)有一块形状如图的五边形余料ABCDE,6ABAE,5BC ,90AB , 135C,90E 要在这块余料中截取一块矩形材料,其中一边在AE上,并使所截矩 形的面积尽可能大 (1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE,求矩形材料的面积; (2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料?如果能,求出这些矩形材料面积的最大值,如果不 能,请说明理由 17. 交

10、通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体,并用流量、流速、密度三个 概念描述车流的基本特征,其中流量 q(辆/小时)指单位时间内通过道路指定断面的车辆数;速 度 v(千米/小时)指通过道路指定断面的车辆速度;密度 k(辆/千米)指通过道路指定断面单位长 度内的车辆数 为配合大数据治堵行动,测得某路段流量 q 与速度 v 之间关系的部分数据如下表: 速度 v(千米/小时) 5 10 20 32 40 48 流量 q(辆/小时) 550 1000 1600 1792 1600 1152 (1)根据上表信息,下列三个函数关系式中,刻画 q,v 关系最准确的是_(只需填上正确答 案的序号)

11、q90v100; q32 000 v ; q2v2120v. (2)请利用(1)中选取的函数关系式分析,当该路段的车流速度为多少时,流量达到最大?最大 流量是多少? (3)已知 q,v,k 满足 qvk.请结合(1)中选取的函数关系式继续解决下列问题 市交通运行监控平台显示,当 12v18 时道路出现轻度拥堵试分析当车流密度 k 在什么 范围时,该路段将出现轻度拥堵; 在理想状态下,假设前后两车车头之间的距离 d(米)均相等,求流量 q 最大时 d 的值 18. 2018 荆州 为响应荆州市创建全国文明城市的号召,某单位不断美化环境,拟在一块矩形 空地上修建绿色植物园,其中一边靠墙,可利用的墙

12、长不超过 18 m,另外三边由 36 m 长的栅 栏围成设矩形 ABCD 空地中,垂直于墙的边 ABx m,面积为 y m2(如图) (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)若矩形空地的面积为 160 m2,求 x 的值; (3)若该单位用 8600 元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共 400 棵(每种植物的单价和每棵栽种的 合理用地面积如下表)则丙种植物最多可以购买多少棵?此时,这批植物可以全部栽种到这 块空地上吗?请说明理由. 甲 乙 丙 单价(元/棵) 14 16 28 合理用地面积(m2/棵) 0.4 1 0.4 答案答案 一、选择题一、选择题 1.

13、 【答案】【答案】B 解析 设利润为 y 元,涨价 x 元,则有 y(100 x90)(50010 x)10(x 20)29000,故每个商品涨价 20 元,即单价为 120 元/个时,获得最大利润 2. 【答案】【答案】B 解析设二次函数的表达式为 y=ax2,由题可知,点 A 的坐标为(-45,-78),代入 表达式可得:-78=a (-45)2,解得 a=- 26 675,二次函数的表达式为 y=- 26 675x 2,故选 B. 3. 【答案】【答案】D 解析 把 y0 代入 y 1 12x 22 3x 5 3,得 1 12x 22 3x 5 30, 解得 x110,x22.又x0,x

14、10. 故选 D. 4. 【答案】【答案】A 解析根据函数图象可知,当小球抛出的高度为 7.5 m 时,二次函数 y=4x-1 2x 2 的 函数值为 7.5,即 4x-1 2x 2=7.5,解得 x1=3,x2=5,故当抛出的高度为 7.5 m 时,小球距离 O 点 的水平距离为 3 m 或 5 m,A 结论错误;由 y=4x-1 2x 2,得 y=-1 2(x-4) 2+8,则抛物线的对称轴为直 线 x=4, 当 x4 时, y 随 x 值的增大而减小, B 结论正确;联立方程 y=4x-1 2x 2 与 y=1 2x, 解得 = 0, = 0 或 = 7, = 7 2 . 则抛物线与直线

15、的交点坐标为(0,0)或 7, 7 2 ,C 结论正确;由点 7, 7 2 知坡度为7 2 7=12 也可以根据 y=1 2x 中系数 1 2的意义判断坡度为 12 ,D 结论正确.故选 A. 5. 【答案】【答案】C 解析 在 Rt ABC 中,C90 ,AB10 cm,BC8 cm, AC AB2BC26 cm. 设运动时间为 t s(0t4),则 PC(6t)cm,CQ2t cm, S四边形PABQS ABCS CPQ1 2AC BC 1 2PC CQ 1 2 6 8 1 2(6t) 2tt 26t24(t3)2 15, 当 t3 时,四边形 PABQ 的面积取得最小值,最小值为 15

16、cm2. 故选 C. 6. 【答案】【答案】B 解析 设二次函数的解析式为 yax2.由题可知,点 A 的坐标为(45,78), 代入解析式可得78a(45)2,解得 a 26 675,二次函数解析式为 y 26 675x 2.故选 B. 7. 【答案】【答案】A 解析 抛物线的顶点坐标为(0,3.5), 可设抛物线的函数解析式为 yax23.5. 篮圈中心(1.5,3.05)在抛物线上,3.05a 1.523.5.解得 a1 5.y 1 5x 23.5.可见选 项 A 正确 由图示知,篮圈中心的坐标是(1.5,3.05),可见选项 B 错误 由图示知,此抛物线的顶点坐标是(0,3.5),可见

17、选项 C 错误 将 x2.5 代入抛物线的解析式,得 y1 5 (2.5) 23.52.25,这次跳投时,球出手处 离地面 2.25 m 可见选项 D 错误 故选 A. 8. 【答案】【答案】A 解析 令 y7.5,得 4x1 2x 27.5.解得 x13,x25.可见选项 A 错误 由 y4x1 2x 2 得 y1 2(x4) 28, 对称轴为直线 x4, 当 x4 时, y 随 x 的增大而减小, 选项 B 正确 联立y4x1 2x 2与y1 2x, 解得 x0, y0 或 x7, y7 2. 抛物线与直线的交点坐标为(0, 0), 7,7 2 , 可见选项 C 正确 由对称性可知选项 D

18、 正确 综上所述,只有选项 A 中的结论是错误的,故选 A. 二、填空题二、填空题 9. 【答案】【答案】144 【解析】 围墙的总长为 50 m, 设 3 间饲养室合计长 x m, 则饲养室的宽48x 4 m, 总占地面积为 yx 48x 4 1 4x 212x(0 x48), 由 y1 4x 212x1 4(x24) 2144, x24 在 0 x48 范围内,a1 40,在 0 x24 范围内,y 随 x 的增大而增大,x 24 时,y 取得最大值,y最大144 m2. 10. 【答案】【答案】150 解析 设 ABx m,则 ABEFCDx m,所以 ADBC1 2(9003x)m.

19、设矩形 ABCD 的面积为 y m2,则 yx 1 2(9003x) 3 2x 2450 x(0 x300)由于二次项系 数小于 0,所以 y 有最大值,且当 x b 2a 450 2 (3 2) 150 时,函数 y 取得最大值 故当 AB150 m 矩形 ABCD 的面积最大 11. 【答案】【答案】28 解析 设商店所获利润为 y 元根据题意,得 y(a21)(35010a)10a2560a735010(a28)2490, 即当 a28 时,可获得最大利润 又 21 (140%)21 1.429.4,而 2829.4,所以 a28 符合要求 故商店应把每件商品的价格定为 28 元,此时可

20、获得最大利润 12. 【答案】【答案】150 解析设 AB=x m,矩形土地 ABCD 的面积为 y m2,由题意,得 y=x 900-3 2 =-3 2(x-150) 2+33750,-3 20,该函数图象开口向下,当 x=150 时,该函数有最大值. 即 AB=150 m 时,矩形土地 ABCD 的面积最大. 13. 【答案】【答案】1.6 解析设各自抛出后 1.1 秒时达到相同的最大离地高度 h,则第一个小球的离 地高度 y=a(t-1.1)2+h(a0), 由题意 a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h, 解得 t=1.6. 故第一个小球抛出后 1.6 秒时在空中与第二个小

21、球的离地高度相同. 14. 【答案】【答案】75 解析 设与墙垂直的一边的长为 x m,则与墙平行的一边的长为 27(3x1) 2(303x)m.因此饲养室总占地面积 Sx(303x)3x230 x, 当 x 30 2 (3)5 时,S 最大,S最大值3 5230 575.故能建成的饲养室总占地面积最大为 75 m2. 三、解答题三、解答题 15. 【答案】【答案】 解:(1)当 t3 时,h20t5t220 35 915(米), 此时足球距离地面的高度为 15 米(2 分) (2)h10, 20t5t210, 即 t24t20,解得 t12 2,t22 2, 经过 2 2或 2 2 秒时,足

22、球距离地面的高度为 10 米(4 分) (3)m0,由题意得 t1和 t2是方程 20t5t2m 的两个不相等的实数根, b24ac(20)220m0, m20, m 的取值范围是 0m20.(8 分) 16. 【答案】【答案】 (1)若所截矩形材料的一条边是 BC,如图 1 所示, 过点 C 作 CFAE 于 F,S1=ABBC=6 5=30 若所截矩形材料的一条边是 AE,如图 2 所示, 过点 E 作 EFAB 交 CD 于 F,FGAB 于 G,过点 C 作 CHFG 于 H, 则四边形 AEFG 为矩形,四边形 BCHG 为矩形, C=135 , FCH=45 , CHF 为等腰直角

23、三角形, AE=FG=6,HG=BC=5,BG=CH=FH, BG=CH=FH=FGHG=65=1, AG=ABBG=61=5, S2=AEAG=6 5=30 (2)能;理由如下: 在 CD 上取点 F,过点 F 作 FMAB 于 M,FNAE 于 N,过点 C 作 CGFM 于 G, 则四边形 ANFM 为矩形,四边形 BCGM 为矩形, C=135 , FCG=45 , CGF 为等腰直角三角形, MG=BC=5,BM=CG,FG=DG, 设 AM=x,则 BM=6x, FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11x, S=AM FM=x(11x)=x2+11x=(x5.5)2+30.2

24、5, 当 x=5.5 时,S 的最大值为 30.25 17. 【答案】【答案】 【思路分析】(1)可用图象得出函数关系,也可直接代入数据进行检验;(2)由已知的二次函数 q 2v2120v 解析式,用配方法或公式法直接可求得最大值;(3)把 qvk 代入 q2v2 120v 中,消去 q,得到 k 和 v 的关系式,再根据 v 的取值范围 12v18,就可求得 k 的取值范 围;由(2)中已知,当 v30 时,q 的最大值为 1800,代入 k2v120 中,求得 k60, 因为 d1000 k ,把 k60 代入,得 d50 3 . 解:(1);(3 分) 【解法提示】解法一:根据数据用描点

25、法画出图象,得出一个开口向下的二次函数图象,故选 ;解法二:用代入法进行检验:把表中的数据 v5,q550 代入,可排除;由数据 v 20,q1600 可排除;所以刻画 q,v 关系最准确的是; (2)q2v2120v2(v30)21800,(6 分) 当 v30 时,q最大1800;(8 分) (3)由 q2v2120v qvk 得,k2v120, 12v18,842v12096,即 84k96;(10 分) 当 v30 时,q最大1800,此时 k60,d1000 60 50 3 .(12 分) 18. 【答案】【答案】 解:(1)y2x236x(9x18) (2)由题意得2x236x160, 解得 x110,x28(不符合题意,舍去) x 的值为 10. (3)y2x236x2(x9)2162, x9 时,y 有最大值 162. 设购买乙种绿色植物 a 棵,购买丙种绿色植物 b 棵, 由题意得 14(400ab)16a28b8600, a7b1500, b 的最大值为 214, 即丙种植物最多可以购买 214 棵,此时 a2, 需要种植的面积0.4 (4002142)1 20.4 214161.2(m2)162 m2, 这批植物可以全部栽种到这块空地上