1、 广东省广东省 20212021 届高三数学届高三数学 1 1 月八省联考模拟临门一脚押题金卷月八省联考模拟临门一脚押题金卷 一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的） 1已知复数z满足 2021 2 2 zi i i ，则复数z在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数） ，则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一
2、倍实现翻番为更好地了解该 地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到 如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 25 2 1 (2)(1)x x 的展开式的常数项是（ ） A3 B2 C2 D3 5设 0.4 0.58 0.5,log0.3,log 0.4abc，则, ,a b c的大小关系是（ ） Aabc Bcba Ccab Dbca 6已知圆C的方程为 22 (1)(1)2xy，点P
3、在直线 3yx=+ 上，线段AB为圆C的直径， 则PA PB 的最小值为（） A2 B 5 2 C3 D 7 2 7十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性 思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中 间的区间段 1 2 , 3 3 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 1 0, 3 ， 2 ,1 3 分别均分为三段， 并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将 剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以 至无穷，剩下的区间集合即是“康
4、托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于 4 5 ，则需要 操作的次数n的最小值为（ ）参考数据：lg2 0.3010 ，lg3 0.4771 A3 B4 C5 D6 8在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为 , ,a b c，若 4ac ，sin2sincos0BCA，则 ABC面积的最大值为（ ） A1 B3 C2 D4 二、多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9设a，b，c为实数且ab，则下列不等式一定成立的是（ ） A 11 ab B2020 1 a b Cl
5、nlnab D 22 11a cb c 10 设等比数列 n a的公比为q,其前n项和为 n S,前n项积为 n T,并满足条件 120192020 1,1aaa , 2019 2020 1 0 1 a a ,下列结论正确的是( ) AS2019S2020 B 20192021 10aa CT2020是数列 n T中的最大值 D数列 n T无最大值 11已知抛物线 2 :2C ypx过点 (1,1)P 则下列结论正确的是( ) A点P到抛物线焦点的距离为 3 2 B过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则OPQ的面积为 5 32 C过点P与抛物线相切的直线方程为 210 xy D过点P作两
6、条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值 12关于函数 2 lnf xx x ，下列判断正确的是（ ） A2x是 f x的极大值点 B函数 yf xx 有且只有 1 个零点 C存在正实数k，使得 f xkx成立 D对任意两个正实数 12 ,x x，且 12 xx ，若 12 f xf x，则 12 4xx . 三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13设向量a，b不平行，向量 ab 与 2ab 平行，则实数_ 14把A，B，C，D四本不同的书分给三位同学，每人至少分到一本，每本书都必须有人分 到，A，B不能同时分给同一个人，则不同的分配方式共有_种（用
7、数字作答） 15已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与 双曲线C的一条渐近线于交M、N两点，若60MAN，则C的离心率为_ 16已知三棱锥PDEF的各顶点都在球面上，PDED,EF 平面PDE,4DE ，3EF , 若该球的体积为17 34 3 ，则三棱锥PDEF的表面积为_ 四、解答题（共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17从条件22 cosbacA，tancoscoscC aBbA， 4 cos 5 cBab中任选一个，补 充在下面的问题中，并给出解答 在ABC中， 内角A，B，C所对
8、的边分别为a，b，c， 且 1a ， 3b ， _， 求ABC 的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分 18已知等差数列 n a满足： 3 7a ， 57 26aa n a的前 n 项和为 n S （）求 n a及 n S； （）令 2 1 1 n n b a （n N ）,求数列 n b的前n项和 n T 19某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销 售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 i x和年销售量 i y（i =1,2， ，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. x y
9、w 8 2 1 () i i xx 8 2 1 () i i ww 8 1 ()() ii i xxyy 8 1 ()() ii i ww yy 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 ii wx， w = 1 8 8 1 i i w （）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题： （）年宣传费 x
10、=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据 11 ( ,)u v , 22 (,)u v ，( ,) nn u v ,其回归线v u 的斜率和截距的最小二 乘估计分别为： 20如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形且垂直于底ABCD， o 1 ,90 , 2 ABBCADBADABC E是PD的中点 （1）证明：直线/CE平面PAB； （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为 o 45，求二面角MABD的余弦 值 21已知抛物线C： 2 y=2px经过点P（1，2） 过点Q（0
11、，1）的直线l与抛物线C有两个不 同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N （）求直线l的斜率的取值范围； （）设O为原点，QMQO，QNQO，求证： 11 为定值 22已知函数 3 1 ( ) 4 f xxax ， ( )lng xx （1）当a为何值时，x轴为曲线 ( )yf x 的切线； （2）用min , m n表示 ,m n中的最小值，设函数 ( )min ( ), ( )(0)h xf x g xx ，讨论 ( )h x 零点的 个数 参考答案 1C 由题可得， 2021 ( 2)(2)5iziii ， 所以复数z在复平面内对应的点为( 5, 1) ，在第三象限，
12、2C 0b 时， ( )cossincosf xxbxx , ( )f x 为偶函数； ( )f x 为偶函数时， ()= ( )fxf x 对任意的x恒成立， ()cos()sin()cossinfxxbxxbx cossincossinxbxxbx ， 得0b s i n x对任意的x恒成立， 从而0b.从而 “0b” 是 “ ( )f x 为偶函数”的充分必要条件，故选 C. 3A 设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M， 则新农村建设前种植收入为 0.6M， 而新农村建设后的种植收入为 0.74M， 所以种植收入增加了， 所以 A 项不正确； 新农村建设前其他收入我
13、0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确； 新农村建设前，养殖收入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30% 28%58%50%，所以 超过了经济收入的一半，所以 D 正确； 4D 的展开式通项为：， 由21 0 0r得=5r， 所以 的常数项系数为； 由21 02r得4r ， 所以的项系数为， 所以的展开式的常数项是 5C 由题意可知： 0.4 0.58 0.5log0.31,log 0.0 1 ,40,abc，则：cab. 6B () ()() ()PA P
14、BPCCAPCCBPCCAPCCA 2 222 3 |22 2 PCCAPC 5 2 . 7B 第一次操作去掉的区间长度为 1 3 ；第二次操作去掉两个长度为 1 9 的区间，长度和为 2 9 ；第三次 操作去掉四个长度为 1 27 的区间，长度和为 4 27 ；第n次操作去掉 1 2n个长度为 1 3n 的区间，长 度和为 1 2 3 n n .于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为 1 1222 1 3933 n n n n S ，由题意， 24 1 35 n ，即 21 lglg 35 n，解得：3.97n，又n 为整数，所以n的最小值为 4. 8A 由正弦定理得：2 cos0b
15、cA 由余弦定理得： 222 20 2 bca bc bc ，即 222 2bac 22 22 22222 32 33 2 cos 22442 ac ac acbacac B acacacac 当且仅当 2 4 3 3 c ， 2 4 3 3 b ， 2 4 3a 时取等号， 0, 6 B , 1 sin 2 B 则 111 sin41 222 ABC SacB ，所以ABC面积的最大值 1. 故选A. 9BD 对于A，若0ab，则 11 ab ，所以A错误； 对于B，因为0ab ，所以20201 a b ，故B正确； 对于C，函数 lnyx 的定义域为( ) 0,+? ，而a，b不一定是正数
16、，所以C错误； 对于D，因为 2 10c ，所以 22 11a cb c ，所以D正确. 10AB 当 0q 时， 2 201920202019 0aaaq，不成立； 当 1q 时， 20192020 1,1aa ， 2019 2020 1 0 1 a a 不成立； 故0 1q ，且 20192020 1,01aa，故 20202019 SS ，A正确； 2 201920212020 110aaa ，故B正确； 2019 T 是数列 n T中的最大值，CD错误； 11BCD 因为抛物线 2 :2C ypx过点 (1,1)P ， 所以 1 2 p ， 所以抛物线方程为： 2 yx，焦点坐标为 1
17、 ,0 4 F 对于 A， 15 1 44 PF ，故 A 错误. 对于 B， 4 3 PF k，所以 41 :() 34 PF lyx，与 2 yx联立得： 2 4310yy ， 所以 1212 31 , 44 yyy y ， 所以 2 121212 1115 4 22432 OPQ SOFyyyyyy，故 B 正确. 对于 C，依题意斜率存在，设直线方程为 1(x 1)yk ，与 2 yx联立得： 2 10kyyk ， 1 410kk 2 4410kk ，解得 1 2 k ， 所以切线方程为 210 xy ，故 C 正确. 对于 D， 依题意斜率存在，设 : PM l1(x 1)yk ，与
18、 2 yx联立得： 2 10kyyk ， 所以 1 1 M y k ，即 1 1 M y k ，则 2 1 1 M x k ， 所以点 2 11 1,1M kk ，同理 2 11 1,1N kk ， 所以 22 11 2 11 1 4 2 11 11 MN kk k k k kk ，故 D 正确. 12BD 解：对于 A 选项，函数的的定义域为0,，函数的导数 22 212 x fx xxx ， 0,2x时， 0fx ，函数 f x单调递减， 2,x时， 0fx ，函数 f x单调递增， 2x是 f x的极小值点，故 A 错误； 对于 B 选项， 2 lnyf xxxx x ， 2 22 21
19、2 10 xx y xxx ， 函数在0,上单调递减， 又 112ln1 1 10f ， 221 ln220f ， 函数 yf xx 有且只有 1 个零点，故 B 正确； 对于 C 选项，若 f xkx，可得 2 2lnf xx k xxx ， 令 2 2ln x g x xx ，则 3 4ln xxx gx x ， 令 4lnh xxxx ，则 lnh xx， 在0,1x上， 0h x ，函数 h x单调递增， 1,x上， 0h x ，函数 h x单调递减， 130h xh ， 0gx ， 2 2ln x g x xx 在0,上函数单调递减，函数无最小值， 不存在正实数k，使得 f xkx成
20、立，故C错误； 对于 D 选项，由 12 xx ， 12 f xf x可知 12 2,02xx ， 要证 12 4xx ，即证 12 4xx ，且 12 42xx ， 由函数 f x在2,x是单调递增函数， 所以有 12 4xffx， 由于 12 f xf x，所以 22 4xffx 即证明 4,0,2f xfxx， 令 22 4lnln 4,0,2 4 m xf xfxxxx xx ， 则 2 2 2 82 0 4 x mx xx ，所以 m x在0,2是单调递减函数， 所以 20m xm，即 4,0,2f xfxx成立， 故 12 4xx 成立，所以D正确. 综上，故正确的是BD. 13
21、1 2 因为向量 ab 与 2ab 平行，所以 2abk ab（），则1 2 , k k ， 所以 1 2 1430 由题意，把 , ,A B C D四本书分给三位同学，每位同学至少分到一本书的分法数目， 首先将四本书分成 3 组，其中 1 组有两本，剩余 2 组各一本，有 2 4 6C 种分组方法， 再将这 3 组对应三个同学，有 3 3 6A 种方法，则有6 636 种情况； 再计算 ,A B两本书分给同一个人的分法数目，若,A B两本书分给同一个人， 则剩余的书分给其他两人，有 12 32 6CA种情况. 综上可得， ,A B两本书不能分给同一个人的不同分法有36 6 30 种. 15
22、2 3 3 如图所示， 由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b， MAN=60， |AP|= 3 2 b， |OP|= 2222 3 | 4 OAPAab 设双曲线C的一条渐近线y= b a x的倾斜角为，则 tan = 22 3 | 2 |3 4 b AP OP ab 又 tan = b a ， 22 3 2 3 4 b b a ab ，解得a 2=3b2， e= 2 2 12 3 11 33 b a 答案： 2 3 3 1627 如图所示，因为EF 平面PDE，所以EFDE，EFPE，EFDP， 因为PDED，EFDEE，所以PD 平面DEF，所以PDDF， 设PF的中点为O，则P
23、OOFODOE，所以O为三棱锥PDEF外接球的球心， 由题知 3 17 344 33 r，解得 34 2 r ，所以34PF ， 在Rt DEF中，4DE ,3EF ，所以 22 5DFDEEF ， 在Rt PDF中， 222 3453PDPFDF ， 在Rt PDE中， 22 5PEPDDE ， 所以三棱锥PDEF的表面积为 PDEFPDEPFDEF SSSS 1111 3 43 43 53 527 2222 . 17 解：选择，因为22 cosbacA， 所以由余弦定理得 222222 22 2 bcabca bac bcb ， 所以 222 abcab， 所以由余弦定理得 222 1 c
24、os 222 abcab C abab ，而C为三角形内角， 所以 3 sin 2 C ， 所以ABC的面积为 1133 sin13 2224 abC 选择，因为tancoscoscCaBbA， 所以由正弦定理得sintansincossincosCCABBA， 所以sin tansincossincossin()sinCCABBAABC 又0C，所以sin0C ， 所以tan1C ，而C为三角形内角，所以 4 C ，所以 2 sin 2 C ， 所以ABC的面积为 1126 sin13 2224 abC 选择，因为 4 cos 5 cBab， 所以由正弦定理得 4 sincossinsin
25、5 CBAB， 即5sin cos5sin()5sincos(5sincos5cossin)4sinCBBCCBBCBCB ， 所以sin (45cos)0BC 又0B，所以sin0B， 所以 4 cos 5 C ，而C为三角形内角，所以 3 sin 5 C ， 所以ABC的面积为 1133 3 sin13 22510 abC 18 （1）设等差数列 n a的公差为d，因为 3 7a ， 57 26aa ，所以有 1 1 27 2 1026 ad ad ， 解得 1 3,2ad，所以32(1)21 n ann ， 2 (1) 322 2 n n n Snnn . （2）由（1）知， 21 n
26、an， 所以 22 1111 11 () 1(21)14 (1)41 n n b ann nnn ， 所以 11111111 (1)(1) 42231414(1) n n T nnnn ， 即数列 n b的前n项和 4(1) n n T n . 19 （）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型. （）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于 8 1 8 2 1 ()() () ii i i i ww yy d ww = 108.8 =68 16 ， c ydw=563-686.8=100.6. y关于w的线性回归方程为 100.668yw ， y关于x的回归
27、方程为100.668yx. （） （）由（）知，当x=49 时，年销售量y的预报值 100.89664y =576.6， 576.6 0.2 4966.32z . （）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值 0.2(100.668)13.620.12zxxxx ， 当x= 13.6 =6.8 2 ，即46.24x时， z 取得最大值. 故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大. 20 试题分析： （1） 取PA的中点F，连结EF，BF，由题意证得CEBF，利用线面平行的判 断定理即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m ， 0,0,1n ，然后
28、利用空间向量的相关结论可求得二面角MABD的余弦值为 10 5 试题解析： （1）取PA中点F，连结EF，BF 因为E为PD的中点，所以/EFAD, 1 2 EFAD,由90BADABC得/ /BCAD，又 1 2 BCAD 所以四边形BCEF为平行四边形， /CEBF 又BFPAB 平面，CEPAB 平面，故/CEPAB平面 （2） 由已知得BAAD,以 A 为坐标原点，AB的方向为 x 轴正方向，AB为单位长，建立如图所 示的空间直角坐标系 A-xyz,则 则0 0 0A，1 0 0B，1 1 0C， 0 13P， ， 103PC ， ， ,10 0AB， ，则 1,13BMxyzPMxy
29、z， ， 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而0 01n ， ，是底面 ABCD 的法向量，所以 0 ,cossin45BM n ， 2 22 z2 2 1xyz 即（x-1）+y-z=0 又 M 在棱 PC 上,设,PMPC则 x,1,33yz 由，得 22 x=1+x=1- 22 y=1y=1 66 zz 22 舍去 ， 所以 M 26 1-,1， 22 ，从而 26 AM1-,1 22 ， 设 000 x ,y ,zm 是平面 ABM 的法向量，则 000 0 2- 2 x2y6z0 AM0 AB0 x0 m m 即 所以可取(0,6,2)m .于是 10 , 5 mn c
30、os m n m n 因此二面角 M-AB-D 的余弦值为 10 5 21 解： （）因为抛物线y 2=2px 经过点P（1，2） ， 所以 4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y 2=4x 由题意可知直线l的斜率存在且不为 0， 设直线l的方程为y=kx+1（k0） 由 2 4 1 yx ykx 得 22 2410k xkx 依题意 2 2 24410kk ，解得 k0 或 0k1 又PA，PB与 y 轴相交，故直线l不过点（1，-2） 从而k-3 所以直线l斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1） （）设A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由（I）知 12 2 24k xx
31、 k ， 12 2 1 x x k 直线PA的方程为 1 1 2 21 1 y yx x 令x=0，得点M的纵坐标为 11 11 21 22 11 M ykx y xx 同理得点N的纵坐标为 2 2 1 2 1 N kx y x 由=QMQO，=QNQO得 =1 M y ， 1 N y 所以 22 1212 12 1212 2 224 211111111 =2 1 111111 MN k x xxxxx kk yykxkxkx xk k 所以 11 为定值 22 （）设曲线 yf x与x轴相切于点 0,0 x，则 0 0f x， 0 0fx，即 3 00 2 0 1 0 4 30 xax xa
32、 ， 解得 0 13 , 24 xa . 因此，当 3 4 a 时，x轴是曲线 yf x的切线. （）当1,x时， ln0g xx，从而 min,0h xf xg xg x ， h x在（1，+）无零点. 当x=1 时，若 5 4 a ，则 5 10 4 fa， 1min1 ,110hfgg,故x=1 是 h x的 零点；若 5 4 a ，则 5 10 4 fa， 1min1 ,110hfgf,故x=1 不是 h x的零 点. 当0,1x时， ln0g xx，所以只需考虑 f x在（0,1）的零点个数. （） 若3a或0a， 则 2 3f xxa 在 （0,1） 无零点， 故 f x在 （0,
33、1） 单调， 而 1 0 4 f， 5 1 4 fa，所以当3a时， f x在（0，1）有一个零点；当a 0 时， f x在（0，1） 无零点. （）若30a ，则 f x在（0， 3 a ）单调递减，在（ 3 a ，1）单调递增，故当x= 3 a 时， f x取的最小值，最小值为 3 a f = 21 334 aa . 若 3 a f 0，即 3 4 a0， f x在（0,1）无零点. 若 3 a f =0，即 3 4 a ，则 f x在（0,1）有唯一零点； 若 3 a f 0， 即 3 3 4 a ， 由于 1 0 4 f， 5 1 4 fa， 所以当 53 44 a 时， f x 在（0,1）有两个零点；当 5 3 4 a 时， f x在（0,1）有一个零点.10 分 综上，当 3 4 a 或 5 4 a 时， h x由一个零点；当 3 4 a 或 5 4 a 时， h x有两个零点； 当 53 44 a 时， h x有三个零点.