1、2021 中考数学一轮专题突破：二次函数的实际应用中考数学一轮专题突破：二次函数的实际应用 一、选择题一、选择题 1. 某商品进货单价为 90 元/个，按 100 元/个出售时，能售出 500 个，如果这种商品每个每涨价 1 元，那么其销售量就减少 10 个，为了获得最大利润，其单价应定为( ) A130 元/个 B120 元/个 C110 元/个 D100 元/个 2. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥， 它由五个高度不同， 跨径也不同的抛物线型钢拱通 过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象抛物线) 在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两
2、点，拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线 为 x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为 ( ) A.y= 26 675x 2 B.y=- 26 675x 2 C.y= 13 1350 x 2 D.y=- 13 1350 x 2 3. 如图，铅球运动员掷铅球的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数解析式是 y 1 12x 22 3x 5 3，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A6 m B12 m C8 m D10 m 4. 如图，将一个小球从斜坡的点 O 处
3、抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 y=4x-1 2x 2 刻画， 斜坡可以用一次函数 y=1 2x 刻画，下列结论错误的是 ( ) A.当小球抛出高度达到 7.5 m 时，小球距 O 点水平距离为 3 m B.小球距 O 点水平距离超过 4 m 时呈下降趋势 C.小球落地点距 O 点水平距离为 7 m D.斜坡的坡度为 12 5. 如图，在 ABC 中，C90 ，AB10 cm，BC8 cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1 cm/s 的速度运动， 同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2 cm/s 的速度运动(点 Q 运动到点 B 时， 两点同 时停止运动)，在运动过程
4、中，四边形 PABQ 的面积的最小值为 ( ) A19 cm2 B16 cm2 C15 cm2 D12 cm2 6. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形 钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象 抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点，拱高为 78 米(即最高 点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB90 米)，以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系则此抛物线形钢拱的函数解析式为( ) Ay 26 675x 2 By 26
5、 675x 2 Cy 13 1350 x 2 Dy 13 1350 x 2 7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮， 球沿一条抛物线运动， 当球运动 的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐内已知篮圈中心距离地面 高度为 3.05 m，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( ) A此抛物线的解析式是 y1 5x 23.5 B篮圈中心的坐标是(4，3.05) C此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D篮球出手时离地面的高度是 2 m 8. 如图，将一个小球从斜坡上的点 O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 y4x1
6、2x 2 刻 画，斜坡可以用一次函数 y1 2x 刻画，下列结论错误的是( ) A当小球抛出高度达到 7.5 m 时，小球距点 O 的水平距离为 3 m B小球距点 O 的水平距离超过 4 m 后呈下降趋势 C小球落地点距点 O 的水平距离为 7 m D小球距点 O 的水平距离为 2.5 m 和 5.5 m 时的高度相同 二、填空题二、填空题 9. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长 50 m)，中间用两道墙隔开(如 图)已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面 积的最大值为_ m2. 10. 如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围
7、着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开已知 篱笆的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当 AB_m 时，矩形 ABCD 的面积最大 11. 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价 为 a 元，则可卖出(35010a)件但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的 40%，若商店 想获得最大利润，则每件商品的价格应定为_元 12. 如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开.已知篱 笆的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计)， 当 AB= m 时， 矩形土地 ABCD 的面积最大. 13. 竖
8、直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个 小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后 1.1 秒时达到相同的最大离地高度， 第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则 t= . 14. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所 示的三处各留 1 m 宽的门已知计划中的材料可建墙体总长为 27 m，则能建成的饲养室总占 地面积最大为_m2. 三、解答题三、解答题 15. 把一个足球垂直于水平地面向上踢， 时间为 t(秒)时该足球距离地面的高度 h(米)， 适用公式 h20t5t2(0t4)
9、 (1)当 t3 时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为 10 米时，求 t 的值； (3)若存在实数 t1和 t2(t1t2)，当 tt1或 t2时，足球距离地面的高度都为 m(米)，求 m 的取值 范围 16. (2019绍兴)有一块形状如图的五边形余料ABCDE，6ABAE，5BC ，90AB ， 135C，90E 要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE上，并使所截矩 形的面积尽可能大 (1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积； (2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不 能，请说明理由 17. 交
10、通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、流速、密度三个 概念描述车流的基本特征，其中流量 q(辆/小时)指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速 度 v(千米/小时)指通过道路指定断面的车辆速度；密度 k(辆/千米)指通过道路指定断面单位长 度内的车辆数 为配合大数据治堵行动，测得某路段流量 q 与速度 v 之间关系的部分数据如下表： 速度 v(千米/小时) 5 10 20 32 40 48 流量 q(辆/小时) 550 1000 1600 1792 1600 1152 (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画 q，v 关系最准确的是_(只需填上正确答 案的序号)
11、q90v100； q32 000 v ； q2v2120v. (2)请利用(1)中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大 流量是多少？ (3)已知 q，v，k 满足 qvk.请结合(1)中选取的函数关系式继续解决下列问题 市交通运行监控平台显示，当 12v18 时道路出现轻度拥堵试分析当车流密度 k 在什么 范围时，该路段将出现轻度拥堵； 在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离 d(米)均相等，求流量 q 最大时 d 的值 18. 2018 荆州 为响应荆州市创建全国文明城市的号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形 空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙
12、长不超过 18 m，另外三边由 36 m 长的栅 栏围成设矩形 ABCD 空地中，垂直于墙的边 ABx m，面积为 y m2(如图) (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)若矩形空地的面积为 160 m2，求 x 的值； (3)若该单位用 8600 元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共 400 棵(每种植物的单价和每棵栽种的 合理用地面积如下表)则丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这 块空地上吗？请说明理由. 甲 乙 丙 单价(元/棵) 14 16 28 合理用地面积(m2/棵) 0.4 1 0.4 答案答案 一、选择题一、选择题 1.
13、 【答案】【答案】B 解析 设利润为 y 元，涨价 x 元，则有 y(100 x90)(50010 x)10(x 20)29000，故每个商品涨价 20 元，即单价为 120 元/个时，获得最大利润 2. 【答案】【答案】B 解析设二次函数的表达式为 y=ax2，由题可知，点 A 的坐标为(-45，-78)，代入 表达式可得:-78=a (-45)2，解得 a=- 26 675，二次函数的表达式为 y=- 26 675x 2，故选 B. 3. 【答案】【答案】D 解析 把 y0 代入 y 1 12x 22 3x 5 3，得 1 12x 22 3x 5 30， 解得 x110，x22.又x0，x
14、10. 故选 D. 4. 【答案】【答案】A 解析根据函数图象可知，当小球抛出的高度为 7.5 m 时，二次函数 y=4x-1 2x 2 的 函数值为 7.5，即 4x-1 2x 2=7.5，解得 x1=3，x2=5，故当抛出的高度为 7.5 m 时，小球距离 O 点 的水平距离为 3 m 或 5 m，A 结论错误;由 y=4x-1 2x 2，得 y=-1 2(x-4) 2+8，则抛物线的对称轴为直 线 x=4， 当 x4 时， y 随 x 值的增大而减小， B 结论正确;联立方程 y=4x-1 2x 2 与 y=1 2x， 解得 = 0， = 0 或 = 7， = 7 2 . 则抛物线与直线
15、的交点坐标为(0，0)或 7， 7 2 ，C 结论正确;由点 7， 7 2 知坡度为7 2 7=12 也可以根据 y=1 2x 中系数 1 2的意义判断坡度为 12 ，D 结论正确.故选 A. 5. 【答案】【答案】C 解析 在 Rt ABC 中，C90 ，AB10 cm，BC8 cm， AC AB2BC26 cm. 设运动时间为 t s(0t4)，则 PC(6t)cm，CQ2t cm， S四边形PABQS ABCS CPQ1 2AC BC 1 2PC CQ 1 2 6 8 1 2(6t) 2tt 26t24(t3)2 15， 当 t3 时，四边形 PABQ 的面积取得最小值，最小值为 15
16、cm2. 故选 C. 6. 【答案】【答案】B 解析 设二次函数的解析式为 yax2.由题可知，点 A 的坐标为(45，78)， 代入解析式可得78a(45)2，解得 a 26 675，二次函数解析式为 y 26 675x 2.故选 B. 7. 【答案】【答案】A 解析 抛物线的顶点坐标为(0，3.5)， 可设抛物线的函数解析式为 yax23.5. 篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，3.05a 1.523.5.解得 a1 5.y 1 5x 23.5.可见选 项 A 正确 由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项 B 错误 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见
17、选项 C 错误 将 x2.5 代入抛物线的解析式，得 y1 5 (2.5) 23.52.25，这次跳投时，球出手处 离地面 2.25 m 可见选项 D 错误 故选 A. 8. 【答案】【答案】A 解析 令 y7.5，得 4x1 2x 27.5.解得 x13，x25.可见选项 A 错误 由 y4x1 2x 2 得 y1 2(x4) 28， 对称轴为直线 x4， 当 x4 时， y 随 x 的增大而减小， 选项 B 正确 联立y4x1 2x 2与y1 2x， 解得 x0， y0 或 x7， y7 2. 抛物线与直线的交点坐标为(0， 0)， 7，7 2 ， 可见选项 C 正确 由对称性可知选项 D
18、 正确 综上所述，只有选项 A 中的结论是错误的，故选 A. 二、填空题二、填空题 9. 【答案】【答案】144 【解析】 围墙的总长为 50 m， 设 3 间饲养室合计长 x m， 则饲养室的宽48x 4 m， 总占地面积为 yx 48x 4 1 4x 212x(0 x48)， 由 y1 4x 212x1 4(x24) 2144， x24 在 0 x48 范围内，a1 40，在 0 x24 范围内，y 随 x 的增大而增大，x 24 时，y 取得最大值，y最大144 m2. 10. 【答案】【答案】150 解析 设 ABx m，则 ABEFCDx m，所以 ADBC1 2(9003x)m.
19、设矩形 ABCD 的面积为 y m2，则 yx 1 2(9003x) 3 2x 2450 x(0 x300)由于二次项系 数小于 0，所以 y 有最大值，且当 x b 2a 450 2 （3 2） 150 时，函数 y 取得最大值 故当 AB150 m 矩形 ABCD 的面积最大 11. 【答案】【答案】28 解析 设商店所获利润为 y 元根据题意，得 y(a21)(35010a)10a2560a735010(a28)2490， 即当 a28 时，可获得最大利润 又 21 (140%)21 1.429.4，而 2829.4，所以 a28 符合要求 故商店应把每件商品的价格定为 28 元，此时可
20、获得最大利润 12. 【答案】【答案】150 解析设 AB=x m，矩形土地 ABCD 的面积为 y m2，由题意，得 y=x 900-3 2 =-3 2(x-150) 2+33750，-3 20，该函数图象开口向下，当 x=150 时，该函数有最大值. 即 AB=150 m 时，矩形土地 ABCD 的面积最大. 13. 【答案】【答案】1.6 解析设各自抛出后 1.1 秒时达到相同的最大离地高度 h，则第一个小球的离 地高度 y=a(t-1.1)2+h(a0)， 由题意 a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h， 解得 t=1.6. 故第一个小球抛出后 1.6 秒时在空中与第二个小
21、球的离地高度相同. 14. 【答案】【答案】75 解析 设与墙垂直的一边的长为 x m，则与墙平行的一边的长为 27(3x1) 2(303x)m.因此饲养室总占地面积 Sx(303x)3x230 x， 当 x 30 2 （3）5 时，S 最大，S最大值3 5230 575.故能建成的饲养室总占地面积最大为 75 m2. 三、解答题三、解答题 15. 【答案】【答案】 解：(1)当 t3 时，h20t5t220 35 915(米)， 此时足球距离地面的高度为 15 米(2 分) (2)h10， 20t5t210， 即 t24t20，解得 t12 2，t22 2， 经过 2 2或 2 2 秒时，足
22、球距离地面的高度为 10 米(4 分) (3)m0，由题意得 t1和 t2是方程 20t5t2m 的两个不相等的实数根， b24ac(20)220m0， m20， m 的取值范围是 0m20.(8 分) 16. 【答案】【答案】 (1)若所截矩形材料的一条边是 BC，如图 1 所示， 过点 C 作 CFAE 于 F，S1=ABBC=6 5=30 若所截矩形材料的一条边是 AE，如图 2 所示， 过点 E 作 EFAB 交 CD 于 F，FGAB 于 G，过点 C 作 CHFG 于 H， 则四边形 AEFG 为矩形，四边形 BCHG 为矩形， C=135 ， FCH=45 ， CHF 为等腰直角
23、三角形， AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH， BG=CH=FH=FGHG=65=1， AG=ABBG=61=5， S2=AEAG=6 5=30 (2)能；理由如下： 在 CD 上取点 F，过点 F 作 FMAB 于 M，FNAE 于 N，过点 C 作 CGFM 于 G， 则四边形 ANFM 为矩形，四边形 BCGM 为矩形， C=135 ， FCG=45 ， CGF 为等腰直角三角形， MG=BC=5，BM=CG，FG=DG， 设 AM=x，则 BM=6x， FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11x， S=AM FM=x(11x)=x2+11x=(x5.5)2+30.2
24、5， 当 x=5.5 时，S 的最大值为 30.25 17. 【答案】【答案】 【思路分析】(1)可用图象得出函数关系，也可直接代入数据进行检验；(2)由已知的二次函数 q 2v2120v 解析式，用配方法或公式法直接可求得最大值；(3)把 qvk 代入 q2v2 120v 中，消去 q，得到 k 和 v 的关系式，再根据 v 的取值范围 12v18，就可求得 k 的取值范 围；由(2)中已知，当 v30 时，q 的最大值为 1800，代入 k2v120 中，求得 k60， 因为 d1000 k ，把 k60 代入，得 d50 3 . 解：(1)；(3 分) 【解法提示】解法一：根据数据用描点
25、法画出图象，得出一个开口向下的二次函数图象，故选 ；解法二：用代入法进行检验：把表中的数据 v5，q550 代入，可排除；由数据 v 20，q1600 可排除；所以刻画 q，v 关系最准确的是； (2)q2v2120v2(v30)21800，(6 分) 当 v30 时，q最大1800；(8 分) (3)由 q2v2120v qvk 得，k2v120， 12v18，842v12096，即 84k96；(10 分) 当 v30 时，q最大1800，此时 k60，d1000 60 50 3 .(12 分) 18. 【答案】【答案】 解：(1)y2x236x(9x18) (2)由题意得2x236x160， 解得 x110，x28(不符合题意，舍去) x 的值为 10. (3)y2x236x2(x9)2162， x9 时，y 有最大值 162. 设购买乙种绿色植物 a 棵，购买丙种绿色植物 b 棵， 由题意得 14(400ab)16a28b8600， a7b1500， b 的最大值为 214， 即丙种植物最多可以购买 214 棵，此时 a2， 需要种植的面积0.4 (4002142)1 20.4 214161.2(m2)162 m2， 这批植物可以全部栽种到这块空地上